专题01 三角形【知识梳理+解题方法+专题过关】-2024-2025学年八年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（人教版）

专题01 三角形 一．三角形的有关概念 1．定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． 2．有关概念及其表示方法：如图所示，线段，，叫做的三条边．点A，B，C叫做的三个顶点．，，叫做的三个内角，简称三角形的角．顶点是A，B，C的三角形，记作“”，读作“三角形ABC” ． 注意： ①由三角形的定义可知，三角形有三个特征：三条线段；不在同一条直线上；首尾顺次相接． ②用符号“”时，其后必须紧跟表示三角形三个顶点的大写字母，不能单独使用．如“三角形的角”不能写成“的角”． 二．三角形的分类 按边的相等关系分类： 按角的大小分类： 注意： ①等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形包括等边三角形；不等边三角形是指三条边都不相等的三角形． ②无论按哪一标准对三角形进行分类，都必须做到不重复、不遗漏． 三．三角形的三边关系 1．三边关系的性质：三角形两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边．三角形的三边关系反映了任意三角形边的限制关系． 2．三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；否则不能组成三角形．已知三角形两边长，求第三边长的取值范围． 注意： ①这里的“两边”指的是任意的两边． ②三角形的三边关系的依据是“两点之间，线段最短”． 四．三角形的高、中线、角平分线 1．三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高． 2．三角形的高的几何表达形式：如图所示，是的边上的高，或是的高，或于点D，或． 注意： ①三角形的高是一条线段． ②锐角三角形的三条高都在三角形内部，三条高的交点也在三角形内部；钝角三角形有两条高落在三角形的外部，一条高在三角形内部，三条高没有交点，但三条高的延长线交于三角形外一点；直角三角形有两条高恰好是三角形的两条直角边，另一条高在三角形内部，三条高的交点是直角顶点． 3．三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线．三角形的三条中线相交于一点，三角形三条中线的交点叫做三角形的重心． 4．三角形的中线的几何表达形式：如图所示，是的边上的中线，或是的中线，或． 5．三角形的中线分成的两三角形的面积和周长的关系：如图所示，是的中线，是的高，则，， 因为，所以， 即． 因为的周长为，的周长为， 所以的周长－的周长=． 注意： ①三角形的中线是一条线段． ②三角形每一条边上的中线将三角形分成面积相等的两个三角形，这两个三角形的周长差等于另两边长的差． ③三角形的重心一定在三角形的内部． 6．三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的平分线和对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线． 7．三角形的角平分线的几何表达形式：如图所示，是的角平分线，或且点D在上． 注意： ①三角形的角平分线是一条线段． ②三角形的三条角平分线都在三角形的内部，并且三条角平分线交于三角形内一点． 五．三角形的稳定性 三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性． 六．三角形内角和定理 1．定理：三角形三个内角的和等于． 2．定理的推理论证： 已知：． 求证：． 证明：如图所示，过点A作直线． ∵， ∴，（两直线平行，内错角相等）． ∵，，组成平角， ∴（平角定义）． ∴（等量代换）． 七．直角三角形的性质与判定 1．直角三角形的性质：直角三角形两个锐角互余． 2．直角三角形表示方法：直角三角形可以用符号“”表示，直角三角形ABC可以写成．用符号“”表示时，后面必须紧跟表示直角三角形的三个顶点的大写字母，不能单独使用． 3．直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形． 如图所示，在中，如果，那么是直角三角形． 八．三角形的外角 1．三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角，如图所示，是的一个外角． 2．三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 注意： ①三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角，所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角．因为三角形的每个外角和与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是，可推出三角形的三个外角和是． ②三角形内角和定理与三角形外角的性质是角的有关计算及推理论证时经常使用的理论依据． 九．多边形及正多边形 1．多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形． （1）多边形按组成它的线段的条数分成三角形、四边形、五边形……三角形是最简单的多边形．如果一个多边形由n条线段组成，那么这个多边形就叫做n边形． （2）多边形相邻两边组成的角叫做它的内角．多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角． （3）多边形可分为凸多边形和凹多边形．画出多边形的任何一条边所在直线，整个多边形都在这条直线的同一侧，这样的多边形叫做凸多边形． 2．正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形． 十．多边形的对角线 连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． 注意： n边形共有条对角线． 十一．n边形的内、外角和公式 1．n边形内角和公式：n边形内角和等于． （1）探求方法：从n边形的一个顶点可以引条对角线，把n边形分为个三角形，这个三角形的所有内角和即为n边形的内角和，所以n边形的内角和为． （2）内角和定理的应用：①求多边形内角和；②由多边形内角和确定多边形的边数；③求正多边形的每个内角的度数；④由正多边形的每个内角的度数确定正多边形的边数． 2．多边形的外角和：（每个顶点处取一个外角） （1）定理：多边形外角和等于． （2）多边形外角和定理的证明：多边形的每个内角和与它相邻的外角都是邻补角，所以n边形的内角和加外角和为，所以外角和等于． （3）外角和定理的应用：①已知外角的度数求正多边形的边数；②已知正多边形的边数求外角的度数． 注意： ①多边形的外角和恒等于，而与边数多少无关． ②内角和随边数的变化而变化：边数每增加1，内角和就增加． 【专题过关】 一．三角形的相关概念及分类（共4小题） 1．下列图形中，三角形是（　　） A． B． C． D． 2．如图均表示三角形的分类，下列判断正确的是（　　） A．①对，②不对 B．①不对，②对 C．①、②都不对 D．①、②都不对 3．下列几何图形是钝角三角形的是（　　） A． B． C． D． 4．如图，图中三角形的个数为（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 二．三角形存在性问题（共4小题） 5．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（　　） A．2、2、4 B．8、6、3 C．2、6、3 D．11、4、6 6．现有两根长度分别3cm和7cm的木棒，若要钉成一个三角形木架，则应选取的第三根木棒长为（　　） A．4cm B．7cm C．10cm D．13cm 7．一个三角形的两边长为3和8，第三边长为奇数，则第三边长为（　　） A．5或7 B．7或9 C．7 D．9 8．一个三角形的两边长为2和6，第三边为偶数，则这个三角形的周长为（　　） A．10 B．12 C．14 D．16 三．三角形高线的确定（共4小题） 9．下列说法不正确的是（　　） A．同角的余角相等 B．对顶角相等 C．三角形三条高所在的直线一定交于一点，并且该点位于三角形内部 D．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 10．下列各图中，正确画出AC边上的高的是（　　） A． B． C． D． 11．画的边上的高，正确的是（　　） A． B． C． D． 12．如图，在中，下列关于高的说法正确的是（　　） A．线段是边上的高 B．线段是边上的高 C．线段是边上的高 D．线段是边上的高 四．三角形中线的相关问题（共7小题） 13．王老汉要将一块如图所示的三角形土地平均分配给两个儿子，则图中他所作的线段应该是的 （　　） A．角平分线 B．中线 C．高线 D．以上都不是 14．如图所示，在中，，，是的中线，则与的周长之差 为（　　） A．14 B．1 C．2 D．7 15．如图，、都是的中线，连接，的面积是10cm2，则的面积是（　　） A．1.25cm2 B．2cm2 C．2.5cm2 D．5cm2 16．如图，是的中线，，，若的周长为18，则的周长为 　 　． 17．如图，在中，是边上的中线，的周长比的周长多3，与的和为 13，则＝　 　． 18．已知：如图所示，在中，点D，E，F分别为，，的中点，且，则阴 影部分的面积为 　 　cm2． 19．在中，D是的中点，，．用剪刀从点D入手进行裁剪，若沿剪成两个 三角形，它们周长的差为 　 　；若点E在上，沿剪开得到两部分周长差为2，则＝　 　． 五．三角形的稳定性（共2小题） 20．下列生活实物中，没有应用到三角形的稳定性的是（　　） A． 太阳能热水器 B． 篮球架 C． 三脚架 D． 活动衣架 21．空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种方法应用的几何原理是 　 　． 六．三角形三线综合应用（共5小题） 22．下列说法正确的是（　　） A．三角形的角平分线、中线和高都在三角形内 B．直角三角形只有一条高 C．三角形的高至少有一条在三角形内 D．三角形的高是直线，角平分线是射线，中线是线段 23．如图，在中，，D，E是上两点，且，平分，那么下列说 法中不正确的是（　　） A．是的中线 B．是的角平分线 C． D．是的高 24．如图，在中，是高，是角平分线，是中线，则下列说法中错误的是（　　） A． B． C． D． 25．如图，在中，，G为的中点，延长交于E．F为上一点， 于H，下面判断正确的有（　　） ①是边上的高； ②是边上的中线； ③是的角平分线； ④是的角平分线和高． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 26．如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交 于点H，给出以下结论：①；②；③；④； ⑤．其中结论正确的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 七．三角形的规律探究问题（共2小题） 27．如图，是直线l的垂线段，每次在两侧依次增加1条线段，则第20个图形中共有三角形的数 量是（　　） A．820 B．840 C．40 D．20 28．按图示的方法搭1个三角形需要3根小棒，搭2个三角形需要5根小棒，那么搭10个三角形需要 　 　 根小棒，搭n个三角形需要 　 　根小棒． 八．三角形内角和定理的应用（共5小题） 29．一个三角形，3个内角度数之比是，这个三角形是（　　）三角形． A．锐角 B．钝角 C．直角 D．等边 30．如图，在中，平分交边于点D，交边于点E．若， ，则的大小为（　　） A． B． C． D． 31．一副三角板，按如图所示叠放在一起，则图中的度数是（　　） A． B． C． D． 32．已知中，平分，点P在射线上． （1）如图1，若，，求的度数； （2）若，，直线与的一条边垂直，求的度数． 33．如图，在中，，为边上的高，平分，分别交，于点 F，E． （1）若，求的度数； （2）与相等吗？请说明理由． 九．三角形内角、外角的综合应用（共5小题） 34．将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则的大小为（　　） A． B． C． D． 35．如图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为C，且、、的大小保持 不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中应（　　） A．增加 B．减少 C．增加 D．减少 36．一个三角形中，若任意两个内角度数之和都大于另一个内角，这个三角形必定是一个钝角三角 形． 　 　（判断对错） 37．将一副直角三角板如图放置，，．若边经过点D，则＝　 　°． 38．将一副三角尺按如图所示的位置摆放在直尺上，则的度数为 　 　． 十．三角形的内角和及其角平分线、高的综合应用（共5小题） 39．如图，在中，，是角平分线，是边上的高，延长与外角的 平分线交于点G．以下四个结论：①；②；③；④ ．其中结论正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 40．如图，中，是边上的高线，是一条角平分线，、相交于点P，已知 ，则的度数为 　 　°． 41．如图，是的高，的两条角平分线、相交于点O，，． （1）求的度数； （2）求的度数． 42．如图，是的高，是的角平分线，是的中线． （1）若，，求的度数； （2）若，与的周长差为3，求的长． 43．如图，是的角平分线，，，，求的度数． 十一．三角形内角和定理、外角性质和三角形的角平分线的综合应用（共4小题） 44．如图，是的外角，平分，平分，且、交于点E， ． （1）求证：； （2）猜想：若，求的度数． 45．如图，在锐角中，两条高线、相交于点O． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，，，与的角平分线交于点M，求的度数； （3）如图3，对任意的锐角，与的角平分线交于点M，直接写出的度数是 　 　． 46．【初步认识】 （1）如图①，线段，相交于点O，连接，． 求证：． 【继续探索】 （2）如图②，，，，的角平分线、相交于点P． ①若，，求的度数； ②用m、n表示的度数为 　 　． （3）如图③，，的角平分线，相交于点P，，的角平分线，相交于点Q．若，判断与的位置关系并说明理由． 47．认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题． （1）探究1：如图1，在中，O是与的平分线和的交点，试分析与有怎样的关系？请说明理由． （2）探究2：如图2中，O是与外角的平分线和的交点，试分析与有怎样的关系？请说明理由． （3）探究3：如图3中，O是外角与外角的平分线和的交点，则与又有怎样的关系？（只写结论，不需证明）结论：　 　． 十二．与三角形的角有关的探究性问题（共3小题） 48．已知在中，，过点D作，垂足为E，为的一条角平分线，为的平分线． （1）如图1，若，点G在边上且不与点B重合． ①判断与的数量关系，并说明理由， ②判断与的位置关系，并说明理由； （2）如图2，若，点G在边上，与交于点M，用含有的代数式表示，则＝　 　； （3）如图3，若，点G在边上，与的延长线交于点H，用含有的代数式表示，并说明理由． 49．在华师版数学七下第82页曾经研究过三角形角平分线的夹角问题．某学校七年级（一）班的同学在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他们的研究过程如下： 【原问呈现】 （1）如图1，中，，，平分，平分，则＝　 　； 【问题推广】 （2）如图1，中，若，平分，平分，求的度数； （3）如图2，中，的角平分线与的外角的角平分线交于点P，过点B作于点H，若，求的度数； （4）如图3，中，、分别平分、，M、N、Q分别在、、的延长线上，、分别平分、，、分别平分、．若，请直接写出的度数（结果用含n的代数式表示）． 50．如果三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”． （1）如图①，在中，，是的角平分线．说明：是“准直角三角形”． （2）关于“准直角三角形”，下列说法； ①在中，若，，，则是准直角三角形； ②若是“准直角三角形”，，，则只能为； ③“准直角三角形”一定是钝角三角形． 其中，正确的是 　 　．（填写所有正确结论的序号） （3）如图②，B、C为直线l上两点，点A在直线l外，且，若P是l上一点，且是“准直角三角形“，请直接写出的度数：　 　． 十三．多边形内角和、外角和定理的综合应用（共6小题） 51．正五边形的一个外角度数是（　　） A． B． C． D． 52．若一个正多边形的每一个外角都等于，则它是（　　） A．正九边形 B．正十边形 C．正十一边形 D．正十二边形 53．一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，则这个多边形的边数是（　　） A．10 B．8 C．6 D．5 54．若一个正多边形的每个内角都是，则这个多边形是正 　 　边形． 55．将一个正五边形与一个正八边形按如图所示的位置摆放，E为公共顶点，且顶点A，B，C，D在同一 条直线上，则的度数是 　 　． 56．如图是由8个全等的三角形组成的图案，则＝　 　． 十四．多边形对角线公式的综合应用（共2小题） 57．一个多边形除了一个内角外，其余各内角的和为，则这个多边形的对角线共有 　 　条． 58．某数学兴趣小组为了研究多边形中从一个顶点可以作几条对角线，以及该多边形中对角线的总条数与 边数的关系，他们决定从以下图形开始寻找规律． （1）在图5中画出从A点出发的所有对角线； （2）根据探究，整理得到下面表格： 多边形的边数 4 5 6 7 8 ⋯ n 从一个顶点出发的对角线的条数 1 2 3 4 5 ⋯ a 多边形对角线的总条数 2 5 9 14 20 ⋯ b ①表格中a＝　 　，b＝　 　；（用含n的代数式表示） ②拓展应用： 若该校要举办足球比赛，总共有11个班级参加比赛，规定每个班级都要和其他班级比赛一次，请计算总共要比赛多少场． 十五．多边形内、外角和定理在探究、开放性问题中的应用（共2小题） 59．如图，四边形，、分别平分四边形的外角和，若，． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图1，试说明：的度数与，的数量关系． （3）如图1，若与相交于点G，，请写出、所满足的等量关系式； （4）如图2，若，判断、的位置关系，并说明理由． 60．动手操作，探究： 探究一：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？ 已知：如图（1），在中，、分别平分和，试探究与的数量关系． 探究二：若将改为任意四边形呢？ 已知：如图（2），在四边形中，、分别平分和，试利用上述结论探究与的数量关系．（写出说理过程） 探究三：若将上题中的四边形改为六边形（图（3））呢？请直接写出与的数量关系：　 　． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！22 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 三角形 一．三角形的有关概念 1．定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． 2．有关概念及其表示方法：如图所示，线段，，叫做的三条边．点A，B，C叫做的三个顶点．，，叫做的三个内角，简称三角形的角．顶点是A，B，C的三角形，记作“”，读作“三角形ABC” ． 注意： ①由三角形的定义可知，三角形有三个特征：三条线段；不在同一条直线上；首尾顺次相接． ②用符号“”时，其后必须紧跟表示三角形三个顶点的大写字母，不能单独使用．如“三角形的角”不能写成“的角”． 二．