精品解析：2024年江苏省淮安市盱眙县实验初级中学中考模拟考试（六）数学试题

盱眙县实验中学中考模拟测试（六）数学试题 （全卷满分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填写在答题纸相应位置上） 1. 下列计算结果是正数的是（ ） A. B. C. D. 2. 近年来，淮安市旅游事业蓬勃发展，游客数量和经济收入大幅增长．据不完全统计，2024年春节假期八天，淮安共接待全域游客7090000人次，实现旅游总收入51.04亿元．数据7090000用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直线，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 估计的值应在（ ） A. 与之间 B. 与之间 C. 与之间 D. 与之间 6. 已知函数的函数值y随x的增大而增大，当时，y的值可能是（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 7. 关于x的一元二次方程 有两个实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 8. 如图，中，，，垂足为，平分，且，垂足为，与相交于点，是边的中点，连接与相交于点．下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题纸相应位置上） 9. 分解因式3x3-12x=________ 10. 方程 的解为 ___________． 11. “校园之声”社团招聘成员时，需考察应聘学生的应变能力、知识储备、朗读水平三个项目．每个项目，满分均为100分，并按照应变能力占，知识储备占，朗读水平占，计算加权平均数，作为应聘学生的最终成绩．若小明三个项目得分分别为85分、90分、92分，则他的最终成绩是________分． 12. 如图，在四边形中，，，，．若对角线的长是整数，则的长度可能是______．（写出一个即可） 13. 如图，是的直径，弦垂直平分，点在上，连接，，则______． 14. 如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在格点上，、相交于点P，则的长为________． 15. 如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，其顶点为C，连接，若，则a的值是_______． 16. 如图，，C在延长线上，作平行四边形，连接，若，则周长的最小值是_______． 三、解答题（本大题共有11小题，共102分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：； （2）解方程组： 18. 先化简，再求值：（﹣x）÷，请在0≤x≤2的范围内选一个合适的整数代入求值． 19. 如图，在平行四边形中，点、分别在、上，且平分，．求证：四边形是菱形． 20. 非物质文化遗产是中华民族古老生命记忆和活态的文化基因，淮安市的非物质文化遗产资源丰富，涵盖了多种形式和风格，某学校为了让学生深入了解非物质文化遗产，决定邀请A（古琴艺术）、B（装裱技艺）、C（刺绣）、D（草编）的传承人进校园宣讲，每项邀请1名传承人． （1）若从以上非物质遗产中任选一个，则选中A：古琴艺术传承人的概率是______； （2）若该学校决定邀请两位非遗传承人进校园宣讲，请用画树状图或列表的方法，求选中B（装裱技艺）和C（刺绣）传承人的概率． 21. A、B、C三个电冰箱厂家在广告中都声称，他们的电冰箱在正常情况下的使用寿命都是8年，经质量检测部门对这三家销售的产品的使用寿命进行跟踪调查，统计结果如下：（单位：年） 甲厂：4，5，5，5，5，7，9，，，；乙厂：6，6，8，8，8，9，，，，15；丙厂：4，4，4，6，7，9，，，，； 根据以上数据，绘制了下面不完整的表格： 平均数 众数 中位数 甲厂 8 5 6 乙厂 a 丙厂 4 b 根据以上信息解答下列问题： （1）表格中______，______； （2）这三个厂家的销售广告分别利用了哪一种表示集中趋势的特征数？ （3）如果这三个家电厂家的电子产品的售价相同，则顾客购买哪一家的电子产品更合适，并说明理由． 22. 如图，在中，，． （1）尺规作图：在的上方作一点，使得，并且最大； （2）求（1）中的面积． 23. 如图1是某住户窗户上方安装的遮阳篷，要求设计的遮阳篷既能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内．其中是垂直于墙面的遮阳篷，表示窗户，表示直角遮阳篷．如图2，通过查阅相关资料和实际测量：夏至日这一天的正午时刻太阳光线与遮阳篷的夹角最大，且最大角；冬至日这一天的正午时刻，太阳光线与遮阳篷的夹角最小，且最小角． （1）如图3，若只要求设计的遮阳篷能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，当时，求的长． （2）如图2，要求设计的遮阳篷能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内．当时，根据上述方案及数据，求遮阳篷的长．（结果精确到）（参考数据：） 24. 如图，以为直径的经过的顶点，，分别平分和，的延长线交于点，连接． （1）判断的形状，并证明你的结论； （2）若，，求的长． 25. 某农户承包了A、B两块地来种植农产品，要求承包期间两地都不能荒芜，由于受各种条件的影响，投资的金额与产品毛收入存在如下表所示的函数对应关系．（盈利产品毛收入投资金额） 投资金额（万元） 5 1 5 产品毛收入（万元） 3 2.8 10 （1）若A、B两地各投资金10万元，各自有盈利吗？其情况如何？ （2）若A、B两地共投资金20万元，承包农户能有盈利吗？如果没有盈利，怎样分配投入资金会损失最小？ （3）若A、B两地共投资金m万元，并且要实现最大盈利3.2万元，请求出m的值． 26. 已知关于x的二次函数（实数b，c为常数）． （1）若二次函数的图象经过点，对称轴为，求此二次函数的表达式； （2）若，当时，二次函数的最小值为21，求b的值； （3）记关于x的二次函数，若在（1）的条件下，当时，总有，求实数m的最小值． 27. （1）【探究发现】如图①所示，在正方形中，为边上一点，将沿翻折到处，延长交边于点．求证： （2）【类比迁移】如图②，在矩形中，为边上一点，且将沿翻折到处，延长交边于点延长交边于点且求的长． （3）【拓展应用】如图③，在菱形中，，为边上的三等分点，将沿翻折得到，直线交于点求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 盱眙县实验中学中考模拟测试（六）数学试题 （全卷满分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填写在答题纸相应位置上） 1. 下列计算结果是正数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】各项根据有理数的运算法则计算得到结果，即可作出判断． 【详解】解：A、，计算结果是负数，本选项不符合题意； B、，计算结果是正数，本选项符合题意； C、，计算结果是负数，本选项不符合题意； D、，计算结果是负数，本选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】此题考查了有理数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 2. 近年来，淮安市旅游事业蓬勃发展，游客数量和经济收入大幅增长．据不完全统计，2024年春节假期八天，淮安共接待全域游客7090000人次，实现旅游总收入51.04亿元．数据7090000用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法：为整数，进行表示即可． 【详解】解：； 故选C． 3. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方、幂的乘方，平方差公式，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方、幂的乘方，平方差公式，熟练掌握以上运算法则以及乘法公式是解题的关键． 4. 如图，直线，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角的性质，正确得出的度数是解题关键．直接利用平行线的性质再利用三角形外角的性质得出答案． 【详解】如图所示， ∵， ∴ ∵ ∴． 故选：A． 5. 估计的值应在（ ） A. 与之间 B. 与之间 C. 与之间 D. 与之间 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式加减运算，无理数的估算，不等式的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 先将化简为，再由即可得出答案． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 6. 已知函数的函数值y随x的增大而增大，当时，y的值可能是（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的性质，熟悉掌握反比例函数的性质是解题的关键．根据函数的增减性可得k的取值范围，再把代入函数，从而判断函数值y的取值． 【详解】解：∵函数的函数值y随x的增大而增大， ∴， ∴当时，， ∵， ∴，即， ∴当时，y的值可以是． 故选：D． 7. 关于x的一元二次方程 有两个实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，根据方程有两个实数根，得到判别式大于等于0，结合一元二次方程的二次项的系数不等于0，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：且， 解得：且； 故选C． 8. 如图，中，，，垂足为，平分，且，垂足为，与相交于点，是边的中点，连接与相交于点．下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，三角形的面积公式等知识，证明三角形全等是解题的关键. 由 可证可得故①正确.由等腰三角形的性质可得 故②正确，由全等三角形的性质可得则可得故③正确；由角平分线的性质可得点到的距离等于点到的距离，由三角形的面积公式可求故④正确，即可求解. 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故①正确. ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ， 故②正确， ， ， 故③正确； ∵平分 ∴点到的距离等于点到的距离，设为h， 故④正确， 故选：A. 二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题纸相应位置上） 9. 分解因式3x3-12x=________ 【答案】3x(x+2)(x-2) 【解析】 【详解】注意将提取公因式与乘法公式综合应用，将整式提取公因式后再次利用公式分解． 解答：解：3x3-12x =3x（x2-4）--（提取公因式） =3x（x-2）（x+2）． 10. 方程 的解为 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，将分式方程转化为整式方程，求解后，检验即可． 【详解】解：， ∴， 解得：； 经检验：是原方程的解； 故答案为：． 11. “校园之声”社团招聘成员时，需考察应聘学生的应变能力、知识储备、朗读水平三个项目．每个项目，满分均为100分，并按照应变能力占，知识储备占，朗读水平占，计算加权平均数，作为应聘学生的最终成绩．若小明三个项目得分分别为85分、90分、92分，则他的最终成绩是________分． 【答案】90 【解析】 【分析】本题考查求加权平均数，利用加权平均数的计算公式进行求解即可． 【详解】解：（分）； 故答案为：90． 12. 如图，在四边形中，，，，．若对角线的长是整数，则的长度可能是______．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查三角形三边的关系，熟练掌握三角形一边的长大于另两边的差，且小于另两边的和是解题的关键．根据，，求出的取值范围即可解题 【详解】解：在中，， 即， 解得， 在中，， 即， 解得， ∴， ∴的长度可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 13. 如图，是的直径，弦垂直平分，点在上，连接，，则______． 【答案】##60度 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等边三角形的性质，圆周角定理．连接，根据垂直平分线的性质可得，由等边三角形的性质可得，再根据圆周角定理即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， 是的直径，弦垂直平分， ， 是等边三角形，则， ， ， 故答案为：． 14. 如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在格点上，、相交于点P，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】易证△ABP∽△CDP，根据相似三角形的性质列式计算即可． 【详解】解：∵AB//CD， ∴△ABP∽△CDP， ∴， ∵BD， ∴， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 15. 如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，其顶点为C，连接，若，则a的值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查抛物线与坐标轴交点问题，过C作轴于点D．设出各点坐标，则，，设抛物线解析式为，把代入，得到关于的方程，求解即可得到a的值． 【详解】解：过C作轴于点D． 由题意可知， ∵， ∴， 设，则，， 设抛物线解析式为， 把代入得： ， 解得； 故答案为： 16. 如图，，C在延长线上，作平行四边形，连接，若，则周长的最小值是_______． 【答案】## 【解析】 【分析】过点D作于点N，过点D作直线l，使得，作点B关于直线l的对称点，连接，根据平行四边形对角线互相平分，易证，得出，进而得到，利用勾股定理求出，即，即可求出周长的最小值． 【详解】解：如图，过点D作于点N，过点D作直线l，使得，作点B关于直线l的对称点，连接，设交于点， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， 直线l与直线之间的距离为1， ， ， ， ， ， 即的最小值为， 即周长的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了对称的性质，两点之间线段最短，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理，证明是解题关键． 三、解答题（本大题共有11小题，共102分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：； （2）解方程组： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，特殊角的锐角三角函数，解二元一次方程组，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）分别化简二次根式，计算特殊角的三角函数，零指数幂，负整数指数幂，再计算加减即可； （2）利用代入消元法求解即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2） 由①得：， 将③代入②得：， 解得：， 将代入③得：， ∴原方程组的解为： 18. 先化简，再求值：（﹣x）÷，请在0≤x≤2的范围内选一个合适的整数代入求值． 【答案】﹣2﹣x，－2 【解析】 【分析】先去括号、化除法为乘法进行化简，然后根据分式有意义的条件取x的值，代入求值即可． 【详解】解：原式＝ ＝ ＝﹣2﹣x． ∵x≠1，x≠2， ∴在0≤x≤2的范围内的整数选x＝0． 当x＝0时，原式＝﹣2﹣0＝﹣2． 【点睛】本题考查分式的化简求值,关键在于熟练掌握基础的计算方法. 19. 如图，在平行四边形中，点、分别在、上，且平分，．求证：四边形是菱形． 【答案】 证明：∵ 四边形是平行四边形, ， 又 ， ∴四边形是平行四边形. ∵ 平分 ， ， ， ， ， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定、菱形的判定，先证四边形是平行四边形，由平行线的性质和角平分线的性质证，依据有一组邻边相等的平行四边形是菱形证明即可． 【详解】略 20. 非物质文化遗产是中华民族古老生命记忆和活态的文化基因，淮安市的非物质文化遗产资源丰富，涵盖了多种形式和风格，某学校为了让学生深入了解非物质文化遗产，决定邀请A（古琴艺术）、B（装裱技艺）、C（刺绣）、D（草编）的传承人进校园宣讲，每项邀请1名传承人． （1）若从以上非物质遗产中任选一个，则选中A：古琴艺术传承人的概率是______； （2）若该学校决定邀请两位非遗传承人进校园宣讲，请用画树状图或列表的方法，求选中B（装裱技艺）和C（刺绣）传承人的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）直接利用概率公式可得答案. （2）画树状图得出所有等可能的结果数以及选中B（装裱技艺）和C（刺绣）的相关传承人的结果数，再利用概率公式可得出答案. 【小问1详解】 解：由题意得，选中（古琴艺术）传承人的概率是； 故答案为： ； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中选中琴书和香包的相关传承人的结果有种， ∴选中B（装裱技艺）和C（刺绣）的相关传承人的概率为． 21. A、B、C三个电冰箱厂家在广告中都声称，他们的电冰箱在正常情况下的使用寿命都是8年，经质量检测部门对这三家销售的产品的使用寿命进行跟踪调查，统计结果如下：（单位：年） 甲厂：4，5，5，5，5，7，9，，，；乙厂：6，6，8，8，8，9，，，，15；丙厂：4，4，4，6，7，9，，，，； 根据以上数据，绘制了下面不完整的表格： 平均数 众数 中位数 甲厂 8 5 6 乙厂 a 丙厂 4 b 根据以上信息解答下列问题： （1）表格中______，______； （2）这三个厂家的销售广告分别利用了哪一种表示集中趋势的特征数？ （3）如果这三个家电厂家的电子产品的售价相同，则顾客购买哪一家的电子产品更合适，并说明理由． 【答案】（1）8，8； （2） 由（1）及表格得， 甲平均数是8，乙众数是8，丙中位数是8， ∴甲厂的销售广告利用了平均数8表示集中趋势的特征数； 乙厂的销售广告利用了众数8表示集中趋势的特征数； 丙厂的销售广告利用了中位数8表示集中趋势的特征数； （3）选乙厂的电子产品更合适； 【解析】 【分析】本题考查了求众数，中位数，平均数及根据众数，中位数，平均数做决策： （1）根据出现次数最多的是众数，最中间的数是中位数直接求解即可得到答案； （2）根据表格及（1）直接判断即可得到答案； （3）根据三个数据大小比较直接判断即可得到答案； 【小问1详解】 解：由题意可得， ∵乙中8出现次数最多， ∴， 丙中第5，6个数是7，9， ∴， 故答案为：8，8； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由题意可得， 平均数：乙大于丙大于甲， 众数：乙大于甲大于丙， 中位数：乙大于丙大于甲， ∴应选乙厂的电子产品更合适． 22. 如图，在中，，． （1）尺规作图：在的上方作一点，使得，并且最大； （2）求（1）中的面积． 【答案】（1） 如图，点即为所求； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质，勾股定理，线段垂直平分线的尺规作图，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理. （1）如图所示，先作出线段的中点，再以为圆心，以的长为半径画圆，同理作出的中点，再以为圆心，的长为半径画圆，与交于点，点即为所求； （2）利用勾股定理求出的长，再根据三角形面积计算公式求解即可. 【小问1详解】 由可知点在以为圆心，以的长为半径的圆上，由于与交于点，则当与相切时，最大，即则点在以为圆心，的长为半径的圆上； 【小问2详解】 解：由题意得，， 由（1）得， ， ． 23. 如图1是某住户窗户上方安装的遮阳篷，要求设计的遮阳篷既能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内．其中是垂直于墙面的遮阳篷，表示窗户，表示直角遮阳篷．如图2，通过查阅相关资料和实际测量：夏至日这一天的正午时刻太阳光线与遮阳篷的夹角最大，且最大角；冬至日这一天的正午时刻，太阳光线与遮阳篷的夹角最小，且最小角． （1）如图3，若只要求设计的遮阳篷能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，当时，求的长． （2）如图2，要求设计的遮阳篷能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内．当时，根据上述方案及数据，求遮阳篷的长．（结果精确到）（参考数据：） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数，灵活运用锐角三角函数解决问题是解题的关键． （1）由锐角三角函数可求的长； （2）由锐角三角函数可求，的长，即可求解； 【小问1详解】 解：如图3，在中， ∵，， ∴， ∴， ∴的长为； 【小问2详解】 解：如图2，在中， ∵， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴遮阳篷的长为． 24. 如图，以为直径的经过的顶点，，分别平分和，的延长线交于点，连接． （1）判断的形状，并证明你的结论； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 为等腰直角三角形，证明如下： 证明：∵平分，平分， ∴，． ∵，， ∴． ∴． ∵为直径， ∴． ∴是等腰直角三角形． （2） 【解析】 【分析】（1）由角平分线的定义、结合等量代换可得，即；然后再根据直径所对的圆周角为90°即可解答； （2）如图：连接，，，交于点．先说明垂直平分．进而求得BD、OD、OB的长，设，则．然后根据勾股定理列出关于t的方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图：连接，，，交于点． ∵， ∴． ∵， ∴垂直平分． ∵是等腰直角三角形，， ∴． ∵， ∴． 设，则． 在和中，．解得，． ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质、勾股定理的应用、垂直平分线的判定与性质、圆的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键． 25. 某农户承包了A、B两块地来种植农产品，要求承包期间两地都不能荒芜，由于受各种条件的影响，投资的金额与产品毛收入存在如下表所示的函数对应关系．（盈利产品毛收入投资金额） 投资金额（万元） 5 1 5 产品毛收入（万元） 3 2.8 10 （1）若A、B两地各投资金10万元，各自有盈利吗？其情况如何？ （2）若A、B两地共投资金20万元，承包农户能有盈利吗？如果没有盈利，怎样分配投入资金会损失最小？ （3）若A、B两地共投资金m万元，并且要实现最大盈利3.2万元，请求出m的值． 【答案】（1）、两地各投资资金10万元，都没有盈利，其情况是地亏损4万元、地不亏不盈 （2）没有盈利，、两地分别投资资金14万元、6万元，这样分配投入资金会损失最小 （3）的值为10 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求正比例函数，二次函数解析式，二次函数的最值问题，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质解题是关键． （1）依据题意，将，代入即可得解析式，再将，和，代入得，可得解析式． 依据题意，分别将代入和，从而可以判断得解； （2）依据题意，设投资地万元，盈利万元，则投资地万元，从而可得，再由二次函数的性质可以判断得解； （3）依据题意，设投资地万元，盈利万元，则投资地万元，从而可得，再由二次函数的性质可以判断得解． 【小问1详解】 解：由题意，将，代入， 得． ． ． 又将，和，代入得， ． ，． ． 当时，， ． ，． 、两地各投资资金10万元，都没有盈利，其情况是地亏损4万元、地不亏不盈． 【小问2详解】 解：由题意，设投资地万元，盈利万元，则投资地万元，从而 ． ， ． ， 当时，有最大值，最大值为，此时． 、两地共投资资金20万元，承包农户没有盈利，、两地分别投资资金14万元、6万元，这样分配投入资金会损失最小． 【小问3详解】 解：由题意，设投资地万元，盈利万元，则投资地万元，从而 ． ， 当要实现最大盈利3.2万元时，，从而． ． 、两地共投资万元，并且要实现最大盈利3.2万元，的值为10． 26. 已知关于x的二次函数（实数b，c为常数）． （1）若二次函数的图象经过点，对称轴为，求此二次函数的表达式； （2）若，当时，二次函数的最小值为21，求b的值； （3）记关于x的二次函数，若在（1）的条件下，当时，总有，求实数m的最小值． 【答案】（1）；（2）或4；（3）4． 【解析】 【分析】（1）将点代入二次函数的解析式可得的值，根据二次函数的对称轴可得的值，由此即可得； （2）先求出二次函数的对称轴为，再分，和三种情况，分别利用二次函数的性质可得一个关于的一元二次方程，解方程即可得； （3）先根据可得，令，再根据二次函数的性质列出不等式，求解即可得． 【详解】解：（1）将点代入得：， 二次函数的对称轴为， ，解得， 则此二次函数的表达式为； （2），即， ， 则此二次函数的对称轴为， 由题意，分以下三种情况： ①当，即时， 在内，随的增大而减小， 则当时，取得最小值， 因此有， 解得或（不符题设，舍去）； ②当，即时， 在内，随的增大而减小；在内，随的增大而增大， 则当时，取得最小值， 因此有， 解得或（均不符题设，舍去）； ③当，即时， 在内，随的增大而增大， 则当时，取得最小值， 因此有， 解得或（不符题设，舍去）， 综上，的值为或4； （3）由（1）可知，， 由得：，即， 令， 在内，随的增大而增大， 要使得当时，总有，则只需当时，即可， 因此有， 解得， 则实数的最小值为4． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、解一元二次方程等知识点，较难的是题（2），正确分三种情况讨论是解题关键． 27. （1）【探究发现】如图①所示，在正方形中，为边上一点，将沿翻折到处，延长交边于点．求证： （2）【类比迁移】如图②，在矩形中，为边上一点，且将沿翻折到处，延长交边于点延长交边于点且求的长． （3）【拓展应用】如图③，在菱形中，，为边上的三等分点，将沿翻折得到，直线交于点求的长． 【答案】（1）证明：将沿翻折到处，四边形是正方形， ，， ， ，， ； （2）； （3）的长为或 【解析】 【分析】（1）根据将沿翻折到处，四边形是正方形，得，，即得，可证； （2）延长，交于，设，在中，有，得，，由，得，，，而，，可得，即，，设，则，因，有，即解得的长为； （3）分两种情况：（Ⅰ）当时，延长交于，过作于，设，，则，，由是的角平分线，有①，在中，②，可解得，； （Ⅱ）当时，延长交延长线于，过作交延长线于，同理解得，． 【详解】（1）略 （2）解：延长，交于，如图： 设， 在中，， ， 解得， ， ，， ， ，即， ，， ，， ，， ，即， ， 设，则， ， ， ，即， 解得， 的长为； （3）（Ⅰ）当时，延长交于，过作于，如图： 设，，则， ， ， ， ， 沿翻折得到， ，，， 是的角平分线， ，即①， ， ，，， 在中，， ②， 联立①②可解得， ； （Ⅱ）当时，延长交延长线于，过作交CD延长线于点，如图： 同理， ，即， 由得：， 可解得， ， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查四边形的综合应用，涉及全等三角形的判定，相似三角形的判定与性质，三角形角平分线的性质，勾股定理及应用等知识，解题的关键是方程思想的应用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $