精品解析：2023年河南省驻马店市泌阳县光亚学校一模数学试题

2023河南中考学业备考全真模拟试卷（M1） 数学 注意：本试卷分为试题卷和答题卡两部分．三个大题，考试时间100分钟，满分120分．考生应首先阅读试卷上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试卷上作答无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的 1. ﹣3的绝对值是（　　） A. ﹣3 B. 3 C. - D. 2. 据报道，英国约克大学科学家测出了质子半径的精确数值，精确到飞米．已知1飞米米，数据飞米可用科学记数法表示为（ ） A 米 B. 米 C. 米 D. 米 3. 圆柱是由长方形绕着它的一边所在直线旋转一周所得到的，那么下列四个选项绕直线旋转一周可以得到如图立体图形的是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，，且，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 关于矩形性质，下列说法不正确的是（　　） A. 四个角都直角 B. 既是轴对称图形，也是中心对称图形 C. 对角线互相垂直 D 对角线互相平分且相等 7. 方程2x2+3x﹣4＝0的根的情况是（　　） A. 有两个相等的实数根 B. 只有一个实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根 8. 九（1）班选派5名学生参加演讲比赛，他们的成绩如下： 选手 平均成绩 中位数 成绩/分 86 ■ 82 88 82 85 ■ 则上表中被遮盖的两个数据从左到右依次是（ ） A. 87，86 B. 87，87 C. 82，86 D. 82，87 9. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知菱形ABCD的顶点，，对角线BD交AC于点M，交x轴于点N，若，则点B的坐标是（ ） A. B. C. D. 10. 如图1， 中，∠，，，将放置在平面直角坐标系中，使点与原点重合，点在轴正半轴上．将按如图方式顺时针滚动无滑动，则滚动次后，点的横坐标为(　　) A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 使分式有意义的m的取值范围是________． 12. 不等式组的解集是____________． 13. 将分别标有“我”“爱”“重”“外”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其它差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字组成“重外”的概率是______． 14. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝3，在AB上有一点O，以点O为圆心，OA长为半径的半圆与边BC相切于点D，交AC边于点E，则图中阴影部分的面积为____． 15. 在矩形中，，，对角线、交于点，点是边上一动点，连接，以为折痕，将折叠，点的对应点为，与交于点，若为直角三角形，则的长为____________． 三、简答题（本大题共7个小题，共75分） 16. 按要求解答 （1）计算：； （2）化简：． 17. 习近平总书记强调：“红色基因就是要传承．中华民族从站起来、富起来到强起来，经历了多少坎坷，创造了多少奇迹，要让后代牢记我们要不忘初心，永远不可迷失了方向和道路．”为鼓励大家读好红色经典故事某校开展了“传承红色基因读好红色经典”活动．为了解七、八年级学生（七、八年级各有80名学生）的阅读效果，该校举行了红色经典文化知识竞赛．现从两个年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行分析，过程如下： 收集数据： 七年级：79，85，73，80，75，76，87，70，75，94，75，78，81，71，75，80，86，59，83，77． 八年级：92，74，87，82，72，81，94，83，77，83，80，81，71，81，72，77，82，80，70，41． 整理数据： 40≤x≤49 50≤x≤59 60≤x≤69 70≤x≤79 80≤x≤89 90≤x≤100 七年级 0 1 0 a 7 1 八年级 1 0 0 7 10 2 分析数据： 平均数 众数 中位数 七年级 78 75 b 八年级 78 c 80.5 请回答下列问题： （1）在上面两个表格中：a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　． （2）你认为哪个年级的学生对红色经典文化知识掌握的总体水平较好，并说明理由． 18. 如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边BC在x轴上，点A坐标为，点M是AB的中点，反比例函数的图象经过点M，交CD于点N． （1）求反比例函数的表达式； （2）若反比例函数图象上的一个动点在正方形ABCD的内部（含边界），求面积的最小值． 19. 焦作广播电视塔由塔下裙房、塔身、上塔楼和天线段4部分组成，它集“雄、险、奇、秀”于一身．某校数学社团的同学们借助无人机、卷尺等工具测量电视塔的高度．如图所示，小航在处用无人机在距地面151米的处测得电视塔最高点的仰角为22°，然后沿方向前进50米到达处，用无人机在距地面70米的处测得点的仰角为45°．求的距离和电视塔的高度．（结果精确到1m．参考数据：，，，） 20. 第39届“中国洛阳牡丹文化节”期间，某工艺品商店促销大小两种牡丹瓷盘，发布如下信息： ※每个大盘的批发价比每个小盘多元； ※※一套组合瓷盘包括一个大盘与四个小盘； ※※※每套组合瓷盘的批发价为元． 根据以上信息： （1）求每个大盘与每个小盘的批发价； （2）若该商店购进小盘的数量是大盘数量的5倍还多个，并且大盘和小盘的总数不超过个，该商店计划将一半的大盘成套销售，每套元，其余按每个大盘元，每个小盘元零售，设该商店购进大盘x个． ①试用含x的关系式表示出该商店计划获取的利润； ②请帮助该商店设计一种获取利润最大的方案并求出最大利润． 21. 如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，以AB为直径的⊙O经过点C.过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P.点D为圆上一点，且 ，弦AD的延长线交切线PC于点E，连接BC． （1）判断OB和BP的数量关系,并说明理由； （2）若⊙O的半径为2，求AE的长． 22. 卡塔尔世界杯完美落幕．在一场比赛中，球员甲在离对方球门30米处的O点起脚吊射（把球高高地挑过守门员的头顶，射入球门），假如球飞行的路线是一条抛物线，在离球门14米时,足球达到最大高度8米．如图所示，以球员甲所在位置O点为原点，建立平面直角坐标系． （1）求满足条件的抛物线的函数表达式； （2）如果葡萄牙球员C罗站在球员甲前3米处，C罗跳起后最高能达到2.88米，那么C罗能否在空中截住这次吊射？ 23. 【问题呈现】如图，是矩形边上的一点，于点，，，，证明，并计算点到直线的距离（结果保留根号）． （1）结合图①，完成解答过程． （2）【拓展探究】在图①基础上，延长线段交边于点，如图②，求的长． （3）如图③，，是矩形的边，上的点，连接，将矩形沿翻折，使点的对称点与点重合，点的对称点为点．若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023河南中考学业备考全真模拟试卷（M1） 数学 注意：本试卷分为试题卷和答题卡两部分．三个大题，考试时间100分钟，满分120分．考生应首先阅读试卷上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试卷上作答无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的 1. ﹣3的绝对值是（　　） A. ﹣3 B. 3 C. - D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，可得出答案． 【详解】根据绝对值的性质得：|-3|=3． 故选B． 【点睛】本题考查绝对值的性质，需要掌握非负数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数． 2. 据报道，英国约克大学科学家测出了质子半径的精确数值，精确到飞米．已知1飞米米，数据飞米可用科学记数法表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．表示时关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：已知1飞米米， ∴飞米米， ∴米， 故选：C． 3. 圆柱是由长方形绕着它的一边所在直线旋转一周所得到的，那么下列四个选项绕直线旋转一周可以得到如图立体图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别根据各选项分析得出几何体的形状进而得出答案． 【详解】A．可以通过旋转得到两个圆柱，故本选项正确； B．可以通过旋转得到一个圆柱，一个圆筒，故本选项错误； C．可以通过旋转得到一个圆柱，两个圆筒，故本选项错误； D．可以通过旋转得到三个圆柱，故本选项错误． 故选∶ A． 【点睛】此题主要考查了点、线、面、体，根据基本图形旋转得出几何体需要同学们较好的空间想象能力． 4. 如图，，且，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由对顶角相等可得，由平行线的性质可得，再由直角三角形的两个锐角互余求得的度数，从而得解． 【详解】解：如下图， ∵，且， ∴，， ∵， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质、直角三角形的性质、对顶角相等等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平方差公式，合并同类项，单项式除以单项式以及幂的乘方和积的乘方法则分别判断． 