三角形的分类 按边的相等关系分类： 按角的大小分类： 注意： ①等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形包括等边三角形；不等边三角形是指三条边都不相等的三角形． ②无论按哪一标准对三角形进行分类，都必须做到不重复、不遗漏． 三．三角形的三边关系 1．三边关系的性质：三角形两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边．三角形的三边关系反映了任意三角形边的限制关系． 2．三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；否则不能组成三角形．已知三角形两边长，求第三边长的取值范围． 注意： ①这里的“两边”指的是任意的两边． ②三角形的三边关系的依据是“两点之间，线段最短”． 四．三角形的高、中线、角平分线 1．三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高． 2．三角形的高的几何表达形式：如图所示，是的边上的高，或是的高，或于点D，或． 注意： ①三角形的高是一条线段． ②锐角三角形的三条高都在三角形内部，三条高的交点也在三角形内部；钝角三角形有两条高落在三角形的外部，一条高在三角形内部，三条高没有交点，但三条高的延长线交于三角形外一点；直角三角形有两条高恰好是三角形的两条直角边，另一条高在三角形内部，三条高的交点是直角顶点． 3．三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线．三角形的三条中线相交于一点，三角形三条中线的交点叫做三角形的重心． 4．三角形的中线的几何表达形式：如图所示，是的边上的中线，或是的中线，或． 5．三角形的中线分成的两三角形的面积和周长的关系：如图所示，是的中线，是的高，则，， 因为，所以， 即． 因为的周长为，的周长为， 所以的周长－的周长=． 注意： ①三角形的中线是一条线段． ②三角形每一条边上的中线将三角形分成面积相等的两个三角形，这两个三角形的周长差等于另两边长的差． ③三角形的重心一定在三角形的内部． 6．三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的平分线和对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线． 7．三角形的角平分线的几何表达形式：如图所示，是的角平分线，或且点D在上． 注意： ①三角形的角平分线是一条线段． ②三角形的三条角平分线都在三角形的内部，并且三条角平分线交于三角形内一点． 五．三角形的稳定性 三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性． 六．三角形内角和定理 1．定理：三角形三个内角的和等于． 2．定理的推理论证： 已知：． 求证：． 证明：如图所示，过点A作直线． ∵， ∴，（两直线平行，内错角相等）． ∵，，组成平角， ∴（平角定义）． ∴（等量代换）． 七．直角三角形的性质与判定 1．直角三角形的性质：直角三角形两个锐角互余． 2．直角三角形表示方法：直角三角形可以用符号“”表示，直角三角形ABC可以写成．用符号“”表示时，后面必须紧跟表示直角三角形的三个顶点的大写字母，不能单独使用． 3．直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形． 如图所示，在中，如果，那么是直角三角形． 八．三角形的外角 1．三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角，如图所示，是的一个外角． 2．三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 注意： ①三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角，所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角．因为三角形的每个外角和与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是，可推出三角形的三个外角和是． ②三角形内角和定理与三角形外角的性质是角的有关计算及推理论证时经常使用的理论依据． 九．多边形及正多边形 1．多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形． （1）多边形按组成它的线段的条数分成三角形、四边形、五边形……三角形是最简单的多边形．如果一个多边形由n条线段组成，那么这个多边形就叫做n边形． （2）多边形相邻两边组成的角叫做它的内角．多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角． （3）多边形可分为凸多边形和凹多边形．画出多边形的任何一条边所在直线，整个多边形都在这条直线的同一侧，这样的多边形叫做凸多边形． 2．正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形． 十．多边形的对角线 连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． 注意： n边形共有条对角线． 十一．n边形的内、外角和公式 1．n边形内角和公式：n边形内角和等于． （1）探求方法：从n边形的一个顶点可以引条对角线，把n边形分为个三角形，这个三角形的所有内角和即为n边形的内角和，所以n边形的内角和为． （2）内角和定理的应用：①求多边形内角和；②由多边形内角和确定多边形的边数；③求正多边形的每个内角的度数；④由正多边形的每个内角的度数确定正多边形的边数． 2．多边形的外角和：（每个顶点处取一个外角） （1）定理：多边形外角和等于． （2）多边形外角和定理的证明：多边形的每个内角和与它相邻的外角都是邻补角，所以n边形的内角和加外角和为，所以外角和等于． （3）外角和定理的应用：①已知外角的度数求正多边形的边数；②已知正多边形的边数求外角的度数． 注意： ①多边形的外角和恒等于，而与边数多少无关． ②内角和随边数的变化而变化：边数每增加1，内角和就增加． 【专题过关】 一．三角形的相关概念及分类（共4小题） 1．下列图形中，三角形是（　　） A． B． C． D． 【答案】C． 【解析】解：选项C是三角形， 故选：C． 2．如图均表示三角形的分类，下列判断正确的是（　　） A．①对，②不对 B．①不对，②对 C．①、②都不对 D．①、②都不对 【答案】B． 【解析】解：∵等腰三角形包括等边三角形， ∴①分类方法不对， ∵三角形按角分类可分为：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形， ∴②分类方法对， 故选：B． 3．下列几何图形是钝角三角形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B． 【解析】解：观察各选项，根据钝角三角形的定义可知，B为钝角三角形； 故选：B． 4．如图，图中三角形的个数为（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C． 【解析】解：图中的三角形为：，，，和，有5个三角形， 故选：C． 二．三角形存在性问题（共4小题） 5．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（　　） A．2、2、4 B．8、6、3 C．2、6、3 D．11、4、6 【答案】B． 【解析】解：根据三角形的三边关系，知 A．，不能组成三角形； B．，能够组成三角形； C．，不能组成三角形； D．，不能组成三角形． 故选：B． 6．现有两根长度分别3cm和7cm的木棒，若要钉成一个三角形木架，则应选取的第三根木棒长为（　　） A．4cm B．7cm C．10cm D．13cm 【答案】B． 【解析】解：设此三角形第三条边长为a，由三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边可知， 第三条边的范围应为， 故A、C、D选项皆不在上述范围内， 故选：B． 7．一个三角形的两边长为3和8，第三边长为奇数，则第三边长为（　　） A．5或7 B．7或9 C．7 D．9 【答案】B． 【解析】解：根据三角形的三边关系，得 第三边大于，而小于两边之和． 又第三边应是奇数，则第三边等于7或9． 故选：B． 8．一个三角形的两边长为2和6，第三边为偶数，则这个三角形的周长为（　　） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】C． 【解析】解：第三边的取值范围是大于4且小于8，又第三边是偶数，故第三边是6． 则该三角形的周长是14． 故选：C． 三．三角形高线的确定（共4小题） 9．下列说法不正确的是（　　） A．同角的余角相等 B．对顶角相等 C．三角形三条高所在的直线一定交于一点，并且该点位于三角形内部 D．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】C． 【解析】解：A．同角的余角相等，正确，故此选项不符合题意； B．对顶角相等，故选项正确，故此选项不符合题意； C．三条高线可以交在三角形的内部，或外部，或一角的顶点，故选项错误，故此选项符合题意； D．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故选项正确，不符合题意． 故选：C． 10．下列各图中，正确画出AC边上的高的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D． 【解析】解：中边上的高即为过点B作的垂线段，该垂线段即为边上的高，四个选项中只有选项D符合题意， 故选：D． 11．画的边上的高，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C． 【解析】解：画的边上的高，即过点A作边的垂线． 故选：C． 12．如图，在中，下列关于高的说法正确的是（　　） A．线段是边上的高 B．线段是边上的高 C．线段是边上的高 D．线段是边上的高 【答案】D． 【解析】解：中，，，边上的高分别为线段，线段，线段． 故选：D． 四．三角形中线的相关问题（共7小题） 13．王老汉要将一块如图所示的三角形土地平均分配给两个儿子，则图中他所作的线段应该是的 （　　） A．角平分线 B．中线 C．高线 D．以上都不是 【答案】B． 【解析】解：由三角形的面积公式可知，三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分， ∴他所作的线段应该是的中线， 故选：B． 14．如图所示，在中，，，是的中线，则与的周长之差 为（　　） A．14 B．1 C．2 D．7 【答案】C． 【解析】解：∵如图，在中，是的中线， ∴． ∵的周长，的周长， ∴与的周长之差为：． 故选：C． 15．如图，、都是的中线，连接，的面积是10cm2，则的面积是（　　） A．1.25cm2 B．2cm2 C．2.5cm2 D．5cm2 【答案】C． 【解析】解：∵是的中线，的面积是10cm2， ∴的面积＝的面积＝5（cm2）， ∵E是的中点， ∴的面积＝的面积＝2.5（cm2）， 故选：C． 16．如图，是的中线，，，若的周长为18，则的周长为 　 　． 【答案】19． 【解析】解：∵是的中线， ∴， ∵的周长为18， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的周长， 故答案为：19． 17．如图，在中，是边上的中线，的周长比的周长多3，与的和为 13，则＝　 　． 【答案】8． 【解析】解：∵是边上的中线， ∴， ∵，， ∴，① ∴，② ∴①+②得：， ∴． 故答案为：8． 18．已知：如图所示，在中，点D，E，F分别为，，的中点，且，则阴 影部分的面积为 　 　cm2． 【答案】1． 【解析】解：∵D为中点， ∴， 同理， ∴， ∵F为中点， ∴． 故答案为1． 19．在中，D是的中点，，．用剪刀从点D入手进行裁剪，若沿剪成两个 三角形，它们周长的差为 　 　；若点E在上，沿剪开得到两部分周长差为2，则＝　 　． 【答案】4；1或3． 【解析】解：如图， ∵D是的中点， ∴， ∴的周长的周长， 如图，设，则， 当四边形的周长的周长＝2时， 即， 整理得，， ∴， 解得； 当的周长﹣四边形的周长＝2时， 即， 整理得，， ∴， 解得； ∴或3， 故答案为：4；1或3． 五．三角形的稳定性（共2小题） 20．下列生活实物中，没有应用到三角形的稳定性的是（　　） A． 太阳能热水器 B． 篮球架 C． 三脚架 D． 活动衣架 【答案】D． 【解析】解：A．应用到三角形的稳定性，不符合题意； B．应用到三角形的稳定性，不符合题意； C．应用到三角形的稳定性，不符合题意； D．没有应用到三角形的稳定性，符合题意； 故选：D． 21．空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种方法应用的几何原理是 　 　． 【答案】三角形具有稳定性． 【解析】解：这种方法应用的数学知识是：三角形的稳定性， 故答案为：三角形具有稳定性． 六．三角形三线综合应用（共5小题） 22．下列说法正确的是（　　） A．三角形的角平分线、中线和高都在三角形内 B．直角三角形只有一条高 C．三角形的高至少有一条在三角形内 D．三角形的高是直线，角平分线是射线，中线是线段 【答案】C． 【解析】解：A．错误．三角形的高不一定在三角形内． B．错误．直角三角形也有三条高． C．正确． D．错误．三角形的高，角平分线，中线都是线段． 故选：C． 23．如图，在中，，D，E是上两点，且，平分，那么下列说 法中不正确的是（　　） A．是的中线 B．是的角平分线 C． D．是的高 【答案】C． 【解析】解：A．由图可知：是的中线，正确，不符合题意； B．由图可知：是的角平分线，正确，不符合题意； C．∵是的角平分线， ∴， ∵是中线， ∴， ∴不正确，符合题意． D．由图可知： ∵ ∴是的高，正确，不符合题意； 故选：C． 24．如图，在中，是高，是角平分线，是中线，则下列说法中错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C． 【解析】解：∵是的中线， ∴，A说法正确，不符合题意； ∵是高， ∴， ∴，B说法正确，不符合题意； ∵是角平分线， ∴，而与不一定相等，C说法错误，符合题意； ∵， ∴，D说法正确，不符合题意； 故选：C． 25．如图，在中，，G为的中点，延长交于E．F为上一点， 于H，下面判断正确的有（　　） ①是边上的高； ②是边上的中线； ③是的角平分线； ④是的角平分线和高． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B． 【解析】解：①∵于H， ∴是边上的高，本小题判断正确； ②∵G为的中点， ∴是边上的中线，故本选项判断错误； ③∵， ∴是的角平分线；故本选项判断错误； ④∵，， ∴是的角平分线和高，本小题判断正确； 故选：B． 26．如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交 于点H，给出以下结论：①；②；③；④； ⑤．其中结论正确的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B． 【解析】解：∵是的中线， ∴， 故④正确，符合题意； ∵是角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故②正确，符合题意； ∵，， ∴， 故③正确，符合题意； 由已知条件不能确定， ∴与的关系不能确定，故⑤错误，不符合题意； ∵是角平分线，， ∴， 故①错误，不符合题意； 综上，符合题意的有3个， 故选：B． 七．三角形的规律探究问题（共2小题） 27．如图，是直线l的垂线段，每次在两侧依次增加1条线段，则第20个图形中共有三角形的数 量是（　　） A．820 B．840 C．40 D．20 【答案】A． 【解析】解：由题知， 第1个图形中三角形的数量是：； 第2个图形中三角形的数量是：； 第3个图形中三角形的数量是：； 第4个图形中三角形的数量是：； …， 所以第n个图形中三角形的数量是：， 当时， （个）， 即第20个图形中三角形的数量是820个． 故选：A． 28．按图示的方法搭1个三角形需要3根小棒，搭2个三角形需要5根小棒，那么搭10个三角形需要 　 　 根小棒，搭n个三角形需要 　 　根小棒． 【答案】21，． 【解析】解：由所给图形可知， 搭1个三角形需要的小棒根数为：； 搭2个三角形需要的小棒根数为：； 搭3个三角形需要的小棒根数为：； …， 所以搭n个三角形需要的小棒根数为根， 当时， （根）， 即搭10个三角形需要的小棒根数为21根． 故答案为：21，． 八．三角形内角和定理的应用（共5小题） 29．一个三角形，3个内角度数之比是，这个三角形是（　　）三角形． A．锐角 B．钝角 C．直角 D．等边 【答案】B． 【解析】解：三个内角的度数分别为，，． 则， 解得， ∴，，， ∴这个三角形是钝角三角形． 故选：B． 30．如图，在中，平分交边于点D，交边于点E．若， ，则的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】C． 【解析】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 31．一副三角板，按如图所示叠放在一起，则图中的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A． 【解析】解：根据三角板角度的特殊性可知，， ∵， ∴． 故选：A． 32．已知中，平分，点P在射线上． （1）如图1，若，，求的度数； （2）若，，直线与的一条边垂直，求的度数． 【答案】（1）；（2）的度数为或或． 【解析】解：（1）设，则， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）分三种情况： ①当时，如图2， 则，， ∴； ②当时，如图3， 则， 在中，； ③当时，延长交直线于G，如图4， 则， ∵， ∴， 在中，； 综上，的度数为或或． 33．如图，在中，，为边上的高，平分，分别交，于点 F，E． （1）若，求的度数； （2）与相等吗？请说明理由． 【答案】（1）；（2），理由见解析． 【解析】解：（1）∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2），理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 即． 九．三角形内角、外角的综合应用（共5小题） 34．将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】B． 【解析】解：∵，， ∴． 故选：B． 35．如图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为C，且、、的大小保持 不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中应（　　） A．增加 B．减少 C．增加 D．减少 【答案】B． 【解析】解：延长，交于点G，如图： ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 而图中， ∴应减少． 故选：B． 36．一个三角形中，若任意两个内角度数之和都大于另一个内角，这个三角形必定是一个钝角三角 形． 　 　（判断对错） 【答案】×． 【解析】解：三角形中，若任意两个内角度数之和都大于另一个内角，这个三角形不一定是一个钝角三角形，例如：三角形三个内角都是60度，它是锐角三角形． 故答案为：×． 37．将一副直角三角板如图放置，，．若边经过点D，则＝　 　°． 【答案】75． 【解析】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为75． 38．将一副三角尺按如图所示的位置摆放在直尺上，则的度数为 　 　． 【答案】． 【解析】解：如图， ∵， ∴， ∵直尺的上下两边平行， ∴， 故答案为：． 十．三角形的内角和及其角平分线、高的综合应用（共5小题） 39．如图，在中，，是角平分线，是边上的高，延长与外角的 平分线交于点G．以下四个结论：①；②；③；④ ．其中结论正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D． 【解析】解：∵是角平分线， ∴，故①正确； ∵是边上的高， ∴，故②正确； ∵是角平分线，平分， ∴，， ∵，， ∴， ∴，故③正确； ∵，， ∴ 故④正确； ∴正确的有①②③④共4个， 故选：D． 40．如图，中，是边上的高线，是一条角平分线，、相交于点P，已知 ，则的度数为 　 　°． 【答案】20． 【解析】解：∵是边上的高线， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在中，， 故答案为：20． 41．如图，是的高，的两条角平分线、相交于点O，，． （1）求的度数； （2）求的度数． 【答案】（1）；（2）． 【解析】解：（1）∵是的高线， ∴， ∵，， ∴． ∵是的角平分线，， ∴． ∴； （2）∵，，， ∴， ∵，分别平分，，，相交于点O， ∴，， ∵， ∴． 42．如图，是的高，是的角平分线，是的中线． （1）若，，求的度数； （2）若，与的周长差为3，求的长． 【答案】（1）；（2）． 【解析】解：（1）∵是的高， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线，， ∴， ∴； （2）∵F是中点， ∴， ∵与的周长差为3， ∴， ∴， ∵， ∴． 43．如图，是的角平分线，，，，求的度数． 【答案】． 【解析】解：∵，是的角平分线， ∴， ∵是的高． ∴， ∵， ∴， ∴． 十一．三角形内角和定理、外角性质和三角形的角平分线的综合应用（共4小题） 44．如图，是的外角，平分，平分，且、交于点E， ． （1）求证：； （2）猜想：若，求的度数． 【答案】（1）见解析；（2）． 【解析】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵是的一个外角， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 45．如图，在锐角中，两条高线、相交于点O． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，，，与的角平分线交于点M，求的度数； （3）如图3，对任意的锐角，与的角平分线交于点M，直接写出的度数是 　 　． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【解析】解：（1）∵、是的高线， ∴，， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴； （2）延长交于H，如图2所示： ∵，， ∴， ∵、是的高线， ∴，， ∴，， ∴， ∵与的角平分线交于点M， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3），理由如下： 延长交于H，如图3所示： 设， 由（2）得：， ∵与的角平分线交于点M， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 46．【初步认识】 （1）如图①，线段，相交于点O，连接，． 求证：． 【继续探索】 （2）如图②，，，，的角平分线、相交于点P． ①若，，求的度数； ②用m、n表示的度数为 　 　． （3）如图③，，的角平分线，相交于点P，，的角平分线，相交于点Q．若，判断与的位置关系并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）①；②；（3），理由见解析． 【解析】（1）证明：由题意，在中，， ∴． 又∵在中，， ∴． 又∵， ∴． （2）解：①由题意，结合（1）可得， ， ． ∵平分，平分， ∴，． ∴． ∴． 又， ∴． ∴． 又，， ∴． ②由题意，根据①， 又，， ∴． 故答案为：． （3）解：．理由如下： 由题意，根据（2）①可得， 同理可得，． 又， ∴． ∴． 又， ∴． ∴． ∴． 47．认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题． （1）探究1：如图1，在中，O是与的平分线和的交点，试分析与有怎样的关系？请说明理由． （2）探究2：如图2中，O是与外角的平分线和的交点，试分析与有怎样的关系？请说明理由． （3）探究3：如图3中，O是外角与外角的平分线和的交点，则与又有怎样的关系？（只写结论，不需证明）结论：　 　． 【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3） ． 【解析】解：（1）， 理由如下：∵和分别是与的角平分线， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）， 理由如下：∵和分别是与外角的角平分线， ∴，， 又∵是的一外角， ∴， ∴， ∵是的一外角， ∴； （3）结论：． 根据三角形的外角性质，得，， ∵O是外角与外角的平分线和的交点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， 故答案为：． 十二．与三角形的角有关的探究性问题（共3小题） 48．已知在中，，过点D作，垂足为E，为的一条角平分线，为的平分线． （1）如图1，若，点G在边上且不与点B重合． ①判断与的数量关系，并说明理由， ②判断与的位置关系，并说明理由； （2）如图2，若，点G在边上，与交于点M，用含有的代数式表示，则＝　 　； （3）如图3，若，点G在边上，与的延长线交于点H，用含有的代数式表示，并说明理由． 【答案】（1）①，理由见解析；②，理由见解析；（2）；（3），理由见解析． 【解析】解：（1）①，理由如下： ∵，， ∴． 又∵， ∴，即， ∴． ②，理由如下： ∵， ， ∴， ∴． （2）三角形内角和为，则四边形可以看作是两个三角形拼接而成，即有四边形内角和为：， ∵， ∴． 又∵，，， ∴， ． 将其代入， 得． 故答案为：． （3），理由如下： ∵，， ∴， ∴． ∵，，， ∴． 又∵，， ∴， 整理得， ∴． 将其代入， 得． 49．在华师版数学七下第82页曾经研究过三角形角平分线的夹角问题．某学校七年级（一）班的同学在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他们的研究过程如下： 【原问呈现】 （1）如图1，中，，，平分，平分，则＝　 　； 【问题推广】 （2）如图1，中，若，平分，平分，求的度数； （3）如图2，中，的角平分线与的外角的角平分线交于点P，过点B作于点H，若，求的度数； （4）如图3，中，、分别平分、，M、N、Q分别在、、的延长线上，、分别平分、，、分别平分、．若，请直接写出的度数（结果用含n的代数式表示）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）． 