第16讲 相似三角形常考综合题精练（11大题型）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学上册同步学与练（北师大版）

第16讲 相似三角形常考综合题精练 本讲目录链接 题型01比例线段的应用 题型02黄金分割 题型03平行线分线段成比例定理 题型04相似多边形的性质 题型05相似三角形的性质与判定 题型06相似三角形的实际应用 题型07图形的位似 题型08旋转背景下的相似三角形的性质与判定 题型09折叠背景下的相似三角形的性质与判定 题型10动点背景下的相似三角形的性质与判定 题型11相似三角形的综合问题 题型01比例线段的应用 1．定义一个运算，下列说法正确的有（    ）个 ①； ②若，则或2； ③； ④若，则． A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知代数式，，，下列结论中，正确的个数是（    ） ①若，则； ②若，则一次函数的图像必过第一、三、四象限； ③若，，均为正整数，且，则； ④若，，且为方程的一个实数根，则． A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图，已知在中，点分别为边上的点，且相交于点，如果，那么的值为 ． 4．已知代数式，，，下列结论中，正确的个数是（    ） ①若，则； ②若，则一次函数的图象必定经过第一、三、四象限； ③若x，y，z为正整数，且，则； ④若，，且x为方程的一个实根，则与的值相等； ⑤若，，则的值为28． A．1 B．2 C．3 D．4 题型02黄金分割 5．我们把宽与长的比等于黄金比()的矩形称为黄金矩形.如图,在黄金矩形中,的平分线交边于点,于点,则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 6．在欧几里得的《几何原本》中给出一个找线段的黄金分割点的方法．如图所示，以线段为边作正方形，取的中点E，连接，延长至F，使得，以为边作正方形，则点H即是线段的黄金分割点．若，记正方形的面积为，矩形的面积为，则与的和为 ．    7．如图①，点把线段分成两部分，若，那么称点为线段的黄金分割点． 类似的，可以定义“黄金分割线”：直线把一个面积为的图形分成面积为和的两部分，如果，那么称直线为该图形的黄金分割线． (1)如图②，在中，若点是线段的黄金分割点，线段所在直线是的黄金分割线吗？为什么？ (2)在（1）的条件下，如图③，过点作一条直线交边于点，过点作交的一边于点，连接，交于点，回答问题． ①______（填“＞”“＜”或“”）． ②是的黄金分割线吗？为什么？ 8．（1）在图①中按下列步骤作图： 第一步：过点C画，使； 第二步：连接，以点D为圆心，的长为半径画弧，交于点E； 第三步：以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点B． （2）在所画图中，点B是线段的黄金分割点吗？为什么？ （3）如果一等腰三角形的底边与腰的比等于黄金比，那么这个等腰三角形就叫做黄金三角形．请你在图②中以线段为腰，用直尺和圆规，作一个黄金三角形．（不写作法，保留作图痕迹） 9．请阅读下列材料，并完成相应的任务： 公元前300年前后，欧几里得撰写的《几何原本》系统地论述了黄金分割，成为最早的有关黄金分割的论著．黄金分割（）是指把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值． 如图①，在线段上找一个点C，C把分为和两段，其中是较小的一段，如果，那么称线段被C点黄金分割，点C叫做线段的黄金分割点，与的比值叫做黄金分割数． 为简单起见，设，则． ∵，∴…… 任务： (1)请根据上面的部分解题过程，求黄金分割数． (2)如图②，采用如下方法可以得到黄金分割点： ①设是已知线段，过点B作且使； ②连接，在上截取； ③在上截取； 则点C即为线段黄金分割点．你能说说其中的道理吗？ (3)已知线段，点C，D是线段上的两个黄金分割点，则线段的长是 　　． 10．材料一：北师大版数学教材九年级上册第四章，对“黄金分割比”的定义如下： “如图 ，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果＝，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，＝叫做黄金比.”根据定义不难发现，在线段AB另有一点D把线段AB分成两条线段AD和BD，满足＝，所以点D也是线段AB的黄金分割点． 材料二：对于实数：a1＜a2＜a3＜a4，如果满足（a3﹣a1）2＝（a4﹣a3）（a4﹣a1），（a4﹣a2）2＝（a2﹣a1）（a4﹣a1）则称a3为a1，a4的黄金数，a2为a1，a4的白银数． 请根据以上材料，回答下列问题 （1）如图 ，若AB＝4，点C和点D是线段AB的黄金分割点，则AC＝　　　　　　，CD＝　　　　　　． （2）实数0＜a＜b＜1，且b为0，1的黄金数，a为0，1的白银数，求b﹣a的值． （3）实数k＜n＜m＜t，t＝2|k|，m，n分别为k，t的黄金数和白银数，求的值． 11．根据以下素材，探索完成任务． 素材 定义：如图，点将线段分成两部分，如果，那么点称为线段的黄金分割点． 素材 某兴趣小组在进行研究性学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出黄金分割线的定义：直线将一个面积为的图形分成面积分别为，的两部分，如果，那么直线称为该图形的黄金分割线． 素材 平行四边形是中心对称图形：在同一平面内，一个三角形绕其中一边的中点旋转，其余两边与旋转后相对应的两边组成一个平行四边形，例如，图中的绕的中点旋转后与原三角形组成一个平行四边形如图．    问题解决 任务 问题：如图，边上黄金分割点旋转后的对称点是否也是边上的黄金分割点？请写出你的判断结论，并说明理由． 问题：直线是不是四边形的黄金分割线？请写出你的判断结论：______ ． 任务 请在图探索：边上是否存在点，使得直线是四边形的黄金分割线？如果存在，请说明点的位置；如果不存在，请说明理由． 任务 兴趣小组探索图时猜想：在中，若点为边上的黄金分割点，连接，则直线是的黄金分割线，你认为对吗？为什么？ 任务 兴趣小组探索图时还发现：若点是的边的黄金分割点，过点任意作一条直线交于点，再过点作交于点，则直线是的黄金分割线，请你给出证明． 题型03平行线分线段成比例定理 12．如图，在正方形中，分别以点A和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线，再以点A为圆心，以的长为半径作弧交直线于点（点在正方形内部），连接并延长交于点．若，则正方形的边长为（    ） A． B． C． D． 13．如图是一张矩形纸片，点为中点，点在上，把该纸片沿折叠，点，的对应点分别为，，与相交于点，的延长线过点．若，则 ． 14．如图，、，、分别是和的中点，过的直线依次交、、、于点、、、，求证：． 15．如图，，点在上，过点作的平行线，与的平分线交于点，为的中点，点在上，（不与点重合），连接，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接．    (1)①直接写出线段与之间的数量关系； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明； (2)连接并延长，分别交，于点，过点作的垂线，交于点．依题意补全图形，用等式表示线段，，之间的数量关系． 16．四边形的两条对角线，相交于点O，． (1)如图1，已知． ①求证：； ②若，求的值； (2)如图2，若，，，求的值． 题型04相似多边形的性质 17．如图，已知在矩形 中，，，点 从点 出发，沿 方向以每秒 个单位的速度向点 运动，点 从点 出发，沿射线 以每秒 个单位的速度运动，当点 运动到点 时，， 两点停止运动．连接 ，过点 作 ，垂足为 ，连接 ，交 于点 ，交 于点 ，连接 ．给出下列结论： ① ； ② ； ③ ； ④ 的值为定值 ． 上述结论中正确的个数为 （      ） 个． A． B． C． D． 18．已知E、F、G、H各点分别在四边形的、、、边上（如图）． (1)当时，求证： (2)当上述条件中比值为3，4，…，n时（为自然数），那么与之比是多少？ 19．如图1，矩形ODEF的一边落在矩形ABCO的一边上，并且矩形ODEF∽矩形ABCO，其相似比为1：4，矩形ABCO的边AB=4，BC=4． （1）求矩形ODEF的面积； （2）将图1中的矩形ODEF绕点O逆时针旋转一周，连接EC、EA，ACE的面积是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，请说明理由． 20．如果一条直线把矩形分割成两个矩形，其中一个为黄金矩形（宽与长的比为的矩形），则称这条直线为该矩形的黄金线．例如图所示的矩形中，直线，分别交、于点、，且，显然直线是矩形的黄金线． （1）如图，在矩形中，，．请在图中画出矩形的其中一条黄金线，其中在边上，在边上，并标注出线段的长度； （2）将正方形纸片按图所示的方式折叠． 如图所示，按上述方法折叠所得到的折痕是否为正方形的黄金线？请说明理由． （3）在矩形中，，，已知矩形的黄金线恰好将矩形分割成两个黄金矩形，则______（只要求直接写出其中三个答案）． 21．阅读下列材料，完成任务： 自相似图形 定义：若某个图形可分割为若干个都与它相似的图形，则称这个图形是自相似图形．例如：正方形ABCD中，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边的中点，连接EG，HF交于点O，易知分割成的四个四边形AEOH、EBFO、OFCG、HOGD均为正方形，且与原正方形相似，故正方形是自相似图形． 任务： （1）如图1中正方形ABCD分割成的四个小正方形中，每个正方形与原正方形的相似比为________； （2）如图2，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，小明发现△ABC也是“自相似图形”，他的思路是：过点C作CD⊥AB于点D，则CD将△ABC分割成2个与它自己相似的小直角三角形．已知△ACD∽△ABC，则△ACD与△ABC的相似比为________； （3）现有一个矩形ABCD是自相似图形，其中长AD=a，宽AB=b（a＞b）． 请从下列A、B两题中任选一条作答． A：①如图3﹣1，若将矩形ABCD纵向分割成两个全等矩形，且与原矩形都相似，则a=________（用含b的式子表示）； ②如图3﹣2若将矩形ABCD纵向分割成n个全等矩形，且与原矩形都相似，则a=________（用含n，b的式子表示）； B：①如图4﹣1，若将矩形ABCD先纵向分割出2个全等矩形，再将剩余的部分横向分割成3个全等矩形，且分割得到的矩形与原矩形都相似，则a=________（用含b的式子表示）； ②如图4﹣2，若将矩形ABCD先纵向分割出m个全等矩形，再将剩余的部分横向分割成n个全等矩形，且分割得到的矩形与原矩形都相似，则a=________（用含m，n，b的式子表示）． 题型05相似三角形的性质与判定 22．如图，在中，，以为边向三角形外作正方形，作于点，交对角线于点，连接．要求的周长，只需知道（    ） A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 23．如图，，，，点E在边上运动（不与端点重合），边始终过点A，交于点G，当是等腰三角形时，的面积是（   ）． A．8或 B．8 C． D．6或 24．由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形如图所示．将小正方形对角线双向延长，分别交边，和边的延长线于点，．若大正方形与小正方形的面积之比为，，则大正方形的边长为 ． 25．如图，在正方形中，为边上的两个三等分点，点关于的对称点为，的延长线交于点． (1)求证：； (2)求的大小； (3)求证：． 26．如图1，四边形是正方形，点E在边的延长线上，点F在边上，且，连接交于点P，连接交于Q，连接． (1)求证：； (2)连接，如图2， ①若，求的长； ②若，则 ． 27．平移图形是解答几何题目时一种重要的添加辅助线策略． 如图①，在正方形中，E、F、G分别是、、上的点，于点Q．求证：． 小鹿在分析解题思路时想到了两种平移法： 方法一：平移线段使点F与点B重合，构造全等三角形； 方法二：平移线段使点B与F重合，构造全等三角形；    【尝试应用】 (1)请按照小鹿的思路，选择其中一种方法进行证明； (2)如图②，点E、F、G、H分别是矩形边、、、上的点，且，若，，求的值； 【拓展探究】 (3)如图③，点E、F分别是平行四边形边、上的点，连接、交于点G，若，求证：． 28．如图，，，． (1)如图1，不添加辅助线，请写出图中所有相似三角形； (2)如图2，若点E落在边上，求证：； (3)如图3，若点H，I，J分别为，，中点，判断与的数量关系及夹角度数（锐角）． 题型06相似三角形的实际应用 29．将一本高为（即）的词典放入高（AB）为的收纳盒中（如图1）．恰好能盖上盒盖时，测得底部F离收纳盒最左端B处，若此时将词典无滑动向右倒，书角的对应点恰为CD中点． （1）收纳盒的长 ； （2）现将若干本同样的词典放入此有盖的收纳盒中，如图2放置，则最多有 本书可与边BC有公共点． 30．【问题探究】 （1）如图①，在中，，，，将绕点逆时针旋转到的位置，点的对应点落在上，则的长为 ； （2）如图②，在矩形中，，，点是矩形的对称中心，点在边上，且，点是边上的动点，连接与，求的最大值； 【问题解决】 （3）有一块三角形草地，其示意图如图③所示，，，是一条小道（宽度不计），点是的中点，点在内，、两点之间的距离为，．市政府为丰富市民的业余生活，计划将部分草地改建，在、上分别找点、，在、处栽种梧桐树，，连接、，在上截取．根据规划，现要沿线段修建一段文化长廊（宽度不计），为容纳更多的市民在文化长廊内活动，要求文化长廊的长度尽可能的长，当文化长廊的长最大时，请求出此时点的位置（即的长）． 31． 探究不同裁剪方式的面积大小问题 素材1 图1是一张直角三角形纸板，两直角边分别为，，小华、小明、小富同学分别用这样的纸板裁剪出不一样的矩形，并使矩形的四个顶点都在三角形的边上．    素材2 小华同学按图2的方式裁剪出一个正方形；小明同学按图3的方式裁剪，且．    素材3 小富同学对纸板的裁剪按如下步骤：如图4， 步骤1：在直角纸板上裁下一个矩形，矩形的四个顶点都在的边上； 步骤2：取剩下的纸板裁下一个正方形，正方形的四个顶点都在边上；且满足矩形的边长是正方形边长的两倍小．    问题解决 任务1 请比较小华、小明同学裁处的两种矩形的面积大小，通过计算说明． 任务2 请求出小富同学裁下的矩形各边长． 32．在光学中，由实际光线会聚成的像，称为实像，而光线能会聚的是因为折射．图中，凸透镜的焦距为f，主光轴，A，B，C，D都在l上，其中O是光心，，蜡烛（蜡烛可移动，且），光线，其折射光线与另一条经过光心的光线相交于点（）即为蜡烛在光屏上所成的实像．图中所有点都在同一平面内．记物高为h，像高为，物距，像距为v． (1)若，，， ． (2)求证． (3)当f一定时，画出v与u之间的函数图象，并结合图象描述v是怎么随着u的变化而变化的？ 33．阅读理解：如图1，在△ABC中，当DE∥BC时可以得到三组成比例线段：① ；② ；③ ．反之，当对应线段成比例时也可以推出DE∥BC． 理解运用：三角形的内接四边形是指顶点在三角形各边上的四边形． （1）如图2，已知矩形DEFG是△ABC的一个内接矩形，将矩形DEFG沿CB方向向左平移得矩形PBQH，其中顶点D、E、F、G的对应点分别为P、B、Q、H，在图2中画出平移后的图形；     （2）在（1）所得的图形中，连接CH并延长交BP的延长线于点R，连接AR．求证：AR∥BC；   （3）如图3，某小区有一块三角形空地，已知△ABC空地的边AB＝400米，BC＝600米，∠ABC＝45°；准备在△ABC内建一个内接矩形广场DEFG（点E、F在边BC上，点D、G分别在边AB和AC上），三角形其余部分进行植被绿化，按要求欲使矩形DEFG的对角线EG最短，请在备用图中画出使对角线EG最短距离（不要求证明）． 34．阅读理解： 如图1，AD是△ABC的高，点E、F分别在AB和AC边上，且EFBC，可以得到以下结论：． 拓展应用： (1)如图2，在△ABC中，BC＝3，BC边上的高为4，在△ABC内放一个正方形EFGM，使其一边GM在BC上，点E、F分别在AB、AC上，则正方形EFGM的边长是多少？ (2)某葡萄酒庄欲在展厅的一面墙上，布置一个腰长为100cm，底边长为160cm的等腰三角形展台．现需将展台用隔板沿平行于底边，每间隔10cm分隔出一排，再将每一排尽可能多的分隔成若干个无盖正方体格子，要求每个正方体格子内放置一瓶葡萄酒．平面设计图如图3所示，将底边BC的长度看作是0排隔板的长度． ①在分隔的过程中发现，当正方体间的隔板厚度忽略不计时，每排的隔板长度（单位：厘米）随着排数（单位：排）的变化而变化．请完成下表： 排数/排 0 1 2 3 … 隔板长度/厘米 160 ______ ______ ______ … 若用n表示排数，y表示每排的隔板长度，试求出y与n的关系式； ②在①的条件下，请直接写出该展台最多可以摆放多少瓶葡萄酒？ 35．阅读以下文字并解答问题：在“测量物体的高度”活动中，某数学兴趣小组的3名同学选择了测量学校里的三棵树的高度，在同一时刻的阳光下，他们分别做了以下工作： 小芳：测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，甲树的影长为4.08米（如1图）． 小华：发现乙树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如2图），墙壁上的影长为1.2米，落在地面上的影长为2.4米． 小明：测得丙树落在地面上的影长为2.4米，落在坡面上影长为3.2米（如3图）．身高是1.6米的小明站在坡面上，影子也都落坡面上，小芳测得他的影长为2米． （1）在横线上直接填写甲树的高度为______米，乙树的高度为________米﹔ （2）请求出丙树的高度． 36．【问题背景】 人教版九年级下册教材第58页第11题：如图1，一块材料的形状是锐角三角形，边，高．把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在上，这个正方形零件的边长是多少? 【提出问题】 在满足正方形的一边在三角形的一边上，其余两个顶点分别在另外两边上的条件下，能否在上面的材料上，加工一个面积更大的正方形？如何用直角尺（只能画直角）和圆规画出这个正方形？ 【分析问题】 小敏认为，由于正方形的一边在三角形的一边上，这样就存在三种可能．在已知三边长度的情况下，可以通过计算，分别求出三个正方形的边长，然后比较三条边长的大小，进而知道面积最大的正方形；也可以结合当前所学的位似，分别画出满足条件的正方形，再利用圆规比较三个正方形的边长的大小，即可解决问题． 【解决问题】 为了简化探索过程，小敏取边长分别为的三个等腰三角形（其中为腰）木块进行研究． 如图2，正方形的顶点分别在上，边在上．如图3，正方形的顶点分别在上，边在上． 请你完成下面两个问题： （1）通过计算，比较这两个正方形的边长的大小； （2）在图4中，用直角尺（只能画直角）和圆规画出面积最大的正方形，使其一边在三角形的一边上，其余两个顶点分别在另外两边上（保留画图痕迹）． 【学以致用】 定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形． 小敏类比上面的研究方法，又提出下面问题： 在如图5所示的扇形中，能否用直角尺和圆规画出一个正方形，使其两个顶点在弧上，另外两个顶点在半径上？ 你认为可以吗？如果可以、在图中画出符合条件的正方形（保留画图痕迹）；如果不可以，说明理由． 题型07图形的位似 37．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．A，B，C三点是格点，点P在上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． (1)在图（1）中，将线段沿的方向平移，使点B与点C重合，画出平移后的线段；再将绕的中点顺时针旋转，得到，画出线段；    (2)在图（2）中，连接，将以C为位似中心缩小为原来的得到，画出；    (3)在图（3）中，在上画一点M，在上画一点N，使得最小．    38．（1）在正方形方格纸中，我们把顶点都在“格点”上的三角形称为“格点三角形”，如图，△ABC是一个格点三角形，点A的坐标为（－2，2）． ①△ABC的面积为______； ②在所给的方格纸中，请你以原点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的一半；（仅用直尺完成作图） ③在（2）中，若P（a，b）为线段AC上的任一点，则缩小后点P的对应点P1的坐标为______． （2）按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹： 我们知道，三角形具有性质：三边的垂直平分线相交于同一点，三条角平分线相交于一点，三条中线相交于一点，事实上，三角形还具有性质：三条高所在直线相交于一点． 请运用上述性质，只用直尺（不带刻度）作图． ①如图1，在平行四边形ABCD中，E为CD的中点，作BC的中点F． ②如图2，在由小正方形组成的4×3的网格中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，作△ABC的高AH． 39．如图①，在中，，，点D是上一点，且．动点F从点C出发沿方向以每秒2个单位长度的速度向经点B运动，以为边构造等腰直角三角形，其中F为直角顶点，且点E与点B位于线段两侧．设点F的运动时间为t（秒）． AI   (1)求线段的长度； (2)当点E落在的中位线上时，求出t的值： (3)连接，则线段的最小值是______． (4)如图②．以点B为位似中心，将缩小后得到，且．连接，当与的某条边平行时，直接写出t的值． 题型08旋转背景下的相似三角形的性质与判定 40．定义：如果将一个三角形绕着它的一个角的顶点旋转后，使这个角的一边与另一边重叠，再将所旋转后的三角形进行相似缩放，使重叠的两条边相互重合，我们称这样的图形变换为三角形转似，这个三角形的顶点称为转似中心，所得的三角形称为原三角形的转似三角形．如图，在中，，是以点为转似中心的顺时针的一个转似三角形，那么以点A为转似中心的逆时针的另一个转似三角形 （点分别与对应），其中边的长为 41．在矩形中，点是对角线、的交点，直角的顶点与重合，、分别与、边相交于、，连接，（为常数）． （1）发现问题：如图1，若，猜想：________； （2）类比探究：如图2，，探究线段，之间的数量关系，并说明理由； （3）拓展运用：如图3，在（2）的条件下，若，，，求的长． 42．综合与实践． 问题情境： 综合与实践课上，同学们开展了以“图形的旋转”为主题的数学活动． 实践操作： 如图1，将等腰Rt△AEF绕正方形ABCD的顶点A逆时针方向旋转，其中∠AEF＝90，EA＝EF，连接CF，点H为CF的中点，连接HD，HE，DE，得到△DHE． 应用探究： （1）勤奋组： 如图2，当点E恰好落在正方形ABCD的对角线AC上时，判断△DHE的形状，并说明理由； （2）善思组： 如图3，当点E恰好落在正方形ABCD的边AB上时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由； 深入探究： （3）创新小组： 发现若连接BE，在旋转Rt△AEF的过程中，为定值，请你直接写出其值　 　． 43．数学课上，有这样一道探究题． 如图，已知中，AB=AC=m，BC=n，，点P为平面内不与点A、C重合的任意一点，将线段CP绕点P顺时针旋转a，得线段PD，E、F分别是CB、CD的中点，设直线AP与直线EF相交所成的较小角为β，探究的值和的度数与m、n、α的关系，请你参与学习小组的探究过程，并完成以下任务： （1）填空： 【问题发现】 小明研究了时，如图1，求出了___________，___________； 小红研究了时，如图2，求出了___________，___________； 【类比探究】 他们又共同研究了α=120°时，如图3，也求出了； 【归纳总结】 最后他们终于共同探究得出规律：__________(用含m、n的式子表示)；___________ (用含α的式子表示)． （2）求出时的值和的度数． 44．在学习完《图形的旋转》后，数学小组的同学们展开了新的探究． (1)【问题初探】 如图1，在中，点D在边上，交于点E．绕点A逆时针旋转得到（点D的对应点为点，点E的对应点为点），连接，，得到和，如图2，数学小组的同学们发现． 请你帮助他们证明这一发现． (2)【问题应用】 如图3，中，，，，M，N分别为边与的中点．绕点C旋转，点M的对应点为点E，点N的对应点为点F，直线与直线交于点G． ①如图4，当点E落在线段AF上时，求证：； ②当点A，E，F三点在同一条直线上时，直接写出的长． (3)【问题拓展】 如图5，在（2）条件下，连接，取中点K，取中点H，请直接写出的最大值为___________． 题型09折叠背景下的相似三角形的性质与判定 45．在边长为4的正方形中，E是边上一动点(不与端点重合)，将沿翻折，点A落在点H处，直线交于点F，连接，，分别与AC交于点P、Q，连接，．则以下结论中正确的有________  (写出所有正确结论的序号)． ①；②；③；④为等腰直角三角形；⑤若连接，则的最小值为． 46．如图，正方形的边长为6，点P是边上的动点，将沿折叠得到，射线与边和射线的延长线交于F，E点． (1)如图①，若四边形是平行四边形，求证：； (2)如图②，当时，求的长； (3)如图③，当时，求的面积． 47．如图①，在中，，动点D从点C出发沿以每秒5个单位长度的速度向终点A运动，同时动点E从点A出发沿以每秒3个单位长度的速度向终点B运动．设点D运动的时间是t秒．过点D作于点F，连结．    (1)　　，　　；（用含t的代数式表示） (2)当四边形是菱形时，t的值为 　　； (3)当垂直于的一边时，求t的值； (4)如图②，将沿翻折，点A的对应点为点，直接写出点在外部时t的取值范围． 48．在矩形中，点E，F分别在边，上，将矩形沿折叠，使点A的对应点P落在边上，点B的对应点为点G，交于点H． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当P为的中点，，时，求的长； (3)如图3，连接，当P，H分别为，的中点时，探究与的数量关系，并说明理由． 49．（1）【动手操作】如图1，将正方形沿直线折叠，使点的对应点M始终落在边上（点M不与点A，D重合），点C落在点N处，与交于点P，折痕分别与边，交于点，，连接．求证：； （2）【问题探究】在图1中，若正方形的边长为，当点运动到的中点时，求的长； （3）【拓展延伸】如图2，若把（1）【动手操作】中的正方形改成矩形，且，其中，其他条件不变，若，直接写出折痕的长度的取值范围是______．（用含m的式子表示） 题型10动点背景下的相似三角形的性质与判定 50．如图，在矩形中，厘米，厘米．点沿边从开始向点以厘米/秒的速度移动；同时点沿边从点开始向点以厘米/秒速度移动，用（秒）表示移动的时间（）． (1)当为何值时，为等腰直角三角形？ (2)求四边形的面积； (3)当为何值时，以点为顶点的三角形与相似？ 51．如图，中，，，，动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度向终点运动．是的中点，以为邻边作平行四边形．设点的运动时间为秒．（） (1)用含的代数式表示线段的长． (2)当点落在边上时，求的值． (3)当点在线段上运动时，平行四边形与重叠部分图形的周长为，求与之间的函数关系式． (4)当点到的一条直角边和斜边所在的直线距离相等时，直接写出的值． 52．已知：如图，在四边形中，，，，，，连接，点从点出发沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发沿方向匀速运动，速度为；过点作交于点，连接，当一点停止运动时，另一点也停止运动，设运动时间为． (1)当点在线段的垂直平分线上时，求的值； (2)当四边形是矩形时，求的值； (3)设四边形的面积为，求与的函数关系式； (4)取的中点，是否存在某一时刻，使得点、、在同一条直线上？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 53．如图，在中，，，，点为中点，动点P从点A出发，沿边以每秒5个单位长度的速度向终点运动，连结，将线段绕点逆时针旋转得线段，连结．设点运动的时间为秒． (1)用含的代数式表示点到的距离为________； (2)当点落在内部（不包括边界）时，求的取值范围； (3)当与的一边平行时，求线段的长度； (4)当经过点E与的一个顶点的直线平分面积时，直接写出的值． 54．如图，在中，，点从点出发，沿折线以速度向点运动，同时点从点出发，沿方向以的速度向点运动，点到达点时，点同时停止运动，当点不与重合时，作点关于直线的对称点，连接交于点，连接．设运动时间为．                                   备用图 (1)当为何值时，？ (2)设的面积为，求与的函数关系式并写出的取值范围； (3)当为何值时，为直角三角形？ 55．如图（1），在四边形中，，，，，，动点从点开始沿边匀速运动，动点从点开始沿边匀速运动，它们的运动速度均为．点和点同时出发，设运动的时间为，． ‍ (1)用含的代数式表示； (2)当以点，，为顶点的三角形与相似时，求的值； (3)如图（），延长，，两延长线相交于点，当为直角三角形时，求的值． 56．【问题探究】 （1）如图1，△ABC和△DEC均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点B，D，E在同一直线上，连接AD，BD． ①请探究AD与BD之间的位置关系？并加以证明． ②若AC＝BC＝，DC＝CE＝，求线段AD的长． 【拓展延伸】 （2）如图2，△ABC和△DEC均为直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝，BC＝，CD＝，CE＝1．将△DCE绕点C在平面内顺时针旋转，设旋转角∠BCD为α（0°≤α＜360°），作直线BD，连接AD，当点B，D，E在同一直线上时，画出图形，并求线段AD的长． 57．如图1和2，在矩形中，，点在边上．且．点分别在边上，且．点从点出发沿折线匀速运动，点在边上随移动，且始终保持；点从点出发沿匀速运动，点同时出发，点的速度是点的一半，点到达点时停止，点随之停止．设点P移动的路程为x．    (1)当点Q与点K重合时，通过计算确定点P的位置； (2)若点P在上，当时，如图2，求x的值； (3)在点P沿折线运动过程中，求点Q，E的距离（用含x的式子表示）； (4)已知点P从点M到点B再到点N共用时20秒，请直接写出点K在线段上（包含端点）的总时长． 题型11相似三角形的综合问题 58．【探究证明】 （1）如图1，矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB、CD于点E、F，GH分别交AD、BC于点G、H，求证： ； 【模型应用】 （2）如图3，四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD=10，BC=CD=5，AM⊥DN，点M、N分别在边BC、AB上，求的值． 【变式拓展】 （3）如图3，平行四边形，，，直线与平行四边形相交，将平行四边形沿直线l折叠，当其中有一组对角顶点重合时，请直接写出折痕的长度． 59．定义：有一组邻边垂直且对角线相等的四边形称为垂等四边形． （1）矩形 垂等四边形（填 “是”或“不是”）； （2）如图1，在正方形中，点、、分别在、、上，四边形是垂等四边形，且，． ①求证：； ②若，求的值； （3）如图2，在中，， 以为对角线，作垂等四边形．过点作的延长线的垂线，垂足为，且与相似，则四边形的面积是 ． 60．如图，在矩形中，，．点M，N分别是，边上的动点，连接、．请你解答下列问题： (1)如图1，若M是边上的中点且，求的值； (2)如图2，若M是边上的三等分点且，连接，求的面积． 61．张老师在讲“图形的对称”时，进行了如下教学设计． 【观察发现】 （1）如图1，在平面直角坐标系中，的顶点与坐标原点重合，点在轴的正半轴上，点均在第一象限，，分别作点关于轴，轴的对称点，连接，则可看作是由绕点顺时针旋转______得到的；______． 【迁移探究】 （2）在中，边上的高，求的长． ①小明利用（1）中的方法解决此问题，过程如下： 根据要求作出，如图2所示，再分别作关于的对称线段，连接并延长交于点，请补全图形并求出的长． ②小明发现根据要求还可以作出钝角三角形，如图3所示，请直接写出此时的长． 【拓展应用】 （3）在中，边上的高，请直接写出的长． 62．在和中，，，，D是的中点，连接，点E在线段上移动（不与点D重合），连接，始终在的右侧． (1)发现问题 如图1，当点E与点A重合时，________，________． (2)探究问题 如图2，当E是上任意一点时，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． (3)解决问题 当时，请直接写出的值． 63．如图 (1)【问题情境】如图，四边形是正方形，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作正方形，连接，则与的数量关系是　 　； (2)如图，四边形是矩形，，，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作矩形，且，连接，判断线段与有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由； (3)【拓展提升】如图，在（）的条件下，连接，则的最小值为　 　． 64．探究与证明 已知四边形中，，分别是，边上的点，与交于点． 【图形认知】 （1）如图1，若四边形是正方形，且于点，求证：； 【探究证明】 （2）如图2，若四边形是矩形，且，求证：； 【拓展运用】 （3）如图3，将矩形沿折叠，使得点落在边上的点处，点落在点处，得到四边形，若，，，求三角形的面积． 65．在四边形中，且，．将绕点顺时针旋转一定角度得线段，点在四边形内部，连接，，连接并延长交于点．    (1)如图，若，过点作延长线的垂线，垂足为，求的度数； (2)如图2，若为的中点，求的值； (3)如图3，若，连接并延长交于点，，求的长． 试卷第2页，共180页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第16讲 相似三角形常考综合题精练 本讲目录链接 题型01比例线段的应用 题型02黄金分割 题型03平行线分线段成比例定理 题型04相似多边形的性质 题型05相似三角形的性质与判定 题型06相似三角形的实际应用 题型07图形的位似 题型08旋转背景下的相似三角形的性质与判定 题型09折叠背景下的相似三角形的性质与判定 题型10动点背景下的相似三角形的性质与判定 题型11相似三角形的综合问题 题型01比例线段的应用 1．定义一个运算，下列说法正确的有（    ）个 ①； ②若，则或2； ③； ④若，则． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据所给新定义逐项列式计算即可，判断②时注意分式的分母不能为0，判断③时注意裂项相消，判断④时注意分和两种情况，利用等式的性质求解． 【详解】解：①，故①正确； ②，则，化简得， 解得或，根据得， ，故②错误； ③ ， 故③正确； ④若， 则， 当时，， ， ， 当时，， ， ， ， 故④错误； 综上可知，正确的是①③， 故选B． 【点睛】本题考查新定义运算，涉及解分式方程，等式的性质，有理数的混合运算等，解题的关键是理解新定义的运算法则． 2．已知代数式，，，下列结论中，正确的个数是（    ） ①若，则； ②若，则一次函数的图像必过第一、三、四象限； ③若，，均为正整数，且，则； ④若，，且为方程的一个实数根，则． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】设，，，则，，，，从而可求得，判断①；当时，，此时一次函数的图象经过第二、三、四象限，即可判断②错误；由x，y，z为正整数，且，得，从而有，即可判断③正确；④由，，得，，，进而求得，从而求得，即可判断④错误． 【详解】解：∵， ∴可设， ∴，，， ∴，故①正确； ∵，，，， ∴当时，，此时一次函数的图象经过第二、三、四象限； 当时，，此时一次函数的图象经过第一、三、四象限，故②错误； ∵x，y，z为正整数，且， ∴， ∴，故③正确； ∵，， ∴，，， ∵x为方程的一个实根， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴，故④错误； 故选B. 【点睛】. 本题主要考查了一次函数的性质、分式的混合运算、比较数的大小、多项式乘多项式以及比例的性质，熟练掌握一次函数的性质、分式的混合运算、比较数的大小、多项式乘多项式以及比例的性质是解题的关键． 3．如图，已知在中，点分别为边上的点，且相交于点，如果，那么的值为 ． 【答案】2016 【分析】本题主要考查了三角形面积的计算，分式化简求值，解题的关键是设，，，得出，，，根据，得出，将化简为即可得出答案． 【详解】解：设，，， 则， 同理可得：，， ∵， ∴， ∴ ． 故答案为：2016． 4．已知代数式，，，下列结论中，正确的个数是（    ） ①若，则； ②若，则一次函数的图象必定经过第一、三、四象限； ③若x，y，z为正整数，且，则； ④若，，且x为方程的一个实根，则与的值相等； ⑤若，，则的值为28． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】设，，，则，，，，从而可求得，判断①；当时，，此时一次函数的图象经过第二、三、四象限，即可判断②错误；由x，y，z为正整数，且，得，从而有，即可判断③正确；④由，，得，，，进而求得，从而求得，即可判断④错误；⑤先求得，，，进而可求得 从而判断⑤错误；即可得解． 【详解】解：①由，设，，，则， ，，， ∴，故①正确； ②∵，，，， ∴当时，，此时一次函数的图象经过第二、三、四象限； 当时，，此时一次函数的图象经过第一、三、四象限，故②错误； ③∵x，y，z为正整数，且， ∴， ∴，即是③正确； ④∵，， ∴，，， ∵x为方程的一个实根， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴即④错误； ⑤∵，，，，， ∴，， ∴， ∴ ，故⑤错误； ∴正确的个数是2个， 故选B． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程、一次函数的性质、分式的混合运算、比较数的大小、多项式乘多项式以及比例的性质，熟练掌握一次函数的性质、分式的混合运算、比较数的大小、多项式乘多项式以及比例的性质是解题的关键． 题型02黄金分割 5．我们把宽与长的比等于黄金比()的矩形称为黄金矩形.如图,在黄金矩形中,的平分线交边于点,于点,则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据矩形的性质、角平分线的性质、正方形的判定可得四边形ABFE是正方形，再根据正方形的性质可得，再根据黄金矩形的定义逐项判断即可得． 【详解】四边形ABCD是矩形， ， ，即， 四边形ABFE是矩形， 是的平分线，且， ， 四边形ABFE是正方形， ， 又四边形ABCD是黄金矩形，且， ， 设，则， ， ， ， 则，， 即，选项A正确； ，， 即，选项B正确； ，， 即，选项C错误； ，则选项D正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质、角平分线的性质、正方形的判定与性质，掌握理解黄金矩形的定义是解题关键． 6．在欧几里得的《几何原本》中给出一个找线段的黄金分割点的方法．如图所示，以线段为边作正方形，取的中点E，连接，延长至F，使得，以为边作正方形，则点H即是线段的黄金分割点．若，记正方形的面积为，矩形的面积为，则与的和为 ．    【答案】 【分析】根据H是的黄金分割点求出，求出，，得到，再求出小正方形的边长，求出正方形的面积，再得出答案即可． 【详解】解：∵H是的黄金分割点， ∴， ∵，， ∴， ∵，点E是线段的中点 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴与的和为 故填． 【点睛】此题综合运用正方形的性质和勾股定理求得线段的长，然后求得线段之间的比，根据黄金分割的概念进行判断． 7．如图①，点把线段分成两部分，若，那么称点为线段的黄金分割点． 类似的，可以定义“黄金分割线”：直线把一个面积为的图形分成面积为和的两部分，如果，那么称直线为该图形的黄金分割线． (1)如图②，在中，若点是线段的黄金分割点，线段所在直线是的黄金分割线吗？为什么？ (2)在（1）的条件下，如图③，过点作一条直线交边于点，过点作交的一边于点，连接，交于点，回答问题． ①______（填“＞”“＜”或“”）． ②是的黄金分割线吗？为什么？ 【答案】(1)线段所在直线是的黄金分割线；理由见解析 (2)①；②是的黄金分割线，理由见解析 【分析】本题考查了相似形的综合应用，解题关键在于读懂题意，了解黄金分割线的定义． （1）过点作于点，点是线段的黄金分割点，，根据定义即可求解． （2）①，可知，，即可求解； ②由题意可知，，再结合（1）即可求解． 【详解】（1）解：线段所在直线是的黄金分割线， 理由如下：如图，过点作于点， 点是线段的黄金分割点，， ， ， 即， 线段所在直线是的黄金分割线； （2）解：①， ， ， 即， 故答案为：； ②是的黄金分割线， 理由：由题意可知， ， ， ， 同理，， 由（1）知，， 则有． 是的黄金分割线． 8．（1）在图①中按下列步骤作图： 第一步：过点C画，使； 第二步：连接，以点D为圆心，的长为半径画弧，交于点E； 第三步：以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点B． （2）在所画图中，点B是线段的黄金分割点吗？为什么？ （3）如果一等腰三角形的底边与腰的比等于黄金比，那么这个等腰三角形就叫做黄金三角形．请你在图②中以线段为腰，用直尺和圆规，作一个黄金三角形．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】（1）见解析；（2）点B是线段的黄金分割点，理由解析；（3）见解析． 【分析】本题考查了黄金分割以及尺规作图，理解黄金分割点是解题的关键． （1）根据几何语言画出对应的几何图形； （2）设则 利用勾股定理得到再得到利用黄金分割点的定义可判断点是线段的黄金分割点； （3）以为圆心长为半径画弧,以为圆心，长为半径画弧,交点为,则即为所求． 【详解】解：（1）如图，点为所作： （2）设则 ， 即 ∴点是线段的黄金分割点． （3）按（1）中作点E的方法作点F，以为圆心长为半径画弧,以为圆心，长为半径画弧,交点为,则即为所求，如图： 9．请阅读下列材料，并完成相应的任务： 公元前300年前后，欧几里得撰写的《几何原本》系统地论述了黄金分割，成为最早的有关黄金分割的论著．黄金分割（）是指把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值． 如图①，在线段上找一个点C，C把分为和两段，其中是较小的一段，如果，那么称线段被C点黄金分割，点C叫做线段的黄金分割点，与的比值叫做黄金分割数． 为简单起见，设，则． ∵，∴…… 任务： (1)请根据上面的部分解题过程，求黄金分割数． (2)如图②，采用如下方法可以得到黄金分割点： ①设是已知线段，过点B作且使； ②连接，在上截取； ③在上截取； 则点C即为线段黄金分割点．你能说说其中的道理吗？ (3)已知线段，点C，D是线段上的两个黄金分割点，则线段的长是 　　． 【答案】(1)黄金分割数为 (2)能，道理见解析 (3) 【分析】（1）设，则．根据黄金分割的定义，构建方程求出x即可． （2）设，根据勾股定理求出，再证明即可． （3）利用黄金分割的定义求出，再根据求解即可． 【详解】（1）设，则． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即黄金分割数为． （2）能，道理如下： 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点C是线段的黄金分割点． （3）如图，设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查黄金分割，解题的关键是掌握黄金分割的定义，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 10．材料一：北师大版数学教材九年级上册第四章，对“黄金分割比”的定义如下： “如图 ，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果＝，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，＝叫做黄金比.”根据定义不难发现，在线段AB另有一点D把线段AB分成两条线段AD和BD，满足＝，所以点D也是线段AB的黄金分割点． 材料二：对于实数：a1＜a2＜a3＜a4，如果满足（a3﹣a1）2＝（a4﹣a3）（a4﹣a1），（a4﹣a2）2＝（a2﹣a1）（a4﹣a1）则称a3为a1，a4的黄金数，a2为a1，a4的白银数． 请根据以上材料，回答下列问题 （1）如图 ，若AB＝4，点C和点D是线段AB的黄金分割点，则AC＝　　　　　　，CD＝　　　　　　． （2）实数0＜a＜b＜1，且b为0，1的黄金数，a为0，1的白银数，求b﹣a的值． （3）实数k＜n＜m＜t，t＝2|k|，m，n分别为k，t的黄金数和白银数，求的值． 【答案】（1）2﹣2，4﹣8；（2）b﹣a＝﹣2；（3）的值是或 【分析】（1）根据黄金分割的定义分别计算AC和BD的长，可得CD的长； （2）根据黄金数和白银数的定义分别列式，得关于a和b的一元二次方程，解出代入b﹣a可得结论； （3）对于t＝2|2k|分两种情况讨论：对于m，n分别为k，t的黄金数和白银数，根据定义列两个等式，将t＝2k和t＝﹣2k代入分别解方程可得结论． 【详解】解：（1）∵AB＝4，点C和点D是线段AB的黄金分割点， ∴AC＝BD＝AB＝×4＝2﹣2， ∴DC＝AC+BD﹣AB＝2（2﹣2）﹣4＝4﹣8； 故答案为：2﹣2，4﹣8； （2）∵b为0，1的黄金数，且实数0＜b＜1， ∴（b﹣0）2＝（1﹣b）（1﹣0）， b2+b﹣1＝0， b1＝＜0（舍），b2＝＞0， ∵a为0，1的白银数，且实数0＜a＜1， ∴（1﹣a）2＝（a﹣0）（1﹣0）， a2﹣3a+1＝0， a1＝＞1（舍），a2＝＜1， ∴b﹣a＝﹣＝﹣2； （3）∵m，n分别为k，t的黄金数和白银数，实数k＜n＜m＜t， ∴ 分两种情况： i）当k≥0时，t＝2k， 由①得：（m﹣k）2＝（2k﹣m）（2k﹣k）， m2﹣km﹣k2＝0， m＝k； 由②得：（2k﹣n）2＝（n﹣k）（2k﹣k）， n2﹣5kn+5k2＝0， n＝k， ∵k＜n＜m＜t， ∴m＝k，n＝k ∴＝＝＝； ii）当k＜0时，t＝﹣2k， 由①得：（m﹣k）2＝（﹣2k﹣m）（﹣2k﹣k）， m2﹣5km﹣5k2＝0， m＝k； 由②得：（﹣2k﹣n）2＝（n﹣k）（﹣2k﹣k）， n2+7kn+k2＝0， n＝k＞0， ∵k＜n＜m＜t， ∴m＞0， ∴m＝k，n＝k， ∴     ＝＝＝； 综上，的值是或． 【点睛】本题考查了新定义的理解和掌握：黄金分割、黄金数，白银数，分类讨论的思想；把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC＝AB，并且线段AB的黄金分割点有两个，第三问与方程相结合解决问题． 11．根据以下素材，探索完成任务． 素材 定义：如图，点将线段分成两部分，如果，那么点称为线段的黄金分割点． 素材 某兴趣小组在进行研究性学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出黄金分割线的定义：直线将一个面积为的图形分成面积分别为，的两部分，如果，那么直线称为该图形的黄金分割线． 素材 平行四边形是中心对称图形：在同一平面内，一个三角形绕其中一边的中点旋转，其余两边与旋转后相对应的两边组成一个平行四边形，例如，图中的绕的中点旋转后与原三角形组成一个平行四边形如图．    问题解决 任务 问题：如图，边上黄金分割点旋转后的对称点是否也是边上的黄金分割点？请写出你的判断结论，并说明理由． 问题：直线是不是四边形的黄金分割线？请写出你的判断结论：______ ． 任务 请在图探索：边上是否存在点，使得直线是四边形的黄金分割线？如果存在，请说明点的位置；如果不存在，请说明理由． 任务 兴趣小组探索图时猜想：在中，若点为边上的黄金分割点，连接，则直线是的黄金分割线，你认为对吗？为什么？ 任务 兴趣小组探索图时还发现：若点是的边的黄金分割点，过点任意作一条直线交于点，再过点作交于点，则直线是的黄金分割线，请你给出证明． 【答案】任务：问题：是，见解析；问题2：不是；任务2：存在，过点作交于点，则是四边形的黄金分割线；任务3：对，见解析；任务4：见解析 【分析】任务：问题：由旋转可得：，，，又为的黄金分割点，知，故，点是上的黄金分割点； 问题：根据，，可得，由黄金分割线的定义可知直线不是四边形的黄金分割线， 任务： 过点作交于点，则点即为所求的点； 任务： 由是的黄金分割点，得，又，，故，从而是三角形的黄金分割线； 任务： 连接，由 ，得，，故，，根据点是的边的黄金分割点，可得，即得，直线是的黄金分割线． 【详解】解：任务： 问题： 点是的黄金分割点，理由如下： 由旋转可得：，，， 为的黄金分割点， ， ， 点是上的黄金分割点； 问题： 直线不是四边形的黄金分割线， 理由：，， 在中，， ， ， 直线不是四边形的黄金分割线， 故答案为：直线不是四边形的黄金分割线； 任务： 边上存在点，使得直线是四边形的黄金分割线， 过点作交于点，则是四边形的黄金分割线， 如图：    在中，， 又， 四边形是平行四边形， 又， ， 四边形是平行四边形， 为的黄金分割点， ， ， 则是四边形的黄金分割线， 点即为所求的点； 任务： 正确，理由如下： 如图：    是的黄金分割点， ， ，， ， 是三角形的黄金分割线； 任务： 证明：连接，如图：    ， ，， ，， 点是的边的黄金分割点， ， ， ， 直线是的黄金分割线． 【点睛】本题考查黄金分割，涉及新定义，平行四边形，中心对称等知识，解题的关键是读懂题意，理解黄金分割点，黄金分割线的定义． 题型03平行线分线段成比例定理 12．如图，在正方形中，分别以点A和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线，再以点A为圆心，以的长为半径作弧交直线于点（点在正方形内部），连接并延长交于点．若，则正方形的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，设交于点H，正方形边长为，由作图知，，垂直平分，得到，，由勾股定理得到，证明，推出，推出，得到，即得． 【详解】连接，设交于点H，正方形边长为， 由作图知，，垂直平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了正方形和线段垂直平分线综合．熟练掌握正方形性质，线段垂直平分线性质，勾股定理解直角三角形，平行线分线段成比例定理，梯形中位线性质，是解决问题的关键． 13．如图是一张矩形纸片，点为中点，点在上，把该纸片沿折叠，点，的对应点分别为，，与相交于点，的延长线过点．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查翻折变换，矩形的性质，平行线分线段成比例定理等知识，过点作于点，设，由，可以假设，由点为中点，得到，由翻折的性质可知：，，因为共线，，推出，推出，可得， 解得或（舍去），从而得到，再利用勾股定理求出，可得结论． 【详解】解：过点作于点，如图所示，    设， ， 可以假设， 点为中点， ， 由翻折的性质可知：，， ， ， ， ， ， 共线，， ， ， ， 或（舍去）， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， 故答案为：． 14．如图，、，、分别是和的中点，过的直线依次交、、、于点、、、，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，平行线分线段成比例．正确作出辅助线，构造平行四边形是解题关键．延长、，设交点为，则四边形为平行四边形．结合题意得出．根据平行线分线段成比例，得出，，即得出．再证明即可． 【详解】证明：延长、，设交点为，则四边形为平行四边形． 是的中点， 的延长线必过点，且． ， ． ， ． ，即． 又， ， ． ∵． ，即， ， 即． 15．如图，，点在上，过点作的平行线，与的平分线交于点，为的中点，点在上，（不与点重合），连接，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接．    (1)①直接写出线段与之间的数量关系； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明； (2)连接并延长，分别交，于点，过点作的垂线，交于点．依题意补全图形，用等式表示线段，，之间的数量关系． 【答案】(1)①；②，证明见解析 (2)图见解析，，理由见解析 【分析】（1）①由平行线的定义结合角平分线的定义得出，再由等角对等边即可得证；②由平行线的性质得出，推出，由旋转的性质可得：，，求出，证明，得出，再由为的中点得出，即可得证； （2）根据题意补全图形即可，在上截取，连接，证明得出，结合平行线的性质得出，由题意得出，在上截取，由（1）可得：，求出，证明，得出，推出垂直平分，即，从而得出，最后由平行线分线段成比例定理即可得出答案． 【详解】（1）解：①由题意得：， ， 平分， ， ， ； ②，证明如下： 由题意得：， ， ， 由旋转的性质可得：，， ， ，即， ， ， ， 为的中点， ， ； （2）解：补全图形如图所示：     ，，理由如下： 在上截取，连接， 由（1）可得， ，， 平分， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， 在上截取， 由（1）可得：， ， ， ， ， ， ， ， ， 垂直平分，即， ， ， ． 【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定与性质、旋转的性质、平行线分线段成比例定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 16．四边形的两条对角线，相交于点O，． (1)如图1，已知． ①求证：； ②若，求的值； (2)如图2，若，，，求的值． 【答案】(1)①见解析；② (2) 【分析】（1）过作于，交于，①根据平行线的判定得出和平行，再根据等腰三角形的性质即可求解；②根据平行线分线段成比例，求出和的比，再根据中位线定理得出和的关系，从而得解； （2）延长到，使得，连接，根据三角形全等得出，从而求得和的关系，再根据勾股定理求出和的关系，从而得解． 【详解】（1）解：过作于，交于，如图： ①证明：设， ， ， ，， ， ， ； ②解：，为中点， ， ， ， ； （2）解：延长至，使得，连接，如图： ，， ， ， ， 又， ． 在和中， ， ， ，， ， ， 为等腰直角三角形， ，即，， ， ， ． 在直角中．， ． 【点睛】本题主要考查了相似形综合题，合理运用全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理以及等腰直角三角形的判定与性质是本题解题的关键． 题型04相似多边形的性质 17．如图，已知在矩形 中，，，点 从点 出发，沿 方向以每秒 个单位的速度向点 运动，点 从点 出发，沿射线 以每秒 个单位的速度运动，当点 运动到点 时，， 两点停止运动．连接 ，过点 作 ，垂足为 ，连接 ，交 于点 ，交 于点 ，连接 ．给出下列结论： ① ； ② ； ③ ； ④ 的值为定值 ． 上述结论中正确的个数为 （      ） 个． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，可以判断①正确；根据△DCB∽△ECF可以判断②正确；根据△EDC∽△EHG得，由AB=DC可知③错误；根据△DEH∽△DBA求出故④正确． 【详解】作 ，连接 ． 设运动时间为 ． 四边形 是矩形，，， ， ，， ， ， ，故①正确， ， ， ， ， ， ， ， ，故②正确， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故③错误， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，故④正确． 综上所述，①②④正确． 故选C. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、矩形的性质、勾股定理等知识，综合性较强，利用同角的余角相等证明角相等是解题的关键． 18．已知E、F、G、H各点分别在四边形的、、、边上（如图）． (1)当时，求证： (2)当上述条件中比值为3，4，…，n时（为自然数），那么与之比是多少？ 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）可先依据题中条件分别得出各个小三角形的面积与四边形面积的关系，进而四边形减去各个小三角形的和即可得出四边形与四边形的关系； （2）规律性问题，根据（1）中结论可得出规律，其证明方法与（1）相同． 【详解】（1）证明：连接、 ， ， ， ， ， ， ， 同理可得， ， 同理可得， ， ， ． （2）解：当上述条件中比值为3，4，…，n时， ， ， ， ， ， ， ， 同理可得， ， 同理可得， ， ， ． 【点睛】本题考查了两个三角形的高相同时，它们的面积之比就等于底边长之比，熟练掌握以上知识是解题的关键． 19．如图1，矩形ODEF的一边落在矩形ABCO的一边上，并且矩形ODEF∽矩形ABCO，其相似比为1：4，矩形ABCO的边AB=4，BC=4． （1）求矩形ODEF的面积； （2）将图1中的矩形ODEF绕点O逆时针旋转一周，连接EC、EA，ACE的面积是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）存在，最大值，最小值 【分析】（1）根据相似多边形面积的比等于相似比的平方求解即可； （2）旋转一周，点E的轨迹是以点O为圆心以2为半径的圆，所以△ACE的AC边上的高就是点E到AC的距离，也就是AC到圆上的点的距离，又最大值和最小值，最大值为点O到AC的距离与圆的半径的和，最小值为点O到AC的距离与圆的半径的差，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：（1）∵矩形ODEF∽矩形ABCO，其相似比为1：4， ∴S矩形ODEF=S矩形ABCO=×4×4=； （2）存在． ∵OE=， 所以点E的轨迹为以点O为圆心，以2为半径的圆， 设点O到AC的距离为h， AC=， ∴8h=4×4， 解得h=2， ∴当点E到AC的距离为2+2时，△ACE的面积有最大值， 当点E到AC的距离为2-2时，△ACE的面积有最小值， S最大=， S最小=． 【点睛】本题主要考查了相似多边形的性质，矩形的性质，勾股定理，圆上的点到直线的距离的取值范围，理解AC边上的高的最大值为点O到AC的距离与圆的半径的和是解本题的关键． 20．如果一条直线把矩形分割成两个矩形，其中一个为黄金矩形（宽与长的比为的矩形），则称这条直线为该矩形的黄金线．例如图所示的矩形中，直线，分别交、于点、，且，显然直线是矩形的黄金线． （1）如图，在矩形中，，．请在图中画出矩形的其中一条黄金线，其中在边上，在边上，并标注出线段的长度； （2）将正方形纸片按图所示的方式折叠． 如图所示，按上述方法折叠所得到的折痕是否为正方形的黄金线？请说明理由． （3）在矩形中，，，已知矩形的黄金线恰好将矩形分割成两个黄金矩形，则______（只要求直接写出其中三个答案）． 【答案】（1）答案见解析，（2）是，理由见解析；（3），，，，，． 【分析】（1）根据矩形黄金线的定义可算出AM=和，从而可画出已知矩形的黄金线； （2）连结，设，，由折叠得，由△CGE的面积两种求法列出方程，求得，从而求得，即是正方形的黄金线； （3）分类讨论，根据点E的不同位置，不同边的比得到不同a的值． 【详解】（1）∵ ∴, 如图所示， 此时， （2）折痕是正方形的黄金线．理由如下： 如图，连结，设，，由折叠得， 在中，， ， 又，∴．解得：． 即．∴． ∴是正方形的黄金线． （3）①当，时，EF把矩形ABCD分割成两个黄金矩形，则 ∵AB=1，AD=a ∴， ∴ ∴； ②当，时，EF把矩形ABCD分割成两个黄金矩形，则 ∵AB=1，AD=a ∴， ∴ ∴； ③当，时，EF把矩形ABCD分割成两个黄金矩形，则 ∵AB=1，AD=a ∴， ∴ ∴； ④当，时，EF把矩形ABCD分割成两个黄金矩形，则 ， ，， 解得，； ⑤，时，EF把矩形ABCD分割成两个黄金矩形，则 ，解得，； ⑥当，时，EF把矩形ABCD分割成两个黄金矩形，则 ， ，解得，； ⑦当，时，EF把矩形ABCD分割成两个黄金矩形，则 ，， ，解得，； ⑧当，时，EF把矩形ABCD分割成两个黄金矩形，则 ， ，解得， 故答案为：，，，，， 【点睛】本题考查了矩形的黄金分割线，黄金矩形的定义，勾股定理，翻折变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 21．阅读下列材料，完成任务： 自相似图形 定义：若某个图形可分割为若干个都与它相似的图形，则称这个图形是自相似图形．例如：正方形ABCD中，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边的中点，连接EG，HF交于点O，易知分割成的四个四边形AEOH、EBFO、OFCG、HOGD均为正方形，且与原正方形相似，故正方形是自相似图形． 任务： （1）如图1中正方形ABCD分割成的四个小正方形中，每个正方形与原正方形的相似比为________； （2）如图2，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，小明发现△ABC也是“自相似图形”，他的思路是：过点C作CD⊥AB于点D，则CD将△ABC分割成2个与它自己相似的小直角三角形．已知△ACD∽△ABC，则△ACD与△ABC的相似比为________； （3）现有一个矩形ABCD是自相似图形，其中长AD=a，宽AB=b（a＞b）． 请从下列A、B两题中任选一条作答． A：①如图3﹣1，若将矩形ABCD纵向分割成两个全等矩形，且与原矩形都相似，则a=________（用含b的式子表示）； ②如图3﹣2若将矩形ABCD纵向分割成n个全等矩形，且与原矩形都相似，则a=________（用含n，b的式子表示）； B：①如图4﹣1，若将矩形ABCD先纵向分割出2个全等矩形，再将剩余的部分横向分割成3个全等矩形，且分割得到的矩形与原矩形都相似，则a=________（用含b的式子表示）； ②如图4﹣2，若将矩形ABCD先纵向分割出m个全等矩形，再将剩余的部分横向分割成n个全等矩形，且分割得到的矩形与原矩形都相似，则a=________（用含m，n，b的式子表示）． 【答案】（1）；（2）；（3）A、①；② ；B、①或；②或． 【详解】试题分析：（1）根据相似比的定义求解即可；（2）由勾股定理求得AB=5，根据相似比等于可求得答案；（3）A.①由矩形ABEF∽矩形FECD，列出比例式整理可得；②由每个小矩形都是全等的，可得其边长为b和a，列出比例式整理即可；B.①分当FM是矩形DFMN的长时和当DF是矩形DFMN的长时两种情况，根据相似多边形的性质列比例式求解；②由题意可知纵向2块矩形全等，横向3块矩形也全等，所以DN=b，然后分当FM是矩形DFMN的长时和当DF是矩形DFMN的长时两种情况，根据相似多边形的性质列比例式求解. 解：（1）∵点H是AD的中点， ∴AH=AD， ∵正方形AEOH∽正方形ABCD， ∴相似比为： ==； 故答案为； （2）在Rt△ABC中，AC=4，BC=3，根据勾股定理得，AB=5， ∴△ACD与△ABC相似的相似比为： =， 故答案为； （3）A、①∵矩形ABEF∽矩形FECD， ∴AF：AB=AB：AD， 即a：b=b：a， ∴a=b； 故答案为 ②每个小矩形都是全等的，则其边长为b和a， 则b： a=a：b， ∴a=b； 故答案为 B、①如图2， 由①②可知纵向2块矩形全等，横向3块矩形也全等， ∴DN=b， Ⅰ、当FM是矩形DFMN的长时， ∵矩形FMND∽矩形ABCD， ∴FD：DN=AD：AB， 即FD： b=a：b， 解得FD=a， ∴AF=a﹣a=a， ∴AG===a， ∵矩形GABH∽矩形ABCD， ∴AG：AB=AB：AD 即a：b=b：a 得：a=b； Ⅱ、当DF是矩形DFMN的长时， ∵矩形DFMN∽矩形ABCD， ∴FD：DN=AB：AD 即FD： b=b：a 解得FD=， ∴AF=a﹣=， ∴AG==， ∵矩形GABH∽矩形ABCD， ∴AG：AB=AB：AD 即：b=b：a， 得：a=b； 故答案为或； ②如图3， 由①②可知纵向m块矩形全等，横向n块矩形也全等， ∴DN=b， Ⅰ、当FM是矩形DFMN的长时， ∵矩形FMND∽矩形ABCD， ∴FD：DN=AD：AB， 即FD： b=a：b， 解得FD=a， ∴AF=a﹣a， ∴AG===a， ∵矩形GABH∽矩形ABCD， ∴AG：AB=AB：AD 即a：b=b：a 得：a=b； Ⅱ、当DF是矩形DFMN的长时， ∵矩形DFMN∽矩形ABCD， ∴FD：DN=AB：AD 即FD： b=b：a 解得FD=， ∴AF=a﹣， ∴AG==， ∵矩形GABH∽矩形ABCD， ∴AG：AB=AB：AD 即：b=b：a， 得：a=b； 故答案为 b或b． 点睛：本题考查了信息迁移，矩形的性质，相似多边形的性质及分类讨论的数学思想，读懂题意，熟练掌握相似比多边形的性质，正确运用分类讨论思想是解答本题的关键. 题型05相似三角形的性质与判定 22．如图，在中，，以为边向三角形外作正方形，作于点，交对角线于点，连接．要求的周长，只需知道（    ） A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 【答案】B 【分析】设与相交于H，设，，，利用正方形的轴对称形得出，则可得出的周长为，证明，求出，，，证明，求出，，然后代入计算即可得出答案． 【详解】解∶设与相交于H，设，，， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴B、E关于直线对称，，， ∴， ∴的周长为， ∵，， ∴， ∴， ， 又， ∴， ∴，即， 解得，， ∴， ∵， ∴，即， 解得，， ∴ ， 即的周长为， 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，轴对称等知识，明确题意，利用相似三角形求出，，是解题的关键． 23．如图，，，，点E在边上运动（不与端点重合），边始终过点A，交于点G，当是等腰三角形时，的面积是（   ）． A．8或 B．8 C． D．6或 【答案】A 【分析】首先由，且，可得，当与去分析，注意利用全等三角形与相似三角形的性质求解即可求得答案． 【详解】解：∵，， ∴，且， ∴， ∴； ∵， ∴， 即：， 当时， 在与中， ∴， ∴， ∴， 作于点M， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ， 当时，则， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 24．由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形如图所示．将小正方形对角线双向延长，分别交边，和边的延长线于点，．若大正方形与小正方形的面积之比为，，则大正方形的边长为 ． 【答案】 【分析】设小正方形在线段上的一个顶点为M，与相交于点P，由大正方形与小正方形的面积之比为5，可推出，设，，则，利用勾股定理和多项式的因式分解推出；延长交于点N，利用平行线分线段成比例定理可证N是的中点以及，设，则，证得，同理得，由此可推出；由，得，可求得与的长，最后由求出a的值即可． 【详解】解：设小正方形在线段上的一个顶点为M，与相交于点P， ∵大正方形与小正方形的面积之比为5， ∴， ∴， 设，，则， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 延长交于点N，    ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，因式分解等知识，灵活运用平行线分线段成比例定理和勾股定理求出线段之间的关系是解答本题的关键． 25．如图，在正方形中，为边上的两个三等分点，点关于的对称点为，的延长线交于点． (1)求证：； (2)求的大小； (3)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)45° (3)证明见解析 【分析】（1）设与相交于点，证明是的中位线即可； （2）连接，取的中点，连接，由可以证明，在和中利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以证明点四点共圆，再利用同弧所对的圆周角相等即可得出结果； （3）设，则，设，则，根据勾股定理找到与的关系，根据列比例求解即可． 【详解】（1）解：如图，设与相交于点， 点与关于对称， 垂直平分，即， 为边上的两个三等分点， ， 是的中位线， ，即． （2）连接，取的中点，连接， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 在和中，， ， 点，都在以为直径的上， ． （3）设，则， 由（2）得， ，即， ， 设，则，在中，由勾股定理，得， ， ， 在中，由勾股定理，得， 又， ， ， ， ， ， 由（2）知，， 又， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、三角形中位线定理、四点共圆、勾股定理等知识，考查推理能力、运算能力、化归与转化思想，熟练掌握以上知识点并运用是解题的关键． 26．如图1，四边形是正方形，点E在边的延长线上，点F在边上，且，连接交于点P，连接交于Q，连接． (1)求证：； (2)连接，如图2， ①若，求的长； ②若，则 ． 【答案】(1)证明见解析 (2)①   ② 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、正方形的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和全等三角形的判定是解题的关键． （1）过点E作交的延长线于点G，证明，即可得到结论； （2）①连接，证明,则，得到是等腰直角三角形，由（1）知：点Q是的中点，则，证明，则，得到，设，根据勾股定理，得，得到，，Q是的中点，即可得到；②过F作，证明四边形是矩形，进一步得到，设，则，证明，则，得到，求出，得到，证明，得到，则，即可得到答案． 【详解】（1）证明：如图1，过点E作交的延长线于点G， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴； （2）①解：如图2，连接， ∵四边形是正方形， ∴ ∵， ∴, ∴， ∴ ∴是等腰直角三角形， 由（1）知：点Q是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设， 根据勾股定理，得， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∵，Q是的中点， ∴； ②如图3，过F作， ∵ ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 由（1）知，， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 27．平移图形是解答几何题目时一种重要的添加辅助线策略． 如图①，在正方形中，E、F、G分别是、、上的点，于点Q．求证：． 小鹿在分析解题思路时想到了两种平移法： 方法一：平移线段使点F与点B重合，构造全等三角形； 方法二：平移线段使点B与F重合，构造全等三角形；    【尝试应用】 (1)请按照小鹿的思路，选择其中一种方法进行证明； (2)如图②，点E、F、G、H分别是矩形边、、、上的点，且，若，，求的值； 【拓展探究】 (3)如图③，点E、F分别是平行四边形边、上的点，连接、交于点G，若，求证：． 【答案】(1)证明见解析； (2) (3)证明见解析． 【分析】（1）平移至，使点F与点重合，证明，进而得出结论； （2）将平移至，将平移至，可证得，进而得出结果； （3）平移至，交于，以点为圆心，为半径画弧，交的延长线于，，，从而得出，进一步得出结论． 【详解】（1）证明：如图1，    平移至，使点F与点重合， ，， ， ， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ． （2）解：如图2，    将平移至，将平移至， ，， 同理（1）得， ， 同理（1）可得： ，， ， ， ． （3）解：如图3，    平移至，交于，以点为圆心，为半径画弧，交的延长线于， ，，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ，， ， 在四边形中， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，平行四边形、矩形的性质与判定，平移的性质，解本题的关键是根据题意做出适当的辅助线． 28．如图，，，． (1)如图1，不添加辅助线，请写出图中所有相似三角形； (2)如图2，若点E落在边上，求证：； (3)如图3，若点H，I，J分别为，，中点，判断与的数量关系及夹角度数（锐角）． 【答案】(1)，， (2)见解析 (3)，与的夹角度数为 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据两个角相等的两个三角形相似解题即可； （2）根据可得，即可得到，然后根据勾股定理得到即可解题； （3）设，，然后根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似得到，即可求出，，然后利用四边形的内角和解题即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 又∵， ∴， 同理可得：，； （2）证明：∵，， ∴， ∴，即， 又∵，， ∴； （3）解：连接，设直线和交于点K， ∴， ∴， 设，，则，， ∵点H，I，J分别为，，中点， ∴，，， ∴，，即， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 题型06相似三角形的实际应用 29．将一本高为（即）的词典放入高（AB）为的收纳盒中（如图1）．恰好能盖上盒盖时，测得底部F离收纳盒最左端B处，若此时将词典无滑动向右倒，书角的对应点恰为CD中点． （1）收纳盒的长 ； （2）现将若干本同样的词典放入此有盖的收纳盒中，如图2放置，则最多有 本书可与边BC有公共点． 【答案】 cm 7 【分析】（1）由图知，已知，根据得到，在Rt中根据勾股定理得到，从而得到结论； （2）延长交BC于G'，如图2所示，由（1）知在Rt中，， 根据，得到，由得到最多有7本书可与边BC有公共点． 【详解】解：（1）如图所示： 在Rt中，，，，则， ， ， 连接，如图所示： 恰好能盖上盒盖， ， 词典是长方体， ，即， 在Rt中，， ， ， ，即，解得， 将词典无滑动向右倒， ， 书角的对应点恰为CD中点， ， 在Rt中，，，，则， ， 收纳盒的长cm， 故答案为：cm； （2）延长交BC于G'，如图2所示： 由（1）知， ，， 由（1）知 ， ， ， 由（1）知在Rt中，，，，则， ，解得， 由（1）知， ， 最多有7本书可与边BC有公共点． 【点睛】本题考查利用勾股定理及相似的实际运用，涉及到勾股定理求线段长及三角形相似的判定与性质，读懂题意，根据图形作出辅助线，找到直角三角形灵活运用勾股定理及相似求线段长是解决问题的关键． 30．【问题探究】 （1）如图①，在中，，，，将绕点逆时针旋转到的位置，点的对应点落在上，则的长为 ； （2）如图②，在矩形中，，，点是矩形的对称中心，点在边上，且，点是边上的动点，连接与，求的最大值； 【问题解决】 （3）有一块三角形草地，其示意图如图③所示，，，是一条小道（宽度不计），点是的中点，点在内，、两点之间的距离为，．市政府为丰富市民的业余生活，计划将部分草地改建，在、上分别找点、，在、处栽种梧桐树，，连接、，在上截取．根据规划，现要沿线段修建一段文化长廊（宽度不计），为容纳更多的市民在文化长廊内活动，要求文化长廊的长度尽可能的长，当文化长廊的长最大时，请求出此时点的位置（即的长）． 【答案】（1） （2） （3） 【分析】（1）由勾股定理求出，由旋转的性质求出的长，则可得出答案； （2）连接并延长交于点，当点、、共线，即点在的位置时，的值最大，最大值为的长，过点作于点，则，，求出可得出答案； （3）连接，将绕点顺时针旋转到的位置，点、的对应点分别是点、，作点关于的对称点，连接、，延长交于点，过点作于点，则，点在的延长线上，，得出当、、三点共线，即点与点重合时，的值最大，证明，得出，，求出的长可得出答案． 【详解】解：（1），，， ， 将绕点逆时针旋转到的位置， ， ， 故答案为：． （2）连接并延长交于点， 由图可得， 当点、、共线，即点在的位置时，的值最大，最大值为的长， 过点作于点，则，， 由点是矩形的对称中心， ，， ． ， ， 的最大值为． （3）连接，将绕点顺时针旋转到的位置，点、的对应点分别是点、， ，，． 点是的中点，， ， ， 作点关于的对称点，连接、，延长交于点，过点作于点，则，点在的延长线上，， ， 当、、三点共线，即点与点重合时，的值最大， ， ． ，， ， ，， ． ，， ， ， ， 即， ． ， 当文化长廊的长最大时，此时的长为． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识． 31． 探究不同裁剪方式的面积大小问题 素材1 图1是一张直角三角形纸板，两直角边分别为，，小华、小明、小富同学分别用这样的纸板裁剪出不一样的矩形，并使矩形的四个顶点都在三角形的边上．    素材2 小华同学按图2的方式裁剪出一个正方形；小明同学按图3的方式裁剪，且．    素材3 小富同学对纸板的裁剪按如下步骤：如图4， 步骤1：在直角纸板上裁下一个矩形，矩形的四个顶点都在的边上； 步骤2：取剩下的纸板裁下一个正方形，正方形的四个顶点都在边上；且满足矩形的边长是正方形边长的两倍小．    问题解决 任务1 请比较小华、小明同学裁处的两种矩形的面积大小，通过计算说明． 任务2 请求出小富同学裁下的矩形各边长． 【答案】任务一：，见解析；任务二：矩形的各边长为，，， 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质， 任务1：小华：设正方形的边长为x，，由题意得：，再利用相似三角形的性质求得x，小明：由题意得：，再由及求得，然后比较大小即可； 任务2：由题意得：，可设，，，再由可得，求得，，由列出比例式，求得得：，从而得出．最后求解即可； 【详解】解：任务一：小华：设正方形的边长为x， 由题意得： ，得： 小明：由题意得： ∵ ，得． ∵ ，得： ∵   ． 任务二：由题意得： 设：，， 同理： ，得 ∵ ，得： ． 矩形的边长为：；． 32．在光学中，由实际光线会聚成的像，称为实像，而光线能会聚的是因为折射．图中，凸透镜的焦距为f，主光轴，A，B，C，D都在l上，其中O是光心，，蜡烛（蜡烛可移动，且），光线，其折射光线与另一条经过光心的光线相交于点（）即为蜡烛在光屏上所成的实像．图中所有点都在同一平面内．记物高为h，像高为，物距，像距为v． (1)若，，， ． (2)求证． (3)当f一定时，画出v与u之间的函数图象，并结合图象描述v是怎么随着u的变化而变化的？ 【答案】(1)20 (2)见解析 (3)图象见解析；v随着u的增大而减小 【分析】 （1）证明，得出，得出，证明，得出，求出即可； （2）证明，得出，求出，证明，得出，得出，求出，得出； （3）先列表，再描点，然后连线即可画出函数图象，根据函数图象得出v随着u的增大而减小． 【详解】（1）解：根据题意可知，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：， 即； （2）证明：根据题意可知，，，， ∵， ∴， ∴， 即， 整理得：， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ， ， ， ∴． （3）解：列表： u … … v … … 描点、连线： 根据函数图象可知，v随着u的增大而减小． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，平行线的性质，画函数图象，从函数图象中获取信息，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，数形结合． 33．阅读理解：如图1，在△ABC中，当DE∥BC时可以得到三组成比例线段：① ；② ；③ ．反之，当对应线段成比例时也可以推出DE∥BC． 理解运用：三角形的内接四边形是指顶点在三角形各边上的四边形． （1）如图2，已知矩形DEFG是△ABC的一个内接矩形，将矩形DEFG沿CB方向向左平移得矩形PBQH，其中顶点D、E、F、G的对应点分别为P、B、Q、H，在图2中画出平移后的图形；     （2）在（1）所得的图形中，连接CH并延长交BP的延长线于点R，连接AR．求证：AR∥BC；   （3）如图3，某小区有一块三角形空地，已知△ABC空地的边AB＝400米，BC＝600米，∠ABC＝45°；准备在△ABC内建一个内接矩形广场DEFG（点E、F在边BC上，点D、G分别在边AB和AC上），三角形其余部分进行植被绿化，按要求欲使矩形DEFG的对角线EG最短，请在备用图中画出使对角线EG最短距离（不要求证明）． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）画图见解析， 【分析】（1）根据条件画出矩形PBQH即可． （2）如图1中，连接CH并延长交BP的延长线于点R，连接AR．由PH∥BC，推出＝，由DG∥BC，推出＝，由PH＝DG，推出＝，推出AR∥HG，由HG∥BC，即可证明AR∥BC． （3）如图2中，作AR∥BC，BR⊥BC，连接CR，作BH⊥CR，过点H作PH∥BC交RB于P交AB于D交AC于G．作HQ⊥BC于Q，DE⊥BC于E，GF⊥BC于F．则四边形DEFG是矩形，此时矩形的对角线最短．由（2）可知BH＝EG，求出BH即可解决问题． 【详解】（1）解：矩形PBQH如图1所示   （2）解：如图1中，连接CH并延长交BP的延长线于点R，连接AR   ∵PH∥BC， ∴ ∵DG∥BC， ∴ ∵PH＝DG， ∴ ∴AR∥HG， ∵HG∥BC， ∴AR∥BC （3）解：如图2中，作AR∥BC．BR⊥BC，连接CR，作BH⊥CR，过点H作PH∥BC交RB于P交AB于D交AC于G，作HQ⊥BC于Q，DE⊥BC于E，GF⊥BC于F   则四边形DEFG是矩形，此时矩形的对角线最短（BH是垂线段，垂线段最短，易证EG＝BH，故此时矩形的对角线EG最短）． ∵AB＝400米，∠ABC＝45°， ∴，即BR＝200m， 在Rt△RBC中， ∵BC＝600m，BR＝200m， ∴CR＝m， ∵， ∴BH＝米 由（2）可知EG＝BH＝米． 【点睛】本题考查相似三角形综合题、平行线分线段成比例定理、勾股定理、垂线段最短等知识，解题的关键是学会利用（2）中的添加辅助线的方法解决问题（3），灵活应用垂线段最短解决最值问题． 34．阅读理解： 如图1，AD是△ABC的高，点E、F分别在AB和AC边上，且EFBC，可以得到以下结论：． 拓展应用： (1)如图2，在△ABC中，BC＝3，BC边上的高为4，在△ABC内放一个正方形EFGM，使其一边GM在BC上，点E、F分别在AB、AC上，则正方形EFGM的边长是多少？ (2)某葡萄酒庄欲在展厅的一面墙上，布置一个腰长为100cm，底边长为160cm的等腰三角形展台．现需将展台用隔板沿平行于底边，每间隔10cm分隔出一排，再将每一排尽可能多的分隔成若干个无盖正方体格子，要求每个正方体格子内放置一瓶葡萄酒．平面设计图如图3所示，将底边BC的长度看作是0排隔板的长度． ①在分隔的过程中发现，当正方体间的隔板厚度忽略不计时，每排的隔板长度（单位：厘米）随着排数（单位：排）的变化而变化．请完成下表： 排数/排 0 1 2 3 … 隔板长度/厘米 160 ______ ______ ______ … 若用n表示排数，y表示每排的隔板长度，试求出y与n的关系式； ②在①的条件下，请直接写出该展台最多可以摆放多少瓶葡萄酒？ 【答案】(1)正方形的边长为 (2)①，，80；yn+160；②最多可以摆放38瓶葡萄酒 【分析】（1）过点A作AD⊥BC于D，交EF于H，由，可求解； （2）①由等腰三角形的性质可得BD=80cm，由勾股定理可求AD=60cm，分别设第1、第2、第3排的隔板长为y1，y2，y3，由阅读理解的结论可列方程，即可求解． ②分别求出每排最多可以放多少葡萄酒瓶，即可求解． 【详解】（1）如图2，过点A作AD⊥BC于D，交EF于H， 由阅读理解的结论可得：， 设正方形的边长为x， ∴， ∴x， ∴正方形的边长为； （2）①如图3﹣1，过点A作AD⊥BC于D， ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴BD＝CD＝80cm， ∴AD60（cm）， 分别设第1、第2、第3排的隔板长为y1，y2，y3， 由阅读理解的结论可得： 解得：y1，y2，y3＝80， 故答案为：，，80； ∴， ∴yn+160； ②当n＝1时，隔板长cm， ∴可以作正方体的个数10≈13（个）， 当n＝2时，隔板长cm， ∴可以作正方体的个数10≈10（个）， 当n＝3时，隔板长80cm， ∴可以作正方体的个数＝80÷10≈8（个）， 当n＝4时，隔板长cm， ∴可以作正方体的个数10≈5（个）， 当n＝5时，隔板长cm， ∴可以作正方体的个数10≈2（个）， 当n＝6时，隔板长0cm，可以作正方体的个数为0个， ∴第1排最多可以摆放13瓶葡萄酒，第2排最多可以摆放10瓶葡萄酒，第3排最多可以摆放8瓶葡萄酒，第4排最多可以摆放5瓶葡萄酒，第5排最多可以摆放2瓶葡萄酒，第6排最多可以摆放0瓶葡萄酒， ∴13+10+8+5+2＝38（瓶）， 综上所述：最多可以摆放38瓶葡萄酒． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，找出规律是解题的关键． 35．阅读以下文字并解答问题：在“测量物体的高度”活动中，某数学兴趣小组的3名同学选择了测量学校里的三棵树的高度，在同一时刻的阳光下，他们分别做了以下工作： 小芳：测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，甲树的影长为4.08米（如1图）． 小华：发现乙树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如2图），墙壁上的影长为1.2米，落在地面上的影长为2.4米． 小明：测得丙树落在地面上的影长为2.4米，落在坡面上影长为3.2米（如3图）．身高是1.6米的小明站在坡面上，影子也都落坡面上，小芳测得他的影长为2米． （1）在横线上直接填写甲树的高度为______米，乙树的高度为________米﹔ （2）请求出丙树的高度． 【答案】（1）5.1，4.2；（2）丙树的高为5.56米 【分析】(1)如下图1，根据测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，利用相似三角形的比例式直接得出甲树高，接着如下图2先利用，求出的长，接着利用，可得出乙树的高； (2)如下图3，先通过求出FG的长，然后通过求出FH的长，最后通过可求出丙树的高． 【详解】解：（1）如图1，假设线段AB是甲树，线段CD是竹竿， 线段BE和线段CE分别为甲树和竹竿的影子， 米， 故甲树的高为5.1米； 如图2，假设线段是乙树，线段为乙树在墙壁上的影长， 线段为乙树落在地面上的影长， 与图1中的相似， 又， 故乙树的高为4.2米； 故答案为：5.1，4.2； （2）如图3，假设线段是丙树，线段为丙树落在地面上的影长， 线段为丙树落在坡面上影长，为小明，为小明落在坡面上影长， 则=2.4米，=3.2米，=1.6米，=2米， 又与图1中的相似， 又 故丙树的高为5.56米． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，有一定难度和综合性，根据同一时刻影长与高成比例以及假设没有墙或台阶时求出影长是解决问题的关键． 36．【问题背景】 人教版九年级下册教材第58页第11题：如图1，一块材料的形状是锐角三角形，边，高．把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在上，这个正方形零件的边长是多少? 【提出问题】 在满足正方形的一边在三角形的一边上，其余两个顶点分别在另外两边上的条件下，能否在上面的材料上，加工一个面积更大的正方形？如何用直角尺（只能画直角）和圆规画出这个正方形？ 【分析问题】 小敏认为，由于正方形的一边在三角形的一边上，这样就存在三种可能．在已知三边长度的情况下，可以通过计算，分别求出三个正方形的边长，然后比较三条边长的大小，进而知道面积最大的正方形；也可以结合当前所学的位似，分别画出满足条件的正方形，再利用圆规比较三个正方形的边长的大小，即可解决问题． 【解决问题】 为了简化探索过程，小敏取边长分别为的三个等腰三角形（其中为腰）木块进行研究． 如图2，正方形的顶点分别在上，边在上．如图3，正方形的顶点分别在上，边在上． 请你完成下面两个问题： （1）通过计算，比较这两个正方形的边长的大小； （2）在图4中，用直角尺（只能画直角）和圆规画出面积最大的正方形，使其一边在三角形的一边上，其余两个顶点分别在另外两边上（保留画图痕迹）． 【学以致用】 定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形． 小敏类比上面的研究方法，又提出下面问题： 在如图5所示的扇形中，能否用直角尺和圆规画出一个正方形，使其两个顶点在弧上，另外两个顶点在半径上？ 你认为可以吗？如果可以、在图中画出符合条件的正方形（保留画图痕迹）；如果不可以，说明理由． 【答案】解决问题：（1）图2的正方形边长更大，理由见详解；（2）见详解；学以致用：见详解 【分析】解决问题：（1）过A作，交于M，交于N，设正方形边长为x，证明，根据相似三角形性质解得；过B作，交于K，交于H，设正方形边长为，证明，根据相似三角形性质解得．即可判断图2的正方形边长更大． （2）先在上任取一点，过作的垂线，作出以为一边的正方形，连接并延长交于点，再以为边作正方形即可； 学以致用：先画正方形，点、在、上，再作正方形以点为位似中心的位似图形，使它的位似图形的四个顶点落在扇形半径、和弧上即可． 【详解】解决问题：（1）过A作，交于M，交于N， ， ， 设正方形边长为x， 是正方形， ， ， ， ， 解得：； 过B作，交于K，交于H， 设正方形边长为， 是正方形， ， ， ．得． ∴图2的正方形边长更大． （2）先在上任取一点，过作的垂线，然后过作的垂线，然后以为圆心，以为半径画圆交垂线于，然后过作的垂线交于点，作出以为一边的正方形，连接并延长交于点，过点作的垂线交于点，再以为边作正方形即可； 如图，正方形即为所求． 学以致用： 以为圆心，以任意长度为半径画圆交、于，过作的垂线，以为圆心，以长度为半径画圆交垂线于，过作的垂线，然后过作的垂线，交于点，即可画出正方形，然后连接分别弧交于点，连接，分别过作的垂线交、于点，连接，即可作出正方形以点为位似中心的位似图形，它的四个顶点落在扇形半径、和弧上． 如图，正方形即为所求． 【点睛】该题主要考查了位似图形，正方形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，尺规作图，等知识点，解题的关键是正确做出辅助线以及图象． 题型07图形的位似 37．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．A，B，C三点是格点，点P在上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． (1)在图（1）中，将线段沿的方向平移，使点B与点C重合，画出平移后的线段；再将绕的中点顺时针旋转，得到，画出线段；    (2)在图（2）中，连接，将以C为位似中心缩小为原来的得到，画出；    (3)在图（3）中，在上画一点M，在上画一点N，使得最小．    【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 【分析】（1）利用平移性质可画出，利用平行四边形的性质，连接P和的中点并延长交于点G，即可得到； （2）根据位似图形的性质得到，，取中点E和格点G，连接并延长交于F，则，根据平行线分线段成比例得到点F为的中点，则即为所求作； （3）根据题意，当点N与点B重合时，最小，当于M时，最小，则最小，根据轴对称图形的性质作出点P关于的对称点，连接交于M，则． 【详解】（1）解：如图，线段、线段即为所求作； 理由：由平移性质得四边形是平行四边形， ∵平行四边形是中心对称图形，对角线的交点O为对称中心， ∴连接并延长与的交点G即为点P的对应点，故线段即为绕的中点O顺时针旋转180°所得的对应线段； （2）解：如图，即为所求作；    （3）解：如图，点M、N即为所求作．    【点睛】本题考查基本作图，涉及平移性质、位似图形性质、中心对称图形性质、轴对称图形性质、平行四边形的性质、平行线分线段成比例性质、垂线段最短等知识，熟知网格特点，熟练掌握基本作图所涉及到的知识点的运用是解答的关键． 38．（1）在正方形方格纸中，我们把顶点都在“格点”上的三角形称为“格点三角形”，如图，△ABC是一个格点三角形，点A的坐标为（－2，2）． ①△ABC的面积为______； ②在所给的方格纸中，请你以原点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的一半；（仅用直尺完成作图） ③在（2）中，若P（a，b）为线段AC上的任一点，则缩小后点P的对应点P1的坐标为______． （2）按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹： 我们知道，三角形具有性质：三边的垂直平分线相交于同一点，三条角平分线相交于一点，三条中线相交于一点，事实上，三角形还具有性质：三条高所在直线相交于一点． 请运用上述性质，只用直尺（不带刻度）作图． ①如图1，在平行四边形ABCD中，E为CD的中点，作BC的中点F． ②如图2，在由小正方形组成的4×3的网格中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，作△ABC的高AH． 【答案】（1）①；②见解析；③；（2）①见解析；②见解析 【分析】（1）①直接根据三角形的面积公式进行计算即可； ②利用位似图形的性质得出对应点的坐标进而得出答案； ③由位似变换的性质可得答案； （2）①根据平行四边形的性质，先连接和得到的中点，再连接交于点，则点为的重心，连接并延长交于点，则点即为所求； ②先过点作，再平移得到，则，接着作垂直平分线，平移得到，，与的交点为的垂心，所以延长交与，则． 【详解】解：（1）①, 故答案为：； ②如图，即为所求， ③若P（a，b）为线段AC上的任一点， 则缩小后点P的对应点P1的坐标为， 故答案为：； （2）①如图1，点即为所作； ②如图2，即为所作． 【点睛】本题考查了作图－位似变换，重心，平行四边形的性质，三角形的垂心等知识点，熟练掌握相关的图形的性质是解本题的关键． 39．如图①，在中，，，点D是上一点，且．动点F从点C出发沿方向以每秒2个单位长度的速度向经点B运动，以为边构造等腰直角三角形，其中F为直角顶点，且点E与点B位于线段两侧．设点F的运动时间为t（秒）． AI   (1)求线段的长度； (2)当点E落在的中位线上时，求出t的值： (3)连接，则线段的最小值是______． (4)如图②．以点B为位似中心，将缩小后得到，且．连接，当与的某条边平行时，直接写出t的值． 【答案】(1)15 (2)或 (3) (4)或 【分析】（1）运用勾股定理求解即可； （2）如图，以点B为原点，以所在直线为x轴，所在直线为y轴，向右向上为正方向，以的长为1个单位长度，建立平面直角坐标系．可得，，，，，过点E作轴于点N，证明，得到，，从而．分别取各边的中点，得到的中位线，进而求得各中位线的解析式，把点E坐标代入中位线解析式中，求解即可； （3）根据两点间的距离公式得到，再根据二次函数的性质即可求解； （4）根据题意得到与的相似比为，从而有，进而用待定系数法求出直线的解析式中k的值，再分别求出直线，直线，直线的解析式中k的值，根据两条直线平行，直线解析式中k的值相等，即可求解． 【详解】（1）∵在中．，， ∴； （2）如图，以点B为原点，以所在直线为x轴，所在直线为y轴，向右向上为正方向，以的长为1个单位长度，建立平面直角坐标系．    ∵，， ∴ ∵，， 当点F运动t秒时，，， ∴，，，，， 过点E作轴于点N，则 ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． ①如图，取的中点H，的中点G，则是的中位线，    ∴轴， ∵，，， ∴，， ∴线段的解析式为 若点在线段上， 则，即， 该不等式组无解， ∴点E不在中位线上； ②如图，取的中点G，的中点I，则是的中位线，    ∴轴， ∵，，， ∴，， ∴线段的解析式为 若点在线段上， 则，即， ∴当时，点E在中位线上； ③如图，取的中点H，的中点I，则是的中位线，    ∵，，， ∴，， 设线段的解析式为， ∴，解得， ∴线段的解析式为 若点在线段上， 则， 解得， ∴当时，点E在中位线上； 综上所述，当或时，点E落在的中位线上． （3）∵，， ∴， ∵， ∴当时，有最小值，为． 故答案为： （4）∵缩小后得到，且， ∴与的相似比为， ∵， ∴， 设经过点，的直线的解析式为， ∴，解得． 设经过，的直线的解析式为， ∴，解得． 设经过，的直线的解析式为， ∴，解得． 设经过，的直线的解析式为， ∴，解得． ①若，则，即， 解得， 经检验，是方程的解，且满足题意． ②若，则，即， 解得， 经检验，是方程的解， ∵， ∴． ③若，则，即， 解得或， 经检验，或是方程的解， ∵， ∴， 此时点F，位于点B，点E，在上，和在同一直线上． 综上所述，当或时，与的某条边平行． 【点睛】本题考查勾股定理，几何图形与函数，方程的应用，位似，综合运用相关知识，根据题意建立平面直角坐标系，运用函数的知识是解题的关键． 题型08旋转背景下的相似三角形的性质与判定 40．定义：如果将一个三角形绕着它的一个角的顶点旋转后，使这个角的一边与另一边重叠，再将所旋转后的三角形进行相似缩放，使重叠的两条边相互重合，我们称这样的图形变换为三角形转似，这个三角形的顶点称为转似中心，所得的三角形称为原三角形的转似三角形．如图，在中，，是以点为转似中心的顺时针的一个转似三角形，那么以点A为转似中心的逆时针的另一个转似三角形 （点分别与对应），其中边的长为 【答案】 【分析】根据条件可得，然后利用相似三角形的性质就可以求出结论． 【详解】解：如图所示， 由题意可得， ， ∴， ∵， ∴， 解得， 故答案为： 【点睛】本题考查了旋转的性质的运用，相似三角形的判定与性质的运用，解答时证明三角形相似，理解新定义，运用相似三角形的对应边成比例求解是关键． 41．在矩形中，点是对角线、的交点，直角的顶点与重合，、分别与、边相交于、，连接，（为常数）． （1）发现问题：如图1，若，猜想：________； （2）类比探究：如图2，，探究线段，之间的数量关系，并说明理由； （3）拓展运用：如图3，在（2）的条件下，若，，，求的长． 【答案】（1）1；（2），理由见解析；（3） 【分析】（1）根据题意可知，此时四边形ABCD为正方形，然后证明△OEB≌△OFC即可得到OE=OF，从而得出结论即可； （2）过作于，作于，利用相似三角形的判定与性质证明即可； （3）根据题意判定，从而得到，令，则，可在Rt△ABC中求出未知数，从而得到BC的长度，最终求得OF和OE的长度，再在Rt△OEF中利用勾股定理求解EF即可． 【详解】解：（1）若，则，即四边形ABCD为正方形， ∴OB=OC，∠OBE=∠OCF=45°，∠BOC=90°， ∵∠EOF=90°， ∴∠EOB=∠FOC， ∴△OEB≌△OFC， ∴OE=OF， ∴ 故答案为：1； （2）． 理由：过作于，作于， ∵， ∴四边形是矩形． ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在矩形中，， ∵， ∴， ∴， 同理， ∴， ∴； （3）∵， ∴， 由（2），， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 令，则， 由题意，， 由勾股定理得，， 解得：， ∴， ∴， ∴， 由（2）知，， ∴在中，， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，矩形的性质等，灵活根据题意构造相似三角形，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键． 42．综合与实践． 问题情境： 综合与实践课上，同学们开展了以“图形的旋转”为主题的数学活动． 实践操作： 如图1，将等腰Rt△AEF绕正方形ABCD的顶点A逆时针方向旋转，其中∠AEF＝90，EA＝EF，连接CF，点H为CF的中点，连接HD，HE，DE，得到△DHE． 应用探究： （1）勤奋组： 如图2，当点E恰好落在正方形ABCD的对角线AC上时，判断△DHE的形状，并说明理由； （2）善思组： 如图3，当点E恰好落在正方形ABCD的边AB上时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由； 深入探究： （3）创新小组： 发现若连接BE，在旋转Rt△AEF的过程中，为定值，请你直接写出其值　 　． 【答案】（1）勤奋组：△DHE是等腰直角三角形，见解析；（2）善思组：成立，见解析；（3）创新小组： 【分析】（1）结论：△DHE是等腰直角三角形．利用直角三角形斜边的中线的性质解决问题即可． （2）即可成立，连接BH，过点H作HG⊥AB于G．想办法证明DH＝BH，BH＝EH，∠DHE＝90°，可得结论． （3）利用相似三角形的判定和性质解决问题即可． 【详解】解：（1）结论：△DHE是等腰直角三角形． 理由：如图2中， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠CDF＝90°，∠DCA＝45°， ∵点H是CF的中点， ∴DH＝DH＝HF＝CF， ∵∠CEF＝90°，CH＝HF， ∴EH＝CH＝HF＝CF， ∴DH＝HE， ∵DH＝CH＝HE， ∴∠HCD＝∠HDC，∠HCE＝∠HEC， ∵∠DHF＝∠HDC+∠HCD，∠FHE＝∠HCE+∠HEC， ∴∠DHE＝2∠DCH+2∠HCE＝2∠DCA＝90°， ∴△DHE是等腰直角三角形． （2）如图3中，结论成立． 理由：连接BH，过点H作HG⊥AB于G． ∵四边形ABCD是正方形，∠EAF＝45° ∴A，F，A共线， ∵CB＝CD，∠BCH＝∠DCH＝45°，CH＝CH， ∴△BCH≌△DCH（SAS）， ∴DH＝BH，∠CDH＝∠CBH， ∵∠FEA＝∠HGA＝∠CBA＝90°， ∴EF∥GH∥BC， ∴， ∵CH＝HF， ∴GB＝GE， ∵HG⊥BE， ∴HB＝HE， ∴∠HBE＝∠HEB，HE＝HD， ∵∠CDA＝∠CBA＝90°，∠CDH＝∠ABH， ∴∠ADH＝∠ABH＝∠HEB， ∵∠HEB+∠AEH＝180°， ∴∠ADH+∠AEH＝180°， ∴∠DHE+∠DAE＝180°， ∵∠DAE＝90°， ∴∠DHE＝90°， ∴△DHE是等腰直角三角形． （3）如图1中，连接AC，BE． ∵∠CAB＝∠EAF＝45°， ∴∠CAF＝∠BAE， ∵， ∴△BAE∽△CAF， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边中线的性质和相似三角形的判定与性质，准确计算是解题的关键． 43．数学课上，有这样一道探究题． 如图，已知中，AB=AC=m，BC=n，，点P为平面内不与点A、C重合的任意一点，将线段CP绕点P顺时针旋转a，得线段PD，E、F分别是CB、CD的中点，设直线AP与直线EF相交所成的较小角为β，探究的值和的度数与m、n、α的关系，请你参与学习小组的探究过程，并完成以下任务： （1）填空： 【问题发现】 小明研究了时，如图1，求出了___________，___________； 小红研究了时，如图2，求出了___________，___________； 【类比探究】 他们又共同研究了α=120°时，如图3，也求出了； 【归纳总结】 最后他们终于共同探究得出规律：__________(用含m、n的式子表示)；___________ (用含α的式子表示)． （2）求出时的值和的度数． 【答案】（1）【问题发现】，60°；，45°；【类比探究】见（2）题的解析；【归纳总结】，；（2），30° 【分析】（1）当时，△ABC和△PDC都是等边三角形，可证△ACP∽△ECF，从而有，∠Q＝＝∠ACB＝60°；当时，△ABC和△PDC都是等腰直角三角形，同理可证△ACP∽△ECF即可解决，依此可得出规律； （2）当，可证，，从而有，由∠ECF＝∠ACP，可得△PCA∽△FCE即可解决问题． 【详解】（1）[问题发现]如图1，连接AE，PF，延长EF、AP交于点Q， 当时，△ABC和△PDC都是等边三角形， ∴∠PCD＝∠ACB＝60°，PC＝CD，AC＝CB， ∵F、E分别是CD、BC的中点， ∴，， ∴， 又∵∠ACP＝∠ECF， ∴△ACP∽△ECF， ∴，∠CEF＝∠CAP， ∴∠Q＝＝∠ACB＝60°， 当时，△ABC和△PDC都是等腰直角三角形， 如图2，连接AE，PF，延长EF、AP交于点Q， ∴∠PCD＝∠ACB＝45°，PC＝CD，AC＝CB， ∵F、E分别是CD、BC的中点， ∴，， ∴， 又∵∠ACP＝∠ECF， ∴△ACP∽△ECF， ∴，∠CEF＝∠CAP， ∴∠Q＝＝∠ACB＝45°， [归纳总结] 由此，可归纳出，＝∠ACB＝； （2）当，连接AE，PF，延长EF、AP交于点Q， ∵AB＝AC，E为BC的中点， ∴AE⊥BC，∠CAE＝60° ∴sin60°＝， 同理可得：， ∴， ∴， 又∵∠ECF＝∠ACP， ∴△PCA∽△FCE， ∴，∠CEF＝∠CAP， ∴∠Q＝＝∠ACB＝30°． 【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定与性质，通过解决本题感受到：图形在变化但解决问题的方法不变，体会“变中不变”的思想． 44．在学习完《图形的旋转》后，数学小组的同学们展开了新的探究． (1)【问题初探】 如图1，在中，点D在边上，交于点E．绕点A逆时针旋转得到（点D的对应点为点，点E的对应点为点），连接，，得到和，如图2，数学小组的同学们发现． 请你帮助他们证明这一发现． (2)【问题应用】 如图3，中，，，，M，N分别为边与的中点．绕点C旋转，点M的对应点为点E，点N的对应点为点F，直线与直线交于点G． ①如图4，当点E落在线段AF上时，求证：； ②当点A，E，F三点在同一条直线上时，直接写出的长． (3)【问题拓展】 如图5，在（2）条件下，连接，取中点K，取中点H，请直接写出的最大值为___________． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②或 (3) 【分析】（1）证明，根据旋转得出，，即可证明； （2）①根据M，N分别为边与的中点．得出，证明，即可得．由旋转可知，，证明，即可证明． ②分为当点G在线段上时，和当点G在线段延长线上时，分别画出图形，根据相似三角形的性质和勾股定理即可求解； （3）取中点P，连接，根据三角形中位线定理得出．．再结合，即可求解； 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴．     由旋转可知，， ∴，， ∴． 又∵， ∴． （2）解：①证明：如图3， ∵M，N分别为边与的中点． ∴， ∴， ∴． 由旋转可知，， ∴，， ∴． 又∵， ∴， ∴． 在与中， ∵， ∴． ②解：如图4，当点G在线段上时， ∵在中，，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴． 设，则， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 如图5，当点G在线段延长线上时， 同理可得，． （3）解：取中点P， ∵K为中点，连接， ∴． ∵H为中点， ∴． ∵， ∴， ∴的最大值为． 【点睛】该题主要考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，三角形中位线定理，旋转的性质，全等三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是证明三角形相似． 题型09折叠背景下的相似三角形的性质与判定 45．在边长为4的正方形中，E是边上一动点(不与端点重合)，将沿翻折，点A落在点H处，直线交于点F，连接，，分别与AC交于点P、Q，连接，．则以下结论中正确的有________  (写出所有正确结论的序号)． ①；②；③；④为等腰直角三角形；⑤若连接，则的最小值为． 【答案】①②④⑤ 【分析】①正确．由正方形的性质可证明，可得结论；②正确．证明，推出，推出，由，可得结论；③错误．可以证明；④正确．利用相似三角形的性质证明，可得结论；⑤正确．求出，，根据，可得结论． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， 在和中 ∴， ∴，故①正确； ∵沿翻折，点A落在点H处，直线交于点F， ∴，则，， ∵， ∴，则， ∵， ∴， ∵，， ∴，则，， ∴， ∵， ∴，则， ∵， ∴， ∴， ∴，则为等腰直角三角形，故④正确； ∵， ∴， ∵， ∴P，E，D，F四点共圆， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故②正确， 将绕点B顺时针旋转得到，连接， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，故③错误， 连接，， ∵，， ∴， ∴的最小值为，故⑤正确． 故答案为：①②④⑤． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题关键是学会添加常用辅助线吗，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 46．如图，正方形的边长为6，点P是边上的动点，将沿折叠得到，射线与边和射线的延长线交于F，E点． (1)如图①，若四边形是平行四边形，求证：； (2)如图②，当时，求的长； (3)如图③，当时，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了矩形的折叠问题，解题的关键是熟练掌握矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定和性质． （1）由折叠可得，由四边形是平行四边形，可得，可得，再证明，从而可得，从而得出，最后由等腰三角形的判定即可得结论； （2）先求得，由，得到，再由相似三角形的性质可得，从而求得，设，则，根据，列出方程并求解即可； （3）设，则，由，可得，可得，再证明，可得，求得，最后用三角形面积公式计算即可． 【详解】（1）由折叠可得， 四边形是平行四边形， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （2）， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， 中，， ， 中，， ， 中，， ， 解得：， ； （3）设，则， 中，， ， 解得：， ， ， ， ， ， ， ． 47．如图①，在中，，动点D从点C出发沿以每秒5个单位长度的速度向终点A运动，同时动点E从点A出发沿以每秒3个单位长度的速度向终点B运动．设点D运动的时间是t秒．过点D作于点F，连结．    (1)　　，　　；（用含t的代数式表示） (2)当四边形是菱形时，t的值为 　　； (3)当垂直于的一边时，求t的值； (4)如图②，将沿翻折，点A的对应点为点，直接写出点在外部时t的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3)t的值为或 (4)或 【分析】（1）先根据动点意义用含t的代数式表示出，再用减去即可求出； （2）先证明，求出，证明四边形是平行四边形，再根据菱形的性质得到，列出关于t的方程，解方程即可求出结果； （3）分两种情况进行讨论，根据相似三角形的判定与性质列出关于t的方程即可求出每种情况下的t值； （4）当或是钝角时将沿翻折，点A的对应点在外部，然后看t值在什么范围时这两个角是钝角即可求出将沿翻折，点A的对应点在外部时t的取值范围． 【详解】（1）解：∵动点D从点C出发沿以每秒5个单位长度的速度向终点A运动，运动时间为t秒， ∴， 又∵， ∴， ∵动点E从点A出发沿以每秒3个单位长度的速度向终点B运动，运动时间为t秒， ∴； （2）解：， ， ， ，即， ， ， 四边形是平行四边形， 当四边形是菱形时，， ∴， ∴； （3）解：当时，， ∴， ∴，即， 解得： ， 当时，， ∴， ∴，即， 解得： ． ∴t的值为或； （4）解：由（3）知当时，是钝角， 此时将沿翻折，点A的对应点在外部， 当时，是钝角， 此时将沿翻折，点A的对应点在外部， ∴将沿翻折，点A的对应点在外部时，t的取值范围为或． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查平行四边形、菱形的性质，折叠的性质，以及相似三角的判定与性质等知识，考查学生综合运用定理进行推理和计算的能力，特别注意分类讨论，分别求出t的值，避免漏解． 48．在矩形中，点E，F分别在边，上，将矩形沿折叠，使点A的对应点P落在边上，点B的对应点为点G，交于点H． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当P为的中点，，时，求的长； (3)如图3，连接，当P，H分别为，的中点时，探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)，见解析 【分析】（1）证明对应角相等，即可得到； （2）根据，求得的长度，从而得出长度； （3）延长，交于一点，连接，先证明，得到相等的边，再根据，得出大小关系． 【详解】（1）证明：如图， 四边形是矩形， ， ， ，分别在，上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上， ， ， ， ； （2）解：四边形是矩形， ，，， 为中点， ， 设， ， 在中，， 即， 解得， ， ， ， ，即， ， ， ． （3）解：如图，延长，交于一点，连接， ，分别在，上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上， ，直线， ， ， ， ， 是等腰三角形， ， 为中点， 设， ， 为中点， ， ，， ， ，， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ，即． 【点睛】本题考查了矩形与折叠、相似三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握以上基础知识是解题关键． 49．（1）【动手操作】如图1，将正方形沿直线折叠，使点的对应点M始终落在边上（点M不与点A，D重合），点C落在点N处，与交于点P，折痕分别与边，交于点，，连接．求证：； （2）【问题探究】在图1中，若正方形的边长为，当点运动到的中点时，求的长； （3）【拓展延伸】如图2，若把（1）【动手操作】中的正方形改成矩形，且，其中，其他条件不变，若，直接写出折痕的长度的取值范围是______．（用含m的式子表示） 【答案】（1）证明见解析；（2）2，（3）． 【分析】（1）过点作，垂足为，证明（）即可； （2）容易证明得，在中， ，根据线段关系列方程求解即可； （3）连接，过点作，垂足为，证明，得，由的取值范围得出的取值范围． 【详解】（1）如图，过点作，垂足为， ∵在正方形中，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴（）， ∴， （2）设，，则，， ∵，， ∴， 又∵在正方形中，， ∴， ∴， 又∵， ∴ ，整理得： 由折叠性质 ：， 在中， ，即， ∴， ∴ 解得：，（不合题意舍去） 即． （3）连接，过点作，垂足为， ∵在矩形中，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 若，则， 当点M与点A重合时，最小，， 当点M与点D重合时，最大，， ∴ ∴， 即： 【点睛】本题主要考查了正方形与折叠问题，全等三角形性质和判定、相似三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键． 题型10动点背景下的相似三角形的性质与判定 50．如图，在矩形中，厘米，厘米．点沿边从开始向点以厘米/秒的速度移动；同时点沿边从点开始向点以厘米/秒速度移动，用（秒）表示移动的时间（）． (1)当为何值时，为等腰直角三角形？ (2)求四边形的面积； (3)当为何值时，以点为顶点的三角形与相似？ 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【分析】（）由等腰三角形的定义可得，即得，解方程即可求解； （）根据即可求解； （）根据相似三角形的判定分和两种情况解答即可求解； 本题考查了矩形的性质，等腰三角形的定义，相似三角形的性质，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， 当时，为等腰直角三角形， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴； （3）解：∵四边形是矩形， ∴， 当时，， ∴， 解得； 当时，， ∴， 解得； 综上，当或时，以点为顶点的三角形与相似． 51．如图，中，，，，动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度向终点运动．是的中点，以为邻边作平行四边形．设点的运动时间为秒．（） (1)用含的代数式表示线段的长． (2)当点落在边上时，求的值． (3)当点在线段上运动时，平行四边形与重叠部分图形的周长为，求与之间的函数关系式． (4)当点到的一条直角边和斜边所在的直线距离相等时，直接写出的值． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)或或． 【分析】（）当点在线段上时，，当点在线段上时，，从而得出结果； （）证明从而得出，进一步得出结论； （）分当时和当时两种情况分析即可； （）分为点到和距离相等和到和的距离相等两种情形，当到和的距离相等时，可推出是等腰三角形，从而得出，当到和的距离相等时，可推出，进一步得出结果． 【详解】（1）∵， ∴， 当点在线段上时，， 当当点在线段上时，， 综上所述：； （2）如图， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）由（）得， 由题意得：， 如图，当时， ， 如图，当时， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，, ∴，， 则， ∴， ∴； （4）如图， 当点到和距离相等时，点在的平分线上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图， 当点到和的距离相等时，点在的平分线上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图， 当点到线段和的距离相等时，即点在的平分线上时，延长交于，作， ∵， ∴， 设，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述：或或． 【点睛】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，角平分线的判定，等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握知识点的应用及分类讨论的思想是解题的关键． 52．已知：如图，在四边形中，，，，，，连接，点从点出发沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发沿方向匀速运动，速度为；过点作交于点，连接，当一点停止运动时，另一点也停止运动，设运动时间为． (1)当点在线段的垂直平分线上时，求的值； (2)当四边形是矩形时，求的值； (3)设四边形的面积为，求与的函数关系式； (4)取的中点，是否存在某一时刻，使得点、、在同一条直线上？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)； (4)存在某一时刻时，使得点、、在同一条直线上． 【分析】过点作于点，由勾股定理求得，再证明，用表示，由当点在线段的垂直平分线上时，得，列出的方程求得的值便可； 当四边形是矩形时，则，得，进而列出的方程求解便可； 先证明，得，求得，再证，用表示，，，根据得出结果便可； 过点作，与交于点，如图，则，当、、三点共线时，，根据相似三角形的性质列出的方程，若方程无解，则不存在某一时刻，使得点、、在同一条直线上，若方程有解，则存在某一时刻，使得点、、在同一条直线上，求得其解便可． 【详解】（1）解：过点作于点，如图， ，，， ， ， ， ， ， ，即， ， 当点在线段的垂直平分线上时，则， 即， 解得； （2）解：当四边形是矩形时，则， ， ，即， 解得； （3）解：，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ，， ， ， 即； （4）解：过点作，与交于点，如图，则， 是的中点， ∴， ，， ， 当、、三点共线时， ， ， ，即， 整理得，， 解得舍或， 故存在某一时刻时，使得点、、在同一条直线上． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，三角形的面积，直角三角形的性质，求函数解析式，构造直角三角形和证明相似三角形是解题的关键． 53．如图，在中，，，，点为中点，动点P从点A出发，沿边以每秒5个单位长度的速度向终点运动，连结，将线段绕点逆时针旋转得线段，连结．设点运动的时间为秒． (1)用含的代数式表示点到的距离为________； (2)当点落在内部（不包括边界）时，求的取值范围； (3)当与的一边平行时，求线段的长度； (4)当经过点E与的一个顶点的直线平分面积时，直接写出的值． 【答案】(1)3t (2) (3)或6 (4)或或 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形中线的性质； （1）先作辅助线，根据两个三角形相似可得到结果； （2）当点在边界上时，求出结果，即可得到取值范围； （3）可分为两种情况，，根据题意画出图形，根据相似三角形的性质即可求解． （4）分为三种情况，分别是经过三条中线，分别画出图形，结合图形，根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）解：过点作与一点，如图所示： ∵在中，，，， ∴， ∵点为中点， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点从点出发，沿边以每秒个单位长度的速度向终点运动， ∴， 即； （2）解：当点在上时，过点作于点，如图所示： 此时均为等腰直角三角形， 即，， ∴, ∴，即， ∴； 当点在上时，如图所示： 此时，即， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴； ∴当点落在内部（不包括边界）时，的取值范围； （3）解：可分为两种情况： 当时，过点P，E分别作垂线，如图所示： 此时四边形是矩形， ∵为等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，过点作，如图所示： ， 点是中点， 点也是的中点， ； 当与的一边平行时，线段的长度为或； （4）解：当经过点与的一个顶点的直线平分面积时，此时点在的中线上，可分为三种情况： 当点在上时，如图所示： 此时， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，即， ∴， ∴，解得， ∴， ∴， 即； 当点在中线上时，如图所示：连接，则， 过点作于点，过点作于点，交于点， 在中， ∴ ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 解得： ∴ ∴ ∴ 如图所示，当经过中线时， 同理可得 ∴ ∴即 解得： ∴ ∴ ∴ 综上所述的值为：或或 54．如图，在中，，点从点出发，沿折线以速度向点运动，同时点从点出发，沿方向以的速度向点运动，点到达点时，点同时停止运动，当点不与重合时，作点关于直线的对称点，连接交于点，连接．设运动时间为．                                   备用图 (1)当为何值时，？ (2)设的面积为，求与的函数关系式并写出的取值范围； (3)当为何值时，为直角三角形？ 【答案】(1) (2) (3) 或 【分析】（1）当时，得，则，代入计算即可； （2）根据点，点关于直线的对称，得到，证明，由三角形相似得到的长，再求出的代数式，根据代入化简即可； （3）分点M在上或点M在上，由轴对称性知，是等腰三角形，从而点D为直角顶点，利用三角函数表示出和的长，进而解决问题． 【详解】（1）解：在中，由勾股定理得，， 当时， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴时，； （2）解：点，点关于直线的对称， ， ， ， ， ， ， ∴， ， ， ， ， ， ； （3）解：∵点N是点M关于直线的对称点， ∴， ∴为等腰三角形， ∴当为直角三角形时，， ∴， ∵， ∴此时为等腰直角三角形， 即， ①如图，当M在上运动时，此时， ∵， ∴， ， ∴， ， ， ∵， ∴， ∴，符合题意， ②如图，当M在上运动时，此时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，符合题意， 综上所述，当 或 时，为直角三角形． 【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，轴对称的性质，熟练利用相似三角形的性质表示线段的长是解题的关键． 55．如图（1），在四边形中，，，，，，动点从点开始沿边匀速运动，动点从点开始沿边匀速运动，它们的运动速度均为．点和点同时出发，设运动的时间为，． ‍ (1)用含的代数式表示； (2)当以点，，为顶点的三角形与相似时，求的值； (3)如图（），延长，，两延长线相交于点，当为直角三角形时，求的值． 【答案】(1)； (2)或； (3)或． 【分析】（1）过点作于，得矩形，则，，，由勾股定理可求得的长，从而可得； （2）分两种相似情况加以考虑，根据对应边成比例即可完成； （3）分和两种情况考虑，再由相似三角形的性质即可求得的值． 【详解】（1）解：过点D作，如图所示，    ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ，， ， 在中，由勾股定理，得， ， ． （2）①当时，则有， ， 解得． ②当时，则有， ，解得． 综上所述，当或时，以点，，为顶点的三角形与相似； （3）①当时，为直角三角形，如图， 过点作于，于， ， ， ， ， ， ， ，即， ∵， ， ，， ，， ， 由，得， 解得． ②当时，为直角三角形，如图：则， ， ， ，即， 解得． 综上所述，当或时，是直角三角形． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，作出合适的辅助线，清晰的分类讨论是解本题的关键． 