第11讲 勾股定理的简单应用（3考点5题型）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（苏科版）

第11讲 勾股定理的简单应用 课程标准 学习目标 1 能运用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题； 2 体会勾股定理在解决实际问题中的作用； 3 培养学生的数学应用意识和实践能力。 1. 熟练运用勾股定理及其逆定理解决实际问题； 2. 提高学生分析问题和解决问题的能力； 3. 培养学生的数学思维和应用意识。 知识点一、勾股定理的应用 1.用勾股定理解决一般问题的步骤 （1）由题意画出符合要求的直角三角形，把实际问题转化为数学问题； （2）将待求的量看成直角三角形的一条边； （3）利用勾股定理求解. 2.求直角三角形边长的方法 若已知两边长，可直接由勾股定理求第三边长，若已知一边及另外两边的关系，可设未知数根据勾股定理求解. 知识点二、利用勾股定理解决最短路线问题 1.求长方体表面上两点间最短路线的方法： 需将长方体相应几个面展开，从而将长方体表面上两点间的距离转化为求平面内两点间的距离，构造直角三角形，通过勾股定理求解； 2.求几何体表面上最短路线长的方法 应用转化思想，将空间问题转化为平面问题，将曲面转化为平面，将曲线转化为直线，连接起点与终点所得到的线段作为三角形的一条边，从而构造直角三角形，然后利用勾股定理求出最短路线长. 知识点三、利用勾股定理解决航海类问题 常见的航海问题有避险、抵御台风等，解决这类问题要先确定方位角，然后由方位角正确作出几何图形，通过添加辅助线构造直角三角形，将实际问题转化为与勾股定理有关的几何问题. 题型01 梯子滑落问题 1．如图，一个工人拿一个2.5米长的梯子，底端A放在距离墙根C点0.7米处，另一头B点靠墙，如果梯子的顶部下滑0.4米，梯子的底部向外滑多少米？（　　） A．0.4 B．0.6 C．0.7 D．0.8 【分析】首先在直角三角形ABC中计算出CB长，再由题意可得EC长，再次在直角三角形EDC中计算出DC长，从而可得AD的长度． 【解答】解：∵AB＝2.5米，AC＝0.7米， ∴（米）， ∵梯子的顶部下滑0.4米， ∴BE＝0.4米， ∴EC＝BC﹣0.4＝2（米）， ∴（米）． ∴梯子的底部向外滑出AD＝1.5﹣0.7＝0.8（米）． 故选：D． 【点评】此题主要考查了勾股定理在实际生活中的应用，关键是掌握直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方． 2．如图，一架2.5m长的梯子AB，斜靠在竖直的墙AC上，这时梯子的底部B到墙底端C的距离为1.5m，则梯子的顶端距地面为 　　m． 【分析】直接根据勾股定理求解即可． 【解答】解：由勾股定理得，（m）， 即梯子的顶端距地面为2m， 故答案为：2． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键． 3．如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为2米，顶端距离地面1.5米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2.4米，则小巷的宽度为 　　米． 【分析】在Rt△ABE中，根据勾股定理求出AE的长，再在Rt△CDE中，求出CE的长，最后由BC＝BE+CE进行计算即可得到答案． 【解答】解：如图， 根据题意得：AE＝DE， 在Rt△ABE中，AB＝1.5米，BE＝2米， ∴（米）， 在Rt△CDE中，DE＝2.5米，CD＝2.4米， ∴（米）， ∴BC＝BE+CE＝2+0.7＝2.7（米）， ∴小巷的宽度为2.7米， 故答案为：2.7． 【点评】本题考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型． 题型02 大树折断问题 1．一根竹子高一丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，则折断处离地面的高度是 　　尺．（这是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题其中的丈、尺是长度单位，1丈＝10尺．） 【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面的高度是x尺，则斜边为（10﹣x）尺，利用勾股定理解题即可． 【解答】解：1丈＝10尺， 设折断处离地面的高度为x尺，则斜边为（10﹣x）尺， 根据勾股定理得：x2+32＝（10﹣x）2 解得：x＝4.55． 答：折断处离地面的高度为4.55尺． 故答案为：4.55． 【点评】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题． 2．如图，一根树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离底部12米处．树折断之前有 　　米． 【分析】根据勾股定理，计算树的折断部分是15米，则折断前树的高度是15+9＝24米． 【解答】解：因为AB＝9米，AC＝12米， 根据勾股定理得米， 于是折断前树的高度是15+9＝24米． 故答案为：24． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟练运用勾股定理进行计算，是基础知识，比较简单． 3．由于大风，山坡上的一棵树甲被从点A处拦腰折断，如图所示，其树恰好落在另一棵树乙的根部C处，已知AB＝4米，BC＝13米，两棵树的株距（两棵树的水平距离）为12米，请你运用所学的知识求这棵树原来的高度． 【分析】首先构造直角三角形，进而求出BD的长，进而求出AC的长，即可得出答案． 【解答】解：如图所示：延长AB，过点C作CD⊥AB延长线于点D， 由题意可得：BC＝13m，DC＝12m， 故（m）， 即AD＝9m， 则（m）， 故AC+AB＝15+4＝19（m）， 答：树原来的高度19米． 【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，得出BD的长是解题关键． 题型03 求旗杆高度 1．小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高是（　　） A．8米 B．10米 C．12米 D．14米 【分析】根据题意设旗杆的高AB为x米，则绳子AC的长为（x+1）米，再利用勾股定理即可求得AB的长，即旗杆的高． 【解答】解：画出示意图如下所示： 设旗杆的高AB为xm，则绳子AC的长为（x+1）m， 在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2， ∴x2+52＝（x+1）2， 解得：x＝12， ∴AB＝12m， 即旗杆的高是12m． 故选：C． 【点评】此题考查了勾股定理在实际问题中的应用，能够正确理解题意继而构造直角三角形是解决本题的关键，难度一般． 2．如图，小华将升旗的绳子拉到竖直旗杆的底端，绳子末端刚好接触地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆6m处，此时绳子末端距离地面2m，则绳子的总长度为　　m． 【分析】根据题意画出示意图，设绳子的长度为xm，可得AC＝AD＝xm，AB＝（x﹣2）m，BC＝6m，在Rt△ABC中利用勾股定理可求出x． 【解答】解：过C作CB⊥AD于B， 设绳子的长度为xm，则AC＝AD＝xm，AB＝（x﹣2）m，BC＝6m， 在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，即（x﹣2）2+62＝x2， 解得：x＝10， 即绳子的长度为10m． 故答案为：10． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，构造直角三角形的一般方法就是作垂线． 3．如图，同学们想测量旗杆的高度（米），他们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知．小明和小亮同学应用勾股定理分别提出解决这个问题的方案如下： 小明：①测量出绳子垂直落地后还剩余1米，如图1； ②把绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部的距离AC＝4米，如图2． 小亮：先在旗杆底端的绳子上打了一个结，然后举起绳结拉到如图3点D处（BD＝BC），作DF垂直AC于点F，DF＝EC． （1）请你按小明的方案求出旗杆的高度BC； （2）在（1）的条件下，已知小亮举起绳结离旗杆的距离DE＝4.5米，求此时绳结到地面的高度DF． 【分析】（1）设旗杆的高度BC为x米，则绳子的长度为（x+1）米，旗杆，绳子与地面构成直角三角形，根据勾股定理即可解答； （2）由题可知，BD＝BC＝7.5米，DE＝4.5米．在Rt△BDE中，根据勾股定理求出BE＝6米，即可解决问题． 【解答】解：（1）设旗杆的高度BC为x米，则绳子的长度为（x+1）米， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：x2+42＝（x+1）2， 解得：x＝7.5， 答：旗杆的高度BC为7.5米； （2）由题意可知，BD＝BC＝7.5米，DE＝4.5米，DF＝EC， 在Rt△BDE中，由勾股定理得：（米）， ∴EC＝BC﹣BE＝7.5﹣6＝1.5（米）， ∴DF＝EC＝1.5米． 答：此时绳结到地面的高度DF为1.5米． 【点评】本题考查的是勾股定理的应用，根据题意得出直角三角形是解答此题的关键． 题型04 航海问题 1．如图，甲轮船以16海里/时的速度离开港口O向东南方向航行，乙轮船在同时同地向西南方向航行，已知它们离开港口1.5小时后分别到达B、A，已知AB＝30海里，则乙轮船每小时航行（　　） A．12海里 B．16海里 C．18海里 D．24海里 【分析】根据题目提供的方位角判定AO⊥BO，然后根据甲轮船的速度和行驶时间求得OB的长，利用勾股定理求得OA的长，除以时间即得到乙轮船的行驶速度． 【解答】解：∵甲轮船向东南方向航行，乙轮船向西南方向航行， ∴AO⊥BO， ∵甲轮船以16海里/小时的速度航行了一个半小时， ∴OB＝16×1.5＝24海里，AB＝30海里， 在Rt△AOB中，（海里）， ∴乙轮船每小时航行18÷1.5＝12海里． 故选：A． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，解决本题的关键是根据题目提供的方位角判定直角三角形． 2．如图，甲船从港口A出发向东北方向航行16海里到达B地，乙船同时从港口A出发向东南方向航行12海里到达C地，此时，两船之间的距离是 　　海里． 【分析】根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角，再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离． 【解答】解：∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向， ∴∠BAC＝90°， ∴△ABC为直角三角形， 根据勾股定理得：（海里）． 故答案为：20． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，方向角，熟练运用勾股定理进行计算是解答本题的关键． 3．如图，某港口位于东西方向的海岸线上．“惠州”号、“中山”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“惠州”号每小时航行10海里，“中山”号每小时航行7.5海里．它们离开港口2h后相距25海里．如果知道“惠州”号沿东北方向航行，能知道“中山”号沿哪个方向航行吗？ 【分析】根据路程＝速度×时间求出OA、OB的长度，由OA2+OB2＝AB2可得出∠AOB＝90°，结合“惠州”号航行的方向即可求出∠SPR的度数，由此即可得出“中山”号航行方向． 【解答】解：能， 理由：∵OA＝10×2＝20（海里），OB＝7.5×2＝15（海里）， ∵AB＝25（海里）， ∴202+152＝252，即OA2+OB2＝AB2， ∴∠AOB＝90°． ∵∠BOC＝45°， ∴∠AOC＝45°， 答：“中山”号沿西北方向航行． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 题型05 最短路径问题 1．如图，有两棵树，分别记为AB，CD．其中一棵树AB高12米，另一棵树CD高6米，两棵树相距8米．若一只小鸟从树梢A到树梢C，求小鸟飞行的最短距离． 【分析】过点C作CE⊥AB与点E，则四边形BDCE是矩形，得BE＝CD＝6米，CE＝BD＝8米，则AE＝AB﹣BE＝6米，然后由勾股定理求出AC的长即可． 【解答】解：如图，由题意可知，AB＝12米，CD＝6米，BD＝8米， 过点C作CE⊥AB与点E， 则四边形BDCE是矩形， ∴BE＝CD＝6米，CE＝BD＝8米， ∴AE＝AB﹣BE＝6米， ∴（米）， 答：小鸟飞行的最短距离为10米． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 2．如图所示，汉江是长江最大的支流，它流经美丽的荆门，汉江一侧有一村庄C，江边原有两个观景台A，B，其中AB＝AC，现建设美丽乡村，决定在汉江边新建一个观景台H（点A，H，B在同一条直线上），并新修一条路CH，测得BC＝6千米，CH＝4.8千米，BH＝3.6千米． （1）CH是不是从村庄C到江边的最短路线？请通过计算加以说明； （2）求原来的路线AC的长． 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理解答即可； （2）根据勾股定理解答即可． 【解答】解：（1）是， 理由是：在△CHB中，BC＝6千米，CH＝4.8千米，BH＝3.6千米， ∴CH2+BH2＝4.82+3.62＝36，BC2＝36， ∴CH2+BH2＝BC2， ∴CH⊥AB， 所以CH是从村庄C到河边的最短路线； （2）设AC＝x千米， 在Rt△ACH中，由已知得AC＝x千米，AH＝（x﹣3.6）千米，CH＝4.8千米， 由勾股定理得：AC2＝AH2+CH2， ∴x2＝（x﹣3.6）2+4.82， 解这个方程，得x＝5， 答：原来的路线AC的长为5千米． 【点评】此题考查勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 3．如图，一艘轮船从A港向南偏西50°方向航行100km到达B岛，再从B岛沿BM方向航行125km到达C岛，A港到航线BM的最短距离是60km（即AD＝60km）． （1）若轮船速度为25km/h，求轮船从C岛沿CA返回A港所需的时间； （2）请你判断C岛在A港的什么方向，并说明理由． 【分析】（1）Rt△ABD中，利用勾股定理求得BD的长度，则CD＝BC﹣BD；然后在Rt△ACD中，利用勾股定理来求AC的长度，则时间＝路程÷速度； （2）由勾股定理的逆定理推知∠BAC＝90°．由方向角的定义作答． 【解答】解：（1）由题意AD＝60km， Rt△ABD中，AD2+BD2＝AB2，得602+BD2＝1002． ∴BD＝80（km）． ∴CD＝BC﹣BD＝125﹣80＝45（km）． ∴（km）． 75÷25＝3（小时）． 答：从C岛返回A港所需的时间为3小时． （2）∵AB2+AC2＝1002+752＝15625，BC2＝1252＝15625， ∴AB2+AC2＝BC2． ∴∠BAC＝90°． ∴∠NAC＝180°﹣90°﹣50°＝40°． ∴C岛在A港的北偏西40°． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，方向角问题，是基础知识比较简单． 1．如图，将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度是为h cm，则h的取值范围是（　　） A．5≤h≤12 B．12≤h≤19 C．11≤h≤12 D．12≤h≤13 【分析】先根据题意画出图形，再根据勾股定理解答即可． 【解答】解：当筷子与杯底垂直时h最大，h最大＝24﹣12＝12cm． 当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小， 如图所示：cm， 故h＝24﹣13＝11cm． 故h的取值范围是11cm≤h≤12cm． 故选：C． 【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出杯子内筷子的取值范围是解决问题的关键． 2．如图，一艘船由A港沿北偏东60°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行40km至C港，则A，C两港之间的距离是（　　） A． B．30 C．40 D．50 【分析】根据题意可得：∠DAB＝60°，∠EBC＝30°，AD∥EB，从而可得∠ABC＝90°，从而在Rt△ABC中，利用勾股定理进行计算即可解答． 【解答】解：如图， 由题意得：∠DAB＝60°，∠EBC＝30°，AD∥EB， ∴∠DAB+∠ABE＝180°， ∴∠ABC＝180°﹣∠EBC﹣∠DAB＝90°， 在Rt△ABC中，AB＝30km，BC＝40km， （km）， ∴A，C两港之间的距离为50km， 故选：D． 【点评】本题考查勾股定理的应用，方位角的概念，理解题意，结合图形进行分析是解题的关键． 3．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为（　　） A．2.2米 B．2.3米 C．2.4米 D．2.5米 【分析】先根据勾股定理求出AB的长，同理可得出BD的长，进而可得出结论． 【解答】解：在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，BC＝0.7米，AC＝2.4米， ∴AB2＝0.72+2.42＝6.25（米）． 在Rt△A′BD中，∵∠A′DB＝90°，A′D＝2米，BD2+A′D2＝A′B2， ∴BD2+22＝6.25， ∴BD2＝2.25， ∵BD＞0， ∴BD＝1.5米， ∴CD＝BC+BD＝0.7+1.5＝2.2（米）． 故选：A． 【点评】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 4．如图，已知钓鱼竿AC的长为10m，露在水面上的鱼线BC长为6m，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC转动到AC'的位置，此时露在水面上的鱼线B'C'为8m，则BB'的长为（　　） A．1m B．2m C．3m D．4m 【分析】根据勾股定理分别求出AB和AB′，再根据BB′＝AB﹣AB′即可得出答案． 【解答】解：∵AC＝10m，BC＝6m， ∴（m）， ∵AC′＝10m，B′C′＝8m， ∴（m）， ∴BB′＝AB﹣AB′＝8﹣6＝2（m）； 故选：B． 【点评】此题考查了勾股定理的应用，用到的知识点是勾股定理，根据已知条件求出AB和AB′是解题的关键． 5．如图，在高为5m，坡面长为13m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要 　17　m． 【分析】当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，然后求得地毯的长度即可． 【解答】解：由勾股定理得： 楼梯的水平宽度2，楼梯的水平宽度米， ∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和， ∴地毯的长度至少是12+5＝17（米）． 故答案为：17． 【点评】本题考查了勾股定理的知识，与实际生活相联系，加深了学生学习数学的积极性． 6．如图，将长为8cm的橡皮筋放置在水平面上，固定两端A和B，然后把中点C垂直向上拉升3cm至点D，则橡皮筋被拉长了 　2　cm． 【分析】根据勾股定理，可求出AD、BD的长，则AD+BD﹣AB即为橡皮筋拉长的距离． 【解答】解：Rt△ACD中，ACAB＝4cm，CD＝3cm； 根据勾股定理，得：（cm）； ∴AD+BD﹣AB＝2AD﹣AB＝10﹣8＝2（cm）； 故橡皮筋被拉长了2cm． 故答案为：2． 【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 7．我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是　25　尺． 【分析】这种立体图形求最短路径问题，可以展开成为平面内的问题解决，展开后画图，所以是个直角三角形求斜边的问题，根据勾股定理可求出． 【解答】解：如图，一条直角边（即枯木的高）长20尺， 另一条直角边长5×3＝15（尺）， 因此葛藤2＝． 所以葛藤长为25（尺）． 故答案为：25． 【点评】本题考查了平面展开最短路径问题，关键是把立体图形展成平面图形，本题是展成平面图形后为直角三角形按照勾股定理可求出解． 8．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，当△CEB′为直角三角形时，BE的长为 　3或　． 【分析】当∠B′EC＝90°时，根据折叠的性质得∠BEA＝∠B′EA＝45°，则△ABE是等腰直角三角形，可得BE＝AB＝3；当∠EB′C＝90°时，先利用勾股定理计算出AC＝5，再根据折叠的性质得到∠B＝∠AB′E＝90°，EB＝EB′，AB′＝AB＝2，于是可判断点A、B′、C共线，求出CB′，设BE＝x，则EB′＝x，CE＝4﹣x，在Rt△CEB′中利用勾股定理可求BE的长． 【解答】解：当∠B′EC＝90°时，如图， ∴∠BEB′＝90°， ∵把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处， ∴∠BEA＝∠B′EA＝45°， ∴△ABE是等腰直角三角形， ∴BE＝AB＝3； 当∠EB′C＝90°时，如图， 在Rt△ABC中，， ∵把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处， ∴∠B＝∠AB′E＝90°，EB＝EB′，AB′＝AB＝3， ∴点A、B′、C共线，即点B′在AC上， ∴CB′＝AC﹣AB′＝5﹣3＝2， 设BE＝x，则EB′＝x，CE＝4﹣x， 在Rt△CEB′中，EB′2+CB′2＝CE2， ∴x2+22＝（4﹣x）2， 解得：， 即， 综上所述：BE的长为3或， 故答案为：3或． 【点评】本题考查了折叠的性质，矩形的性质和勾股定理，熟练掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用是解题的关键． 9．《九章算术》中一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其地面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AC生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部C恰好碰到岸边的C'处（如图），水深和芦苇长各多少尺？则该问题的水深是 　12　尺． 【分析】我们可将其转化为数学几何图形，如图所示，根据题意，可知EC′的长为10尺，则C′B＝5尺，设芦苇长AC＝AC′＝x尺，表示出水深AB，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长和水深． 【解答】解：依题意画出图形， 设芦苇长AC＝AC′＝x尺， 则水深AB＝（x﹣1）尺， ∵C′E＝10尺， ∴C′B＝5尺， 在Rt△AC′B中， 52+（x﹣1）2＝x2， 解得x＝13， 即芦苇长13尺，水深为12尺， 故答案为：12． 【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，解本题的关键是数形结合． 10．荡秋千（图1）是中国古代北方少数民族创造的一种运动、有一天，赵彬在公园里游玩，如图2，他发现秋千静止时，踏板离地面EF的垂直高度DE＝0.5m，将它往前推送1.8m（水平距离BC＝1.8m）时，秋千的踏板离地面的垂直高度BF＝CE＝1.1m，秋千的绳索始终拉得很直，则绳索AD的长度是 　3m　． 【分析】设秋千的绳索长为x m，AB＝AD＝x m，CD＝CE﹣DE＝0.5m根据题意可得AC＝（x﹣0.6）m，利用勾股定理可得x2＝1.82+（x﹣0.6）2，即可作答． 【解答】解：由题意得：∠ACB＝90°， 在Rt△ACB中，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2， 设绳索AD的长度为x m，则AC＝（x+0.5﹣1.1）＝（x﹣0.6）m， ∴x2＝1.82+（x﹣0.6）2， 解得：x＝3， 答：绳索AD的长度是3m． 故答案为：3m． 【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出AC、AB的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方． 11．如图，是一个滑梯示意图，若将滑梯BD水平放置，则刚好与DE一样长，已知滑梯的高度CE为3米，BC为1米．则滑道BD的长度为 　5米　． 【分析】设BD的长为x米，则DE＝x米，AD＝DE﹣AE＝（x﹣1）米，在Rt△ABD中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【解答】解：设BD的长为x米，则DE＝x米，AD＝DE﹣AE＝（x﹣1）米， 由题意得：∠BAD＝90°，AB＝CE＝3米， 在Rt△ABD中，由勾股定理得：x2＝32+（x﹣1）2， 解得：x＝5，即：滑道BD的长为5米； 故答案为：5米． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 12．为了加快我市经济社会发展，实现十九大报告提出的到2020年全面建成小康社会的目标，我市准备在铁路AB上修建一个火车站E，以方便铁路AB同旁的C、D两城的居民出行，如图，C城到铁路AB的距离AC＝20km，D城到铁路AB的距离DB＝60km，AB＝100km，经市政府与铁路部门协商最后确定在与C、D两城距离相等的E处修建火车站．求AE、BE各是多少． 【分析】设AE＝x千米，则BE＝（100﹣x）千米，根据CE＝DE，由勾股定理即可列出方程． 【解答】解：设AE＝x千米，则BE＝（100﹣x）千米， 根据题意得CE＝DE， ∴202+x2＝（100﹣x）2+602， 解得x＝21， ∴AE＝21千米，BE＝79千米． 【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，利用勾股定理列方程是解题的关键． 13．为了响应政府提出的“绿色长垣，文明长垣”的号召，某小区决定开始绿化，要在一块四边形ABCD空地上种植草皮．如图，经测量∠B＝90°，AB＝6米，BC＝8米，CD＝24米，AD＝26米，若每平方米草皮需要300元，问需要投入多少元？ 【分析】仔细分析题目，需要求得四边形的面积才能求得结果．连接AC，在直角三角形ABC中可求得AC的长，由AC、CD、AD的长度关系可得三角形ACD为一直角三角形，AD为斜边；由此看，四边形ABCD由Rt△ABC和Rt△ACD构成，则容易求解． 【解答】解：连接AC， ∵∠B＝90°， ∴在Rt△ABC中，由勾股定理得（米）， 在△ACD中，∵AC2+CD2＝102+242＝262＝AD2， ∴△ACD是直角三角形，且∠ACD＝90°， ∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD AB•BCAC•CD 6×810×24 ＝24+120 ＝144（平方米）， 所以需费用300×144＝43200（元）． ∴需要投入43200元． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，通过勾股定理由边与边的关系也可证明直角三角形，这样解题较为简单． 14．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）． （1）求AC的长及斜边AB边上的高； （2）若点P在AC上，且满足PA＝PB时，求出此时t的值； （3）若点P恰好在∠BAC的角平分线上，求t的值． 【分析】（1）利用勾股定理可求得AC，根据三角形的面积公式可求得斜边AB边上的高； （2）设存在点P，使得PA＝PB，此时PA＝PB＝2t，PC＝4﹣2t，根据勾股定理列方程即可得到结论； （3）当点P在∠CAB的平分线上时，如图1，过点P作PE⊥AB于点E，此时BP＝7﹣2t，PE＝PC＝2t﹣4，BE＝5﹣4＝1，根据勾股定理列方程即可得到结论． 【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3， ∴， 设斜边AB边上的高为h， 根据三角形的面积公式得AC•BCAB•h， ∴h； （2）设存在点P，使得PA＝PB， 此时PA＝PB＝2t，PC＝4﹣2t， 在Rt△PCB中，PC2+CB2＝PB2， 即：（4﹣2t）2+32＝（2t）2， 解得：t， ∴当t时，PA＝PB； （3）当点P在∠BAC的平分线上时，如图1，过点P作PE⊥AB于点E， 在△APC和△APE中， ， ∴△APC≌APE（AAS）， ∴AE＝AC＝4，PC＝PE， ∵AC+CP＝2t， ∴BP＝7﹣2t，PE＝PC＝2t﹣4，BE＝5﹣4＝1， 在Rt△BEP中，PE2+BE2＝BP2， 即：（2t﹣4）2+12＝（7﹣2t）2， 解得：t， 当点P在点A时，t6， 综上所述，当t或6时，P在△ABC的角平分线上． 【点评】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，解直角三角形，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题． 15．如图，点A是网红打卡地诗博园，市民可在云龙湖边的游客观光车站B或C处乘车前往，且AB＝BC，因市政建设，点C到点A段现暂时封闭施工，为方便出行，在湖边的H处修建了一临时车站（点H在线段BC上），由H处亦可直达A处，若AC＝1km，AH＝0.8km，CH＝0.6km． （1）判断△ACH的形状，并说明理由； （2）求路线AB的长． 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理解答即可； （2）根据勾股定理解答即可． 【解答】解：（1）△ACH是直角三角形，理由如下： ∵AC＝1km，AH＝0.8km，CH＝0.6km， ∴AC2＝AH2+CH2， ∴△ACH是直角三角形； 解：（2）∵△ACH是直角三角形， ∴AH⊥BC， 设AB＝BC＝x km，则BH＝BC﹣HC＝（x﹣0.6）km， 由勾股定理得：AB2＝AH2+BH2， 即x2＝0.82+（x﹣0.6）2， 解得：x， ∴ABkm． 【点评】此题考查了学生利用勾股定理解决实际问题的能力，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形，难度不大． 16．图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．根据安全标准需满足BC⊥CD，现测得AB＝CD＝6dm，BC＝3dm，AD＝9dm，其中AB与BD之间由一个固定为90°的零件连接（即∠ABD＝90°），通过计算说明该车是否符合安全标准． 【分析】在Rt△ABD中，由勾股定理求出BD，在△BCD中，通过计算，根据勾股定理逆定理判断即可． 【解答】解：在Rt△ABD中，BD2＝AD2﹣AB2＝92﹣62＝45， 在△BCD中，BC2+CD2＝32+62＝45， ∴BC2+CD2＝BD2， ∴∠BCD＝90°， ∴BC⊥CD． 故该车符合安全标准． 【点评】本题主要考查了勾股定理和勾股定理逆定理，熟练掌握勾股定理逆定理的应用是解决问题的关键． 17．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向AB由点A行驶向点B，已知点C为一海港，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为300km和400km，又AB＝500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域． （1）海港C受台风影响吗？为什么？ （2）若台风的速度为20km/h，台风影响该海港持续的时间有多长？ 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而利用三角形面积得出CD的长，进而得出海港C是否受台风影响； （2）利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【解答】解：（1）海港C受台风影响． 理由：如图，过点C作CD⊥AB于D， ∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km， ∴AC2+BC2＝AB2． ∴△ABC是直角三角形． ∴AC×BC＝CD×AB ∴300×400＝500×CD ∴CD240（km） ∵以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域， ∴海港C受到台风影响． （2）当EC＝250km，FC＝250km时，正好影响C港口， ∵（km）， ∴EF＝140km ∵台风的速度为20km/h， ∴140÷20＝7（小时） 即台风影响该海港持续的时间为7小时． 【点评】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答． 18．如图，在△ABC中，AB＝AC， （1）若P是BC边上的中点，连接AP，求证：BP•CP＝AB2﹣AP2； （2）若P是BC边上任意一点，上面的结论还成立吗？若成立，请证明，若不成立，请说明理由； （3）若P是BC边延长线上一点，线段AB、AP、BP、CP之间有什么样的关系？请证明你的结论？ 【分析】（1）根据AB2＝AP2+BP2，移项后，结合BP＝CP，可得出结论； （2）过A作AM⊥BC于M，AB2＝AM2+BM2，AP2＝AM2+MP2，利用平方差公式，结合图形，即可得出结论； （3）过A作AM⊥BC于M，AB2＝AM2+BM2，AP2＝AM2+MP2，利用平方差公式，结合图形，即可得出结论； 【解答】解：（1）在RT△ABP中，AB2＝AP2+BP2，AB2﹣AP2＝BP2＝BP•CP； （2）如图所示： 过A作AM⊥BC于M，AB2＝AM2+BM2，AP2＝AM2+MP2， 则AB2﹣AP2＝BM2﹣MP2＝（BM+MP）（BM﹣MP）＝CP（CM﹣MP）＝BP•CP； （3）如图所示： 过A作AM⊥BC于M，AB2＝AM2+BM2，AP2＝AM2+MP2 AP2﹣AB2＝MP2﹣BM2＝（MP+BM）（MP﹣BM）＝BP（MP﹣CM）＝BP•CP， ∴AP2﹣AB2＝BP•CP． 【点评】本题考查了勾股定理的知识，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理及平方差公式的形式． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 勾股定理的简单应用 课程标准 学习目标 1 能运用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题； 2 体会勾股定理在解决实际问题中的作用； 3 培养学生的数学应用意识和实践能力。 1. 熟练运用勾股定理及其逆定理解决实际问题； 2. 提高学生分析问题和解决问题的能力； 3. 培养学生的数学思维和应用意识。 知识点一、勾股定理的应用 1.用勾股定理解决一般问题的步骤 （1）由题意画出符合要求的直角三角形，把实际问题转化为数学问题； （2）将待求的量看成直角三角形的一条边； （3）利用勾股定理求解. 2.求直角三角形边长的方法 若已知两边长，可直接由勾股定理求第三边长，若已知一边及另外两边的关系，可设未知数根据勾股定理求解. 知识点二、利用勾股定理解决最短路线问题 1.求长方体表面上两点间最短路线的方法： 需将长方体相应几个面展开，从而将长方体表面上两点间的距离转化为求平面内两点间的距离，构造直角三角形，通过勾股定理求解； 2.求几何体表面上最短路线长的方法 应用转化思想，将空间问题转化为平面问题，将曲面转化为平面，将曲线转化为直线，连接起点与终点所得到的线段作为三角形的一条边，从而构造直角三角形，然后利用勾股定理求出最短路线长. 知识点三、利用勾股定理解决航海类问题 常见的航海问题有避险、抵御台风等，解决这类问题要先确定方位角，然后由方位角正确作出几何图形，通过添加辅助线构造直角三角形，将实际问题转化为与勾股定理有关的几何问题. 题型01 梯子滑落问题 1．如图，一个工人拿一个2.5米长的梯子，底端A放在距离墙根C点0.7米处，另一头B点靠墙，如果梯子的顶部下滑0.4米，梯子的底部向外滑多少米？（　　） A．0.4 B．0.6 C．0.7 D．0.8 2．如图，一架2.5m长的梯子AB，斜靠在竖直的墙AC上，这时梯子的底部B到墙底端C的距离为1.5m，则梯子的顶端距地面为 　　m． 3．如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为2米，顶端距离地面1.5米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2.4米，则小巷的宽度为 　　米． 题型02 大树折断问题 1．一根竹子高一丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，则折断处离地面的高度是 　　尺．（这是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题其中的丈、尺是长度单位，1丈＝10尺．） 2．如图，一根树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离底部12米处．树折断之前有 　　米． 3．由于大风，山坡上的一棵树甲被从点A处拦腰折断，如图所示，其树恰好落在另一棵树乙的根部C处，已知AB＝4米，BC＝13米，两棵树的株距（两棵树的水平距离）为12米，请你运用所学的知识求这棵树原来的高度． 题型03 求旗杆高度 1．小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高是（　　） A．8米 B．10米 C．12米 D．14米 2．如图，小华将升旗的绳子拉到竖直旗杆的底端，绳子末端刚好接触地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆6m处，此时绳子末端距离地面2m，则绳子的总长度为　　m． 3．如图，同学们想测量旗杆的高度（米），他们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知．小明和小亮同学应用勾股定理分别提出解决这个问题的方案如下： 小明：①测量出绳子垂直落地后还剩余1米，如图1； ②把绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部的距离AC＝4米，如图2． 小亮：先在旗杆底端的绳子上打了一个结，然后举起绳结拉到如图3点D处（BD＝BC），作DF垂直AC于点F，DF＝EC． （1）请你按小明的方案求出旗杆的高度BC； （2）在（1）的条件下，已知小亮举起绳结离旗杆的距离DE＝4.5米，求此时绳结到地面的高度DF． 题型04 航海问题 1．如图，甲轮船以16海里/时的速度离开港口O向东南方向航行，乙轮船在同时同地向西南方向航行，已知它们离开港口1.5小时后分别到达B、A，已知AB＝30海里，则乙轮船每小时航行（　　） A．12海里 B．16海里 C．18海里 D．24海里 2．如图，甲船从港口A出发向东北方向航行16海里到达B地，乙船同时从港口A出发向东南方向航行12海里到达C地，此时，两船之间的距离是 　　海里． 3．如图，某港口位于东西方向的海岸线上．“惠州”号、“中山”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“惠州”号每小时航行10海里，“中山”号每小时航行7.5海里．它们离开港口2h后相距25海里．如果知道“惠州”号沿东北方向航行，能知道“中山”号沿哪个方向航行吗？ 题型05 最短路径问题 1．如图，有两棵树，分别记为AB，CD．其中一棵树AB高12米，另一棵树CD高6米，两棵树相距8米．若一只小鸟从树梢A到树梢C，求小鸟飞行的最短距离． 2．如图所示，汉江是长江最大的支流，它流经美丽的荆门，汉江一侧有一村庄C，江边原有两个观景台A，B，其中AB＝AC，现建设美丽乡村，决定在汉江边新建一个观景台H（点A，H，B在同一条直线上），并新修一条路CH，测得BC＝6千米，CH＝4.8千米，BH＝3.6千米． （1）CH是不是从村庄C到江边的最短路线？请通过计算加以说明； （2）求原来的路线AC的长． 3．如图，一艘轮船从A港向南偏西50°方向航行100km到达B岛，再从B岛沿BM方向航行125km到达C岛，A港到航线BM的最短距离是60km（即AD＝60km）． （1）若轮船速度为25km/h，求轮船从C岛沿CA返回A港所需的时间； （2）请你判断C岛在A港的什么方向，并说明理由． 1．如图，将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度是为h cm，则h的取值范围是（　　） A．5≤h≤12 B．12≤h≤19 C．11≤h≤12 D．12≤h≤13 2．如图，一艘船由A港沿北偏东60°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行40km至C港，则A，C两港之间的距离是（　　） A． B．30 C．40 D．50 3．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为（　　） A．2.2米 B．2.3米 C．2.4米 D．2.5米 4．如图，已知钓鱼竿AC的长为10m，露在水面上的鱼线BC长为6m，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC转动到AC'的位置，此时露在水面上的鱼线B'C'为8m，则BB'的长为（　　） A．1m B．2m C．3m D．4m 5．如图，在高为5m，坡面长为13m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要 　 　m． 6．如图，将长为8cm的橡皮筋放置在水平面上，固定两端A和B，然后把中点C垂直向上拉升3cm至点D，则橡皮筋被拉长了 　 　cm． 7．我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是　 　尺． 8．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，当△CEB′为直角三角形时，BE的长为 　 　． 9．《九章算术》中一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其地面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AC生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部C恰好碰到岸边的C'处（如图），水深和芦苇长各多少尺？则该问题的水深是 　 　尺． 10．荡秋千（图1）是中国古代北方少数民族创造的一种运动、有一天，赵彬在公园里游玩，如图2，他发现秋千静止时，踏板离地面EF的垂直高度DE＝0.5m，将它往前推送1.8m（水平距离BC＝1.8m）时，秋千的踏板离地面的垂直高度BF＝CE＝1.1m，秋千的绳索始终拉得很直，则绳索AD的长度是 　 　． 11．如图，是一个滑梯示意图，若将滑梯BD水平放置，则刚好与DE一样长，已知滑梯的高度CE为3米，BC为1米．则滑道BD的长度为 　 　． 12．为了加快我市经济社会发展，实现十九大报告提出的到2020年全面建成小康社会的目标，我市准备在铁路AB上修建一个火车站E，以方便铁路AB同旁的C、D两城的居民出行，如图，C城到铁路AB的距离AC＝20km，D城到铁路AB的距离DB＝60km，AB＝100km，经市政府与铁路部门协商最后确定在与C、D两城距离相等的E处修建火车站．求AE、BE各是多少． 13．为了响应政府提出的“绿色长垣，文明长垣”的号召，某小区决定开始绿化，要在一块四边形ABCD空地上种植草皮．如图，经测量∠B＝90°，AB＝6米，BC＝8米，CD＝24米，AD＝26米，若每平方米草皮需要300元，问需要投入多少元？ 14．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）． （1）求AC的长及斜边AB边上的高； （2）若点P在AC上，且满足PA＝PB时，求出此时t的值； （3）若点P恰好在∠BAC的角平分线上，求t的值． 15．如图，点A是网红打卡地诗博园，市民可在云龙湖边的游客观光车站B或C处乘车前往，且AB＝BC，因市政建设，点C到点A段现暂时封闭施工，为方便出行，在湖边的H处修建了一临时车站（点H在线段BC上），由H处亦可直达A处，若AC＝1km，AH＝0.8km，CH＝0.6km． （1）判断△ACH的形状，并说明理由； （2）求路线AB的长． 16．图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．根据安全标准需满足BC⊥CD，现测得AB＝CD＝6dm，BC＝3dm，AD＝9dm，其中AB与BD之间由一个固定为90°的零件连接（即∠ABD＝90°），通过计算说明该车是否符合安全标准． 17．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向AB由点A行驶向点B，已知点C为一海港，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为300km和400km，又AB＝500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域． （1）海港C受台风影响吗？为什么？ （2）若台风的速度为20km/h，台风影响该海港持续的时间有多长？ 18．如图，在△ABC中，AB＝AC， （1）若P是BC边上的中点，连接AP，求证：BP•CP＝AB2﹣AP2； （2）若P是BC边上任意一点，上面的结论还成立吗？若成立，请证明，若不成立，请说明理由； （3）若P是BC边延长线上一点，线段AB、AP、BP、CP之间有什么样的关系？请证明你的结论？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$