【解析】解：（1）∵平分，平分，，， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴，即， ∴； （3）∵平分，平分， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴； （4）如图3所示， ∵、分别平分、， ∴，， ∵、分别平分、， ∴，， ∵、分别平分、， ∴，， ∵，， ∴ ， 又∵，，， 即， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴． 50．如果三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”． （1）如图①，在中，，是的角平分线．说明：是“准直角三角形”． （2）关于“准直角三角形”，下列说法； ①在中，若，，，则是准直角三角形； ②若是“准直角三角形”，，，则只能为； ③“准直角三角形”一定是钝角三角形． 其中，正确的是 　 　．（填写所有正确结论的序号） （3）如图②，B、C为直线l上两点，点A在直线l外，且，若P是l上一点，且是“准直角三角形“，请直接写出的度数：　 　． 【答案】（1）见解析；（2）①③；（3）的度数为或或或． 【解析】（1）证明：∵是的角平分线， ∴，即 ∵在中，， ∴， 即， ∴是“准直角三角形”． （2）①∵， ∴， ∵，， ∴， ∴是“准直角三角形”， ∴①正确； ②∵， ∴，，，， 若是“准直角三角形”，只能是或， ∵， ∴或， ∴②错误； ③三角形为“准直角三角形”，则它的两个内角与满足， ∴， 设它的第三个内角为， ∴， ∴一定是钝角， ∴“准直角三角形”一定是钝角三角形， ∴③正确， 故答案为：①③． （3）如图2，若点在点B左侧，是“准直角三角形”，且， ∵， ∴， ∴， ∴； 若点在点B左侧，是“准直角三角形”，且， ∵， ∴， ∴； 若点在点B右侧，是“准直角三角形”，且， ∵， ∴， ∴， ∴； 若点在点B右侧，是“准直角三角形”，且， ∵， ∴， ∴， 综上所述，的度数为或或或， 故答案为：或或或． 十三．多边形内角和、外角和定理的综合应用（共6小题） 51．正五边形的一个外角度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D． 【解析】解：正五边形的一个外角为：， 故选：D． 52．若一个正多边形的每一个外角都等于，则它是（　　） A．正九边形 B．正十边形 C．正十一边形 D．正十二边形 【答案】B． 【解析】解：∵正多边形的每一个外角都等于， ∴正多边形的边数． 故选：B． 53．一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，则这个多边形的边数是（　　） A．10 B．8 C．6 D．5 【答案】B． 【解析】解：设这个多边形是n边形，由题意得： ， 解得：， 故选：B． 54．若一个正多边形的每个内角都是，则这个多边形是正 　 　边形． 【答案】六． 【解析】解：设正多边形有n条边， 则， 解得：． 故答案为：六． 55．将一个正五边形与一个正八边形按如图所示的位置摆放，E为公共顶点，且顶点A，B，C，D在同一 条直线上，则的度数是 　 　． 【答案】． 【解析】解：由题意可得，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 56．如图是由8个全等的三角形组成的图案，则＝　 　． 【答案】． 【解析】解：是八边形的外角和，结果为． 故答案为：． 十四．多边形对角线公式的综合应用（共2小题） 57．一个多边形除了一个内角外，其余各内角的和为，则这个多边形的对角线共有 　 　条． 【答案】77． 【解析】解：∵， ∴去掉的那个内角的度数为， ∴这个多边形的内角和为， 设这个多边形的边数为n， 则， 解得：， ∴这个十四边形的对角线共有（条）． 故答案为：77． 58．某数学兴趣小组为了研究多边形中从一个顶点可以作几条对角线，以及该多边形中对角线的总条数与 边数的关系，他们决定从以下图形开始寻找规律． （1）在图5中画出从A点出发的所有对角线； （2）根据探究，整理得到下面表格： 多边形的边数 4 5 6 7 8 ⋯ n 从一个顶点出发的对角线的条数 1 2 3 4 5 ⋯ a 多边形对角线的总条数 2 5 9 14 20 ⋯ b ①表格中a＝　 　，b＝　 　；（用含n的代数式表示） ②拓展应用： 若该校要举办足球比赛，总共有11个班级参加比赛，规定每个班级都要和其他班级比赛一次，请计算总共要比赛多少场． 【答案】（1）见解析；（2）①，；②总共要比赛44场． 【解析】解：（1） （2）①从一个顶点出发的对角线的条数＝多边形的边数， ∴， ∵多边形对角线的总条数， ∴， ②， 答：总共要比赛44场． 十五．多边形内、外角和定理在探究、开放性问题中的应用（共2小题） 59．如图，四边形，、分别平分四边形的外角和，若，． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图1，试说明：的度数与，的数量关系． （3）如图1，若与相交于点G，，请写出、所满足的等量关系式； （4）如图2，若，判断、的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）；（4），理由见解析． 【解析】解：（1）由四边形内角和得， ， ∴ ； （2）， 理由：由四边形内角和得， ， ∴； （3）如图1，连接， 由（2）得，， ∵、分别平分四边形的外角和， ∴，， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴； （4）平行， 理由：如图2，延长交于H， 由（1）得，， ∵、分别平分四边形的外角和， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 60．动手操作，探究： 探究一：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？ 已知：如图（1），在中，、分别平分和，试探究与的数量关系． 探究二：若将改为任意四边形呢？ 已知：如图（2），在四边形中，、分别平分和，试利用上述结论探究与的数量关系．（写出说理过程） 探究三：若将上题中的四边形改为六边形（图（3））呢？请直接写出与的数量关系：　 　． 【答案】探究一：；探究二：；探究三： ． 【解析】解：探究一：∵、分别平分和， ∴，， ∴ ； 探究二：∵、分别平分和， ∴，， ∴ ； 探究三：六边形的内角和为：， ∵、分别平分和， ∴，， ∴ ， 即． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！50 学科网（北京）股份有限公司 $$