专题12 立体几何（Ⅱ）（讲义+练习）-备战2025年高考数学一轮复习《重难点题型•高分突破》（上海专用）

专题12 立体几何（Ⅱ）（练习） 一、填空题 1．若平面，直线，直线，则点与的位置关系为 ． 2．已知空间中不过同一点的三条直线m，n，l，则“m，n，l在同一平面”是“m，n，l两两相交”的 条件． 3．如图，直线平面为正方形，，则直线与所成角的大小为 ． 4．已知是不同的直线，是不同的平面，则下列四个结论： ①若，则；②若，则； ③若，则；④若，则； 以上结论中，正确的序号是 ． 5．如图，四边形是平行四边形，是平面外一点，为上一点，若平面，则 ．    6．以下各项属于公理的是 . ①如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内. ②过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面. ③空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. ④平行于同一条直线的两条直线平行. ⑤如果不在平面上的一条直线与这个平面上的一条直线平行，那么该直线与这个平面平行. 7．长方体中，直线与平面所成的角为45°，若，则平面和之间的距离为 ． 8．如图所示，是长方体，其中，，点是棱上一点，若异面直线与互相垂直，则 ．    9．已知平面内的角，线段是平面的斜线段且，，那么点到平面的距离是 10．如图，正方体的棱长为1，分别是的中点，那么正方体过的截面图形的面积是 ． 11．如图所示，在空间四边形中，是中点，且，若二面角的大小为，则点到点的距离为 . 12．直四棱柱中，底面是边长为2的菱形，，若直线与平面所成角的大小为，则该四棱柱的体积为 . 13．在棱长为1的正方体中，点F是棱的中点，P是正方体表面上的一点，若，则线段长度的最大值为 ． 14．如下图所示，矩形中，，，沿将折起，使得点C在平面上的射影落在上，则直线与平面所成的角为 ．    15．已知二面角的大小为，A为平面上的一点，且的面积为2，过A点的直线交平面于B点，，且与成角，当变化时，的面积最大为___________. 16．在棱长为1的正方体中，M为线段上的动点，则（1）三棱锥的体积为定值；（2）；（3）的最大值为90°；（4）的最小值为2.其中正确的序号是 . 二、单选题 17．关于三个不同平面、、与直线，下面命题中的假命题是（    ） A．若，则内一定存在直线平行于 B．若与不垂直，则内一定不存在直线垂直于 C．若，，，则 D．若，则内所有直线垂直于 18．已知直线，若直线同时满足下列条件：①与异面；②与成定角；③与距离为定值；则这样的直线 A．唯一确定 B．有两条 C．有四条 D．有无数条 19．已知正方体的棱长为2，P为正方形ABCD内的一动点（包含边界），E、F分别是棱、棱的中点．若平面BEF，则AP的取值范围是（    ） A． B． C． D． 20．如图，正方体的棱线长为1，线段上有两个动点E，F，且，则下列结论中错误的是（　　） A． B．平面ABCD C．三棱锥的体积为定值 D．异面直线AE，BF所成的角为定值 三、解答题 21．如图，是矩形所在平面外一点，且平面．已知．    (1)求二面角的大小； (2)求直线与平面所成角的大小． 22．如图，在正三棱柱中，已知，是的中点. (1)求直线与所成的角的大小； (2)求证：平面平面，并求点到平面的距离. 23．如图，在正四棱锥中，点为的中点. (1)若为的中点，判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)正四棱锥的各棱长均为2，求直线与底面所成角的大小. 24．如图，在梯形中，，，，四边形为矩形，平面平面，. (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成角的大小； (3)若点在线段上运动，设平面与平面所成二面角的平面角为，试求的范围. 25．如图，正方形中，边长为4，为中点，是边上的动点．将沿翻折到，沿翻折到， (1)求证：平面平面； (2)设面面，求证：； (3)若，连接，设直线与平面所成角为，求的最大值． ( 第 3 页 共 8 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12 立体几何（Ⅱ）（练习） 一、填空题 1．若平面，直线，直线，则点与的位置关系为 ． 【答案】 【分析】根据基本事实3（公理2）求解即可. 【解析】因为， 所以直线，直线， 因为直线，直线， 所以平面，平面， 又平面， 所以. 故答案为：. 2．已知空间中不过同一点的三条直线m，n，l，则“m，n，l在同一平面”是“m，n，l两两相交”的 条件． 【答案】必要不充分条件 【分析】根据公理1，2以及充分条件、必要条件的定义即可判断. 【解析】依题意m，n，l是空间不过同一点的三条直线， 当m，n，l在同一平面时，可能，故不能得出m，n，l两两相交； 当m，n，l两两相交时，设，，，根据公理2可知m，n确定一个平面，而，，根据公理1可知，直线BC即，所以m，n，l在同一平面． 综上所述，“m，n，l在同一平面”是“m，n，l两两相交”的必要不充分条件． 故答案为：必要不充分条件. 3．如图，直线平面为正方形，，则直线与所成角的大小为 ． 【答案】 【分析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点，得到的角就是异面直线所成的角或补角，再利用解三角形的知识求出此角即可； 【解析】令，取中点分别为， 连结，则， 就是直线与所成角或其补角. 又因为在中，， 连结，得， ， 则， ∴直线与所成角为. 故答案为：. 4．已知是不同的直线，是不同的平面，则下列四个结论： ①若，则；②若，则； ③若，则；④若，则； 以上结论中，正确的序号是 ． 【答案】③ 【分析】根据题意，结合线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解. 【解析】对于①中，设，当时，此时，所以与不一定平行，所以①不正确； 对于②中，若，则或，所以②不正确； 对于③中，由，根据垂直同一直线的两个平面平行，则，所以③正确； 对于④中，若，则与的位置关系不确定，所以④不正确. 故答案为：③. 5．如图，四边形是平行四边形，是平面外一点，为上一点，若平面，则 ．    【答案】 【分析】连接交于点，连接，根据线面平行的性质证明，即可得解. 【解析】连接交于点，连接， 因为四边形是平行四边形，所以为的中点， 因为平面，平面平面，平面， 所以， 所以为的中点， 所以. 故答案为：. 6．以下各项属于公理的是 . ①如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内. ②过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面. ③空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. ④平行于同一条直线的两条直线平行. ⑤如果不在平面上的一条直线与这个平面上的一条直线平行，那么该直线与这个平面平行. 【答案】①②④ 【分析】直接根据公理的定义得到答案. 【解析】公理1：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面； 公理2：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内； 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过公共点的公共直线； 公理4：平行于同一条直线的两条直线平行. 故答案为：①②④. 7．长方体中，直线与平面所成的角为45°，若，则平面和之间的距离为 ． 【答案】 【分析】根据长方体的性质，结合线面角的定义以及面面距的定义，利用勾股定理以及等腰直角三角形的性质，可得答案. 【解析】由题意，可作图如下：    在长方体中，平面， 则，且平面和之间的距离为， 在矩形中，，则， 所以在中，. 故答案为：. 8．如图所示，是长方体，其中，，点是棱上一点，若异面直线与互相垂直，则 ．    【答案】/0.5 【分析】构造平行使异面直线夹角化为共面直线夹角，在平面中解边长即可. 【解析】如图所示，作，连接AF，则，且AD=EF， 即四边形ADEF为平行四边形，所以AF⊥， 故在矩形中， 解得 故答案为：    9．已知平面内的角，线段是平面的斜线段且，，那么点到平面的距离是 【答案】2 【分析】作出辅助线，得到线面角，结合三余弦定理得到，进而求出，结合，求出点到平面的距离. 【解析】由题意，过点作平面，垂足为H， 过点作⊥于点，连接，    则与平面所成的角为，因为， 由对称性可知为角的平分线，故， 又，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，平面，所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， 故， 因为， 所以， 即，解得， 所以， 又由，所以点到平面的距离. 故答案为：2 10．如图，正方体的棱长为1，分别是的中点，那么正方体过的截面图形的面积是 ． 【答案】/ 【分析】连接，进而可证明四边形为过的截面截正方体所得图形，再计算面积即可. 【解析】解：如图，连接， 因为正方体中，分别是的中点， 所以，，， 所以，，则， 所以，由等角定理可得，， 所以，四边形为过的截面截正方体所得图形， 因为正方体的棱长为1， 所以，， 所以，到的距离． 所以，截面面积． 故答案为：． 11．如图所示，在空间四边形中，是中点，且，若二面角的大小为，则点到点的距离为 . 【答案】 【分析】根据题意，证得，得到为二面角的平面角，在中，利用余弦定理，即可求解. 【解析】如图所示，连接， 因为且为的中点，所以， 所以为二面角的平面角，可得， 在中，因为，且， 可得， 所以. 故答案为：. 12．直四棱柱中，底面是边长为2的菱形，，若直线与平面所成角的大小为，则该四棱柱的体积为 . 【答案】 【分析】根据题意，求得，结合底面，得到，求得直四棱柱的高，结合棱柱的体积公式，即可求解. 【解析】由底面是边长为2的菱形，且，可得为等边三角形， 所以，所以底面菱形的面积为, 又由直四棱柱中，可得底面， 所以直线与平面所成角的大小为，即， 在直角中，可得， 即直四棱柱的高， 所以直四棱柱的体积为. 故答案为：. 13．在棱长为1的正方体中，点F是棱的中点，P是正方体表面上的一点，若，则线段长度的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】建立空间直角坐标系，作出辅助线，证明出⊥平面，故点在平面上，故当点重合时，线段长度取得最大值，求出最大值. 【解析】如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 取的中点，的中点，连接， 则， 则， ，故平行， 故， ， 故⊥，⊥， 又，平面， 故⊥平面， 故点在平面上， 故当点重合时，线段长度取得最大值， ， 故的最大值为. 故答案为： 14．如下图所示，矩形中，，，沿将折起，使得点C在平面上的射影落在上，则直线与平面所成的角为 ．    【答案】45° 【解析】 解法一：如图2，作于E，由题意，平面，∴， 作于O，连接，则平面， ∴，从而在图1中，C、O、E三点共线， 在图1中，，，， ∴，而，∴，那么在图2中也有， 从而，故，即直线与平面所成的角为45°． 解法二：如图2，作于E，由题意，平面， 故即为与平面所成的角， 由三余弦公式，， ∴，故， 从而，∴直线与平面所成的角为45°．    15．已知二面角的大小为，A为平面上的一点，且的面积为2，过A点的直线交平面于B点，，且与成角，当变化时，的面积最大为___________. 【答案】 【分析】当于点A时，的面积取得最大值，然后把二面角的平面角转化为面积之比进行求解即可 【解析】 过点A作，连接BO 平面 是二面角的平面角， 是与所成的角， 设，在中有正弦定理可知： ， 当，即时的最大值为， 的最大值为 故答案为： 16．在棱长为1的正方体中，M为线段上的动点，则（1）三棱锥的体积为定值；（2）；（3）的最大值为90°；（4）的最小值为2.其中正确的序号是 . 【答案】①② 【分析】①由平面，可得线段上的点到平面的距离都为1，又的面积为定值，即可得出三棱锥的体积为定值． ②由，，可得面，即可判断出正误． ③当时，利用余弦定理即可判断出为钝角； ④将面与面沿展成平面图形，线段即为的最小值，再利用余弦定理即可判断出正误． 【解析】①平面，线段上的点到平面的距离都为1，又的面积为定值，因此三棱锥的体积为定值，故①正确． ②，，面，面，，故②正确． ③当时，在△中，利用余弦定理可得为钝角，故③不正确； ④将面与面沿展成平面图形，线段即为的最小值， 在△中，，利用余弦定理解三角形得，故④不正确． 因此只有①②正确． 故答案为：①②． 【点睛】本题考查了空间位置关系、线面平行与垂直的判断与性质定理、空间角与空间距离，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于中档题． 二、单选题 17．关于三个不同平面、、与直线，下面命题中的假命题是（    ） A．若，则内一定存在直线平行于 B．若与不垂直，则内一定不存在直线垂直于 C．若，，，则 D．若，则内所有直线垂直于 【答案】D 【分析】根据空间线面位置关系的判定和性质逐项进行判断即可. 【解析】A中，假设，则内所有平行于直线都平行于，故A正确； B中，假设中存在直线垂直于，则，与题设矛盾，故假设不成立，B正确； C中，，，则与的交线垂直于，故C正确； D中，假设，则内所有平行于直线都平行于，故D错误. 故选：D 18．已知直线，若直线同时满足下列条件：①与异面；②与成定角；③与距离为定值；则这样的直线 A．唯一确定 B．有两条 C．有四条 D．有无数条 【答案】D 【分析】由题设条件，可作出两个平面，两异面直线分别在两个平面上，以保证两异面直线等距离，结合图象，即可求解，得到答案. 【解析】由题意，作出如图所示的图形，其中，且异面， 则平面与平行的线都满足要求，所以这样的直线由无数条. 故选D.    【点睛】本题主要考查了空间中直线与直线的位置关系，以及异面直线的定义、夹角、距离等概念是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 19．已知正方体的棱长为2，P为正方形ABCD内的一动点（包含边界），E、F分别是棱、棱的中点．若平面BEF，则AP的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作辅助线，证明平面平面，说明线段AM即为动点P的轨迹，由此求得AM的长，即可求得答案. 【解析】连接，则， 又平面，平面，故平面，      设为BC的中点，连接， 由于F分别是棱的中点，故， 则四边形为平行四边形，故， 又平面，平面，故平面， 又平面， 故平面平面， 由于平面BEF，故平面， 又因为P为正方形ABCD内的一动点，且平面平面， 故AM即为动点P的轨迹， 而，故AP的取值范围是， 故选：A 20．如图，正方体的棱线长为1，线段上有两个动点E，F，且，则下列结论中错误的是（　　） A． B．平面ABCD C．三棱锥的体积为定值 D．异面直线AE，BF所成的角为定值 【答案】D 【分析】利用直线与平面垂直的性质可证得；运用两个平面平行的性质，可证明平面ABCD；结合三棱锥的体积公式可求其体积为定值；在线段上选取特殊位置，结合异面直线所成的角，即可求得异面直线AE，BF所成的角不是定值. 【解析】对于选项A，在正方体中，平面， 平面，所以，即， 四边形为正方形，则， 又，平面，平面，所以平面，平面，所以，故A正确. 对于选项B，在正方体中, 平面平面， 平面，所以平面ABCD，故B正确. 对于选项C，连接交于点，设三棱锥的高为， ，平面，平面， 所以点B到直线的距离即为，， 又因为平面，即平面，所以AO为三棱锥的高， 在中，，所以， （定值），故C正确. 对于选项D，设异面直线AE，BF所成的角为，连接交于点， 当点与重合时，因为，此时点与点重合，连接， 在正方体，且，所以四边形为平行四边形， 所以，即为异面直线AE，BF所成的角， 在中，，，， 因为，所以为直角三角形，，所以异面直线AE，BF所成的角的正弦值为. 当点与重合时，，此时点与点重合，，即， 即为即为异面直线AE，BF所成的角， 在中，，，， ，所以异面直线AE，BF所成的角的正弦值为, 异面直线AE，BF所成的角不是定值,故D错误. 故选：D. 【点睛】 三、解答题 21．如图，是矩形所在平面外一点，且平面．已知．    (1)求二面角的大小； (2)求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据二面角的定义求即可； （2）根据线面角的定义构造垂直解三角形即可. 【解析】（1）因为底面为矩形，所以, 又因为平面，平面， 所以， 平面，所以平面， 又平面，所以， 易知二面角即二面角， 因为，，所以即其平面角， 由题意易知， 故二面角的大小为； （2）如图所示，过作交于点，连接， 根据已知平面，平面，所以， 因为平面， 所以平面， 由直线与平面的夹角的定义可知直线与平面所成角为， 矩形中，易知，又易知， 所以， 所以直线与平面所成角大小为.    22．如图，在正三棱柱中，已知，是的中点. (1)求直线与所成的角的大小； (2)求证：平面平面，并求点到平面的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据可知所求角为，由长度关系可得结果； （2）作，由面面垂直性质可知所求距离为，利用面积桥可求得结果. 【解析】（1）由正三棱柱结构特征可知：，平面，为等边三角形； 直线与所成角即为， 平面，， 在中，，， 即直线与所成角的大小为. （2）作，垂足为， 平面平面，平面平面，平面，， 平面，点到平面的距离即为的长， 由（1）知：，， ，即， 点到平面的距离为. 23．如图，在正四棱锥中，点为的中点. (1)若为的中点，判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)正四棱锥的各棱长均为2，求直线与底面所成角的大小. 【答案】(1)相交，理由见解析 (2) 【分析】（1）依题意可得且，从而得到四边形是梯形，即可得解； （2）依题意可得点到平面的距离为正四棱锥高的一半，求出棱锥的高与，再由锐角三角函数计算可得. 【解析】（1）由、分别为侧棱、的中点， 所以且， 又且，故且， 所以四边形是梯形，因此直线与相交. （2）由为的中点，得点到平面的距离为正四棱锥高的一半， 设，连接，则平面， 由正四棱锥的各棱长均为，所以， 则 即正四面体的高为， 所以点到平面的距离为，又， 设直线与底面所成角为，则， 故直线与底面所成角的大小为. 24．如图，在梯形中，，，，四边形为矩形，平面平面，. (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成角的大小； (3)若点在线段上运动，设平面与平面所成二面角的平面角为，试求的范围. 【答案】(1)证明过程见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用等腰梯形的性质，结合面面垂直的性质定理进行证明即可； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可； （3）利用空间向量夹角公式，结合二次函数的性质进行求解即可. 【解析】（1）因为，， 所以梯形是等腰梯形，因为， 所以， 由余弦定理可知：， ，或舍去， 因为， 所以， 因为平面平面，平面平面， 平面， 所以：平面； （2）由（1）可知平面，而平面， 所以，而四边形为矩形， 所以，因此建立如图所示的空间直角坐标系， ， ， 设平面的法向量为， 则有， 设平面的法向量为， 则有， 设平面与平面所成角为， ； （3）设，即， ， 设平面的法向量为， 则有， 由（2）可知平面的法向量为， 所以， 当时，函数单调递减，此时， 于是有，即，即. 25．如图，正方形中，边长为4，为中点，是边上的动点．将沿翻折到，沿翻折到， (1)求证：平面平面； (2)设面面，求证：； (3)若，连接，设直线与平面所成角为，求的最大值． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3) 【分析】（1）由已知，可得面SFD，由面面垂直的判定定理可得证； （2）利用线面垂直的性质定理证明即可； （3）设S在面AEF上的射影为O，则为直线SE与平面DEF所成角．设，利用体积法，由求得，从而得的表达式，结合换元法及函数的单调性求出的最大值． 【解析】（1）因为ABCD是正方形，， 又，面SFD，面SFD， 又平面，所以平面平面SFD； （2） 证明：因为，面，面，所以面， 又因为面面，所以. （3）设S在面AEF上的射影为，连接EO，则为直线SE与平面DEF所成角． 设，则． ． 在中，，． 可得， ， ， 又，， 令， 令， ， 当且时，，则， 可得在上单调递减， 当，即时，最大为，最大值为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12 立体几何（Ⅱ）（讲义） 一、四个基本事实及三个推论 1．平面 基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面． 基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内． 基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． 基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行． 2．“三个”推论 推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 二、直线与直线的位置关系 位置关系 相交（共面） 平行（共面） 异面 图形 符号 a∥b 公共点个数 1 0 0 特征 两条相交直线确定一个平面 两条平行直线确定一个平面 两条异面直线不同在如何一个平面内 等角定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 三、直线与平面的位置关系 位置关系 包含（面内线） 相交（面外线） 平行（面外线） 图形 符号 ∥ 公共点个数 无数个 1 0 四、平面与平面的位置关系 位置关系 平行 相交（但不垂直） 垂直 图形 符号 ∥ ， 公共点个数 0 无数个公共点且都在唯一的一条直线上 无数个公共点且都在唯一的一条直线上 五、直线与平面平行 1.直线与平面平行的定义：直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行. 2.判定定理与性质定理 直线与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定 定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行 (简记为“线线平行⇒线面平行”) ⇒a∥α 性质 定理 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”) ⇒l∥b 六、平面与平面平行 1.平面与平面平行的定义：没有公共点的两个平面叫做平行平面. 2.判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行 a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒α∥β 性质 两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面 α∥β，a⊂α⇒a∥β 性质定理 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b 七、三种平行关系的转化 温馨提示： Ⅰ．判断或证明线面平行的常用方法 （1）利用线面平行的定义(无公共点). （2）利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)→线线垂直 ①空间直线平行关系的传递性法； ②三角形中位线法； ③平行四边形法； ④线段成比例法． ⑤线面平行的性质定理 （3） 利用面面平行的性质(α∥β，a⊂α⇒a∥β). （4）线面垂直的性质(垂直于同一直线的两平面平行). Ⅱ．证明面面平行的常用方法 1.面面平行的定义，即证两个平面没有公共点(不常用)； 2.面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行 3.利用垂直于同一条直线的两个平面平行(客观题常用)； 4.如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行(客观题常用)； 5.利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化进行证明． 八、直线与平面垂直 1.直线和平面垂直的定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直. 2.判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 ⇒a∥b 九、平面与平面垂直 1.平面与平面垂直的定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直. 2.判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 ⇒α⊥β 性质定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 ⇒l⊥α 十、三种垂直关系的转化 温馨提示： 证明线面垂直常用的方法 1.判定定理：线面垂直→线线垂直 2.垂直于平面的传递性 3.面面垂直的性质. 4.线面垂直的定义 十一、直线和平面所成的角 (1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，则它们所成的角是0°. (2)范围：. 十二、二面角 (1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角； (2)二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角． (3)二面角的范围：[0，π]． 十三、 立体几何中三种角的对比；距离问题 Ⅰ、三种角对比 角的类型 范围 解题步骤 异面直线 所成角 0°～90° 1找：利用平移法找出异面直线所成角； ⑴ 固定一条直线，平移另一条直线， ⑵ 将两条直线都平移至一特殊位置。 2证：证明所作出的角就是异面直线所成角或其补角，常需证明线线平行； 3计算：通过解三角形，算出异面直线角的角度。 直线与平面 所成角 0°～90° 1找：作出斜线与其在平面内射影的夹角，一般用三垂线定理； 2证：证明所作出的角就是直线与平面所成角或其补角，常证明线面垂直； 3计算：通过解三角形，求出线面角的角度。 二面角的 平面角 0～π 1作：根据二面角平面角的定义，作出这个平面角； 2证：证明所作的角就是二面角的平面角，常用三垂线法和垂面法； 3计算：通过解三角形，求出二面角平面角的角度。 Ⅱ、空间中的距离 1.点到平面的距离 (1)过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条 (2)定义：过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离 2.异面直线间的距离 与两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线.两条异面线的公垂线在这两条异面直线间的线段长度叫做两条异面直线间的距离，任意两条确定的异面直线都存在唯一的公垂线段. 3.直线与平面、平面与平面之间的距离 (1)一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，做这条直线到这个平面的距离. (2)如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离， 方法归纳： 一、基本事实应用 例1　如图，在三棱柱中，分别是的中点.求证： (1)证明：四点共面；直线，直线，直线三线共点 (2)平面平面. 答案 (1)证明见解析 (2)证明见解析 分析 （1）证明即可得证四点共面；与是两条相交的直线，证明直线过它们的交点即可得证三线共点. （2）证明平面和平面即可根据面面平行的判定定理得证平面平面. 解析 （1）分别是的中点， 是的中位线，，且 又在三棱柱中，，且， 由平行的传递性，，且， 四点共面； 由上可知四边形是梯形，故与是两条相交的直线， 设，下证， 平面，且平面， 平面，且平面， 平面平面， ，即三线共点. （2）分别为的中点，， 平面平面， 平面， 在三棱柱中，，且， ，且， 四边形是平行四边形，， 平面平面， 平面， ，平面， 平面平面. 练：下列说法正确的是（    ） A．平面，使得有且只有一个公共点 B．若直线平面，则 C．三平面最多把空间分成7部分 D．若3个平面两两相交，且交线互不相同，则3条交线互相平行或交于一点 答案 D 分析 对于A，利用基本事实3分析即得；对于B，由直线平面的情况即可排除；对于C，结合长方体的模型即可排除；对于D，对于符合条件的情况，结合模型即可分析得到. 解析 对于A，利用基本事实3知，平面如果有一个公共点，那么它们必有一条含该公共点的直线，故A错误； 对于B，由直线平面，则或与相交，当时，则有，故B错误； 对于C，当三个平面是长方体中两两垂直的平面时，可以将空间分成8部分，故C错误； 对于D，当3个平面两两相交，且交线互不相同时，则这3个平面可看成一个三棱柱或三棱锥的三个侧面， 利用棱柱与棱锥的定义可得，3条交线互相平行或交于一点，故D正确. 故选：D. 方法归纳：　共面、共线、共点问题的证明 (1)证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内． (2)证明共线的方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上． (3)证明共点的方法：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点． 二、空间线面位置关系 命题点1　空间位置关系的判断 例2　(1)下列推断中，错误的是(　　) A．若M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈l B．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝AB C．l⊄α，A∈l⇒A∉α D．A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线⇒α，β重合 答案　C 解析　对于A，因为M∈α，M∈β，α∩β＝l，由基本事实3可知M∈l，A对； 对于B，A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，故直线AB⊂α，AB⊂β，即α∩β＝AB，B对； 对于C，若l∩α＝A，则有l⊄α，A∈l，但A∈α，C错； 对于D，有三个不共线的点在平面α，β中，故α，β重合，D对． 命题点2　异面直线所成角 例3　如图，已知正四棱锥的所有棱长均相等，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 答案 C 分析 根据线线平行可得异面直线与所成角为（或其补角），即可根据余弦定理求解. 解析 连接，取的中点，连接， 由题意知，， 则异面直线与所成角为（或其补角）， 在中，， 则， 则异面直线与所成角的余弦值为， 故选：C． 方法归纳：　(1)点、直线、平面位置关系的判定，注意构造几何体(长方体、正方体)模型来判断，常借助正方体为模型． (2)求异面直线所成的角的三个步骤 一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角． 二证：证明作出的角是异面直线所成的角． 三求：解三角形，求出所作的角． 三、空间几何体的切割(截面)问题 例4 如图，在直三棱柱中，，，E、F、G、H分别为、、、的中点，则下列说法中错误的是（    ） A． B．E、F、G、H四点共面 C．设，则平面截该三棱柱所得截面的周长为 D．、、三线共点 答案 C 分析 根据线线平行及菱形对角线垂直判断A，根据两直线平行确定平面判断B，作出截面四边形，根据截面边长的大小判断C，利用相交平面的公共点共线得三点共线可判断D. 解析 如图， 连接，由分别为中点，可得， 由可知，侧面为菱形， 所以，所以，故A正确； 连接，因为E、F、G、H分别为、、、的中点， 所以，，所以，所以E、F、G、H四点共面，故B正确； 延长交的延长线于点，连接，交于点，连接，， 设确定平面为，则，所以，所以， 则易知三棱柱的截面四边形为， 在中，， 在中，，而中，， 而，所以截面的周长大于，故C错误； 由B知，且，所以梯形的两腰、所在直线必相交于一点， 因为平面，平面， 又平面平面，所以，所以与重合， 即、、三线共点于，故D正确. 故选：C 【点睛】关键点点睛：利用共面的判定，结合直线与平面的关系，作出平面与三棱柱截面的图形，是解决C选项的关键所在，需要有较强的推理能力. 方法归纳：　(1)作截面应遵循的三个原则：①在同一平面上的两点可引直线；②凡是相交的直线都要画出它们的交点；③凡是相交的平面都要画出它们的交线． (2)作交线的方法有如下两种：①利用基本事实3作交线； ②利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作出交线． 四、直线与平面平行的判定与性质 命题点1　直线与平面平行的判定 例5　如图所示，三棱柱中，分别为棱的中点，分别是棱上的点，. (1)求证：直线平面； (2)若三棱柱为正三棱柱，求平面和平面的夹角的大小. 答案 (1)证明见解析 (2) 分析 （1）取的中点，连接交于，连接，则可证得，再由可证得四边形为平行四边形，则∥，再由线面平行的判定定理可证得结论； （2）以为原点，以所在的直线为轴，过与平行的直线为轴，所在的直线为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 解析 （1）证明：取的中点，连接交于，连接， 因为分别为棱的中点，所以∥∥， 所以，所以， 所以， 因为，所以，所以， 因为分别为棱的中点，所以， 因为∥∥，所以，∥， 所以四边形为平行四边形， 所以∥， 因为平面，平面， 所以直线平面； （2）解：连接，因为三棱柱为正三棱柱， 所以为等边三角形，所以， 所以以为原点，以所在的直线为轴，过与平行的直线为轴，所在的直线为轴建立空间直角坐标系， 设，则， 所以， 设平面的法向量为， 则，令，则， 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以， 设平面和平面的夹角为，则， 因为，所以. 命题点2　直线与平面平行的性质 例6　在底面为平行四边形的四棱锥中，，分别为棱，的中点． (1)求证：平面； (2)设平面平面，求证：平面． 答案 (1)证明见解析 (2)证明见解析 分析 (1) 取的中点，连接，，证明四边形为平行四边形，所以，即可求解； (2)先证明平面，又因为平面平面，面，所以，即可求解． 解析 （1）证明：取的中点，连接，， 因为，分别为，的中点，所以，且， 又因为为的中点，所以， 在平行四边形中，有，则， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面； （2）在平行四边形中，有， 因为平面，平面，所以平面， 又因为平面平面，面，所以， 又因为平面，平面，所以平面． 方法归纳：　(1)判断或证明线面平行的常用方法 ①利用线面平行的定义(无公共点)． ②利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)． ③利用面面平行的性质(α∥β，a⊂α⇒a∥β)． ④利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)． (2)应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面确定交线． 五、平面与平面平行的判定与性质 例7　如图，在三棱柱中，四边形是菱形，是等边三角形.平面平面分别棱的中点. (1)证明：平面平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 答案 (1)证明见解析 (2) 分析 （1）根据线线平行可证线面平行，即可根据面面平行的判定即可求证， （2）根据面面垂直的性质可得是直线与平面所成的角，即可利用三角形的边角关系求解. 解析 （1）由三棱柱的定义可知. 因为分别是棱的中点，所以， 所以四边形是平行四边形，则. 因为平面平面，所以平面. 因为分别是棱的中点，所以. 因为平面平面，所以平面. 因为平面，且，所以平面平面. （2）作的延长线于点，连接. 因为平面平面，且平面平面， 平面，所以平面， 则是直线与平面所成的角. 设，则. 因为，所以，则 因为是等边三角形，所以，所以. 由余弦定理可得. 因为平面平面，所以，则， 故，即直线与平面所成角的正弦值为. 方法归纳：　证明面面平行的常用方法 (1)利用面面平行的判定定理． (2)利用垂直于同一条直线的两个平面平行(l⊥α，l⊥β⇒α∥β)． (3)利用面面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(α∥β，β∥γ⇒α∥γ)． 六、平行关系的综合应用 例8　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q分别为对角线BD，CD1上的点，且＝＝. (1)求证：PQ∥平面A1D1DA； (2)若R是AB上的点，的值为多少时，能使平面PQR∥平面A1D1DA？请给出证明． (1)证明　连接CP并延长，与DA的延长线交于M点，如图，连接MD1，因为四边形ABCD为正方形， 所以BC∥AD， 故△PBC∽△PDM， 所以＝＝， 又因为＝＝， 所以＝＝， 所以PQ∥MD1. 又MD1⊂平面A1D1DA，PQ⊄平面A1D1DA， 故PQ∥平面A1D1DA. (2)解　当的值为时，能使平面PQR∥平面A1D1DA.如图， 证明如下： 因为＝， 即＝， 故＝. 所以PR∥DA. 又DA⊂平面A1D1DA，PR⊄平面A1D1DA， 所以PR∥平面A1D1DA， 又PQ∥平面A1D1DA，PQ∩PR＝P，PQ，PR⊂平面PQR， 所以平面PQR∥平面A1D1DA. 方法归纳：　证明平行关系的常用方法 熟练掌握线线、线面、面面平行关系间的相互转化是解决线线、线面、面面平行的综合问题的关键．面面平行判定定理的推论也是证明面面平行的一种常用方法． 七、直线与平面垂直的判定与性质 例9　如图，在四棱锥中，底面是菱形，，底面，点E在棱上. (1)求证：平面； (2)若，点E为的中点，求二面角的余弦值. 答案 (1)证明见解析 (2) 分析 （1）先根据线面垂直的性质定理得，再结合菱形性质利用线面垂直的判定定理证明即可. （2）根据二面角的平面角定义作出二面角的平面角，然后利用直角三角形的边角关系求解即可. 解析 （1）因为平面，平面，所以， 因为为菱形，所以， 又平面平面， 所以平面. （2）如图，连接，则平面， 由平面，平面，平面，得， 故即为二面角的平面角， 在菱形中，， 所以， 又，所以， 由点E为的中点，得， 所以为等腰三角形，在内过点E作高，垂足为H，则， 所以，即二面角的余弦值为. 方法归纳：　证明线面垂直的常用方法及关键 (1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；④面面垂直的性质． (2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质． 八、平面与平面垂直的判定与性质 例10　如图，在四棱锥中，，为棱的中点，平面，二面角的大小为． (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求点到平面的距离． 答案 (1)证明见解析 (2) (3) 分析 （1）根据面面垂直判定定理证明即可； （2）先由面面垂直得出线面垂直再结合线面角定义得出角及正弦即可； （3）应用等体积得出点到平面距离. 解析 （1）连接为中点， ， 四边形为平行四边形， ，在中， 又平面平面， 平面，平面， 又平面，平面， 又平面平面平面. （2）由平面平面，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以， 故为二面角的平面角， 在中，作，垂足为， 由（1）知，平面平面，平面平面平面， 所以平面，则直线为直线在平面上的射影， 所以为直线与平面所成的角， 四边形为平行四边形，， 在中，， . （3）在三棱锥中，平面， 为三棱锥底面上的高， 又， ， 在三棱锥中，设到平面的距离为， ， ， 又. 方法归纳：　(1)判定面面垂直的方法 ①面面垂直的定义．②面面垂直的判定定理． (2)面面垂直性质的应用 ①面面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”．②若两个相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面． 题型三　垂直关系的综合应用 例11　如图，已知ABCD－A1B1C1D1是底面为正方形的长方体，∠AD1A1＝60°，AD1＝4，点P是AD1上的动点． (1)试判断不论点P在AD1上的任何位置，是否都有平面BPA⊥平面AA1D1D，并证明你的结论； (2)当P为AD1的中点时，求异面直线AA1与B1P所成的角的余弦值； (3)求PB1与平面AA1D1所成角的正切值的最大值． 解　(1)∵BA⊥平面AA1D1D，BA⊂平面BPA， ∴平面BPA⊥平面AA1D1D， ∴与P点位置无关． (2)过点P作PE⊥A1D1，垂足为E，连接B1E(如图)，则PE∥AA1， ∴∠B1PE或其补角是异面直线AA1与B1P所成的角． 在Rt△AA1D1中，∵∠AD1A1＝60°， ∴∠A1AD1＝30°， ∵A1B1＝A1D1＝AD1＝2， A1E＝A1D1＝1. 又PE＝AA1＝. ∴在Rt△B1PE中， B1P＝＝2， cos∠B1PE＝＝＝. ∴异面直线AA1与B1P所成的角的余弦值为. (3)由(1)知，B1A1⊥平面AA1D1， ∴∠B1PA1是PB1与平面AA1D1所成的角， tan∠B1PA1＝＝， 当A1P最小时，tan∠B1PA1最大， 这时A1P⊥AD1， 由A1P＝＝， 得tan∠B1PA1＝， 即PB1与平面AA1D1所成角的正切值的最大值为. 方法归纳：　(1)三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化． (2)对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证． ( 第 1 页 共 10 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$