56．【问题探究】 （1）如图1，△ABC和△DEC均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点B，D，E在同一直线上，连接AD，BD． ①请探究AD与BD之间的位置关系？并加以证明． ②若AC＝BC＝，DC＝CE＝，求线段AD的长． 【拓展延伸】 （2）如图2，△ABC和△DEC均为直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝，BC＝，CD＝，CE＝1．将△DCE绕点C在平面内顺时针旋转，设旋转角∠BCD为α（0°≤α＜360°），作直线BD，连接AD，当点B，D，E在同一直线上时，画出图形，并求线段AD的长． 【答案】（1）①，证明见解析；②4；（2）画图见解析，或 【分析】（1）①由“”可证，可得，可得；②过点作于点，由勾股定理可求，，的长，即可求的长； （2）分点在左侧和右侧两种情况讨论，根据勾股定理和相似三角形的性质可求解． 【详解】解：（1）和均为等腰直角三角形， ，，， ， ，且，， ， ， ， ， 故答案为：； ②如图，过点作于点， ，，， ， ， ， 故答案为：4； （2）若点在右侧， 如图，过点作于点， ，，，，． ，， ， ， ，， ， ，， ， ， 即， ，， ， ， 若点在左侧， ，，，，． ，， ， ， ， ，， ， ，， ， ， 即， ，， ， ． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识点，关键是添加恰当辅助线． 57．如图1和2，在矩形中，，点在边上．且．点分别在边上，且．点从点出发沿折线匀速运动，点在边上随移动，且始终保持；点从点出发沿匀速运动，点同时出发，点的速度是点的一半，点到达点时停止，点随之停止．设点P移动的路程为x．    (1)当点Q与点K重合时，通过计算确定点P的位置； (2)若点P在上，当时，如图2，求x的值； (3)在点P沿折线运动过程中，求点Q，E的距离（用含x的式子表示）； (4)已知点P从点M到点B再到点N共用时20秒，请直接写出点K在线段上（包含端点）的总时长． 【答案】(1)点P在上与点B相距的位置 (2) (3)当时，；当时，；时，；当时， (4)14秒 【分析】（1）先分析得到，利用，求解，再进一步可得答案； （2）当点P在上，，得，证明，再进一步可得答案； （3）分情况讨论：①当点P在上时，此时，②当点P在上时，此时，，当时，点Q与点E重合，此时； 当时，点Q在点E下方，再进一步可得答案； （4）根据题意，可对点P的位置进行分析：①若点在上，点与点重合时；②若点在上（不含点），或当点与点重合时，；分别求出答案，然后即可求出总时长． 【详解】（1）解：设的运动速度为， ∴， 当时，，解得， ， ∴点P在上与点B相距的位置； （2）当点P在上，，得， ， ， ， 在和中， ， ， 又， ， 解得； （3）①当点P在上时， 此时， 由题意可知，， ； ②当点P在上时，此时，， ， ， 又， ， ， ， 令， 即， 解得（舍去）或， 当时，点Q在点E上方， 此时， ； 当时，点Q与点E重合，此时； 当时，点Q在点E下方， 此时， ； （4）点的运动速度单位长度/秒． ①若点在上，点与点重合时 ． 即． 点到达点时 ，． 当时点在线段上． ②若点在上（不含点），则． 则，即． ． 当时，． 解得：，． 当点与点重合时， 即，解得：． 当或时点在线段上． 综上点在线段上的总时长为秒． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，运用分类讨论的思想进行分析． 题型11相似三角形的综合问题 58．【探究证明】 （1）如图1，矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB、CD于点E、F，GH分别交AD、BC于点G、H，求证： ； 【模型应用】 （2）如图3，四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD=10，BC=CD=5，AM⊥DN，点M、N分别在边BC、AB上，求的值． 【变式拓展】 （3）如图3，平行四边形，，，直线与平行四边形相交，将平行四边形沿直线l折叠，当其中有一组对角顶点重合时，请直接写出折痕的长度． 【答案】（1）见解析   （2）  （3）或 【分析】（1）过点作，交于，过点作，交于，如图1，易证，，，然后运用相似三角形的性质就可解决问题； （2）过点作平行于的直线，交过点平行于的直线于，交的延长线于，如图3，易证四边形是矩形，由（1）中的结论可得．设，，则，，根据勾股定理列出方程组解出x，y，问题得以解决． （3）分两种情况，①沿l折叠后点重合，过作垂线垂足为，构造矩形，由（1）的结论可得；②沿l折叠后点 重叠，过作垂线垂足为，由（1）的结论可得． 【详解】解：（1）过点作，交于，过点作，交于，如图1， 四边形是矩形， ∴，． 四边形、四边形都是平行四边形， ，． 又， ， ． 四边形是矩形， ， ， ． ， ， ， （2）过点作平行于的直线，交过点平行于的直线于，交的延长线于，如图2，则四边形是平行四边形． ，是矩形， ，，． ， 由（1）中的结论可得 ， 设，，则，， 在中，①， 在中，②， 由②①得③， 解方程组，得 ， ， ． （3）①若沿l折叠，点重叠，设l与的交点为．则垂直，过作垂线垂足为， ∵，，， ∴， ∴ ∴， 在中 由探究结论可得， ∴， ∴； ②若沿l折叠，点重叠，设l与的交点为．则垂直，过作垂线垂足为， ∵，， ∴， ∴ ∴， 在中 由探究结论可得， ∴， ∴． 所以，或． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、解二元二次方程组等知识，运用（1）中的结论是解决第（2）、（3）小题的关键． 59．定义：有一组邻边垂直且对角线相等的四边形称为垂等四边形． （1）矩形 垂等四边形（填 “是”或“不是”）； （2）如图1，在正方形中，点、、分别在、、上，四边形是垂等四边形，且，． ①求证：； ②若，求的值； （3）如图2，在中，， 以为对角线，作垂等四边形．过点作的延长线的垂线，垂足为，且与相似，则四边形的面积是 ． 【答案】（1）是；（2）①见解析；②；（3）或 【分析】（1）根据“垂等四边形”的定义进行分析； （2）①通过的性质推知；然后根据四边形是垂等四边形的性质知；最后由等量代换证得结论； ②如图1，过点作，垂足为，首先证明为等腰直角三角形，则；然后证得为等腰直角三角形；再次，根据等腰直角三角形的性质和已知条件得到：，．代入求值即可； （3）如图2，过点作，垂足为，构造矩形．在中，利用勾股定理求得，．再由垂等四边形四边形的性质知． 分两种情况：当时，利用相似三角形的对应边成比例和勾股定理求得相关线段的长度，由求得结果； 当时，利用相似三角形的对应边成比例和勾股定理求得相关线段的长度，由求得结果． 【详解】解：（1）矩形有一组邻边垂直且对角线相等，故矩形是垂等四边形． 故答案为：是； （2）①证明：四边形为正方形， ，． 又， ， ． 四边形是垂等四边形， ， ； ②如图1，过点作，垂足为， 四边形为矩形， ． 由①知， ． 由题意知，，， ， 即， 为等腰直角三角形， ． 又， ， 为等腰直角三角形， ， ， ，． ， ； （3）如图2，过点作，垂足为， 四边形为矩形． ， ． 在中，， 根据勾股定理得，，即， ，． 四边形为垂等四边形， ． 第一种情况： 当时， ， 设，则， ． 在中，根据勾股定理得，， 即， 解得，（舍去）， ，， ； 第二种情况： 当时， ， 设，则， ． 在中，根据勾股定理得，， 即， 解得，（舍去）， ，， ． 综上所述，四边形的面积为或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了相似综合题，综合运用相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用等知识点解题，解题的关键是掌握“垂等四边形”的定义，另外解题过程中，注意方程思想的应用．难度较大． 60．如图，在矩形中，，．点M，N分别是，边上的动点，连接、．请你解答下列问题： (1)如图1，若M是边上的中点且，求的值； (2)如图2，若M是边上的三等分点且，连接，求的面积． 【答案】(1) (2)或5 【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质等知识点，理解并掌握相关图形的性质是解决问题的关键． （1）根据矩形的性质，可证明，进而求得，根据，即可求解； （2）过点作交延长线于，过点作延长线于，延长交于，可证，，得，，则，，再根据是的三等分点，可知，或，，分两种情况求解即可． 【详解】（1）解：在矩形中，，，， 则 ∵是边上的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即，解得：， 则， ∴； （2）过点作交延长线于，过点作延长线于，延长交于， 则四边形是矩形，，，， ∵，，则 ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，，则， ∵， ∴，则 ∵是的三等分点， ∴，或，， 当，时，，则， ∵，即：， ∴，， 则 ； 当，，时，，则， ∵，即：， ∴，， 则 ； 综上，的面积为或5． 61．张老师在讲“图形的对称”时，进行了如下教学设计． 【观察发现】 （1）如图1，在平面直角坐标系中，的顶点与坐标原点重合，点在轴的正半轴上，点均在第一象限，，分别作点关于轴，轴的对称点，连接，则可看作是由绕点顺时针旋转______得到的；______． 【迁移探究】 （2）在中，边上的高，求的长． ①小明利用（1）中的方法解决此问题，过程如下： 根据要求作出，如图2所示，再分别作关于的对称线段，连接并延长交于点，请补全图形并求出的长． ②小明发现根据要求还可以作出钝角三角形，如图3所示，请直接写出此时的长． 【拓展应用】 （3）在中，边上的高，请直接写出的长． 【答案】（1）180，4；（2）①补全图形见解析，；②的长为；（3）的长为或 【分析】（1）根据轴对称的性质即可得到结论； （2）①根据轴对称的性质得到，，，，根据全等三角形的性质得到，根据矩形的性质得到，推出四边形是正方形，根据勾股定理得到2，由轴对称的性质得，设，则，，根据勾股定理得到； ②如图3，分别作关于，的对称线段，连接并延长交于点D，方法同①； （3）①当是锐角三角形时，如图4，根据轴对称的性质得到，，连接，根据全等三角形的性质得到，得到，过B作于H，设，根据相似三角形的性质得到，求得3，得到，于是得到；②当是钝角三角形时，同①作辅助线，如图5，连接，过B作交的延长线于H，方法同①． 【详解】解：（1）如图1所示； 可看作是由绕点O顺时针旋转得到的；， 故答案为：180，4； （2）①补全图形如图2所示， ∵关于，的对称线段， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∵， ∴2， 由轴对称的性质得， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②如图3，分别作关于，的对称线段，连接并延长交于点D， 由①知四边形是正方形，， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长为； （3）①当是锐角三角形时，如图4， 分别作关于，的对称线段，连接并延长交于点D， ∴， 连接， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 过B作于H， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴3， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，3， ∴ ∴； ②当是钝角三角形时，同①作辅助线，如图5， 连接，过B作交的延长线于H， 同理可得，， 设，则，x， ∴， ∴， ∴ ， ∴， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确地作出辅助线是解题的关键． 62．在和中，，，，D是的中点，连接，点E在线段上移动（不与点D重合），连接，始终在的右侧． (1)发现问题 如图1，当点E与点A重合时，________，________． (2)探究问题 如图2，当E是上任意一点时，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． (3)解决问题 当时，请直接写出的值． 【答案】(1)； (2)当为上任意一点，（1）中的结论仍然成立，理由见解析 (3)或2 【分析】（1）根据题意，，，可知，均为等腰直角三角形，即可求解． （2）当为上任意一点，但不包括点，点，则有，当点为点时，同（1），有，，即可得出结论． （3）当在上时，当在上时，利用，分别求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，，， 且， 可知，均为等腰直角三角形， 当在点时，，， ∴， ∴， 是中点，， ，即，， ∴， ∵， ∴ ∴， 即为等腰直角三角形， 可得，， ， 故答案为：，． （2）解：当为上任意一点，但不包括点，点， 则有， 在中，， ， 在中，，， 在，中，存在， ∵， ∴ ， ，， ， ，成立， 当点为点时，同（1），有，，成立． 综上，当E是上任意一点时，（1）中的结论仍然成立． （3）解：当在上时，如图， 由（2）知， ， ， ∵当时， ∴， ， 当在上时，如图， 同理可得，， ， 综上，当时，或2． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解题关键在于读懂题意，熟练掌握全等三角形的性质与判定，相似三角形的判定与性质． 63．如图 (1)【问题情境】如图，四边形是正方形，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作正方形，连接，则与的数量关系是　 　； (2)如图，四边形是矩形，，，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作矩形，且，连接，判断线段与有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由； (3)【拓展提升】如图，在（）的条件下，连接，则的最小值为　 　． 【答案】(1)； (2)，，理由见解析； (3)． 【分析】()证明，即可得到； ()证明，得到，，延长相交于点，可以证明； ()作于，交的延长线于，首先证明点的运动轨迹是线段，将的最小值转化为求的最小值即可求解． 【详解】（1）解： ∵正方形， ∴，， ∵正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：，，理由如下： 延长相交于点 ∵矩形、矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵ ， ∴， ∴，， ∴， ∵矩形， ∴， ∴，， ∴， ∴； （3）解：作于，交的延长线于， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点的运动轨迹是直线， 作点关于直线的对称点，连接交于，此时的值最小，最小值为， 由()知，， ∴， ∴， ∴的最小值就是的最小值， ∵， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，轴对称最短线段问题，正确作出辅助线是解题的关键． 64．探究与证明 已知四边形中，，分别是，边上的点，与交于点． 【图形认知】 （1）如图1，若四边形是正方形，且于点，求证：； 【探究证明】 （2）如图2，若四边形是矩形，且，求证：； 【拓展运用】 （3）如图3，将矩形沿折叠，使得点落在边上的点处，点落在点处，得到四边形，若，，，求三角形的面积． 【答案】（1）见解析（2）见解析（3） 【分析】（1）根据正方形的性质，证明即可得证； （2）根据矩形的性质，证明，即可得证； （3）折叠可知：，由（2）可得：，求出的长，勾股定理求出的长，设，在中，利用勾股定理求出的值，再利用面积公式进行求解即可． 【详解】（1）解：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：四边形是矩形， ， ， ， ，， ， ， ， ； （3）由折叠可知：， 由（2）可知，，即，解得， 在中，由勾股定理得， 由折叠的性质可得，， 设：，则， 在中，由勾股定理得， ，解得， ∴， ． 【点睛】本题考查正方形的性质，矩形与折叠，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，证明三角形全等和相似，是解题的关键． 65．在四边形中，且，．将绕点顺时针旋转一定角度得线段，点在四边形内部，连接，，连接并延长交于点．    (1)如图，若，过点作延长线的垂线，垂足为，求的度数； (2)如图2，若为的中点，求的值； (3)如图3，若，连接并延长交于点，，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查旋转的性质，三角形全等的性质和判定，三角形相似的性质和判定，熟练掌握三角形全等的性质和判定，三角形相似的性质和判定是解题的关键； （1）根据旋转的性质，得到全等三角形的性质，从而得到，然后利用三角形全等即可求解； （2）由点向作垂线，垂足为，向作垂线，垂足为，由点向的延长线交于点，求证，，从而求解； （3）由点向，作垂线，垂足为，；由向作垂线，垂足为；由向下作垂线，垂足为；连接，设，，，证明，相似比为，从而根据线段成比例，求解的长度； 【详解】（1）解：绕点顺时针旋转一定角度得线段， ， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ， （2）解：由点向作垂线，垂足为，向作垂线，垂足为，由点作的垂线，交的延长线交于点；    设，， ，， ， 同理； 故， ， ，， ， ， ， ， ， ， （3）解：由点向，作垂线，垂足为，；由向作垂线，垂足为；由向下作垂线，垂足为；连接，设，，，    由题意可知，， ， ， 则； ， ，，，四点共圆； ， ，相似比为， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 试卷第2页，共180页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$