精品解析：山东烟台市莱山区2025-2026学年度第二学期第一阶段检测练习题 初三数学

2025－2026学年度第二学期第一阶段检测练习题 初三数学 注意事项： 1．本试卷共6页，共120分；考试时间120分钟．考试结束后，请将答题卡交回． 2．答题前，务必用0.5毫米黑色的签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号填写在试卷和答题卡规定的位置上． 3．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 4．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带． 5．写在试卷上或答题卡指定区域外的答案无效． 一、选择题（本题共12个小题，每小题3分，满分36分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的 1. 下列式子中，一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的判断，根据二次根式的定义，需满足两个条件：①根指数为2；②被开方数为非负数，逐一验证各选项即可． 【详解】解：A. 是二次根式，故选项A符合题意； B. 的被开方数是负数，不是二次根式，故选项B不符合题意； C.当时，的被开方数是负数，不是二次根式，故选项C不符合题意； D. 不是二次根式，故选项D不符合题意； 故选：A． 2. 用公式法解方程时，a，b，c的值依次是（　　） A. 0，，5 B. 1，，5 C. 1，5， D. 1，， 【答案】D 【解析】 【分析】先将方程整理为一元二次方程的一般形式，再根据一般形式确定a，b，c的值即可． 【详解】解：方程移项整理，得， 则，，． 3. 如果，那么下列各式中成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了比例的基本性质，利用比例的基本性质，或设参数代入验证各选项是否成立． 【详解】解：∵ ∴根据比例的基本性质“两内项之积等于两外项之积”，可得，故选项D正确． 设，（）验证其他选项： A. ，故A错误； B. ，故B错误； C. ，，显然不相等，故C错误； 故选：D． 4. 下列二次根式的运算：①；②；③；④；其中运算正确的是（ ） A. ①②③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ①② 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、二次根式的化简；熟练掌握二次根式的化简与运算是解决问题的关键，由二次根式的性质与化简、运算得出①②正确，③④不正确，即可得出结论． 【详解】解：①正确， ②正确， ③不正确， ④不正确； 正确的为：①②； 故选：D． 5. 对于任意4个实数定义一种新的运算，例如：，则关于的方程的根的情况为（ ） A. 只有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无实数根 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查新定义运算与一元二次方程根的判别式，先根据新定义运算整理出关于x的一元二次方程，再计算根的判别式，根据判别式的符号判断根的情况即可. 【详解】解：根据新运算的定义，得 整理得 ∵ ∴该一元二次方程有两个不相等的实数根； 6. 设的整数部分为，小数部分为，则的值是（ ） A. 6 B. C. 1 D. -1 【答案】D 【解析】 【分析】先估算出的值，求出a，b的值，然后代入式子中进行计算即可． 【详解】解：∵3＜＜4， ∴7-的小数部分为b，整数部分为3， ∴a=3，b=4-； ∴==-1． 故选：D． 【点睛】本题考查了估算无理数的大小，实数的运算，准确熟练地求出a，b的值是解题的关键． 7. 已知a、b满足，则代数式的值为（ ） A. B. 4 C. 或4 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】设，将等式变形为，解方程即可． 【详解】设， 由，得， 化简得， 解得， 即． 8. 假设，那么等于（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二次根式的性质化简，再根据的取值范围判断绝对值内式子的正负，去掉绝对值符号计算即可得到结果． 【详解】解：根据二次根式的性质，可得 原式 ， ， 代入得：原式 ． 9. 已知线段，求作线段，使，下列作图中均作出一组平行线，其中正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将已知等式变形为比例式，根据平行线分线段成比例定理，分析各选项中线段的比例关系即可． 【详解】解：∵， ∴， A．根据平行线分线段成比例定理可得，即，故本选项错误； B．根据平行线分线段成比例定理可得，即，故本选项错误； C．根据平行线分线段成比例定理可得，即，故本选项错误； D．根据平行线分线段成比例定理可得，即，故本选项正确． 10. 已知关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. 且 B. C. D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解得情况，解题的关键是熟知根的判别式的运用． 根据一元二次方程根的判别式的应用，一元一次方程的根，分两种情况讨论即可得到答案． 【详解】解：当时，则， 由于关于的方程有实数根， ，即， ， 的取值范围且， 当时为一元一次方程，方程有一根． 综上所知的取值范围为：． 故选：C． 11. 随着环保意识的增强和技术的进步，某品牌的电动汽车逐渐成为消费者的新宠，某销售商的该品牌电动车今年1月份的销量为1000辆，由于国补政策的连月升温，3月份的销量比1月份增加了2000辆．设每个月销量的平均增长率为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：设每个月销量的平均增长率为，根据题意得， ． 12. 如图，，，是三个全等的等腰三角形，底边在同一直线上，且，，连接，分别交于点．则的长为（ ） A. B. 3 C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点作于点，根据是三个全等的等腰三角形，得出，，，根据等腰三角形的性质和勾股定理得出，，则，，再证明，得出，即可求解． 【详解】解：过点作于点，如图， 是三个全等的等腰三角形， ，， ， ， ， ， ， ； ，， ， ， ， ． 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，满分24分） 13. 若线段、、、是成比例线段，且，则的值为______． 【答案】 6 【解析】 【分析】根据成比例线段的顺序写出比例式，再根据比例的基本性质求解即可． 【详解】解：若线段、、、是成比例线段， ∴ ∵， ∴． 14. 最简二次根式与可以合并，则________． 【答案】 【解析】 【分析】两个二次根式可以合并说明二者是同类二次根式，先将化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义得到被开方数相等，即可求解． 【详解】解：将化为最简二次根式，得， 最简二次根式与可以合并， 与是同类二次根式， ∴． 15. 若关于的方程可以配方成，那么______． 【答案】1 【解析】 【分析】先将方程配方得，再结合题意求出的值，再代入代数式求值即可． 【详解】解： ， 又∵关于的方程可以配方成 ， ∴ ，， ∴， ∴ ． 16. 已知，，则的值为______． 【答案】8 【解析】 【分析】根据比例关系设参数表示各字母，代入已知等式求解，再计算的值． 【详解】解：设 ，，则，，， ， ，解得， ． 17. 如果，是一元二次方程的两个实数根，那么多项式的值是______． 【答案】12 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得，，根据一元二次方程根的定义可得，再整体代入代数式求值即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根，即的两个实数根， ∴，，， ∴， ∴ ． 18. 如图是一张书法练习纸，练习纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点、、都在竖格线上．若线段，则线段的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，交于点，根据平行线分线段成比例可得，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点． ∵练习纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等， ∴， ∵， ∴． 19. 已知等腰的边长分别是，，，且，是关于的方程的两根．则的值为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】①当时，②或时，根据根的判别式和三角形的三边关系即可得到结论． 【详解】解：①当时， ∵，是关于的方程的两根， ∴， 解得，， ∴关于的方程为， 解得：， ∵， ∴，，为边能组成三角形； ②或时， ∴是关于的方程的根， ∴， 解得：， ∴关于的方程为， 解得：，， ∵， ∴，，为边能组成三角形； 综上所述：的值为或． 故答案为：或． 20. 如图，在中，点在线段上，，，，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质、等腰三角形的性质、平行线等分线段定理等知识点，掌握平行线等分线段定理是解答本题的关键．过点作交于点．由平行线的性质可得，进而可得，由等边对等角的性质可得，由平行线等分线段定理可得，再结合可得，最后将代入即可解答． 【详解】证明：过点作交于点． ，　 ； 又， ， ， ． ， ．　 又， ． ． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，满分60分） 21. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分别利用完全平方公式、平方差公式化简，再合并即可； （2）根据二次根式的乘除法则以及二次根式的性质化简，再合并即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 22. 解下列方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）利用公式法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解： ，， ， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解： 或 ∴，． 23. 数学课上，老师在黑板上书写了两个整式；，． （1）比较的大小； （2）若，证明：不可能小于0． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】（1）通过计算并判断的正负性，即可比较的大小； （2）利用整式的加减运算法则表示出，再利用配方法整理得，最后利用非负数的性质即可证明． 【小问1详解】 解：， ∴ ， ∴； 【小问2详解】 证明：∵， ∴ ， ∵， ∴， 即， ∴不可能小于0． 24. 如图，在中，点D为上一点，且，过点D作交于点E，连接，过点D作交于点F．若，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例．根据平行线分线段成比例即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， 解得：， ∴． 25. 请阅读下列材料： 问题：已知，求代数式的值． 小明的做法：根据，得，∴，∴．把的值整体代入，得． 仿照上述方法解决问题： （1）已知，求代数式的值． （2）已知，求代数式的值． 【答案】（1）-7 （2）1 【解析】 【分析】（1）先由变形得到​，平方后求出的值，再整体代入代数式求值； （2）先由​变形得到​，平方后求出的值，再通过因式分解整体代入求的值． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 26. 定义：若关于的一元二次方程有两个实数根，且满足，则称此类方程为“和积方程”． 例如：，即，解得， ，是“和积方程”． （1）方程______（填是或不是）“和积方程”； （2）关于的方程是“和积方程”，则______； （3）若关于的一元二次方程是“和积方程”，求的值． 【答案】（1）不是 （2）或 （3）或或 【解析】 【分析】（1）求出方程两根，计算与，根据“和积方程”定义判断； （2）先因式分解求出方程两根，再根据列等式求解； （3）先用根的判别式确定取值范围，再由韦达定理表示、，根据求解． 【小问1详解】 解：，因式分解得， 解得，， ， ，， 方程不是“和积方程”． 【小问2详解】 解：对于方程 ，其判别式 恒成立， 故方程总有两个实数根， ，因式分解得， 解得，， 由“和积方程”定义得：， 或 ， 解得或． 【小问3详解】 解：方程有两个实数根， ， 展开得 ，即 ， 解得， 由韦达定理得：， ， 又方程是“和积方程”， 则 ， 即 ， ， 分两种情况： ， 化简得 ，解得或， ，舍去，符合； ， 整理得 ， 由求根公式得 ， ，均符合条件， 综上，的值为或或． 27. 某批发商以每件70元的价格购进800件T恤，第一个月以单价100元销售，售出了200件，第二个月如果单价不变，预计仍可以售出200件．批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降10元，可多售出100件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后．批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓时单价为60元，设第二个月单价降低元． （1）填表： 时间 第一个月 第二个月 清仓时 单价（元） 100 ①______ 60 销售量（件） 200 ②______ ③_____ （2）如果批发商希望通过销售这批T恤获利8750元，那么第二个月的单价应该是多少元？ 【答案】（1）①；②；③ （2）95元或85元 【解析】 【分析】（1）根据题意用含的代数式表示即可； （2）利用“获利8750元”，即销售额进价利润，作为相等关系列方程，解方程求出的值即可解答． 【小问1详解】 解：∵设第二个月单价降低元， ∴第二个月的单价为元，销售量为件， ， ∴清仓时销售量为件； 填表如下： 时间 第一个月 第二个月 清仓时 单价（元） 100 60 销售量（件） 200 【小问2详解】解：由题意得，， 整理得：， 解得，， 当时，； 当时，； 答：第二个月的单价应该是95元或85元． 28. 如图，在四边形中，，，，，，动点P从点B出发，沿射线的方向以每秒的速度运动到C点返回，动点Q从点A出发，在线段上以每秒的速度向点D运动，点P，Q分别从点B，A同时出发，当点Q运动到点D时，点P随之停止运动，设运动的时间t（秒）． （1）求、的代数表达式； （2）当t为何值时，四边形是平行四边形； （3）当时，是否存在点P，使是等腰三角形？若存在，请直接写出所有满足要求的t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），或 （2）当或秒时，四边形是平行四边形 （3）存在这样的P,使是等腰三角形,当秒或秒时，是等腰三角形 【解析】 【分析】（1）根据题意，写出代数表达式即可； （2）根据平行四边形的性质知，分当P从B运动到C时，当P从C运动到B时，两种情况进行求解即可； （3）分、、三种情况讨论求出t值即可； 【小问1详解】 解：根据题意，， 当点P未到点C时，； 当点P由点C返回时，； 【小问2详解】 ∵四边形是平行四边形， ， 当P从B运动到C时， ， ， ， 解得：， 当P从C运动到B时， ， ， ， 解得：， ∴当或秒时，四边形是平行四边形； 【小问3详解】 当时，作于H，则， ， ， ， （秒）； 当时，，， ， ， 解得（秒）； 当时，， ， ， 即， ， ∴方程无实根， 综上可知，当秒或秒时，是等腰三角形． 【点睛】本题主要考查平行四边的性质，等腰三角形的性质及动点问题，一元二次方程的应用，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度第二学期第一阶段检测练习题 初三数学 注意事项： 1．本试卷共6页，共120分；考试时间120分钟．考试结束后，请将答题卡交回． 2．答题前，务必用0.5毫米黑色的签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号填写在试卷和答题卡规定的位置上． 3．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 4．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带． 5．写在试卷上或答题卡指定区域外的答案无效． 一、选择题（本题共12个小题，每小题3分，满分36分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的 1. 下列式子中，一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 用公式法解方程时，a，b，c的值依次是（　　） A. 0，，5 B. 1，，5 C. 1，5， D. 1，， 3. 如果，那么下列各式中成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列二次根式的运算：①；②；③；④；其中运算正确的是（ ） A. ①②③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ①② 5. 对于任意4个实数定义一种新的运算，例如：，则关于的方程的根的情况为（ ） A. 只有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无实数根 6. 设的整数部分为，小数部分为，则的值是（ ） A. 6 B. C. 1 D. -1 7. 已知a、b满足，则代数式的值为（ ） A. B. 4 C. 或4 D. 2 8. 假设，那么等于（ ） A. B. 1 C. D. 9. 已知线段，求作线段，使，下列作图中均作出一组平行线，其中正确的是（ ）． A. B. C. D. 10. 已知关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. 且 B. C. D. 且 11. 随着环保意识的增强和技术的进步，某品牌的电动汽车逐渐成为消费者的新宠，某销售商的该品牌电动车今年1月份的销量为1000辆，由于国补政策的连月升温，3月份的销量比1月份增加了2000辆．设每个月销量的平均增长率为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，，，是三个全等的等腰三角形，底边在同一直线上，且，，连接，分别交于点．则的长为（ ） A. B. 3 C. 2 D. 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，满分24分） 13. 若线段、、、是成比例线段，且，则的值为______． 14. 最简二次根式与可以合并，则________． 15. 若关于的方程可以配方成，那么______． 16. 已知，，则的值为______． 17. 如果，是一元二次方程的两个实数根，那么多项式的值是______． 18. 如图是一张书法练习纸，练习纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点、、都在竖格线上．若线段，则线段的长为______． 19. 已知等腰的边长分别是，，，且，是关于的方程的两根．则的值为__________． 20. 如图，在中，点在线段上，，，，，则的长为______． 三、解答题（本大题共8个小题，满分60分） 21. 计算： （1） （2） 22. 解下列方程： （1） （2） 23. 数学课上，老师在黑板上书写了两个整式；，． （1）比较的大小； （2）若，证明：不可能小于0． 24. 如图，在中，点D为上一点，且，过点D作交于点E，连接，过点D作交于点F．若，求的长． 25. 请阅读下列材料： 问题：已知，求代数式的值． 小明的做法：根据，得，∴，∴．把的值整体代入，得． 仿照上述方法解决问题： （1）已知，求代数式的值． （2）已知，求代数式的值． 26. 定义：若关于的一元二次方程有两个实数根，且满足，则称此类方程为“和积方程”． 例如：，即，解得， ，是“和积方程”． （1）方程______（填是或不是）“和积方程”； （2）关于的方程是“和积方程”，则______； （3）若关于的一元二次方程是“和积方程”，求的值． 27. 某批发商以每件70元的价格购进800件T恤，第一个月以单价100元销售，售出了200件，第二个月如果单价不变，预计仍可以售出200件．批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降10元，可多售出100件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后．批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓时单价为60元，设第二个月单价降低元． （1）填表： 时间 第一个月 第二个月 清仓时 单价（元） 100 ①______ 60 销售量（件） 200 ②______ ③_____ （2）如果批发商希望通过销售这批T恤获利8750元，那么第二个月的单价应该是多少元？ 28. 如图，在四边形中，，，，，，动点P从点B出发，沿射线的方向以每秒的速度运动到C点返回，动点Q从点A出发，在线段上以每秒的速度向点D运动，点P，Q分别从点B，A同时出发，当点Q运动到点D时，点P随之停止运动，设运动的时间t（秒）． （1）求、的代数表达式； （2）当t为何值时，四边形是平行四边形； （3）当时，是否存在点P，使是等腰三角形？若存在，请直接写出所有满足要求的t的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $