精品解析：山东省聊城市阳谷县第一初级中学2023-2024学年八年级上学期第一次月考数学试题

八年级数学第一次月考（10月13日） 一、单选题（本大题共12小题，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，每小题选对得3分.共36分） 1. 下列命题中是真命题的是（ ） A. 用圆规画线段 B. 用量角器画出的平分线 C. 用三角尺作过点A垂直于直线l的直线 D. 用直尺（不带刻度）和圆规作等于已知角 2. 如图，在RtABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点D，若CD=5，AB=16，则ABD的面积是（　　） A. 21 B. 80 C. 40 D. 45 3. 下列说法中正确的是（ ） A. 角是轴对称图形 B. 角的对称轴是角的平分线 C. 等腰三角形内角的平分线与底边上的高、底边上的中线重合 D. 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 4. 如图，某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带上（　　） A. ① B. ② C. ③ D. ①和③ 5. 如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则的度数为（　） A. B. C. D. 6. 三条公路围成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个学校，要使学校到三条公路的距离相等，则这个学校应建在（　） A. 三角形三条边的垂直平分线的交点处 B. 三角形三条角平分线的交点处 C. 三角形三条高的交点处 D. 以上位置都不对 7. 如图，抗日战争期间，为了炸毁敌人的碉堡，需要测出我军阵地与敌人碉堡的距离．我军战士想到一个办法，他先面向碉堡的方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部点B；然后转过身保持刚才的姿势，这时视线落在了我军阵地的点E上；最后，他用步测的办法量出自己与E点的距离，从而推算出我军阵地与敌人碉堡的距离，这里判定的理由可以是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，由作图痕迹做出如下判断，其中正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是的中线，点、分别在和的延长线上，且，连接、．有下列说法：① ② ③ ④，其中正确的是（ ） A. ①④ B. ①②③ C. ①③④ D. ①②③④ 10. 两个三角形如果具备有下列条件： ①三条边对应相等 ②两条边和夹角对应相等 ③两条边和其中一条边的对角对应相等 ④两个角和一条边对应相等 ⑤三个角对应相等 那么一定能判定两个三角形全等的是（ ） A. ①②④ B. ①②③④ C. ①②④⑤ D. ①②③④⑤ 11. 如图，直线，，表示三条公路．现要建造一个中转站P，使P到三条公路的距离都相等，则中转站P可选择的点有（ ） A. 一处 B. 二处 C. 三处 D. 四处 12. 如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则∠1与∠2的和为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共24分） 13. 如图，已知，点，，，在一条直线上，要使得，还要添加一个条件，这个条件可以是___________（只需填写一个即可）． 14. 如图，在中，，，，直线是中边的垂直平分线，是直线上的一动点，则的周长的最小值为_________． 15. 如图，在中，，是边上的高，点、是的三等分点，若的面积为，则图中阴影部分的面积为______． 16. 如图，∠MON内有一点P，P、P分别被OM、ON垂直平分，与OM、ON分别交于点A、B．若=10cm，则△PAB的周长为_____． 17. 用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC＝∠BOC的依据是_______． 18. 如图，在直角坐标系中，是的角平分线，点D的坐标是则点D到的距离是________． 19. 已知点与点关于x轴对称，则_______，_________． 20. 如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点A坐标是(2，3)，则经过第2023次变换后，点A的对应点的坐标为____________． 三、解答题 21. 如图，已知点M、N和∠AOB ，用尺规作图作一点P，使P到点M、N的距离相等，且到∠AOB两边的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法） 22. 如图，在平面直角坐标系xoy中，A（1，2），B（3，1），C（﹣2，﹣1）． （1）在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1． （2）写出点A1，B1，C1的坐标（直接写答案）． 23. 已知：如图，，，，求证，． 24. 已知，，求证：． 25. 如图，在中，的垂直平分线交于点M，交于点D，的垂直平分线交于点N，交于点E，与相交于点O，的周长为10． （1）求的长； （2）试判断点O是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 26. 如图所示，，P是的中点，且平分，连接． （1）试说明平分； （2）线段与有怎样的位置关系?请说明理由． 27. （1）如图1，在AB直线一侧C、D两点，在AB上找一点P，使C、D、P三点组成的三角形的周长最短，找出此点并说明理由． （2）如图2，在∠AOB内部有一点P，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、P三点组成的三角形的周长最短，找出E、F两点，并说明理由． （3）如图3，在∠AOB内部有两点M、N，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、M、N，四点组成的四边形的周长最短，找出E、F两点，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学第一次月考（10月13日） 一、单选题（本大题共12小题，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，每小题选对得3分.共36分） 1. 下列命题中是真命题的是（ ） A. 用圆规画线段 B. 用量角器画出的平分线 C. 用三角尺作过点A垂直于直线l的直线 D. 用直尺（不带刻度）和圆规作等于已知角 【答案】D 【解析】 【分析】根据尺规作图的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、圆规没有刻度，不能画出线段，原命题是假命题，不符合题意； B、用量角器只能量出的度数，不能该画出的平分线，原命题是假命题，不符合题意； C、用三角尺只能作过点A垂直于直线l的垂线，不能作过点A垂直于直线l的直线，原命题是假命题，不符合题意； D、用直尺（不带刻度）和圆规作等于已知角，原命题是真命题，符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查了判断命题真假，尺规作图，灵活运用所学知识是解题的关键． 2. 如图，在RtABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点D，若CD=5，AB=16，则ABD的面积是（　　） A. 21 B. 80 C. 40 D. 45 【答案】C 【解析】 【分析】如图，过点D作DH⊥AB于H，根据角平分线的性质得到DC=DH=5，再利用三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图，过点D作DH⊥AB于H． 由作法可知，AP平分∠CAB， ∵DC⊥AC，DH⊥AB， ∴DC=DH=5， ∴=•AB•DH=×16×5=40． 故选：C． 【点睛】本题考查了角平分线的性质和作图－基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键． 3. 下列说法中正确的是（ ） A. 角是轴对称图形 B. 角的对称轴是角的平分线 C. 等腰三角形内角的平分线与底边上的高、底边上的中线重合 D. 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 【答案】AD 【解析】 【分析】根据角平分线的性质判断①；根据轴对称图形的定义判断②③；根据线段垂直平分线的性质判断④． 【详解】解：角是轴对称图形，对称轴就是角平分线所在的直线，A说法正确，B说法错误； 等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合，所以C错误； 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，D说法正确． 故选：AD． 【点睛】本题考查了角平分线、线段垂直平分线的性质，轴对称图形的定义，是基础知识，需熟练掌握． 4. 如图，某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带上（　　） A. ① B. ② C. ③ D. ①和③ 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查学生对全等三角形的判定方法的灵活运用，要求对常用的几种方法熟练掌握．此题可以采用排除法进行分析从而确定最后的答案． 【详解】解：第一块，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法； 第二块，仅保留了原三角形的一部分边，所以该块不行； 第三块，不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一个边，所以符合判定，所以应该拿这块去． 故选：C． 5. 如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则的度数为（　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理求出，根据全等三角形的性质解答即可． 【详解】由三角形内角和定理得，， 两个三角形全等， ， 故选：D． 【点睛】本题考查的是全等三角形的性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应角相等是解本题的关键． 6. 三条公路围成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个学校，要使学校到三条公路的距离相等，则这个学校应建在（　） A. 三角形三条边的垂直平分线的交点处 B. 三角形三条角平分线的交点处 C. 三角形三条高的交点处 D. 以上位置都不对 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的内心的定义和性质即可求解． 【详解】解：∵角平分线上的点到角两边的距离相等， ∴要使学校到三条公路的距离相等，则这个学校应建在三角形三条角平分线的交点处， 故选：． 【点睛】本题主要考查三角形的内心，理解和掌握三角形内心的定义和性质是解题的关键． 7. 如图，抗日战争期间，为了炸毁敌人的碉堡，需要测出我军阵地与敌人碉堡的距离．我军战士想到一个办法，他先面向碉堡的方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部点B；然后转过身保持刚才的姿势，这时视线落在了我军阵地的点E上；最后，他用步测的办法量出自己与E点的距离，从而推算出我军阵地与敌人碉堡的距离，这里判定的理由可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据垂直的定义和全等三角形的判定定理即可得到结论． 【详解】解：∵士兵的视线通过帽檐正好落在碉堡的底部点B，然后转过身保持刚才的姿势，这时视线落在了我军阵地的点E上， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴判定的理由是． 故选C． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的应用，分析题意找到相等的角和边判定三角形的全等是解题的关键． 8. 如图，由作图痕迹做出如下判断，其中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由作图可得：是的角平分线，是线段的垂直平分线，过作于，证明，结合，可得，故A符合题意，B不符合题意；由作图可得，E，D是随着作图需要可以变化位置的，可判断C，D，从而可得答案． 【详解】解：由作图可得：是的角平分线，是线段的垂直平分线，过作于， ∵，平分，， ∴， ∵， ∴，故A符合题意，B不符合题意； 由作图可得，E，D是随着作图需要可以变化位置的， ∴，不能确定其大小，故C，D不符合题意； 故选A 【点睛】本题考查的是角平分线的作图与性质，线段的垂直平分线的作图，垂线段最短，理解题意是解本题的关键． 9. 如图，是的中线，点、分别在和的延长线上，且，连接、．有下列说法：① ② ③ ④，其中正确的是（ ） A. ①④ B. ①②③ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】先利用SAS证明△BDF≌△CDE，再结合全等三角形的性质可得证②③，缺少证明△ABD与△ACD全等的条件． 【详解】①∵AD是△ABC的中线， ∴BD=CD， 在△BDF和△CDE中， ， ∴△BDF≌△CDE； ②∵△BDF≌△CDE， ∴CE=BF； ③∵△BDF≌△CDE， ∴∠CED=∠BFD， ∴BF∥CE； ④缺少证明△ABD与△ACD全等的条件． 故选B． 【点睛】本题考查了全等三角形判定和性质，解题的关键是证明△BDF≌△CDE． 10. 两个三角形如果具备有下列条件： ①三条边对应相等 ②两条边和夹角对应相等 ③两条边和其中一条边的对角对应相等 ④两个角和一条边对应相等 ⑤三个角对应相等 那么一定能判定两个三角形全等的是（ ） A. ①②④ B. ①②③④ C. ①②④⑤ D. ①②③④⑤ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键.根据三角形全等的判定定理分别进行分析即可． 【详解】①三条边对应相等，可利用定理判定两个三角形全等； ②两条边和夹角对应相等, 可以利用判定两个三角形全等； ③两条边和其中一条边的对角对应相等，不能判定两个三角形全等； ④两个角和一条边对应相等利用或判定两个三角形全等； ⑤.三个角对应相等,不能判定两个三角形全等； 故选：A. 11. 如图，直线，，表示三条公路．现要建造一个中转站P，使P到三条公路的距离都相等，则中转站P可选择的点有（ ） A. 一处 B. 二处 C. 三处 D. 四处 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，根据角平分线上的点到角的两边距离相等，分情况找点P的位置即可． 【详解】解：①三角形两个内角平分线的交点，共一处； ②三个外角两两平分线的交点，共三处， ∴中转站P可选择的点共有四处． 故选：D． 12. 如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则∠1与∠2的和为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，先标注图形，再根据“边角边”证明 ，可得，则答案可得． 【详解】解：如图所示，， ∴， ∴． ∵, ∴． 故选：B． 二、填空题（每题3分，共24分） 13. 如图，已知，点，，，在一条直线上，要使得，还要添加一个条件，这个条件可以是___________（只需填写一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查的是添加条件判定三角形全等，本题先分析已有条件，，再根据可添加夹角相等或第三边相等即可判定三角形全等；熟记三角形全等的判定方法是解本题的关键． 【详解】解：增加一个条件：， 在和中， ， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 14. 如图，在中，，，，直线是中边的垂直平分线，是直线上的一动点，则的周长的最小值为_________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．连接，先根据线段垂直平分线的性质可得，从而可得的周长为，再根据两点之间线段最短可得的最小值为，由此即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵直线是中边的垂直平分线， ∴， ∵， ∴的周长为， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，取最小值，最小值为， ∴的最小值为， 即的周长的最小值为10， 故答案为：10． 15. 如图，在中，，是边上的高，点、是的三等分点，若的面积为，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】##60平方厘米 【解析】 【分析】由图，根据等腰三角形是轴对称图形知，和的面积相等，所以阴影部分的面积是三角形面积的一半． 【详解】中，，是边上的高， 是轴对称图形，且直线是对称轴， 和的面积相等， ， ，是边上的高， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及轴对称性质；利用对称发现并利用和的面积相等是正确解答本题的关键． 16. 如图，∠MON内有一点P，P、P分别被OM、ON垂直平分，与OM、ON分别交于点A、B．若=10cm，则△PAB的周长为_____． 【答案】10cm##10厘米 【解析】 【分析】根据轴对称的性质进行等量代换，便可知与△PAB的周长是相等的． 【详解】解：∵P、P分别被OM、ON垂直平分， ∴AP=A，BP=B； 又∵=A+AB+B=PA+AB+PB=10cm， ∴△PAB的周长为10cm． 故答案为：10cm． 【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质，要求学生熟练掌握轴对称的性质特点，并能灵活运用，便能简单做出此题． 17. 用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC＝∠BOC的依据是_______． 【答案】SSS 【解析】 【分析】连接NC，MC，根据SSS证△ONC≌△OMC，即可推出答案． 【详解】 解：连接NC，MC， 在△ONC和△OMC中 ， ∴△ONC≌△OMC（SSS）， ∴∠AOC=∠BOC， 故答案为SSS． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，培养学生运用性质进行推理的能力，题型较好，难度适中． 18. 如图，在直角坐标系中，是的角平分线，点D的坐标是则点D到的距离是________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线性质定理，作交于E点，根据角平分线性质得出，然后再利用D点坐标进一步求出即可得出答案. 【详解】如图，作交于E点， 由题意可得，， ∴， ∵是的角平分线，， ∴， ∵点的坐标是， ∴， ∴， ∴点到的距离为2. 故答案为：2 19. 已知点与点关于x轴对称，则_______，_________． 【答案】 ①. 3 ②. 【解析】 【分析】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数． 根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”列方程求解即可． 【详解】解：∵点与点关于x轴对称， ∴，， 解得：，． 故答案为：3，． 20. 如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点A坐标是(2，3)，则经过第2023次变换后，点A的对应点的坐标为____________． 【答案】 【解析】 【分析】观察图形可知每四次对称为一个循环组依次循环，用除以，然后根据商和余数的情况确定出变换后的点A所在的象限，然后解答即可． 【详解】解：点第一次关于轴对称后在第四象限， 点第二次关于轴对称后在第三象限， 点第三次关于轴对称后在第二象限， 点第四次关于轴对称后在第一象限，即点回到原始位置， 每四次对称为一个循环组依次循环， ， 经过第次变换后所得的A点与第三次变换的位置相同，在第二象限，坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，点的坐标变换规律，读懂题目信息，观察出每四次对称为一个循环组依次循环是解题的关键，也是本题的难点． 三、解答题 21. 如图，已知点M、N和∠AOB ，用尺规作图作一点P，使P到点M、N的距离相等，且到∠AOB两边的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 （1）作∠AOB的平分线， （2）作MN的中垂线，两线相交于点P，点P即为所求 【解析】 【分析】利用角平分线的作法以及线段垂直平分线的作法进而求出其交点即可． 【详解】解：略． 【点睛】此题主要考查了复杂作图，熟练掌握角平分线以及线段垂直平分线的作法是解题关键． 22. 如图，在平面直角坐标系xoy中，A（1，2），B（3，1），C（﹣2，﹣1）． （1）在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1． （2）写出点A1，B1，C1的坐标（直接写答案）． 【答案】 （1）所作图形如下所示： （2）A1（-1，2），B1（-3，1），C1（2，-1）． 【解析】 【分析】（1）利用轴对称性质，作出A、B、C关于y轴的对称点A1、B1、C1，顺次连接A1B1、B1C1、C1A1，即得到关于y轴对称的△A1B1C1；（2）根据点关于y轴对称的性质，纵坐标相同，横坐标互为相反数，即可求出A1、B1、C1各点的坐标． 【详解】（1）作出A、B、C关于y轴的对称点A1、B1、C1，顺次连接A1B1、B1C1、C1A1 （2）∵A（1，2），B（3，1），C（﹣2，﹣1）， ∴关于y轴对称点A1，B1，C1的坐标分别为：A1（-1，2），B1（-3，1），C1（2，-1）． 【点睛】本题考查的是作图-轴对称变换，熟知关于x轴对称的点的坐标特点，准确找出对应点的位置是解答此题的关键． 23. 已知：如图，，，，求证，． 【答案】 证明：∵， ∴， ∵，， ∴ 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定，由平行线性质得到，再由已知，，即可证明． 【详解】略． 24. 已知，，求证：． 【答案】 证明：如图，连接， AI ∵，，， ∴ ∴． 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，连接，证明．即可得到结论． 【详解】略 25. 如图，在中，的垂直平分线交于点M，交于点D，的垂直平分线交于点N，交于点E，与相交于点O，的周长为10． （1）求的长； （2）试判断点O是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 【答案】（1） （2） 点在边的垂直平分线上， 理由：连接，，， 与是，的垂直平分线， ，， ， 点在边的垂直平分线上． 【解析】 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． （1）根据线段垂直平分线的性质得到，同理，于是得到结论； （2）连接，，，根据线段垂直平分线的性质与判定即可得到结论． 【小问1详解】 垂直平分， ， 同理， ； 【小问2详解】 略 26. 如图所示，，P是的中点，且平分，连接． （1）试说明平分； （2）线段与有怎样的位置关系?请说明理由． 【答案】（1） 证明：过点作，垂足为E，如图所示： ∵平分， ∴， ∵，， ∴（角平分线上的点到角两边的距离相等）， 又∵是中点， ∴， ∴， ∵，， ∴平分；（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）． （2） 解：，理由如下： ∵， ∴，， ∴（垂直于同一条直线的两条直线平行）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， 又∵，（角平分线定义）， ∴， ∴， ∴，即． 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线的性质定理和它的逆定理．根据题意正确作出辅助线是解答本题的关键． （1）由题意过点作，垂足为E，先求出，再求出，从而证明平分； （2）根据题意利用两直线平行同旁内角互补可得，从而求证两直线垂直． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 27. （1）如图1，在AB直线一侧C、D两点，在AB上找一点P，使C、D、P三点组成的三角形的周长最短，找出此点并说明理由． （2）如图2，在∠AOB内部有一点P，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、P三点组成的三角形的周长最短，找出E、F两点，并说明理由． （3）如图3，在∠AOB内部有两点M、N，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、M、N，四点组成的四边形的周长最短，找出E、F两点，并说明理由． 【答案】 （1）证明：如图1，作C关于直线AB的对称点C′，连接C′D交AB于点P．则点P就是所要求作的点．理由如下： 在l上取不同于P的点P′，连接CP′、DP′． ∵C和C′关于直线l对称，∴PC＝PC′，P′C＝P′C′，而C′P+DP＜C′P′+DP′，∴PC+DP＜CP′+DP′，∴CD+CP+DP＜CD+CP′+DP′．即△CDP周长小于△CDP′周长； （2）证明：如图2，作P关于OA的对称点C，关于OB的对称点D，连接CD，交OA于E，OB于F，则点E，F就是所要求作的点，理由如下： 在OA，OB上取不同于E，F的点E′，F′．连接CE′、E′P、PF′、DF′． ∵C和P关于直线OA对称，∴PE＝CE，CE′＝PE′，PF＝DF，PF′＝DF′，∴PE+EF+PF＝CE+EF+DF，PE′+PF′+E′F′＝CE′+E′F′+DF′． ∵CE+EF+DF＜CE′+E′F′+DF′，∴PE+EF+PF＜PE′+E′F′+PF′； （3）证明：如图3，作M关于OA的对称点C，作N关于OB的对称点D，连接CD，交OA于E，OB于F，则点E，F就是所要求作的点．理由如下： 在OA，OB上取不同于E，F的点E′，F′，连接CE′、E′F′，DF′． ∵C和M关于直线OA对称，∴ME＝CE，CE′＝ME′，NF＝DF，NF′＝DF′，由（2）得知MN+ME+EF+NF＜MN+ME′+E′F′+F′D． 【解析】 【分析】（1）由于△PCD的周长＝PC+CD+PD，而CD是定值，故只需在直线l上找一点P，使PC+PD最小．如果设C关于l的对称点为C′，使PC+PD最小就是使PC′+PD最小； （2）作P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD角OA、OB于E、F．此时△PEF周长有最小值； （3）如图3，作M关于OA的对称点C，关于OB的对称点D，连接CD，交OA于E，OB于F，此时使得E、F、M、N，四点组成的四边形的周长最短． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【点睛】本题考查了平面内最短路线问题求法以及垂直平分线的性质等知识，根据已知得出对称点的位置是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $