第二章 实数章节压轴题模拟训练-【B卷常考题型】2024-2025学年四川成都八年级数学上学期题型全攻略（北师大版）

第二章 实数章节压轴题模拟训练 一、填空题 1．如图所示，的方格放置在数轴上，格点正方形的顶点在数轴上表示．以点为圆心，为半径作半圆，交数轴右侧于点，则点所表示的数是 ． 2．如图，在中，，若，则的长为 ． 3．已知 ，则 ． 4．已知，化简： ． 5．如图，在中，，是边上的高，图中线段上一动点，若满足，，，则以为边长的正方形面积是 ．        6．已知n是正整数，是整数，则满足条件的所有n的值为 ． 7．设，求不超过的最大整数 ． 8．已知：如图，等边三角形的面积为，、分别是、边上的动点，,则的最小值是 ． 9． ． 10．已知，则的最小值为 ． 11．已知：；；；……按此规律，请表示出第2021个式子 ． 12．已知，若整数满足，则 ． 13．化简： 14．已知，则的值是 ． 15．设，，当t为 时，代数式． 二、解答题 16．若，求的值. 17．阅读理解题 （1）阅读理解：如图①，等边内有一点，若点到顶点，，的距离分别为3，4，5，求的大小. 思路点拨：考虑到，，不在一个三角形中，采用转化与化归的数学思想，可以将绕顶点逆时针旋转到处，此时，这样，就可以利用全等三角形知识，结合已知条件，将三条线段的长度转化到一个三角形中，从而求出的度数.请你写出完整的解题过程. （2）变式拓展：请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题： 已知如图②，中，，，、为上的点且，，，求的大小. （3）能力提升：如图③，在中，，，，点为内一点，连接，，，且，请直接写出的值，即______. 18．【问题提出】如图①，在△ABC中，若AB＝8，AC＝4，求BC边上的中线AD的取值范围． 【问题解决】解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E，使DE＝AD，再连结BE（或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断．由此得出中线AD的取值范围是__________ 【应用】如图②，如图，在△ABC中，D为边BC的中点、已知AB＝10，AC＝6，AD＝4，求BC的长． 【拓展】如图③，在△ABC中，∠A＝90°，点D是边BC的中点，点E在边AB上，过点D作DF⊥DE交边AC于点F，连结EF．已知BE＝5，CF＝6，则EF的长为__________. 19．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CD⊥AB于点D，点E为AC上一点，连接DE，DF⊥DE交BC于点F． (1)求证：DE＝DF； (2)连接EF交CD于点G，若AC＝，当AD＝CE时，求EG2的值． 20．阅读下列材料，然后回答问题． ①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，可以将其进一步化简： 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． ②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算． (1)计算：． (2)已知m是正整数，，，，求m． (3)已知，则的值为? 21．计算 (1)； (2)（）． 22．阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数.形如，如果你能找到两个数、，使，且，则可变形为.从而达到化去一层根号的目的． 例如化简，且， . (1)填上适当的数：＝______． (2)能化为最简二次根式，求正整数的最小值和最大值． (3)化简：． 23．阅读材料，并完成下列任务： 材料一：裂项求和 小华在学习分式运算时，通过具体运算：，，，…… 发现规律：（n为正整数），并证明了此规律成立． 应用规律：快速计算． 材料二：根式化简 例1        ； 例2         任务一：化简． (1)化简： (2)猜想：___________________（n为正整数）． 任务二：应用 (3)计算：； 任务三：探究 (4)已知 ， 比较x和y的大小，并说明理由． 24．阅读下面材料： 我们在学习二次根式时，熟悉的是分母有理化以及应用，其实，还有一个方法叫做“分子有理化”，与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式比如：，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较  和  的大小可以先将它们分子有理化如下：，，因为，所以．再例如：求  的最大值．做法如下：解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而，当x＝2时，分母    有最小值2，所以y的最大值是2． 解决下述问题： (1)由材料可知，__________； (2)比较和 的大小； (3)式子 的最小值是__________． 25．（1）问题再现：学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题，如，求代数式的最小值；小强同学发现可看作两直角边分别为和2的直角三角形斜边长，可看作两直角边分别是和3的直角三角形的斜边长．于是构造出下图，将问题转化为求的斜边和的斜边的和的最小值，易得、、三点共线时，取得最小值，即线段的长，进而求得的最小值是_________． （2）类比迁移：根据上述方法画出示意图，解决以下问题 已知，均为正数，且，求的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 实数章节压轴题模拟训练 一、填空题 1．如图所示，的方格放置在数轴上，格点正方形的顶点在数轴上表示．以点为圆心，为半径作半圆，交数轴右侧于点，则点所表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查用数轴上的点表示数，算术平方根，先根据网格求出正方形的面积，确定正方形的边长，继而得出的长，然后利用数轴上的两点间的距离公式即可得解．掌握数轴表示数的方法是解题的关键． 【详解】解：∵在的方格放置在数轴上，格点正方形如图所示， ∴正方形的面积为：， ∴边长， ∵以点 为圆心，为半径作半圆，交数轴右侧于点， ∴， ∵顶点在数轴上表示， ∴点所表示的数是． 故答案为：． 2．如图，在中，，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，构造全等三角形是解题的关键． 过D作交的延长线于E，证明，得出，，勾股定理即可求解． 【详解】解：过D作交的延长线于E， ∵， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ， ， ， 故答案为：． 3．已知 ，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先把变形为，然后把代入计算即可． 【详解】解：， ∴ 故答案为：． 4．已知，化简： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的性质，绝对值化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．根据二次根式的性质得，再根据将绝对值化简，即得答案． 【详解】解：原式 ， ， ，， ∴原式 ． 故答案为：． 5．如图，在中，，是边上的高，图中线段上一动点，若满足，，，则以为边长的正方形面积是 ．        【答案】或或 【分析】根据题意，点在线段的垂直平分线上，设的中点为，根据点在上，根据勾股定理解三角形，即可求解． 【详解】解：在中，，是边上的高， ∴， ∵ ∴在线段的垂直平分线上，设的中点为 当点在上时，则重合， ∵，， ∴ ∴以为边长的正方形面积是， 当在上时，如图所示，    ∵，，， ∴， ∴， 设，则，， ∴， 在中，， 即， 解得：， ∴为边长的正方形面积是， 当点在上时，如图所示，    则， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 为边长的正方形面积是， 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，垂直平分线的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，二次根式的混合运算，分类讨论是解题的关键． 6．已知n是正整数，是整数，则满足条件的所有n的值为 ． 【答案】或或 【分析】先利用算术平方根有意义的条件求得正整数的取值范围，然后令等于所有可能的平方数即可求解． 【详解】解：由题意得， 解得， ∵n是正整数， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵是整数， ∴或或或或， 解得或或或或， ∵n是正整数， ∴或或， 故答案为：或或 【点睛】本题考查了算术平方根的性质，理解掌握被开方数是平方数时算术平方根才是整数是解题的关键． 7．设，求不超过的最大整数 ． 【答案】 【分析】首先将化简，可得，然后再代入原式求出，即可得出答案． 【详解】解： ， ， 不超过的最大整数． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查完全平方公式、二次根式的化简，能正确化简是解题的关键． 8．已知：如图，等边三角形的面积为，、分别是、边上的动点，,则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段的最值问题，构造直角三角形，过点B作，，垂足分别为H、F，设，则，，利用勾股定理表示出，由此即可求出的最小值． 【详解】解：过点B作，，垂足分别为H、F，设，则，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴，， ∴ 又∵， ∴， ∴， 设，则，， ∴，， ∴， ∴在中，， 当时，取最小值为，此时取最小值，故答案为． 【点睛】本题主要利用了等边三角形性质、30度直角三角形性质、勾股定理和利用完全平方公式求出最小值等知识点，解题关键是构造直角三角形利用勾股定理将长表示出来，再利用完全平方公式求出最值． 9． ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的运算，将式子进行平方，运用完全平方公式展开后化简，即可解答． 【详解】∵ ， 又， ∴． 故答案为：． 10．已知，则的最小值为 ． 【答案】． 【分析】先对变形，根据绝对值的意义得到和为最小值时x、y的取值，进而得到的最小值． 【详解】解：， ， 可理解为在数轴上，数的对应的点到和1两点的距离之和；可理解为在数轴上，数的对应的点到和5两点的距离之和， 当，的最小值为3； 当时，的最小值为6， 的范围为，的范围为， 当，时，的值最小，最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，绝对值的意义，能根据二次根式的性质进行化简，并根据绝对值的意义确定x、y的取值是解题关键． 11．已知：；；；……按此规律，请表示出第2021个式子 ． 【答案】 【详解】∵第1个数： 第2个数： 第3个数： 第4个数： ∴第n个数 当n=2021时， 故答案为. 【点睛】本题考查的是找规律，找出式子与序号的关系是解决本题的关键. 12．已知，若整数满足，则 ． 【答案】 【分析】先根据确定m的取值范围，再根据，推出，最后利用来确定a的取值范围． 【详解】解： ， 为整数，为 故答案为：5． 【点睛】本题考查的知识点是二次根式以及估算无理数的大小，利用“逼近法”得出的取值范围是解此题的关键． 13．化简： 【答案】 【分析】因为被开方数为非负数且被开方数不为0，因此得到被开方数大于0，求出ab<0后，进行二次根式的化简即可． 【详解】解：要使该二次根式有意义，则有 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，以及二次根式的化简，牢记分母有理化的方法与规则是解题的关键，本题中被开方数分子分母同乘以ab后，分母开出来容易出现符号错误，建议可以先套上绝对值符号再进行化简． 14．已知，则的值是 ． 【答案】9 【分析】先将原等式变形为，再根据平方的非负性可得，，，由此可求得a、b、c的值，进而可求得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，，， ∴，，， ∴，，， ∴， 故答案为：9． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质和灵活应用完全平方公式是解决此题的关键． 15．设，，当t为 时，代数式． 【答案】2 【分析】根据x，y的表达式，可以观察出，，再将改写为含有与的形式，代入解出t即可． 【详解】， ， ，解得（舍去），． 故答案为：2 【点睛】本题考查乘法公式的运用，熟练掌握乘法公式并能将二次三项式改写为含有与的形式，是本题的解题关键． 二、解答题 16．若，求的值. 【答案】. 【分析】已知条件比较复杂，将已知条件变形得出所求式子的结构求值即可. 【详解】， ． ． ． ， ． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，式子较复杂需要先化简条件. 17．阅读理解题 （1）阅读理解：如图①，等边内有一点，若点到顶点，，的距离分别为3，4，5，求的大小. 思路点拨：考虑到，，不在一个三角形中，采用转化与化归的数学思想，可以将绕顶点逆时针旋转到处，此时，这样，就可以利用全等三角形知识，结合已知条件，将三条线段的长度转化到一个三角形中，从而求出的度数.请你写出完整的解题过程. （2）变式拓展：请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题： 已知如图②，中，，，、为上的点且，，，求的大小. （3）能力提升：如图③，在中，，，，点为内一点，连接，，，且，请直接写出的值，即______. 【答案】 【分析】（1）根据旋转变换前后的两个三角形全等，全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等以及等边三角形的判定和勾股定理逆定理解答； （2）把绕点A逆时针旋转90°得到，根据旋转的性质可得，，，，，再求出，从而得到，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再利用勾股定理列式即可得证． （3）将绕点B顺时针旋转至处，连接，根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半求出，即的长，再根据旋转的性质求出是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得，等边三角形三个角都是求出，然后求出、、、四点共线，再利用勾股定理列式求出，从而得到． 【详解】解：(1), 由题意知旋转角, 为等边三角形， , 易证为直角三角形,且 , , 故答案为：； (2)如图2,把绕点A逆时针旋转得到, 由旋转的性质得, , , 在和中， , , 由勾股定理得, ， 即, . (3)如图3,将绕点B顺时针旋转至处,连接， 在中, , ， , 绕点B顺时针方向旋转， 如图所示； ， 绕点B顺时针方向旋转,得到， ， 是等边三角形， , , 四点共线， 在中, 【点睛】本题考查旋转的性质以及全等三角形的判定与性质. 18．【问题提出】如图①，在△ABC中，若AB＝8，AC＝4，求BC边上的中线AD的取值范围． 【问题解决】解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E，使DE＝AD，再连结BE（或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断．由此得出中线AD的取值范围是__________ 【应用】如图②，如图，在△ABC中，D为边BC的中点、已知AB＝10，AC＝6，AD＝4，求BC的长． 【拓展】如图③，在△ABC中，∠A＝90°，点D是边BC的中点，点E在边AB上，过点D作DF⊥DE交边AC于点F，连结EF．已知BE＝5，CF＝6，则EF的长为__________. 【答案】；； 【分析】（1）证明得，再根据三角形三边关系求得AE的取值范围，进而得结论； （2）延长AD到E，使得，连接BE，证明得，再证明，由勾股定理求得BD，进而得BC； （3）延长FD到G，使得，连接BG，EG，证明≌，得，，再证明，由勾股定理求得EG，由线段垂直平分线性质得EF． 【详解】解：（1）在和中， ， ≌， ， ，， ， ， 故答案为：； （2）延长AD到E，使得，连接BE，如图， 在和中， ， ≌， ， ，， ， ， ， ； （3）延长FD到G，使得，连接BG，EG，如图， 在和中， ， ≌， ，，， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为． 【点睛】本题考查几何变换综合题、三角形的中线、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，体会出现中点的辅助线的添加方法，属于中考压轴题． 19．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CD⊥AB于点D，点E为AC上一点，连接DE，DF⊥DE交BC于点F． (1)求证：DE＝DF； (2)连接EF交CD于点G，若AC＝，当AD＝CE时，求EG2的值． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）由题可得△ABC是等腰直角三角形，当D是AB边中点时，可以得到∠CDA＝90°，AD＝CD，由∠FDE＝∠CDA＝90°，可得∠FDC＝∠EDA，接着证明△FCD≌△EDA即可； （2）由①可得DE＝DF，所以△DEF为等腰直角三角形，所以∠DEG＝∠DCE＝45°，由于∠DGE＝∠DCE+∠GEC＝45°+∠GEC，∠DEC＝45°+∠GEC，所以∠DGE＝∠DEC＝∠CDE，所以ED＝GE，故过E作EQ⊥DG于Q，则DQ＝GQ，在直角△ACD中，利用勾股定理，求出CD和CE的长度，同理，在△CEQ中，求出CQ的长度，得到DQ的长度，即可解决． 【详解】（1）证明：∵AB＝AC，∠ACB＝90°， ∴∠A＝∠B＝45°， ∵D是AB的中点， ∴∠CDA＝90°，∠FCD＝∠A＝45°，CD＝AD＝BD， ∵DE⊥DF， ∴∠EDF＝∠CDA＝90°， ∴∠FDC＝∠EDA， 在△DFC与△DEA中， ， ∴△DFC≌△DEA（ASA）， ∴CF＝AE， 即AE＝CF； （2）解：由（1）可得，△DFC≌△DEA， ∴DF＝DE， ∴∠DEF＝∠DFE＝45°， ∴∠CED＝∠EDF+∠CEF＝45°+∠CEF， 又∠EGD＝∠DCE+∠CEF＝45°+∠CEF， ∴∠EGD＝∠CED， ∵CE＝AD，AD＝CD， ∴CE＝CD， ∴∠CED＝∠CDE， ∴∠CDE＝∠EGD， ∴EG＝DE， 过E作EQ⊥DC于Q，如图1， ∴DQ＝GQ，且∠QCE＝∠QEC＝45°， ∴CQ＝EQ， ∵AC＝， ∴， 同理，CQ＝QE＝， ∴DQ＝CD﹣CQ＝ 在中， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，特别要注意（2）中辅助线的构造是解决问题的关键． 20．阅读下列材料，然后回答问题． ①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，可以将其进一步化简： 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． ②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算． (1)计算：． (2)已知m是正整数，，，，求m． (3)已知，则的值为? 【答案】(1) (2)504 (3)9 【分析】（1）将各部分分子变为2，再根据分母有理化去分母后可相互消掉可得结果； （2）、互为倒数，分母有理化后可得的值，代入所求式子即可； （3）设，，则，利用已知等式导出，根据完全平方公式计算出即为所求． 【详解】（1）解： ； （2），， ，，， ， ， ， ； （3）设，，则， ， ， ， ， ， ， ．（舍去）， ． 【点睛】本题考查了分母有理化的技巧，利用完全平方公式和平方差公式设未知数整体代入是常用的方法． 21．计算 (1)； (2)（）． 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）先将除法转化为乘法计算，然后利用乘法的分配率分别相乘，根据二次根式、分式的运算法则计算即可； （2）先对括号内分别通分计算加减法，将除法转化为乘法计算，根据二次根式、分式的运算法则计算即可． 【详解】（1） 解： ＝ ＝－＋ ． （2） 解： ＝· ． 【点睛】 本题考查了二次根式、分式的混合运算，掌握运算法则、准确熟练地进行计算是解题的关键． 22．阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数.形如，如果你能找到两个数、，使，且，则可变形为.从而达到化去一层根号的目的． 例如化简，且， . (1)填上适当的数：＝______． (2)能化为最简二次根式，求正整数的最小值和最大值． (3)化简：． 【答案】(1)，； (2)正整数的最小值是10，最大值是25； (3)． 【分析】（1）将8写成，将写成，然后将被开方数变形成完全平方公式的形式，即可得出答案． （2）将写成，将写成，或，或，或分别求出，，，，即可得出正整数的最小值和最大值． 【详解】（1） 故答案为：， （2） ， ，或，或， 或． ∴正整数的最小值是10，最大值是25． （3） 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质与化简，正确应用完全平方公式，掌握完全平方公式的特征是解题的关键． 23．阅读材料，并完成下列任务： 材料一：裂项求和 小华在学习分式运算时，通过具体运算：，，，…… 发现规律：（n为正整数），并证明了此规律成立． 应用规律：快速计算． 材料二：根式化简 例1        ； 例2         任务一：化简． (1)化简： (2)猜想：___________________（n为正整数）． 任务二：应用 (3)计算：； 任务三：探究 (4)已知 ， 比较x和y的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) (4)，理由见解析 【分析】本题考查二次根式裂项求解，解题关键是熟练进行二次根式分母有理化的化简． （1）根据题目中的例子可以写出答案； （2）根据例2，可以写出相应的猜想； （3）根据分母有理化，可得二次根式的化简，根据二次根式的加减，即可得到答案； （4）结合例1，例2的规律进行计算即可； 【详解】（1） （2） ， ， ， 故答案为：； （3） ； （4） ， ， ， 故． 24．阅读下面材料： 我们在学习二次根式时，熟悉的是分母有理化以及应用，其实，还有一个方法叫做“分子有理化”，与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式比如：，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较  和  的大小可以先将它们分子有理化如下：，，因为，所以．再例如：求  的最大值．做法如下：解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而，当x＝2时，分母    有最小值2，所以y的最大值是2． 解决下述问题： (1)由材料可知，__________； (2)比较和 的大小； (3)式子 的最小值是__________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，分子有理化： （1）根据分子有理化的方法进行求解即可； （2）利用分子有理化得到，，然后比较和的大小即可得到与的大小； （3）利用二次根式有意义的条件得到，而，利用当时，有最小值，有最小值0得到的最小值． 【详解】（1）解：， 故答案为：． （2）， ， 而，，， ； （3）由，，得， ， 当时，有最大值，则有最小值，此时有最小值0，所以的最小值为． 25．（1）问题再现：学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题，如，求代数式的最小值；小强同学发现可看作两直角边分别为和2的直角三角形斜边长，可看作两直角边分别是和3的直角三角形的斜边长．于是构造出下图，将问题转化为求的斜边和的斜边的和的最小值，易得、、三点共线时，取得最小值，即线段的长，进而求得的最小值是_________． （2）类比迁移：根据上述方法画出示意图，解决以下问题 已知，均为正数，且，求的最小值． 【答案】（1）；（2）5 【分析】（1）先根据题意利用勾股定理求出，，要使的值最小，则的值最小，当，，三点共线时，的值最小，最小值为，过点作，交延长线于点，得矩形，根据两点间线段最短，得到线段就是所求代数式的最小值； （2）作线段，在的两侧作两个和，使得，，用类似（1）的方法求解即可． 【详解】解：（1）如图，，，，， 在中，， 在中，， ， 要使的值最小，则的值最小， 当，，三点共线时，的值最小，最小值为， 过点作，交延长线于点， 得矩形， ，， ， ， 代数式的最小值为13； 故答案为：13； （2）模仿（1）可知，当，，，， 在中，， 在中，， ， 要使的值最小，则的值最小， 当，，三点共线时，的值最小，最小值为， 过点作，交延长线于点， 得矩形， ，， ， ， 代数式的最小值为5． 故答案为：5． 【点睛】本题属于综合题，考查了轴对称最短路线问题，列代数式，勾股定理，三角形的面积，矩形的性质与判断，解决本题的关键是准确读懂题意，利用勾股定理． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$