精品解析：湖北省高中名校联盟2024-2025学年高三上学期8月第一次联合测评数学试题

湖北省高中名校联盟2025届高三第一次联合测评 数 学 试 卷 命题单位：宜昌市第一中学数学备课组 审题单位：圆创教育教研中心 襄阳市第四中学 本试卷共5页，19题．满分150分．考试用时120分钟． 考试时间：2024年8月21日下午15：00—17：00 祝考试顺利 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的除法运算化简复数，即可根据模长公式求解. 【详解】由可得，所以， 故选：C 2. 已知集合，则包含的元素个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】由一元二次不等式化简集合，即可由交集的定义求解. 【详解】由，解得或， 所以或， 故， 故选：B 3. 长江被称为黄金水道，而三峡大坝则是长江上防洪发电的国之重器.三峡大坝坝前正常蓄水位为海拔175米，而坝下通航最低水位为海拔62米.为了改善船舶的通航条件，常常会通过修建阶梯船闸来实现，船只只需要像爬楼梯一样，以实现上升或者下降.假设每个闸室之间的水位差均可控制在15 至 25米之间，则要保证全年通航，那么三峡大坝船闸至少需要修建闸室的个数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】由已知，水位差为米，每个闸室之间的水位差均可控制在15 至 25米之间，由，可知船闸至少需要修建闸室5个. 【详解】因为三峡大坝坝前正常蓄水位为海拔175米，而坝下通航最低水位为海拔62米, 所以水位差为米， 又每个闸室之间的水位差均可控制在15 至 25米之间， 则， 所以船闸至少需要修建闸室5个. 故选：B. 4. 若 则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据诱导公式以及二倍角公式即可代入求解. 【详解】 故选：C 5. 已知一组数据34，36，39，41，44，45，x，50的第65 百分位数是45，那么实数 x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据数据的总个数可得第65百分位是第6位，可得的范围. 【详解】因为，所以这组数据的第65百分位数是第6项数据45，则. 故选：A 6. 已知函数的部分图象如下，与其交于A，B两点．若，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】首先解方程，结合图象，求得方程的实数根，即可求解的值. 【详解】令，则，，， 则，且，所以. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题的关键是结合余弦函数的图象，正确求解两点的坐标. 7. 长方体 中，与平面所成的角为，与所成的角为，则下列关系一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据线面角以及线线角的定义可得，即可由锐角三角函数表示结合三角函数的单调性即可求解. 【详解】由于平面，故, 故 由于的大小不确定，所以无法确定的大小，故的大小不确定，A错误， 由于, 故， 由于均为锐角，所以也是锐角，故，即. 故选：D 8. 设抛物线C： 的焦点为F，过抛物线C 上的点P 作C 的切线交x轴于点M，若，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，求出过点P抛物线C的切线方程，令，可得点的坐标，由两点间距离公式表示出，，由抛物线定义得到，在中，由余弦定理得，，代入化简，解方程可得，即可得到. 【详解】 由已知，，设，则， 由，即，则， 所以过点P抛物线C的切线的斜率为， 则切线方程为， 当时，，即点的坐标为， 则， ，， 又， 则在中，由余弦定理得， ， 则， 整理得， 解得， 所以. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：设，利用导数的几何意义求出切线方程，得到点的坐标，由两点间距离公式和抛物线定义，得到，， ，在中，由余弦定理建立方程，解出，即可求得. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知无穷数列和的各项均为整数，和是非常数数列，且和中存在大小相等的项，则下列说法一定正确的是（ ） A. 若和是各项均为正数的等差数列，如果所有相等的项不止一项，则这些项构成等差数列 B. 若和是各项均为正数的等比数列，如果所有相等的项不止一项，则这些项构成等比数列 C. 若为等差数列，为等比数列，则所有相等的项不止一项 D. 若为递增数列，为递减数列，则所有相等的项可能只有一项 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据等差和等比数列的性质即可求解AB，举例即可说明CD. 【详解】对于A，由于，是各项均为正数的等差数列， 若，公共项的最小的一项记为于，且，的公差分别为， 若的最小公倍数为，则均为，的公共项,且构成等差，故A正确. 对于B，由于，是各项均为正数的等比数列， 若，公共项的最小的一项记为于，且，的公比分别为， 则均为，的公共项，且构成等比，故B正确. 对于C，若，，则，只有1项公共项，C错误. 对于D，若，由于， 则，公共项只有，故D正确. 故选：ABD 10. 如图，造型为“∞”的曲线C 称为双纽线，其对称中心在坐标原点O，且C 上的点满足到点 和的距离之积为定值a，则（ ） A. 点 在曲线 C 上 B. 曲线 C方程为( C. 曲线C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为 D. 若点在C 上，则 【答案】AC 【解析】 【分析】由已知得，设曲线与x轴正半轴相交于，可解得，则可判断A；由C 上的点满足到点 和的距离之积为定值a，可得方程，化简可判断B； ，由得，则可判断C；由可得成立，则可判断D. 【详解】由原点在曲线上得， 选项A．设曲线与x轴正半轴相交于， 则，解得 ，故A 正确. 选项B，设曲线C上任一点坐标为，则， 得 ，则 ， 所以 ， 即 ，故 B 错误． 选项C，由，得 ， 由，得， 所以 ，则，故C 正确． 选项 D，由，得， 故点在C 上时有成立，故D错误． 故选：AC. 11. 类比平面上的三角形是由三条线段首尾顺次相接构成的封闭图形，我们把球面上三条大圆的劣弧 首尾顺次相接构成的封闭图形称为球面三角形．如图所示，分别连接球心与不在同一大圆上三点，定义球面 的三个内角分别为二面角的平面角．则下列说法正确的是（ ） A. 若 球的半径为2，则 B. 存在球面三角形，使得 C. 若球的半径为2，，那么球面三角形ABC的面积为 D. 若是锐角且，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据弧长公式即可求解A，根据二面角的几何角定义即可求解B，根据，可得球面三角形占半径为2的球面的比例为 ，即可由球的表面积公式求解C，根据二面角的定义，结合弧长公式即可求解D. 【详解】选项 A，根据弧长公式 所以 A正确； 选项B，当两两垂直时，此时二面角的平面角均为直角， 根据定义得所以 B正确； 选项C，∵， 所以球面三角形占半径为2的球面的比例为 根据球的面积公式，球面的面积为 故C错误； 选项 D，如图所示，连接，设所在平面为． 作，连接． 由三垂线定理可得, 结合， ，且都是锐角， ，所以 ，所以D正确 故选：ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量的夹角为30°，且，则______ 【答案】 【解析】 【分析】根据模长公式即可求解. 【详解】， 故答案为： 13. 的展开式中的系数为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项特征即可求解. 【详解】， 故系数为， 故答案为： 14. 已知函数 其中，当两函数图象对应曲线存在2条公切线时则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据反函数的性质，先求解两曲线相切时的临界情况时的值，利用相切和导数可得，构造函数，即可根据函数单调性求解. 【详解】令则， 令，则， 由于函数互为反函数，故图象关于对称， 因此只需要考虑两曲线相切时的临界情况，设切点横坐标为， 由 故，即， 所以， 设，则，，故有，两边取对并移项， 记函数，易知在上单调递增, 因为，所以，此时， 所以的取值范围是 【点睛】关键点点睛：根据两函数在相切的临界情况，设出切点横坐标为，得，求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，平面四边形中， （1）若 与交于点，且，求的长； （2）求四边形 周长的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理可得，即可利用等面积法求解,进而由勾股定理即可求解， （2）由基本不等式即可求解. 【小问1详解】 中,由余弦定理得, 所以 因为，，所以 由可知, , 所以 【小问2详解】 因为,所以, ,故， 当且仅当时等号成立，故周长的最大值为 16. 已知椭圆Γ 经过点A(1,)，右焦点为 F(1,0) （1）求椭圆Γ的方程； （2）若直线l与Γ 交于两点，且直线与的斜率互为相反数，求 的中点 与 的最小距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据点在椭圆上以及焦点即可联立方程求解， （2）联立直线与椭圆方程，根据韦达定理可得坐标，进而根据中点坐标公式可得，从而判断直线上，即可由点到直线距离公式求解. 【小问1详解】 由已知 解得 所以椭圆方程为 【小问2详解】 由于的斜率互化相反数，不妨设的斜率为，的斜率为. 则的方程为， 联立， 故，又，所以， 进而, 用代入可得, 所以中点的坐标为 由于, 所以在直线上， 所以点与的最小距离即是点到直线的距离 ， 当且当且仅当时取得最小值， 17. 如图，直角梯形 ACDE 中， 、M 分别为AC、ED 边的中点，将△ABE 沿BE 边折起到△A'BE 的位置，N 为边A'C 的中点． （1）证明：MN∥平面A'BE； （2）当三棱锥的体积为，且二面角为锐二面角时，求平面 NBM 与平面BEDC 夹角的正切值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用中位线定理在平面中找到和直线平行的直线，利用直线和平面平行的判定定理即可证明. （2）建立空间直角坐标系，根据已知条件利用等体积法，进而求出各个点的坐标，再利用平面的法向量计算平面的夹角的正切值. 【小问1详解】 取的中点，的中点，由题意知，， 直角梯形中，四边形为正方形， 为的中点， ， 四边形为平行四边形，， 平面，不在面内， 平面. 【小问2详解】 连接，则，以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， ，面， 平面， ， ，， ，为等边三角形， 则， 设为平面的法向量，为平面的法向量， ，令 ，令， 设平面与平面的夹角为，由题可知为锐角， ， 平面与平面的夹角的正切值为. 18. 为抽查车辆文明驾驶情况，在某路口设有高清摄像头，对经过的车辆进行抓拍．抓拍系统设定：经过该路口的每一辆车被抓拍的概率均为 但为保证抽查量，设定前2 辆车经过该路口都没有被抓拍时，第 3辆车必被抓拍．假设汽车依次通过该路口． （1）从某一时刻开始，记第n辆车经过该路口时被抓拍的概率为 求 （2）当任意连续有2辆车经过该路口时， 表示 2 辆车均未被抓拍的概率， 表示第1辆车未被抓拍，且第2 辆车被抓拍的概率， 表示第1辆车被抓拍，且第2辆车未被抓拍的概率， 表示2 辆车均被抓拍的概率． ①试用 和 表示 ②求 的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据全概率公式即可求解. （2）根据全概率公式即可列出关系式，联立即可求解， 【小问1详解】 记事件“第辆车经过路口时被抓拍”为 则 【小问2详解】 ①由已知对应事件“2两辆车均未被抓拍”的前一状态只能为所对应事件，故， 同样可得 ②由全概率公式可得又， 解得 19. 牛顿法( Newton's method)是牛顿在17世纪提出的一种用导数求方程近似解的方法，其过程如下：如图，设r是的根，选取x．作为r的初始近似值，过点作曲线的切线L，L的方程为.如果，则 L与x轴的交点的横坐标记为，称为r 的一阶近似值．再过点作曲线的切线，并求出切线与x轴的交点横坐标记为，称为r的二阶近似值．重复以上过程，得r的近似值序列：，根据已有精确度，当时，给出近似解．对于函数，已知. （1）若给定，求r的二阶近似值； （2）设 ①试探求函数h(x)的最小值 m 与r 的关系； ②证明：. 【答案】（1）； （2）①；②证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据给定方法，求出的导数，依次求出即可. （2）①求出函数，利用导数探讨函数的最小值，结合求出m 与r 的关系；②由①的结论，构造函数，利用导数探讨函数在上的单调性即可推理得证. 【小问1详解】 函数，求导得， 依题意，，当时，， 同理，而，所以. 【小问2详解】 ①由（1）知，，则， ，求导得， 令，求导得，在上单调递增， 函数在上单调递增，， 由，得，且，则， ，当时，，当时，， 于是函数在上单调递减，在上单调递增， 函数在处取得最小值. ②由①知，，令，求导得， 令，求导得，当时，，当时，， 则函数在上单调递减，在上单调递增，而， 则当时，恒成立，即函数在上单调递减， 而，因此，所以. 【点睛】思路点睛：函数不等式证明问题，将所证不等式等价转化，构造新函数，再借助函数的单调性、极(最)值问题处理. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 湖北省高中名校联盟2025届高三第一次联合测评 数 学 试 卷 命题单位：宜昌市第一中学数学备课组 审题单位：圆创教育教研中心 襄阳市第四中学 本试卷共5页，19题．满分150分．考试用时120分钟． 考试时间：2024年8月21日下午15：00—17：00 祝考试顺利 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，则包含元素个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3. 长江被称为黄金水道，而三峡大坝则是长江上防洪发电的国之重器.三峡大坝坝前正常蓄水位为海拔175米，而坝下通航最低水位为海拔62米.为了改善船舶的通航条件，常常会通过修建阶梯船闸来实现，船只只需要像爬楼梯一样，以实现上升或者下降.假设每个闸室之间的水位差均可控制在15 至 25米之间，则要保证全年通航，那么三峡大坝船闸至少需要修建闸室的个数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 4. 若 则 （ ） A. B. C. D. 5. 已知一组数据34，36，39，41，44，45，x，50的第65 百分位数是45，那么实数 x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数部分图象如下，与其交于A，B两点．若，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 7. 长方体 中，与平面所成的角为，与所成的角为，则下列关系一定成立的是（ ） A B. C. D. 8. 设抛物线C： 的焦点为F，过抛物线C 上的点P 作C 的切线交x轴于点M，若，则（ ） A. B. 2 C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知无穷数列和的各项均为整数，和是非常数数列，且和中存在大小相等的项，则下列说法一定正确的是（ ） A. 若和是各项均为正数的等差数列，如果所有相等的项不止一项，则这些项构成等差数列 B. 若和是各项均为正数的等比数列，如果所有相等的项不止一项，则这些项构成等比数列 C. 若为等差数列，为等比数列，则所有相等的项不止一项 D. 若为递增数列，为递减数列，则所有相等的项可能只有一项 10. 如图，造型为“∞”的曲线C 称为双纽线，其对称中心在坐标原点O，且C 上的点满足到点 和的距离之积为定值a，则（ ） A. 点 在曲线 C 上 B. 曲线 C的方程为( C. 曲线C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为 D. 若点在C 上，则 11. 类比平面上的三角形是由三条线段首尾顺次相接构成的封闭图形，我们把球面上三条大圆的劣弧 首尾顺次相接构成的封闭图形称为球面三角形．如图所示，分别连接球心与不在同一大圆上三点，定义球面 的三个内角分别为二面角的平面角．则下列说法正确的是（ ） A. 若 球的半径为2，则 B. 存球面三角形，使得 C. 若球的半径为2，，那么球面三角形ABC的面积为 D. 若是锐角且，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量的夹角为30°，且，则______ 13. 的展开式中的系数为________． 14. 已知函数 其中，当两函数图象对应曲线存在2条公切线时则的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在平面四边形中， （1）若 与交于点，且，求的长； （2）求四边形 周长的最大值． 16. 已知椭圆Γ 经过点A(1,)，右焦点为 F(1,0) （1）求椭圆Γ的方程； （2）若直线l与Γ 交于两点，且直线与的斜率互为相反数，求 的中点 与 的最小距离． 17. 如图，直角梯形 ACDE 中， 、M 分别为AC、ED 边的中点，将△ABE 沿BE 边折起到△A'BE 的位置，N 为边A'C 的中点． （1）证明：MN∥平面A'BE； （2）当三棱锥的体积为，且二面角为锐二面角时，求平面 NBM 与平面BEDC 夹角的正切值． 18. 为抽查车辆文明驾驶情况，在某路口设有高清摄像头，对经过车辆进行抓拍．抓拍系统设定：经过该路口的每一辆车被抓拍的概率均为 但为保证抽查量，设定前2 辆车经过该路口都没有被抓拍时，第 3辆车必被抓拍．假设汽车依次通过该路口． （1）从某一时刻开始，记第n辆车经过该路口时被抓拍的概率为 求 （2）当任意连续有2辆车经过该路口时， 表示 2 辆车均未被抓拍的概率， 表示第1辆车未被抓拍，且第2 辆车被抓拍的概率， 表示第1辆车被抓拍，且第2辆车未被抓拍的概率， 表示2 辆车均被抓拍的概率． ①试用 和 表示 ②求 的值． 19. 牛顿法( Newton's method)是牛顿在17世纪提出的一种用导数求方程近似解的方法，其过程如下：如图，设r是的根，选取x．作为r的初始近似值，过点作曲线的切线L，L的方程为.如果，则 L与x轴的交点的横坐标记为，称为r 的一阶近似值．再过点作曲线的切线，并求出切线与x轴的交点横坐标记为，称为r的二阶近似值．重复以上过程，得r的近似值序列：，根据已有精确度，当时，给出近似解．对于函数，已知. （1）若给定，求r的二阶近似值； （2）设 ①试探求函数h(x)的最小值 m 与r 的关系； ②证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$