精品解析：河南省平顶山市舞钢市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023～2024学年下学期期末调研试卷 八年级数学 注意事项： 1.本试卷分试题卷和答题卡两部分，试题卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟. 2.试题卷上不要答题，请用0.5毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上，答在试题卷上的答案无效. 3.答题前，考生务必将本人姓名、准考证号填写在答题卡第一面的指定位置. 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列各式从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 2. 计算的结果正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 点在第二象限，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 在坐标平面内，把点向左平移个单位得到点，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，四边形是平行四边形，下列说法错误的是（ ） A. 平行四边形是中心对称图形 B. C. 和面积相等 D. 6. 如图，在平面直角坐标系中，把边长为1的正方形绕着原点O顺时针旋转得到正方形，按照这样的方式，绕着原点O连续旋转2024次，得到正方形则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 若分式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 某地为了处理污水，需要铺设一条长4000米的管道，为了尽量减少施工对交通造成的影响，实际施工时每天比原计划多铺设10米，结果提前20天完成了任务．小明根据题意列出了一个分式方程：，则这个方程中的x表示的是（ ） A. 实际每天铺设的管道长度 B. 实际施工的天数 C. 原计划每天铺设的管道长度 D. 原计划施工的天数 9. 如图，在中，和分别是和边的垂直平分线，它们交于点O，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，四边形中，点E和F分别是和的中点，，，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 分解因式__________. 12. 写出一个关于x的一元一次不等式，使和3都是这个不等式的解，这个不等式可以是：__________． 13. 化简：﹣=_____． 14. 如图，将边长相等的正八边形与正六边形的一条边重合，点分别为正八边形和正六边形的顶点，则的度数为______ ． 15. 如图，在中，，点D、E分别在边、上（均不与点A、B、C重合），且，若，则_______度． 三、解答题（共8题，75分） 16. 计算题 （1）解不等组： （2）化简： 17. 教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准（2022年版），将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来．某校为了让学生体验农耕劳动，计划购买A，B两种型号的劳动工具．已知A型劳动工具的单价比B型劳动工具少3元，且用3000元购买A型劳动工具的数量与用3450元购买B型劳动工具的数量相等． （1）求A，B两种型号劳动工具的单价各是多少元？ （2）该校计划购买A，B两种型号的劳动工具共100个，且B型劳动工具的数量不少于A型劳动工具数量的一半，求购买这批劳动工具的最少费用． 18. 如图，的顶点，，．若向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到，且点C的对应点坐标是． （1）画出，并直接写出点的坐标； （2）若内有一点经过以上平移后的对应点为，则点的坐标 　　； （3）若将看成是由经过一次平移得到的，则平移的方向 　　，平移的距离 　　． 19. 如图，在平行四边形中，点O是对角线AC中点．某数学学习小组要在上找两点E，F，使四边形为平行四边形，现在，甲、乙两个同学给出了两种不同的方案如下： 甲方案 乙方案 我的方案 分别取的中点E，F 作于点E，于点F 请回答下列问题： （1）你认为按照他们两人的方案得到的四边形是平行四边形吗？如果这两种方案得到的四边形都是平行四边形，请选择一种给出证明．如果哪种方案不可行，请说明理由． （2）请你给出一种和他们不同的方案．并说明这三种方案有什么共同的特征． 20. 把一个多项式化成几个整式积的形式的变形叫做分解因式，例如：，，但有些多项式我们却不太容易观察出怎么分解，例如：？而“数形结合”思想一直是我们解决数学问题的一种常用方法，爱动脑筋的小明就借助一个几何图形对这个多项式进行了分解 （1）请借助图1把多项式分解因式 __________ （2）把图2中的四张长方形图片拼成一个大的长方形图片，并据此写出一个多项式的因式分解 21. 如图，在△ABC中，∠A=90°，∠B=30°，AC=6cm，点D从点A出发以1cm/s速度向点C运动，同时点E从点C出发以2cm/s的速度向点B运动，运动的时间为t秒，解决以下问题： （1）当t为何值时，△DEC为等边三角形； （2）当t为何值时，△DEC为直角三角形． 22. 一次函数和的图象如图所示，它们的交点是B，一次函数的图象分别与轴交于点A，与x轴交于点C，且， （1）根据图象可得，不等式解集是__________； （2）若不等式的解集是． ①求点B的坐标； ②直接写出不等式组的解集是__________. 23. 数学课上大家一起研究三角形中位线性质定理：三角形两边中点的连线平行于第三边且等于第三边的一半． 已知，如图，在中，分别是的中点．求证：且． 【定理探究】某数学小组有甲、乙、丙、丁四位同学． 甲同学思考后说出了添加的辅助线： 甲：延长至点，使，连接． 【定理证明】请把甲同学说的辅助线补充到图上，并根据他的思路证明三角形中位线性质定理； 【合作交流】通过交流乙、丙、丁三位同学又给出了三种不同的辅助线方法乙：延长到点使，连接． 丙：作，延长使，延长，使． 丁：过点作，交于点，过点作平行线交于点． 　 　　 则三位同学所作的辅助线能证明三角形中位线性质定理的是__________； A.乙、丁 B.丙、丁 C.乙、丙 D.全正确 【定理应用】如图，两地被池塘隔开，不能直接测量它们之间的距离．测量员在地面上选了点和点，使，连接．并分别找到和的中点，．若测得，则两地间的距离__________ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023～2024学年下学期期末调研试卷 八年级数学 注意事项： 1.本试卷分试题卷和答题卡两部分，试题卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟. 2.试题卷上不要答题，请用0.5毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上，答在试题卷上的答案无效. 3.答题前，考生务必将本人姓名、准考证号填写在答题卡第一面的指定位置. 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列各式从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查因式分解的判断，根据把一个多项式分成几个整式的积的形式，叫做因式分解，进行判断即可． 【详解】解：A、是整式的乘法，不符合题意； B、等式右边不是整式的积的形式，不符合题意； C、等式的左侧不是多项式，不符合题意； D、是因式分解，符合题意； 故选D． 2. 计算的结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是分式的乘除混合运算，按照从左至右的顺序进行计算即可． 【详解】解：； 故选B 3. 点在第二象限，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查根据点所在的象限，求参数的范围，根据第二象限的点的符号特征，列出不等式组进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故选A． 4. 在坐标平面内，把点向左平移个单位得到点，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的知识点是坐标与图形变化-平移，解题关键是正确掌握平移规律． 根据点的平移规律，左右移，横坐标减加，纵坐标不变；上下移，纵坐标加减，横坐标不变即可求得答案． 【详解】解：根据点的平移规律，点向左平移个单位得到点，即． 故选：． 5. 如图，四边形是平行四边形，下列说法错误的是（ ） A. 平行四边形是中心对称图形 B. C. 和面积相等 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定、三角形的面积等知识点，掌握平行四边形的对角线互相平分、平行四边形的对边相等成为解题的关键． 根据中心对称图形的定义可得A说法正确；根据平行四边形的性质可得B错误，C正确；根据等底同高的三角形的面积相等可得D正确． 【详解】解：A．平行四边形是中心对称图形，说法正确，故本选项不合题意； B．∵四边形是平行四边形， ∴， 在和中，， ∴，故说法正确，故本选项不合题意； C．如图：过A作， ∵， ∴和面积相等，说法正确，故本选项不合题意； D．，则该选项说法错误，符合题意． 故选：D． 6. 如图，在平面直角坐标系中，把边长为1的正方形绕着原点O顺时针旋转得到正方形，按照这样的方式，绕着原点O连续旋转2024次，得到正方形则点的坐标是（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查坐标系中的点的规律探究，根据题意，得到正方形每旋转8次回到原来的位置，利用，得到的坐标和点的坐标重合，即可得出结果． 【详解】解：由题意，可知：，每旋转次，正方形回到原来的位置， ∵， ∴的坐标和点的坐标重合， ∴点的坐标是； 故选A． 7. 若分式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式有意义，即分母不为零，列不等式求解，即可解题． 【详解】解：分式有意义， ， 解得， 故选：C． 8. 某地为了处理污水，需要铺设一条长4000米的管道，为了尽量减少施工对交通造成的影响，实际施工时每天比原计划多铺设10米，结果提前20天完成了任务．小明根据题意列出了一个分式方程：，则这个方程中的x表示的是（ ） A. 实际每天铺设的管道长度 B. 实际施工的天数 C. 原计划每天铺设的管道长度 D. 原计划施工的天数 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，准确理解分式方程中各数字代表的含义是解题的关键，根据每天铺设的管道长度管道总长度铺设天数理解分式方，程即可解题． 【详解】解：由题知：实际施工时每天比原计划多铺设10米，结果提前20天完成了任务， 结合， 可知：为实际施工每天铺设的管道长度，为原计划每天铺设的管道长度， 每天铺设的管道长度管道总长度铺设天数， 为实际施工的天数，为原计划施工的天数， 故选：D． 9. 如图，在中，和分别是和边的垂直平分线，它们交于点O，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查中垂线的性质，等腰三角形的判定和性质，连接，易得，进而得到，再根据三角形的内角和定理进行求解即可． 【详解】解：连接， ∵和分别是和边的垂直平分线，它们交于点O， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选B． 10. 如图，四边形中，点E和F分别是和的中点，，，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理的逆定理，平行线的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．连结，根据三角形的中位线定理得到，，所以，再根据勾股定理的逆定理可证明，由此即得答案． 【详解】解：连结， 点E和F分别是和的中点， ，， ， ，， ， ， ． 故选B． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 分解因式__________. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，掌握提取公因式法分解因式是解题的关键． 详解】解：， 故答案为：． 12. 写出一个关于x的一元一次不等式，使和3都是这个不等式的解，这个不等式可以是：__________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查求不等式的解集，根据不等式的解集的情况，写出一个不等式即可． 【详解】解：当时，， 此时和3都是这个不等式的解，满足题意； 故答案为：（答案不唯一）． 13. 化简：﹣=_____． 【答案】 【解析】 【详解】【分析】原式通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果． 【详解】原式= = =， 故答案为. 【点睛】本题考查了分式的加减法，熟练掌握分式加减法的运算法则是解本题的关键． 14. 如图，将边长相等的正八边形与正六边形的一条边重合，点分别为正八边形和正六边形的顶点，则的度数为______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正多边形内角和问题，根据多边形内角和定理及正多边形每个内角相等求解即可得到答案； 【详解】解：∵边长相等的正八边形与正六边形的一条边重合， ∴，， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在中，，点D、E分别在边、上（均不与点A、B、C重合），且，若，则_______度． 【答案】70 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质．先求出，再证明，推出，进而可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：70． 三、解答题（共8题，75分） 16. 计算题 （1）解不等组： （2）化简： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解不等式组，分式的混合运算： （1）分别求出每一个不等式的解集，进而找到它们的公共部分，即为不等式组的解集； （2）先通分，计算括号内，除法变乘法，进行约分化简． 【小问1详解】 解：解不等式组 由①得： 由②得： 在数轴上表示为： ∴原不等式组的解集是：； 【小问2详解】 解：原式． 17. 教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准（2022年版），将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来．某校为了让学生体验农耕劳动，计划购买A，B两种型号的劳动工具．已知A型劳动工具的单价比B型劳动工具少3元，且用3000元购买A型劳动工具的数量与用3450元购买B型劳动工具的数量相等． （1）求A，B两种型号劳动工具的单价各是多少元？ （2）该校计划购买A，B两种型号的劳动工具共100个，且B型劳动工具的数量不少于A型劳动工具数量的一半，求购买这批劳动工具的最少费用． 【答案】（1）A型劳动工具的单价为20元，B型劳动工具的单价为23元 （2）购买这批劳动工具的最少费用为2102元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用； （1）设A型劳动工具的单价为x元，则B型劳动工具的单价为元，根据“用3000元购买A型劳动工具的数量与用3450元购买B型劳动工具的数量相等”列分式方程，解方程并检验即可； （2）设购买B型劳动工具m个，则购买A型劳动工具个，购买这批劳动工具的费用为元，根据题意求出关于m的函数关系式，再求出m的取值范围，然后利用一次函数的性质解答． 【小问1详解】 解：设A型劳动工具的单价为x元，则B型劳动工具的单价为元． 根据题意，得， 解得． 经检验，是原方程的解且符合题意， 则， 答：A型劳动工具的单价为20元，B型劳动工具的单价为23元； 【小问2详解】 设购买B型劳动工具m个，则购买A型劳动工具个， 设购买这批劳动工具的费用为元． 则， ∵， ∴随着的增大而增大． 根据题意，得， 解得， ∵m为整数， ∴m的最小值为34， ∴当时，最小，最小值为， 答：购买这批劳动工具的最少费用为2102元． 18. 如图，的顶点，，．若向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到，且点C的对应点坐标是． （1）画出，并直接写出点的坐标； （2）若内有一点经过以上平移后的对应点为，则点的坐标 　　； （3）若将看成是由经过一次平移得到的，则平移的方向 　　，平移的距离 　　． 【答案】（1）图见解析， （2） （3）沿直线的方向，5 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系网格作图，图形的平移；掌握点的平移规律：“左减右加，上加下减．”是解题的关键． （1）按要求作出图形，写出坐标，即可求解； （2）根据点的平移规律：左减右加，上加下减，写出坐标，即可求解； （3）按对应点平移，用勾股定理求出对应点连线段长度，即可求解； 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 由图可知：； 【小问2详解】 解：向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到， ； 故答案为：； 【小问3详解】 解：由勾股定理，得： ； 将看成是由经过一次平移得到的，则平移的方向为沿着直线的方向，平移5个单位得到； 故答案为：沿直线方向，5． 19. 如图，在平行四边形中，点O是对角线AC的中点．某数学学习小组要在上找两点E，F，使四边形为平行四边形，现在，甲、乙两个同学给出了两种不同的方案如下： 甲方案 乙方案 我的方案 分别取的中点E，F 作于点E，于点F 请回答下列问题： （1）你认为按照他们两人的方案得到的四边形是平行四边形吗？如果这两种方案得到的四边形都是平行四边形，请选择一种给出证明．如果哪种方案不可行，请说明理由． （2）请你给出一种和他们不同的方案．并说明这三种方案有什么共同的特征． 【答案】（1）甲乙两人的方案得到的四边形都是平行四边形．证明见解析 （2）在上取，这三种方案的共同点是． 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质： （1）根据题意结合平行四边形的判定和全等三角形的性质与判定证明即可，甲方案：两条对角线相互平分的四边形为平行四边形；乙方案：一组对边平行且相等的四边形为平行四边形； （2）在上取，即可得到四边形为平行四边形． 【小问1详解】 解：甲乙两人的方案得到的四边形都是平行四边形； 证明：甲方案：如图，连接， ∵在中，点是对角线的中点， ∴，， ∵，分别为，的中点， ∴， ∴四边形为平行四边形； 乙方案： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， 又∵， ∴四边形为平行四边形． 【小问2详解】 在上取，即可得到四边形为平行四边形， 证明：如图，连接， ∵在中，点是对角线的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形； 三种方案都有． 20. 把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形叫做分解因式，例如：，，但有些多项式我们却不太容易观察出怎么分解，例如：？而“数形结合”思想一直是我们解决数学问题的一种常用方法，爱动脑筋的小明就借助一个几何图形对这个多项式进行了分解 （1）请借助图1把多项式分解因式 __________ （2）把图2中的四张长方形图片拼成一个大的长方形图片，并据此写出一个多项式的因式分解 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】此题主要考查了因式分解，正确的画出图形是解决问题的关键． （1）根据图形，借助矩形的面积列出等式即可； （2）先画图形，然后列等式即可． 【小问1详解】 解：借助图1可得， 故答案为：； 【小问2详解】 解：拼出的图形为： ∴ 21. 如图，在△ABC中，∠A=90°，∠B=30°，AC=6cm，点D从点A出发以1cm/s的速度向点C运动，同时点E从点C出发以2cm/s的速度向点B运动，运动的时间为t秒，解决以下问题： （1）当t为何值时，△DEC为等边三角形； （2）当t为何值时，△DEC为直角三角形． 【答案】（1）当t为2时，△DEC为等边三角形；（2）当t为 或3时，△DEC为直角三角形． 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质列出方程求出t的值； （2）分两种情况讨论：①当∠DEC为直角时，②当∠EDC为直角时，分别利用30度角所对的直角边等于斜边的一半列方程求出t的值． 【详解】（1）根据题意可得 AD=t，CD=6﹣t，CE=2t， ∵∠B=30°，AC=6cm， ∴BC=2AC=12cm， ∵∠C=90°﹣∠B=30°=60°，△DEC为等边三角形， ∴CD=CE， 6﹣t=2t， t=2， ∴当t为2时，△DEC为等边三角形； （2）①当∠DEC为直角时，∠EDC=30°， ∴CE=， 2t=（6﹣t）， t=； ②当∠EDC为直角时，∠DEC=30°， CD=CE， 6﹣t=•2t， t=3． ∴当t为或3时，△DEC为直角三角形． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握30度角的直角三角形的边角关系是解题的关键． 22. 一次函数和的图象如图所示，它们的交点是B，一次函数的图象分别与轴交于点A，与x轴交于点C，且， （1）根据图象可得，不等式的解集是__________； （2）若不等式的解集是． ①求点B的坐标； ②直接写出不等式组的解集是__________. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，求一次函数解析式，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识． （1）根据一次函数的图象与轴交于点，利用函数图象分析即可解题； （2）①利用待定系数法求得一次函数的解析式，再根据不等式的解集是，将代入中求解，即可得到点B的坐标； ②根据、以及点B的坐标，结合函数图象分析，即可解题． 【小问1详解】 解：一次函数的图象与轴交于点， 由图象可知不等式的解集是， 故答案：； 【小问2详解】 解：①一次函数的图象与轴交于点， ， 一次函数的图象与x轴交于点， ， 解得， ， 不等式的解集是， 当时，， 点B的坐标为； ②由图知，不等式组的解集是， 故答案为：． 23. 数学课上大家一起研究三角形中位线性质定理：三角形两边中点的连线平行于第三边且等于第三边的一半． 已知，如图，在中，分别是的中点．求证：且． 【定理探究】某数学小组有甲、乙、丙、丁四位同学． 甲同学思考后说出了添加的辅助线： 甲：延长至点，使，连接． 【定理证明】请把甲同学说的辅助线补充到图上，并根据他的思路证明三角形中位线性质定理； 【合作交流】通过交流乙、丙、丁三位同学又给出了三种不同的辅助线方法乙：延长到点使，连接． 丙：作，延长使，延长，使． 丁：过点作，交于点，过点作的平行线交于点． 　 　　 则三位同学所作辅助线能证明三角形中位线性质定理的是__________； A.乙、丁 B.丙、丁 C.乙、丙 D.全正确 【定理应用】如图，两地被池塘隔开，不能直接测量它们之间的距离．测量员在地面上选了点和点，使，连接．并分别找到和的中点，．若测得，则两地间的距离__________ 【答案】定理证明：见解析；合作交流：D；定理应用： 【解析】 【分析】对于定理证明，先证明≌，再说明四边形是平行四边形，即可得出答案； 对于合作交流，分别根据不同辅助线的作法，仿照定理证明说明，再判断答案即可； 对于定理应用，先连接，并延长，交的延长线于点E，再证明≌，可知是的中位线，即可得出答案． 【详解】解：定理证明： 如图， 在和中， ∴≌， ∴，， ∴， 即． 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，且， ∴，且． 合作交流：D． 乙同学的作法证明：∵，， ∴四边形是平行四边形，， ∴，， 即． ∵点D是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 即． 丙同学的作法证明： ∵，， ∴． ∵，，， ∴≌， ∴，． 同理：≌， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 即，； 丁同学的作法证明： ∵，， ∴四边形是平行四边形，， ∴，． ∵，， ∴≌， ∴，， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， 即． 所以全正确． 故选：D； 定理应用：． 连接，并延长，交的延长线于点E． ∵， ∴． ∵，， ∴≌， ∴，， ∴是的中位线， ∴， 即， 解得． 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了三角形中位线性质的证明及应用，全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定等，灵活选择定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$