【详解】解：（a-b）（-a-b）=b2-a2，故选项A错误； 2a3+3a3=5a3，故选项B错误； 6x3y2÷3x=2x2y2，故选项C正确； （-2x2）3=-8x6，故选项D错误； 故选：C． 【点睛】本题考查平方差公式、单项式除以单项式、积的乘方、幂的乘方，解答本题的关键是明确整式运算的计算方法． 6. 关于矩形性质，下列说法不正确的是（　　） A. 四个角都是直角 B. 既是轴对称图形，也是中心对称图形 C. 对角线互相垂直 D. 对角线互相平分且相等 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形的性质得出A、B、D正确，C不正确，即可得出结果． 【详解】解：∵矩形的四个角都是直角， ∴A选项正确，不符合题意； ∵矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形， ∴B选项正确，不符合题意； ∵矩形的对角线互相平分且相等， ∴C选项不正确，符合题意；D选项正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题关键． 7. 方程2x2+3x﹣4＝0根的情况是（　　） A. 有两个相等实数根 B. 只有一个实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根 【答案】C 【解析】 【分析】判断上述方程的根的情况，只要判断根的判别式△=b2-4ac的值的符号就可以了. 【详解】解：∵a＝2，b＝3，c＝﹣4， ∴Δ＝32﹣4×2×（﹣4）＝41＞0， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：C． 【点睛】此题考查一元二次方程根的情况与判别式△的关系：△ >0，方程有两个不相等的实数根； △=0方程有两个相等的实数根；△<0，方程没有实数根. 8. 九（1）班选派5名学生参加演讲比赛，他们的成绩如下： 选手 平均成绩 中位数 成绩/分 86 ■ 82 88 82 85 ■ 则上表中被遮盖的两个数据从左到右依次是（ ） A. 87，86 B. 87，87 C. 82，86 D. 82，87 【答案】A 【解析】 【分析】先由平均成绩求出总成绩，再用总成绩减去选手A，C，D，E的成绩得到选手B的成绩，再把五位选手的成绩按大小顺序排列得出最中间的数据即可得到答案 【详解】解：∵平均成绩是85分， ∴B的成绩为：（分） 将5名学生的成绩从小到大排列为：82，82，86，87，88， ∴中位数是86分 故选：A． 【点睛】本题考查了中位数及平均数的定义，解题的关键是根据平均数求得B的得分，难度不大． 9. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知菱形ABCD的顶点，，对角线BD交AC于点M，交x轴于点N，若，则点B的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出BD的解析式，设点B（a，−a＋2），则点D（2−a，a），由等腰直角三角形的性质和BN＝2ND，可得（−a＋2）＝2××（−a），即可求解． 【详解】解：∵点A（3，3），C（−1，−1）， ∴直线AC为y＝x，M（1，1）， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∴设直线BD为y＝−x＋b， ∵点M在直线BD上， ∴1＝−1＋b， ∴b＝2， ∴直线BD为y＝−x＋2， 设点B（a，−a＋2），则点D（2−a，a）， ∵BN＝2ND， ∴（−a＋2）＝2××（−a）， ∴a＝−2， ∴点B（−2，4）， 故选：D． 【点睛】本题考查了菱形的性质，坐标与图形性质，一次函数的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． 10. 如图1， 中，∠，，，将放置在平面直角坐标系中，使点与原点重合，点在轴正半轴上．将按如图方式顺时针滚动无滑动，则滚动次后，点的横坐标为(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形滚动规律得出每次一循环，由已知可得三角形周长为，进而可得滚动次后，点的横坐标． 【详解】解：∵∠ACB=90°，AC=1，BC=2， ∴ 的周长为， 根据题意可得，每滚动次，点的横坐标增加， ， 滚动次后，点的横坐标增加了)， 滚动次后，点的横坐标为， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理，坐标规律，找到规律是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 使分式有意义的m的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，熟知二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，分式有意义的条件是分母不为0是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件进行求解即可． 【详解】解：二次根式在实数范围内有意义， ， 且， 故答案为：且． 12. 不等式组的解集是____________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，根据不等式的性质，分别求解不等式，再根据不等式组的取值方法“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解”即可求解，掌握不等式的性质，不等式组的取值方法是解题的关键． 【详解】解： 解①得，， 解②得，， ∴原不等式组的解集为：． 13. 将分别标有“我”“爱”“重”“外”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其它差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字组成“重外”的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查列表法与树状图法求概率， 根据题意列出表格，得出共有12种等可能的结果，能组成“重外”有2种可能，然后根据概率公式计算概率即可． 【详解】解：列表得： 我 爱 重 外 我 爱我 重我 外我 爱 我爱 重爱 外爱 重 我重 爱重 重外 外 我外 爱重 重外 由表格可知：共有12种等可能的结果，能组成“重外”有2种可能， ∴两次摸出的球上的汉字能组成“重外”的概率， 故答案为：． 14. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝3，在AB上有一点O，以点O为圆心，OA长为半径的半圆与边BC相切于点D，交AC边于点E，则图中阴影部分的面积为____． 【答案】 【解析】 【分析】先利用三角函数定义可知∠B＝30°，得∠CAB＝60°，证明△AOE是等边三角形，利用切线的性质得直角△BOD，利用含30度的直角三角形三边的关系得到OB＝2OD＝4，最后根据面积差可得答案． 【详解】解：如图， ∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝3， ∴tan∠B＝＝＝， ∴∠B＝30°，∠CAB＝60°， ∴AB＝2AC＝6， ∵OA＝OE， ∴△AOE是等边三角形， ∴∠AOE＝60°， ∴∠EOF＝120°， ∵OA为半径的半圆与BC边相切于点D， ∴OD⊥AC， ∴∠BDO＝90°， ∴OB＝2OD＝2OA＝4， ∴OA＝2， ∴等边三角形AOE中，OA边的高为， ∴S阴影＝S△ACB﹣S△AOE﹣S扇形OEF ＝﹣﹣ ＝﹣﹣π ＝﹣π． 故答案为：﹣π． 【点睛】本题考查了切线的性质、扇形的面积计算，知道切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了含30度的直角三角形的性质． 15. 在矩形中，，，对角线、交于点，点是边上一动点，连接，以为折痕，将折叠，点的对应点为，与交于点，若为直角三角形，则的长为____________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了矩形的折叠，直角三角形的性质，中位线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，掌握矩形的折叠，相似三角形的判定和性质是解题的关键．根据矩形的折叠的性质，直角三角形的性质，分类讨论，当时，可得，可得，可得的值；当时，根据相似三角形的判定和性质可得，，由此即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，对角线交于点， ∴，， ∴，， 第一种情况，如图所示，，是直角三角形，过点作于点， ∴， ∴， 根据折叠可得，， ∴， ∴， 第二种情况，如图所示，，是直角三角形， 根据折叠可得，，， ∵， ∴， ∴，即， 解得，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得，； 综上所述，值为或， 故答案为：或 ． 三、简答题（本大题共7个小题，共75分） 16. 按要求解答 （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）先计算零指数幂、负整数指数幂、立方根，然后再计算即可； （2）根据分式的混合运算法则计算即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 【点睛】本题主要考查了实数的混合运算、分式的混合运算等知识点，灵活运用相关运算法则成为解答本题的关键． 17. 习近平总书记强调：“红色基因就是要传承．中华民族从站起来、富起来到强起来，经历了多少坎坷，创造了多少奇迹，要让后代牢记我们要不忘初心，永远不可迷失了方向和道路．”为鼓励大家读好红色经典故事某校开展了“传承红色基因读好红色经典”活动．为了解七、八年级学生（七、八年级各有80名学生）的阅读效果，该校举行了红色经典文化知识竞赛．现从两个年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行分析，过程如下： 收集数据： 七年级：79，85，73，80，75，76，87，70，75，94，75，78，81，71，75，80，86，59，83，77． 八年级：92，74，87，82，72，81，94，83，77，83，80，81，71，81，72，77，82，80，70，41． 整理数据： 40≤x≤49 50≤x≤59 60≤x≤69 70≤x≤79 80≤x≤89 90≤x≤100 七年级 0 1 0 a 7 1 八年级 1 0 0 7 10 2 分析数据： 平均数 众数 中位数 七年级 78 75 b 八年级 78 c 80.5 请回答下列问题： （1）在上面两个表格中：a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　． （2）你认为哪个年级的学生对红色经典文化知识掌握的总体水平较好，并说明理由． 【答案】（1）11，77.5，81；（2）八年级，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据中位数、众数的意义求解即可； （2）根据中位数、众数的比较得出结论． 【详解】解：（1）a=20-1-7-1=11， 将七年级学生成绩从小到大排列处在中间位置的两个数的平均数为=77.5，因此中位数是77.5，即b=77.5， 八年级学生成绩出现次数最多的是81分，共出现3次，因此众数是81，即c=81， 故答案为：11，77.5，81； （2）八年级学生的总体水平较好， 因为七、八年级的平均数相等，而八年级的众数和中位数大于七年级的众数和中位数， 所以八年级得分高的人数较多，即八年级学生的总体水平较好． 【点睛】本题考查了中位数、众数、频数分布表，理解中位数、众数的意义是正确解答的关键． 18. 如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边BC在x轴上，点A坐标为，点M是AB的中点，反比例函数的图象经过点M，交CD于点N． （1）求反比例函数的表达式； （2）若反比例函数图象上的一个动点在正方形ABCD的内部（含边界），求面积的最小值． 【答案】（1）y= （2）2 【解析】 【分析】（1）先确定点M的坐标，再把点M点的坐标代入y=中求出k得到反比例函数解析式； （2）利用正方形的性质确定点C的坐标为（6，0），再利用反比例函数解析式确定点N的坐标为（6，），利用反比例函数的性质得到当m=6时，n有最小值，然后计算出△POC面积的最小值． 【小问1详解】 ∵点A坐标为（2，4）， ∴OB=2，AB=4， ∵M是AB的中点， ∴点M的坐标是（2，2）， 把点M（2，2）代入y=得k=2×2=4， ∴反比例函数解析式为y=； 小问2详解】 ∵四边形ABCD是正方形，点A的坐标是（2，4）， ∴点C的坐标是（6，0）， 当x=6时，y=； ∴点N的坐标是（6，）， ∵反比例函数y=图象上的动点P（m，n）在正方形ABCD的内部（含边界）， ∴n随m的增大而减少，且2≤m≤6， ∴当m=6时，n有最小值， ∴△POC面积的最小值为=2． 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式：设出含有待定系数的反比例函数解析式y=（k为常数，k≠0），然后把一个已知点的坐标代入求出k得到反比例函数解析式．也考查了反比例函数的性质和正方形的性质． 19. 焦作广播电视塔由塔下裙房、塔身、上塔楼和天线段4部分组成，它集“雄、险、奇、秀”于一身．某校数学社团的同学们借助无人机、卷尺等工具测量电视塔的高度．如图所示，小航在处用无人机在距地面151米的处测得电视塔最高点的仰角为22°，然后沿方向前进50米到达处，用无人机在距地面70米的处测得点的仰角为45°．求的距离和电视塔的高度．（结果精确到1m．参考数据：，，，） 【答案】米；米 【解析】 【分析】设的长为，根据题意可得，，在中，利用三角函数列出关于的方程，即可求出，的长 【详解】设的长为， 由题可知： 四边形，为矩形， 在中， 解得 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，能够熟练借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解题关键． 20. 第39届“中国洛阳牡丹文化节”期间，某工艺品商店促销大小两种牡丹瓷盘，发布如下信息： ※每个大盘的批发价比每个小盘多元； ※※一套组合瓷盘包括一个大盘与四个小盘； ※※※每套组合瓷盘的批发价为元． 根据以上信息： （1）求每个大盘与每个小盘的批发价； （2）若该商店购进小盘的数量是大盘数量的5倍还多个，并且大盘和小盘的总数不超过个，该商店计划将一半的大盘成套销售，每套元，其余按每个大盘元，每个小盘元零售，设该商店购进大盘x个． ①试用含x的关系式表示出该商店计划获取的利润； ②请帮助该商店设计一种获取利润最大的方案并求出最大利润． 【答案】（1）每个大盘的批发价是元，每个小盘的批发价是元 （2）①元 ②当购买个大盘，个小盘时可以获得最大利润，最大利润是元 【解析】 【分析】（1）设每个小盘的批发价是元，则每个大盘的批发价是元，然后根据一套组合瓷盘包括一个大盘与四个小盘，每套组合瓷盘的批发价为元，可以列出方程，从而可以求得每个大盘与每个小盘的批发价； （2）①设该商户购进大盘个，则该商户购进小盘的数量是个，利润为w元，利润＝单件利润乘数量，可以得到与的关系式； ②根据大盘和小盘的总数不超过个，可以得到关于的不等式，从而可以求得的取值范围，注意 为整数，即可解答本题． 【小问1详解】 解：设每个小盘的批发价是元，则每个大盘的批发价是元， ， 解得， ， 答：每个大盘的批发价是元，每个小盘的批发价是元； 【小问2详解】 解：①设该商户购进大盘个，则该商户购进小盘的数量是个，利润为w元， ， 即该商户计划获取的利润为元； ②， 解得， 为整数， 且为整数， ∴当时，取得最大值，此时， ， 答：当购买个大盘，个小盘时可以获得最大利润，最大利润是元． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，解一元一次方程，一次函数，找准题中的等量关系列出函数关系式是解题的关键． 21. 如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，以AB为直径的⊙O经过点C.过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P.点D为圆上一点，且 ，弦AD的延长线交切线PC于点E，连接BC． （1）判断OB和BP的数量关系,并说明理由； （2）若⊙O的半径为2，求AE的长． 【答案】（1）OB=BP，理由见解析（2）3 【解析】 【分析】（1）首先连接OC，由PC切⊙O于点C，可得∠OCP=90°，又由∠BAC=30°，即可求得∠COP=60°，∠P=30°，然后根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，证得OB=BP． （2）由（1）可得OB=OP，即可求得AP的长，又由 ，即可得∠CAD=∠BAC=30°，从而求得∠E=90°，从而在Rt△AEP中求得答案． 【详解】解：（1）OB=BP．理由如下：连接OC， ∵PC切⊙O于点C， ∴∠OCP=90°． ∵OA=OC，∠OAC=30°， ∴∠OAC=∠OCA=30°． ∴∠COP=60°． ∴∠P=30°． 在Rt△OCP中，OC=OP=OB=BP． （2）由（1）得OB=OP． ∵⊙O的半径是2， ∴AP=3OB=3×2=6． ∵， ∴∠CAD=∠BAC=30°． ∴∠BAD=60°． ∵∠P=30°， ∴∠E=90°． 在Rt△AEP中，AE=AP= ×6=3． 22. 卡塔尔世界杯完美落幕．在一场比赛中，球员甲在离对方球门30米处的O点起脚吊射（把球高高地挑过守门员的头顶，射入球门），假如球飞行的路线是一条抛物线，在离球门14米时,足球达到最大高度8米．如图所示，以球员甲所在位置O点为原点，建立平面直角坐标系． （1）求满足条件的抛物线的函数表达式； （2）如果葡萄牙球员C罗站在球员甲前3米处，C罗跳起后最高能达到2.88米，那么C罗能否在空中截住这次吊射？ 【答案】（1） （2）C罗能在空中截住这次吊射 【解析】 【分析】（1）根据题意得出二次函数的顶点坐标，进而求出二次函数解析式； （2）将代入函数表达式，求出y值，然后与2.88相比较即可得出答案． 本题主要考查了二次函数的应用，正确求出二次函数解析式是解题关键． 【小问1详解】 由题意可得，足球距离点O米时，足球达到最大高度8米， 设抛物线解析式为：， 把代入解析式得：， 解得：， 故抛物线解析式为：； 【小问2详解】 当时， 故C罗能在空中截住这次吊射． 23. 【问题呈现】如图，是矩形的边上的一点，于点，，，，证明，并计算点到直线的距离（结果保留根号）． （1）结合图①，完成解答过程． （2）【拓展探究】在图①的基础上，延长线段交边于点，如图②，求的长． （3）如图③，，是矩形的边，上的点，连接，将矩形沿翻折，使点的对称点与点重合，点的对称点为点．若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析，点到直线的距离为， （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，相似三角形的性质与判定，勾股定理等等： （1）利用矩形的性质得到，，则由勾股定理得到，再证明，．即可证明，则，即，即可求出； （2）证明，得，即，求出，则； （3）如图③，作于，设，则，由折叠的性质可得，进而推出，则，勾股定理得，解得，，，近而得到，在中，可由勾股定理得到． 【小问1详解】 解：四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ． ， ，即， ∴， 点到直线的距离为 【小问2详解】 解：四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ，得，即， ， ； 【小问3详解】 解：如图③，作于，设，则， 将矩形沿翻折，使点的对称点与点重合， ， ， ， ， ， 在中，根据勾股定理得，， ， ， ，， ， 在中，，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $