专题41 直线与圆、圆与圆的位置关系8题型分类-备战2025年高考数学一轮专题复习全套考点突破和专题检测

【解题秘籍】备战2025年高考数学一轮专题复习全套考点突破和专题检测 专题41 直线与圆、圆与圆的位置关系8题型分类 1．直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d，圆的半径为r) 相离 相切 相交 图形 量化 方程观点 Δ<0 Δ＝0 Δ>0 几何观点 d>r d＝r d<r 2.圆与圆的位置关系(⊙O1，⊙O2的半径分别为r1，r2，d＝|O1O2|) 图形 量的关系 外离 d>r1＋r2 外切 d＝r1＋r2 相交 |r1－r2|<d<r1＋r2 内切 d＝|r1－r2| 内含 d<|r1－r2| 3.直线被圆截得的弦长 (1)几何法：弦心距d、半径r和弦长|AB|的一半构成直角三角形，弦长|AB|＝2. (2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，代入，消去y，得关于x的一元二次方程，则|MN|＝·. 常用结论 1．圆的切线方程常用结论 (1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2. (2)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2. 2．圆与圆的位置关系的常用结论 (1)两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到． (2)两个圆系方程 ①过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)； ②过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(其中不含圆C2，所以注意检验C2是否满足题意，以防丢解)． （一） 判断直线与圆的位置关系的常见方法 (1)几何法：利用d与r的关系判断． (2)代数法：联立方程之后利用Δ判断． (3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交． 题型1：直线与圆位置关系的判断 1-1．（2024·河北张家口·二模）已知点为圆上的动点，则直线与圆的位置关系为（    ） A．相交 B．相离 C．相切 D．相切或相交 1-2．（2024·安徽蚌埠·三模）直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 1-3．（2024高三·黑龙江绥化·阶段练习）若直线与圆相交，则点（    ） A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．以上都有可能 题型2：圆上的点到直线距离个数问题 2-1．（2024高二上·四川·期末）若圆上恰有2个点到直线的距离为1，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2-2．（2024高三·全国·专题练习）已知圆O：x2＋y2＝4上到直线l：x＋y＝a的距离等于1的点至少有2个，则a的取值范围为(　　) A． B． C． D． 2-3．（2024·江苏南京·模拟预测）圆C：上恰好存在2个点，它到直线的距离为1，则R的一个取值可能为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2-4．（2024高三上·贵州贵阳·期末）若圆上有四个不同的点到直线的距离为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． （二） 弦长问题 ①利用垂径定理：半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系，这也是求弦长最常用的方法． ②利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长． ③利用弦长公式：设直线，与圆的两交点，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数关系得弦长：． 题型3：弦长问题 3-1．（2024·宁夏银川·三模）已知直线l：被圆C：所截得的弦长为整数，则满足条件的直线l有 条. 3-2．（2024·广东深圳·二模）过点且被圆所截得的弦长为的直线的方程为 . 3-3．（2024·全国）已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值 ． 3-4．（2024高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知直线：与圆：交于，两点，则 ． （三） 1.当切线方程斜率存在时，圆的切线方程的求法 (1)几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求出k. (2)代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k. 注意验证斜率不存在的情况． 2.常见圆的切线方程 过圆上一点的切线方程是； 过圆上一点的切线方程是． 题型4：切线问题 4-1．（2024·河南开封·三模）已知点，，经过B作圆的切线与y轴交于点P，则 ． 4-2．（2024·北京·模拟预测）经过点且与圆相切的直线方程为 ． 4-3．（2024高三上·贵州·开学考试）已知圆，过直线上任意一点，作圆的两条切线，切点分别为两点，则的最小值为 . 4-4．（2024高三上·湖北·开学考试）已知过点作圆的切线，则切线长为 . 4-5．（2024高二下·上海杨浦·期中）由直线上一点向圆引切线，则切线长的最小值为 ． 4-6．（2024高三上·湖北·阶段练习）已知，，过x轴上一点P分别作两圆的切线，切点分别是M，N，当取到最小值时，点P坐标为 . （四） 涉及与圆的切线有关的线段长度范围(最值)问题，解题关键是能够把所求线段长度表示为关于圆心与直线上的点的距离的函数的形式，利用求函数值域的方法求得结果． 题型5：直线与圆位置关系中的最值(范围)问题 5-1．（2024高三上·北京昌平·期中）已知圆与直线相交于两点，则的最小值是 . 5-2．（2024·江苏镇江·二模）已知，点A为直线上的动点，过点A作直线与相切于点P，若，则的最小值为 . 5-3．（2024高三下·安徽池州·阶段练习）已知，直线为上的动点，过点作的切线，切点为，当最小时，直线的方程为 . 5-4．（2024高三上·河南洛阳·开学考试）已知圆，点在直线上，过点作直线与圆相切于点，则的周长的最小值为 . 5-5．（2024·湖北·模拟预测）已知点在圆运动，若对任意点，在直线上均存在两点，使得恒成立，则线段长度的最小值是（    ） A． B． C． D． （五） 圆与圆的位置关系 (1)判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法． (2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到． 题型6：圆与圆的位置关系 6-1．（2024·河北唐山·二模）已知圆：，圆：，则与的位置关系是（    ） A．外切 B．内切 C．相交 D．外离 6-2．（2024·陕西榆林·模拟预测）已知圆C：和两点，，若圆C上存在点P，使得，则b的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6-3．（2024·陕西铜川·模拟预测）已知，，若圆上存在点P满足，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6-4．（2024高二上·北京·阶段练习）圆．与圆的位置关系是（    ） A．内切 B．相交 C．外切 D．外离 题型7：两圆的公共弦问题 7-1．（2024·全国·模拟预测）若圆与圆交于P，Q两点，则直线PQ的方程为 . 7-2．（2024高三·全国·专题练习）已知圆：与圆：，若两圆相交于A，B两点，则 7-3．（2024·天津和平·二模）圆与圆的公共弦所在的直线方程为 ． 题型8：两圆的公切线问题 8-1．（2024·湖南长沙·一模）已知圆，圆圆与圆相切，并且两圆的一条外公切线的斜率为7，则为 . 8-2．（2024·河南·模拟预测）圆与x轴交于A，B两点(A在B的左侧)，点N满足，直线与圆M和点N的轨迹同时相切，则直线l的斜率为 ． 8-3．（2024·湖北·模拟预测）已知圆与圆有三条公切线，则 ． 8-4．（2024·湖南岳阳·三模）写出与圆和都相切的一条直线方程 ． 一、单选题 1．（2024·陕西宝鸡·二模）直线l：与曲线C：的交点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．无法确定 2．（2024·江西·模拟预测）设，，O为坐标原点，点P满足，若直线上存在点Q使得，则实数k的取值范围为（     ） A． B． C． D． 3．（2024·北京）若直线是圆的一条对称轴，则（    ） A． B． C．1 D． 4．（2024高二上·黑龙江鹤岗·期中）圆上到直线的距离为的点共有 A．个 B．个 C．个 D．个 5．（2024高三·全国·专题练习）已知圆C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和圆C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0只有一条公切线，若a，b∈R且ab≠0，则＋的最小值为（    ） A．3 B．8 C．4 D．9 6．（2024·甘肃兰州·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2＋y2－4x＝0及点A(－1,0)，B(1,2)，在圆C上存在点P，使得|PA|2＋|PB|2＝12，则点P的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（2024·山西·模拟预测）已知圆：的圆心到直线的距离为，则圆与圆：的公切线共有（    ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 8．（2024高二上·安徽滁州·期末）圆：与圆：公切线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．（2024·江西上饶·一模）直线与圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 10．（2024·四川成都·一模）圆：与直线：的位置关系为（ ） A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定 11．（2024高二上·广东珠海·期末）德国数学家米勒曾提出过如下的“最大视角原理”：对定点、和在直线上的动点，当与的外接圆相切时，最大．若，，是轴正半轴上一动点，当对线段的视角最大时，的外接圆的方程为（    ） A． B． C． D． 12．（2024高二上·四川内江·期中）已知点P在圆上，点，，则错误的是（    ） A．点P到直线AB的距离小于10 B．点P到直线AB的距离大于2 C．当最小时， D．当最大时， 13．（2024·河南·模拟预测）已知圆C：，圆是以圆上任意一点为圆心，半径为1的圆．圆C与圆交于A，B两点，则当最大时，（    ） A．1 B． C． D．2 14．（2024·新疆乌鲁木齐·三模）已知直线与轴和轴分别交于A，两点，以点A为圆心，2为半径的圆与轴的交点为（在点A右侧），点在圆上，当最大时，的面积为（    ） A． B．8 C． D． 15．（2024·四川成都·模拟预测）德国数学家米勒曾提出最大视角问题，这一问题一般的描述是：已知点，是的边上的两个定点，是边上的一个动点，当在何处时，最大？问题的答案是：当且仅当的外接圆与边相切于点时最大，人们称这一命题为米勒定理.已知点，的坐标分别是，，是轴正半轴上的一动点.若的最大值为，则实数的值为（    ） A．2 B．3 C．或 D．2或4 16．（2024·全国）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（    ） A．1 B． C． D． 17．（2024·全国）已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 18．（2024高二下·河北衡水·期末）若圆上仅有4个点到直线的距离为1，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 19．（2024高三下·江苏南京·开学考试）过抛物线上一点作圆的切线，切点为、，则当四边形的面积最小时，直线的方程为（    ） A． B． C． D． 20．（湖南省常德市第一中学2022届高三考前二模数学试题）已知圆和两点，若圆C上存在点P，使得，则a的最小值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 21．（2024·湖南株洲·一模）在平面直角坐标系中，已知两点，到直线的距离分别是1与4，则满足条件的直线共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 22．（2024·安徽黄山·二模）若圆关于直线对称，动点在直线上，过点引圆的两条切线、，切点分别为、，则直线恒过定点，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 23．（2024·贵州毕节·一模）已知点在直线上，过点作圆的两条切线，切点分别为，则圆心到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C．1 D． 24．（2024·山东泰安·模拟预测）已知直线与圆，过直线上的任意一点向圆引切线，设切点为，若线段长度的最小值为，则实数的值是（    ） A． B． C． D． 25．（2024高三·北京·强基计划）如图，过椭圆上一点M作圆的两条切线，过切点的直线与坐标轴于P，Q两点，O为坐标原点，则面积的最小值为（    ） A． B． C． D．前三个答案都不对 26．（2024·黑龙江大庆·三模）已知直线是圆的切线，并且点到直线的距离是2，这样的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 27．（2024·河南·模拟预测）已知直线与圆相切，则满足条件的直线l的条数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、多选题 28．（2024高三上·江苏南京·阶段练习）已知圆：，点M在抛物线：上运动，过点引直线与圆相切，切点分别为，则下列选项中能取到的值有（    ） A．2 B． C． D． 三、填空题 29．（2024·天津南开·二模）若直线与圆相切，则 . 30．（2024高二上·江苏宿迁·阶段练习）已知分别是圆，圆上动点，是直线上的动点，则的最小值为 ． 31．（2024高三上·天津滨海新·阶段练习）已知圆与直线相交所得圆的弦长是，若过点作圆的切线，则切线长为 . 32．（2024·福建福州·模拟预测）写出经过抛物线的焦点且和圆相切的一条直线的方程 . 33．（2024高三上·广东梅州·阶段练习）直线分别与轴，轴交于A，B两点，点P在圆上，则面积的取值范围是 . 34．（2024高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知圆与圆相交于两点，则 . 35．（河北省石家庄部分重点高中2023届高三下学期3月月考数学试题）如图，正方形的边长为4，是边上的一动点，交于点，且直线平分正方形的周长，当线段的长度最小时，点到直线的距离为 .    36．（2024·江西·模拟预测）已知圆的方程为，若直线与圆相交于两点，则的面积为 . 37．（2024·河北邯郸·二模）已知直线与圆交于A，两点，若是圆上的一动点，则面积的最大值是 . 38．（2024·广东广州·三模）写出经过点且被圆截得的弦长为的一条直线的方程 ． 39．（2024高三下·江西南昌·阶段练习）圆心在直线上，与轴相切，且被直线截得的弦长为的圆的方程为 . 40．（2024·河南郑州·模拟预测）已知圆，直线与圆C相交于M，N两点，则 ． 41．（2024高二下·新疆·期中）已知P是直线上的动点，是圆的两条切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形面积的最小值为 ． 42．（2024高三上·福建福州·期中）已知是圆上两点，若，则的最大值为 . 43．（2024高三上·广东·阶段练习）已知实数x，y满足：，则的取值范围是 ． 44．（2024高二上·河北石家庄·期中）已知圆C：与直线l：交与A，B两点，当|AB|最小值时，直线l的一般式方程是 . 45．（2024高三下·安徽亳州·开学考试）若在圆C：上存在一点P，使得过点P作圆M：的切线长为，则r的取值范围为 ． 46．（2024·江苏无锡·三模）已如，是抛物线上的动点（异于顶点），过作圆的切线，切点为，则的最小值为 . 47．（2024·四川成都·二模）若直线与相交于点，过点作圆的切线，切点为，则|PM|的最大值为 ． 48．（2024·江苏·二模）过点且与圆：相切的直线方程为 49．（2024高二上·上海浦东新·期中）已知是平面内的三个单位向量，若，则的最小值是 ． 50．（2024·河北邯郸·一模）已知点，，符合点A，B到直线l的距离分别为1，3的直线方程为 （写出一条即可）． 51．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知圆与直线相切，函数过定点，过点作圆的两条互相垂直的弦，则四边形面积的最大值为 . 52．（2024高二下·广东广州·期末）写出与圆和圆都相切的一条直线的方程 . 53．（2024·福建宁德·模拟预测）已知圆C：，直线l的横纵截距相等且与圆C相切﹐则直线l的方程为 ． 54．（2024高三下·上海徐汇·阶段练习）若，则的最小值为 . 55．（2024高三·全国·专题练习）点，到直线l的距离分别为1和4，写出一个满足条件的直线l的方程： . 56．（2024高三下·湖南·阶段练习）写出一条与圆和曲线都相切的直线的方程： . 57．（2024·广东惠州·模拟预测）在圆内，过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积为 ． 58．（2024高三上·浙江丽水·期末）已知圆与圆相交于两点，则 . 59．（2024·全国·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，过点的直线l与圆相交于M，N两点，若，则直线l的斜率为 . 60．（2024高二上·江苏淮安·期中）圆与圆的公共弦的长为 ． 61．（2024高三下·浙江·阶段练习）从抛物线上一点作圆：得两条切线，切点为，则当四边形面积最小时直线方程为 . 62．（2024高三·河南·阶段练习）已知函数的图象恒过定点A，圆上两点，满足，则的最小值为 ． 63．（2024·安徽阜阳·三模）已知A，B分别为圆与圆上的点，O为坐标原点，则面积的最大值为 . 四、解答题 64．（2024高二上·山东潍坊·阶段练习）已知两个条件：①圆心在直线上，直线与圆相交所得的弦长为4；②圆过圆和圆的公共点.在这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题. 问题：是否存在唯一的圆过点且___________，并说明理由. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 65．（2024·全国）已知点，圆，过点的动直线与圆交于，两点，线段的中点为，为坐标原点． （1）求的轨迹方程； （2）当时，求的方程及的面积． 66．（2024高二上·浙江杭州·期中）已知圆C的半径为3，圆心C在射线上，直线被圆C截得的弦长为 (1)求圆C方程; (2)过点的直线l与圆C交于M、N两点，且的面积是为坐标原点，求直线l的方程. 67．（2024高二·全国·课后作业）已知圆．求证：对任意不等于的实数，方程是通过两个已知圆交点的圆的方程． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$【解题秘籍】备战2025年高考数学一轮专题复习全套考点突破和专题检测 专题41 直线与圆、圆与圆的位置关系8题型分类 1．直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d，圆的半径为r) 相离 相切 相交 图形 量化 方程观点 Δ<0 Δ＝0 Δ>0 几何观点 d>r d＝r d<r 2.圆与圆的位置关系(⊙O1，⊙O2的半径分别为r1，r2，d＝|O1O2|) 图形 量的关系 外离 d>r1＋r2 外切 d＝r1＋r2 相交 |r1－r2|<d<r1＋r2 内切 d＝|r1－r2| 内含 d<|r1－r2| 3.直线被圆截得的弦长 (1)几何法：弦心距d、半径r和弦长|AB|的一半构成直角三角形，弦长|AB|＝2. (2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，代入，消去y，得关于x的一元二次方程，则|MN|＝·. 常用结论 1．圆的切线方程常用结论 (1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2. (2)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2. 2．圆与圆的位置关系的常用结论 (1)两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到． (2)两个圆系方程 ①过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)； ②过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(其中不含圆C2，所以注意检验C2是否满足题意，以防丢解)． （一） 判断直线与圆的位置关系的常见方法 (1)几何法：利用d与r的关系判断． (2)代数法：联立方程之后利用Δ判断． (3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交． 题型1：直线与圆位置关系的判断 1-1．（2024·河北张家口·二模）已知点为圆上的动点，则直线与圆的位置关系为（    ） A．相交 B．相离 C．相切 D．相切或相交 【答案】C 【分析】利用圆心到直线的距离与半径的关系即可求解. 【详解】利用圆心距和半径的关系来确定直线与圆的位置关系. 由题意可得，于是，所以直线和圆相切. 故选: C. 1-2．（2024·安徽蚌埠·三模）直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 【答案】A 【分析】判断出直线的定点坐标，然后判断定点与圆的位置关系，进而可得直线与圆的位置关系. 【详解】已知直线过定点， 将点代入圆的方程可得， 可知点在圆内， 所以直线与圆相交. 故选：A. 1-3．（2024高三·黑龙江绥化·阶段练习）若直线与圆相交，则点（    ） A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．以上都有可能 【答案】B 【分析】利用圆心到直线的距离与半径的关系确定点与圆的位置关系即可. 【详解】直线与圆有两个不同的交点，则圆心到直线的距离小于半径，即： ，即， 据此可得：点与圆的位置关系是点在圆外. 故选：B. 题型2：圆上的点到直线距离个数问题 2-1．（2024高二上·四川·期末）若圆上恰有2个点到直线的距离为1，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求得圆心到直线的距离，根据题意列出的不等关系式，即可求得的范围. 【详解】因为圆心到直线的距离， 故要满足题意，只需，解得. 故选：A. 2-2．（2024高三·全国·专题练习）已知圆O：x2＋y2＝4上到直线l：x＋y＝a的距离等于1的点至少有2个，则a的取值范围为(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由圆的方程可知圆心和半径，根据条件列不等式求解即可. 【详解】由圆的方程可知圆心为，半径为2，因为圆上的点到直线的距离等于1的点至少有2个，所以圆心到直线的距离，即，解得. 故选:A. 2-3．（2024·江苏南京·模拟预测）圆C：上恰好存在2个点，它到直线的距离为1，则R的一个取值可能为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先求得符合题意条件的R的取值范围，即可做出判断. 【详解】圆C：的圆心，半径R 点C到直线的距离为 圆C上恰好存在2个点到直线的距离为1，则 故选：B 2-4．（2024高三上·贵州贵阳·期末）若圆上有四个不同的点到直线的距离为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出与直线平行且到直线的距离为的直线的方程分别为、，由题意可知，这两条直线与圆都相交，根据直线与圆的位置关系可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围. 【详解】将圆的方程化为标准方程为，圆心为，半径为， 设与直线平行且到直线的距离为的直线的方程为， 则，解得或， 所以，直线、均与圆相交， 所以，，解得， 因此，实数的取值范围是. 故选：C. （二） 弦长问题 ①利用垂径定理：半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系，这也是求弦长最常用的方法． ②利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长． ③利用弦长公式：设直线，与圆的两交点，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数关系得弦长：． 题型3：弦长问题 3-1．（2024·宁夏银川·三模）已知直线l：被圆C：所截得的弦长为整数，则满足条件的直线l有 条. 【答案】9 【分析】根据题意可知直线l恒过定点，分别求得直线被圆截得弦长的最大值和最小值，利用对称性即可求得满足条件的直线l共有9条. 【详解】将直线l的方程整理可得，易知直线恒过定点； 圆心，半径； 所以当直线过圆心时弦长取最大值，此时弦长为直径； 易知，当圆心与的连线与直线l垂直时，弦长最小，如下图所示；    此时弦长为，所以截得的弦长为整数可取； 由对称性可知，当弦长为时，各对应两条，共8条， 当弦长为8时，只有直径1条， 所以满足条件的直线l共有9条. 故答案为：9 3-2．（2024·广东深圳·二模）过点且被圆所截得的弦长为的直线的方程为 . 【答案】 【分析】首先将圆的方程配成标准式，即可得到圆心坐标与半径，由弦长求出圆心到直线的距离，分析可得直线的斜率存在，设直线方程为，利用点到直线的距离公式求出，即可得解. 【详解】圆，即， 圆心为，半径， 若弦长，则圆心到直线的距离， 显然直线的斜率存在，设直线方程为，即， 所以，解得，所以直线方程为. 故答案为： 3-3．（2024·全国）已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值 ． 【答案】（中任意一个皆可以） 【分析】根据直线与圆的位置关系，求出弦长，以及点到直线的距离，结合面积公式即可解出． 【详解】设点到直线的距离为，由弦长公式得， 所以，解得：或， 由，所以或，解得：或． 故答案为：（中任意一个皆可以）． 3-4．（2024高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知直线：与圆：交于，两点，则 ． 【答案】 【分析】首先确定圆心和半径，应用点线距离公式求圆心到直线的距离，再由几何法求弦长即可. 【详解】由，故圆心，半径为， 所以，圆心到直线的距离为， ∴． 故答案为： （三） 1.当切线方程斜率存在时，圆的切线方程的求法 (1)几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求出k. (2)代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k. 注意验证斜率不存在的情况． 2.常见圆的切线方程 过圆上一点的切线方程是； 过圆上一点的切线方程是． 题型4：切线问题 4-1．（2024·河南开封·三模）已知点，，经过B作圆的切线与y轴交于点P，则 ． 【答案】 【分析】由直线与圆的位置关系作出切线，求得，再用两角和与差的正切公式即可得结果. 【详解】如图所示，设圆心为C点，则， ，则点在圆上，且， 由与圆相切可得：，则，， 则，故，则， 从而可得, 故答案为：. 4-2．（2024·北京·模拟预测）经过点且与圆相切的直线方程为 ． 【答案】 【分析】根据直线与圆相切，由圆心到直线的距离相等，分直线的斜率不存在和存在讨论求解. 【详解】解：圆的标准方程为：， 当直线的斜率不存在时，直线方程为，不符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线方程为，即， 因为直线与圆相切， 所以圆心到直线的距离相等，即， 化简得， 解得，， 综上：直线方程为：， 故答案为： 4-3．（2024高三上·贵州·开学考试）已知圆，过直线上任意一点，作圆的两条切线，切点分别为两点，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据圆的切线长公式，结合，利用圆的性质，即可求解. 【详解】由题意得，圆的圆心为，半径为， 如图所示， 根据圆的切线长公式，可得， 则，, 当取最小值时，取最小值，又， 所以此时最小，也最小，取最小值， 圆心到直线的距离， 则，此时， 则. 故答案为：. 4-4．（2024高三上·湖北·开学考试）已知过点作圆的切线，则切线长为 . 【答案】 【分析】根据题意，利用圆的切线长公式，即可求解. 【详解】由圆，可得圆心，半径， 设切点为，因为，可得， 所以切线长为. 故答案为：. 4-5．（2024高二下·上海杨浦·期中）由直线上一点向圆引切线，则切线长的最小值为 ． 【答案】 【分析】设过点的切线与圆相切于点，分析可知当与直线垂直时，取最小值，再利用勾股定理可求得切线长的最小值. 【详解】设过点的切线与圆相切于点，连接，则， 圆的圆心为，半径为，则， 当与直线垂直时，取最小值，且最小值为， 所以，，即切线长的最小值为. 故答案为：. 4-6．（2024高三上·湖北·阶段练习）已知，，过x轴上一点P分别作两圆的切线，切点分别是M，N，当取到最小值时，点P坐标为 . 【答案】 【分析】，则，可看成点到两定点，的距离和，而两点在轴的两侧，所以连线与轴的交点就是所求点. 【详解】的圆心为，半径， 的圆心为，半径， 设，则， 所以， 取， 则， 当三点共线时取等号， 此时直线： 令，则，， 故答案为：    【点睛】关键点点睛：此题考查直线与圆的位置关系，考查距离公式的应用，解题的关键是将问题转化为点到两定点，的距离和的最小值，结合图形求解，考查数形结合的思想，属于较难题. （四） 涉及与圆的切线有关的线段长度范围(最值)问题，解题关键是能够把所求线段长度表示为关于圆心与直线上的点的距离的函数的形式，利用求函数值域的方法求得结果． 题型5：直线与圆位置关系中的最值(范围)问题 5-1．（2024高三上·北京昌平·期中）已知圆与直线相交于两点，则的最小值是 . 【答案】 【分析】根据题意，分析圆的圆心与半径，将直线的方程变形为，恒过定点，分析可得在圆内部，分析可得：当直线与垂直时，弦最小，求出此时的值，由勾股定理分析可得答案. 【详解】根据题意，圆即， 圆心的坐标为，半径， 直线，即，恒过定点， 又由圆的方程为，则点在圆内， 分析可得：当直线与垂直时，弦最小， 此时， 则的最小值为； 故答案为：. 5-2．（2024·江苏镇江·二模）已知，点A为直线上的动点，过点A作直线与相切于点P，若，则的最小值为 . 【答案】 【分析】设，连接，求出、，求的最小值可转化为求到两点和距离和的最小值，连接可得答案. 【详解】 设，，连接，所以，且， 所以， ， 所以求的最小值可转化为求到两点和距离和的最小值，如图，连接即可，所以， 故答案为：. 5-3．（2024高三下·安徽池州·阶段练习）已知，直线为上的动点，过点作的切线，切点为，当最小时，直线的方程为 . 【答案】 【分析】由题意分析可得，当直线时，最小，此时求出以为直径的圆的方程，两圆方程联立即可求得直线的方程. 【详解】圆的方程可化为，则圆心，半径， 可得点到直线的距离为， 所以直线与圆相离， 依圆的知识可知，四点四点共圆，且， 所以， 原题意等价于取到最小值， 当直线时，，此时最小. 的直线方程为：， 与联立，解得：，即， 则的中点为， 所以以为直径的圆的方程为，即， 两圆的方程相减可得：， 即直线的方程为. 故答案为：. 5-4．（2024高三上·河南洛阳·开学考试）已知圆，点在直线上，过点作直线与圆相切于点，则的周长的最小值为 . 【答案】/ 【分析】根据题意，将求周长的最小值转化为求圆心到直线的距离，进而得解. 【详解】由圆知圆心，半径， 因为与圆相切于点，所以， 所以，所以越小，越小，    当时，最小， 因为圆心到直线的距离为，所以的最小值为6， 此时，，， 故的周长的最小值为. 故答案为：. 5-5．（2024·湖北·模拟预测）已知点在圆运动，若对任意点，在直线上均存在两点，使得恒成立，则线段长度的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由恒成立可知，始终在以为直径的圆内或圆上，求出点到直线的距离即得线段长度的最小值. 【详解】如图， 由题可知，圆心为点，半径为1， 若直线上存在两点，使得恒成立， 则始终在以为直径的圆内或圆上，点到直线的距离为， 所以长度的最小值为. 故选：D （五） 圆与圆的位置关系 (1)判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法． (2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到． 题型6：圆与圆的位置关系 6-1．（2024·河北唐山·二模）已知圆：，圆：，则与的位置关系是（    ） A．外切 B．内切 C．相交 D．外离 【答案】C 【分析】算出两圆圆心的距离，然后与两圆半径之和、差比较即可. 【详解】圆的圆心为， 圆的圆心为， 所以 所以圆与的位置关系是相交. 故选: C. 6-2．（2024·陕西榆林·模拟预测）已知圆C：和两点，，若圆C上存在点P，使得，则b的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将问题转化为以为直径的圆与圆有交点，结合图形可得. 【详解】因为圆C上存在点P，使得， 所以，以为直径的圆与圆有交点， 又以为直径的圆，圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为2， 所以，即，即. 故选：A    6-3．（2024·陕西铜川·模拟预测）已知，，若圆上存在点P满足，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点，由，得P的轨迹方程为，再由两圆相交求解． 【详解】设点，则，， 所以， 所以P的轨迹方程为，圆心为，半径为3． 由此可知圆与有公共点， 又圆的圆心为，半径为2， 所以，解得， 即的取值范围是． 故选：A． 6-4．（2024高二上·北京·阶段练习）圆．与圆的位置关系是（    ） A．内切 B．相交 C．外切 D．外离 【答案】C 【分析】根据条件，先求出两圆的圆心和半径，再利用两圆位置关系的判断方法，即可求解. 【详解】因为圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 又，所以两圆的位置关系为外切， 故选：C. 题型7：两圆的公共弦问题 7-1．（2024·全国·模拟预测）若圆与圆交于P，Q两点，则直线PQ的方程为 . 【答案】 【分析】根据题意可得：两圆方程之差即为直线PQ的方程，运算求解即可. 【详解】∵圆与圆相交，则两圆方程之差即为直线PQ的方程， 将与作差得， 整理得， 即直线PQ的方程为. 故答案为：. 7-2．（2024高三·全国·专题练习）已知圆：与圆：，若两圆相交于A，B两点，则 【答案】 【分析】根据两圆相交时公共弦所在直线方程的求法和弦长公式求解. 【详解】圆的方程为，即①， 又圆：②， ②－①可得两圆公共弦所在的直线方程为 圆的圆心到直线的距离， 所以． 故答案为: . 7-3．（2024·天津和平·二模）圆与圆的公共弦所在的直线方程为 ． 【答案】 【分析】两式相减，即可得到两圆公共弦所在的直线方程. 【详解】联立，两式相减得. 故答案为： 题型8：两圆的公切线问题 8-1．（2024·湖南长沙·一模）已知圆，圆圆与圆相切，并且两圆的一条外公切线的斜率为7，则为 . 【答案】 【分析】根据题意作出如下图形：      由圆方程求出圆心连线斜率为：，计算出圆心距， 再利用外公切线的斜率为7求出圆心连线与公切线的夹角，从而在直角三角形中列方程求得，联立方程即可求出，，问题得解． 【详解】根据题意作出如下图形：    AB为两圆的公切线，切点分别为A,B. 当公切线AB与直线平行时，公切线AB斜率不为7，即 不妨设 过作AB的平行线交于点E，则：，且 , 直线的斜率为：， 所以直线AB与直线的夹角正切为：. 在直角三角形中，，所以， 又,整理得：， 解得：，又，解得：，， 所以=. 【点睛】本题主要考查了圆的公切线特点及两直线夹角公式，还考查了解三角形知识及计算能力、方程思想，属于中档题． 8-2．（2024·河南·模拟预测）圆与x轴交于A，B两点(A在B的左侧)，点N满足，直线与圆M和点N的轨迹同时相切，则直线l的斜率为 ． 【答案】 【分析】求出A、B坐标，设N(x,y)，求出N的轨迹圆E的方程，作出图象，利用圆的公切线的几何性质即可求其斜率． 【详解】对于圆，令，得，解得或， 则，． 设，∵，∴， 则，整理得， 则点N的轨迹是圆心为，半径为的圆． 又圆M的方程为，则圆M的圆心为，半径为． ∵，∴两圆相交， 设直线l与圆M和点N轨迹圆E切点分别为C，D， 连接CM，DE，过M作DE的垂线，垂足为点F，则四边形CDFM为矩形， ∵，，∴， 则， 则两圆公切线CD的斜率即为直线FM的斜率为． 故答案为：. 8-3．（2024·湖北·模拟预测）已知圆与圆有三条公切线，则 ． 【答案】或 【分析】 根据两圆有三条公切线可知两圆外切，然后由两圆心距等于两半径之和列式，分类讨论可得. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 因为圆与圆有三条公切线，所以两圆外切， 所以 即 当时，，即 解得或（舍去） 当时，，即 解得或（舍去） 当时，，即 解得（舍去） 综上，或 故答案为：或 8-4．（2024·湖南岳阳·三模）写出与圆和都相切的一条直线方程 ． 【答案】或中任何一个答案均可 【分析】先判断两圆的位置关系，可知公切线斜率存在，方程可设为，根据圆心到直线的距离等于半径列出方程组，解之即可得出答案. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 则， 所以两圆外离， 由两圆的圆心都在轴上，则公切线的斜率一定存在， 设公切线方程为，即， 则有， 解得或或或 所以公切线方程为或. 故答案为：.（答案不唯一，写其它三条均可） 一、单选题 1．（2024·陕西宝鸡·二模）直线l：与曲线C：的交点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．无法确定 【答案】B 【分析】根据圆与直线的位置关系求法结合同角的三角函数关系得出曲线C与直线l位置关系，即可得出答案. 【详解】曲线C：是圆心在上，半径的圆， 则圆心与直线l的距离， ， 曲线C与直线l相切，即只有一个交点， 故选：B 2．（2024·江西·模拟预测）设，，O为坐标原点，点P满足，若直线上存在点Q使得，则实数k的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，由两点距离公式计算可得根据题意可得，进而利用点到直线的距离公式即可求解． 【详解】设， ， ，即． 点P的轨迹为以原点为圆心，2为半径的圆面． 若直线上存在点Q使得， 则PQ为圆的切线时最大， ，即． 圆心到直线的距离， 或． 故选：C． 3．（2024·北京）若直线是圆的一条对称轴，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，将圆心代入直线计算求解． 【详解】由题可知圆心为，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即，解得． 故选：A． 4．（2024高二上·黑龙江鹤岗·期中）圆上到直线的距离为的点共有 A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【解析】求出圆的圆心和半径，比较圆心到直线的距离和圆的半径的关系即可得解. 【详解】圆可变为， 圆心为，半径为， 圆心到直线的距离， 圆上到直线的距离为的点共有个. 故选：C. 【点睛】本题考查了圆与直线的位置关系，考查了学生合理转化的能力，属于基础题. 5．（2024高三·全国·专题练习）已知圆C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和圆C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0只有一条公切线，若a，b∈R且ab≠0，则＋的最小值为（    ） A．3 B．8 C．4 D．9 【答案】D 【分析】根据两圆公切线的性质，结合基本不等式进行求解即可. 【详解】因为圆C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和圆C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0只有一条公切线， 所以两圆相内切，其中C1(－2a，0)，r1＝2；C2(0，b)，r2＝1，故|C1C2|＝，由题设可知， 当且仅当a2＝2b2时等号成立． 故选：D. 6．（2024·甘肃兰州·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2＋y2－4x＝0及点A(－1,0)，B(1,2)，在圆C上存在点P，使得|PA|2＋|PB|2＝12，则点P的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】设P(x,y)，由求得点轨迹是圆，又在已知圆上，判断出两圆相交后可得点个数． 【详解】设P(x,y)，则(x－2)2＋y2＝4，|PA|2＋|PB|2＝(x＋1)2＋(y－0)2＋(x－1)2＋(y－2)2＝12，即x2＋y2－2y－3＝0，即x2＋(y－1)2＝4，圆心为，半径为2，又圆圆心为，半径为2， 因为， 所以圆(x－2)2＋y2＝4与圆x2＋(y－1)2＝4相交，所以点P的个数为2. 故选：B. 7．（2024·山西·模拟预测）已知圆：的圆心到直线的距离为，则圆与圆：的公切线共有（    ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 【答案】B 【分析】先根据题意求得，从而得到两圆的圆心和半径，进而求得圆心距等于两半径的差，得知两圆内切，即可知道公切线只有1条. 【详解】圆：的圆心为，半径为a， 所以圆心到直线的距离为，解得或． 因为，所以. 所以圆：的圆心为，半径为． 圆：的标准方程为， 圆心坐标为，半径， 圆心距，所以两圆相内切． 所以两圆的公切线只有1条. 故选：B． 8．（2024高二上·安徽滁州·期末）圆：与圆：公切线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】首先根据题意得到两圆相外切，即可得到答案. 【详解】根据题意，圆：，即， 其圆心为，半径； 圆：，即， 其圆心为，半径， 两圆的圆心距，所以两圆相外切， 其公切线条数有3条． 故选：C． 9．（2024·江西上饶·一模）直线与圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 【答案】C 【分析】先求出直线过的定点，再通过定点和圆的位置关系来确定直线与圆的位置关系. 【详解】由直线得， 令，得， 故直线恒过点， 又， 即点在圆内， 故直线与圆的位置关系为相交. 故选：C. 10．（2024·四川成都·一模）圆：与直线：的位置关系为（ ） A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定 【答案】A 【分析】求出圆心坐标与半径，再将直线方程化为一般式，根据圆心到直线的距离即可判断. 【详解】圆：的圆心为，半径， 直线：即，则圆心到直线的距离， 所以直线与圆相切. 故选：A 11．（2024高二上·广东珠海·期末）德国数学家米勒曾提出过如下的“最大视角原理”：对定点、和在直线上的动点，当与的外接圆相切时，最大．若，，是轴正半轴上一动点，当对线段的视角最大时，的外接圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由条件确定点的坐标，再求外接圆的方程. 【详解】设，则，， ， 当且仅当时成立,解得，， 设的外接圆的方程为， 则，解得，，， 的外接圆的方程为． 故选：．      12．（2024高二上·四川内江·期中）已知点P在圆上，点，，则错误的是（    ） A．点P到直线AB的距离小于10 B．点P到直线AB的距离大于2 C．当最小时， D．当最大时， 【答案】B 【分析】求出过的直线方程，再求出圆心到直线的距离，得到圆上的点到直线的距离范围，判断选项A与B；画出图形，由图可知，当过的直线与圆相切时，满足最小或最大，求出圆心与点间的距离，再由勾股定理求得判断选项C与D． 【详解】圆的圆心为，半径为4， 直线的方程为，即， 圆心到直线的距离为， 则点到直线的距离的最小值为，最大值为， 所以点到直线的距离小于10，但不一定大于2，故选项A正确，B错误； 如图所示，当最大或最小时，与圆相切，点位于时最小，位于时最大）， 连接，，可知，，， 由勾股定理可得，故选项CD正确． 故选：B． 13．（2024·河南·模拟预测）已知圆C：，圆是以圆上任意一点为圆心，半径为1的圆．圆C与圆交于A，B两点，则当最大时，（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【分析】根据给定条件，结合等腰三角形性质确定顶角最大的条件，再借助直角三角形求解作答. 【详解】依题意，在中，，如图， 显然，是锐角，，又函数在上递增， 因此当且仅当公共弦最大时，最大，此时弦为圆的直径， 在中，，所以. 故选：D 14．（2024·新疆乌鲁木齐·三模）已知直线与轴和轴分别交于A，两点，以点A为圆心，2为半径的圆与轴的交点为（在点A右侧），点在圆上，当最大时，的面积为（    ） A． B．8 C． D． 【答案】A 【分析】当BP为圆的一条位于AB下方的切线时满足最大，通过计算得的方程再通过面积公式计算即可. 【详解】如图所示，不难发现当BP为圆的一条位于AB下方的切线时满足最大， 由题意可得，不妨设， 则A到BP的距离为，或（舍去）. 则， 此时到BP的距离为， 所以的面积为 故选：A 15．（2024·四川成都·模拟预测）德国数学家米勒曾提出最大视角问题，这一问题一般的描述是：已知点，是的边上的两个定点，是边上的一个动点，当在何处时，最大？问题的答案是：当且仅当的外接圆与边相切于点时最大，人们称这一命题为米勒定理.已知点，的坐标分别是，，是轴正半轴上的一动点.若的最大值为，则实数的值为（    ） A．2 B．3 C．或 D．2或4 【答案】C 【分析】根据米勒定理，当最大时，的外接圆与轴正半轴相切于点；再根据圆的性质得到为等边三角形，从而求出的值. 【详解】根据米勒定理，当最大时，的外接圆与轴正半轴相切于点. 设的外接圆的圆心为，则，圆的半径为.    因为为，所以，即为等边三角形， 所以，即或，解得或. 故选：C. 16．（2024·全国）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解；方法二：根据切线的性质求切线长，结合余弦定理运算求解；方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可得，利用韦达定理结合夹角公式运算求解. 【详解】方法一：因为，即，可得圆心，半径， 过点作圆C的切线，切点为， 因为，则， 可得， 则， ， 即为钝角， 所以； 法二：圆的圆心，半径， 过点作圆C的切线，切点为，连接， 可得，则， 因为 且，则， 即，解得， 即为钝角，则， 且为锐角，所以； 方法三：圆的圆心，半径， 若切线斜率不存在，则切线方程为，则圆心到切点的距离，不合题意； 若切线斜率存在，设切线方程为，即， 则，整理得，且 设两切线斜率分别为，则， 可得， 所以，即，可得， 则， 且，则，解得. 故选：B.      17．（2024·全国）已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意作出示意图，然后分类讨论，利用平面向量的数量积定义可得，或然后结合三角函数的性质即可确定的最大值. 【详解】如图所示，，则由题意可知:， 由勾股定理可得    当点位于直线异侧时或PB为直径时，设， 则： ，则 当时，有最大值.    当点位于直线同侧时，设， 则： ， ，则 当时，有最大值. 综上可得，的最大值为. 故选：A. 【点睛】本题的核心在于能够正确作出示意图，然后将数量积的问题转化为三角函数求最值的问题，考查了学生对于知识的综合掌握程度和灵活处理问题的能力. 18．（2024高二下·河北衡水·期末）若圆上仅有4个点到直线的距离为1，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】到已知直线的距离为1的点的轨迹，是与已知直线平行且到它的距离等于1的两条直线，根据题意可得这两条平行线与有4个公共点，由此利用点到直线的距离公式加以计算，可得的取值范围． 【详解】解：作出到直线的距离为1的点的轨迹，得到与直线平行， 且到直线的距离等于1的两条直线， 圆的圆心为原点， 原点到直线的距离为， 两条平行线中与圆心距离较远的一条到原点的距离为， 又圆上有4个点到直线的距离为1， 两条平行线与圆有4个公共点，即它们都与圆相交． 由此可得圆的半径， 即，实数的取值范围是． 故选：．    【点睛】本题给出已知圆上有四点到直线的距离等于半径，求参数的取值范围．着重考查了圆的标准方程、直线与圆的位置关系等知识，属于中档题． 19．（2024高三下·江苏南京·开学考试）过抛物线上一点作圆的切线，切点为、，则当四边形的面积最小时，直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出图形，连接、，分析可知当点与点重合时，四边形的面积最小，求出点的横坐标，即可得出直线的方程. 【详解】连接、， 圆的圆心为，半径为，易知圆心为抛物线的焦点， 设点，则，则， 当且仅当时，等号成立，此时点与坐标原点重合， 由圆的几何性质可得，，由切线长定理可得， 则，所以，， 所以，， 此时点与坐标原点重合，且圆关于轴对称，此时点、也关于轴对称， 则轴， 在中，，，，则， 所以，，因此，直线的方程为. 故选：C. 20．（湖南省常德市第一中学2022届高三考前二模数学试题）已知圆和两点，若圆C上存在点P，使得，则a的最小值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】根据条件，将问题转化成圆与圆C有公共交点，再利用圆与圆的位置关系即可求出结果. 【详解】由，得点P在圆上，故点P在圆上，又点P在圆C上，所以，两圆有交点， 因为圆的圆心为原点O，半径为a，圆C的圆心为，半径为2， 所以，又，所以， 解得，所以a的最小值为3. 故选：D. 21．（2024·湖南株洲·一模）在平面直角坐标系中，已知两点，到直线的距离分别是1与4，则满足条件的直线共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】根据圆的概念和切线的性质，分别以为圆心，以为半径作圆，满足题意的直线为两圆的公切线，进而求解. 【详解】分别以为圆心，以为半径作圆， 因为， 所以两圆外切，有三条公切线，即满足条件的直线共有3条， 故选：C 22．（2024·安徽黄山·二模）若圆关于直线对称，动点在直线上，过点引圆的两条切线、，切点分别为、，则直线恒过定点，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆关于直线对称，求得b， 设 ，求出以为直径的圆的方程，可得直线MN为圆C与以为 直径的圆的公共弦所在的直线，联立两圆的方程，即可得直线MN的方程， 再由直线系方程得答案． 【详解】由题意可知：圆的圆心在直线上， 即有 ， 设点 ，则 ， 故以为直径的圆的方程为： ， 将和相减， 即可得直线的方程，即 ， 则直线恒过定点， 故选：C 23．（2024·贵州毕节·一模）已知点在直线上，过点作圆的两条切线，切点分别为，则圆心到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】根据题意，设为直线上的一点，由圆的切线的性质得点在以为直径的圆上，求出该圆的方程，与圆C的方程联立可得直线的方程，将其变形分析可得直线恒过的定点，由点到直线的距离分析可得答案． 【详解】由题意可得的圆心到直线的距离为， 即与圆相离； 设为直线上的一点，则， 过点P作圆的切线，切点分别为，则有， 则点在以为直径的圆上， 以为直径的圆的圆心为 ，半径为， 则其方程为，变形可得 ， 联立，可得：， 又由，则有 ， 变形可得 ， 则有，可得，故直线恒过定点， 设，由于，故点在内， 则时，C到直线的距离最大， 其最大值为, 故选∶B 24．（2024·山东泰安·模拟预测）已知直线与圆，过直线上的任意一点向圆引切线，设切点为，若线段长度的最小值为，则实数的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，则，可得，而的最小值是圆心到直线的距离，然后列方程可求出实数m的值. 【详解】圆，设， 则，则，， 则，所以圆心到直线的距离是， ，得，． 故选：A． 25．（2024高三·北京·强基计划）如图，过椭圆上一点M作圆的两条切线，过切点的直线与坐标轴于P，Q两点，O为坐标原点，则面积的最小值为（    ） A． B． C． D．前三个答案都不对 【答案】B 【分析】利用基本不等式可求面积的最小值. 【详解】设点，由于点M在椭圆上，所以， 由切点弦方程， 所以， 由于， 当时，上述不等式取等号，取得最大值3，此时面积取得最小值． 故选：B. 26．（2024·黑龙江大庆·三模）已知直线是圆的切线，并且点到直线的距离是2，这样的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】D 【分析】由已知可推得，直线是圆与圆的公切线.根据两圆的圆心、半径，推得两圆的位置关系，即可得出答案. 【详解】由已知可得，圆心，半径. 由点到直线的距离是2，所以直线是以为圆心，为半径的圆的切线， 又直线是圆的切线， 所以，直线是圆与圆的公切线. 因为， 所以，两圆外离，所以两圆的公切线有4条， 即满足条件的直线有4条. 故选：D. 27．（2024·河南·模拟预测）已知直线与圆相切，则满足条件的直线l的条数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】 根据点到直线的距离公式和两圆位置关系即可求解. 【详解】由已知直线， 则原点到直线l的距离为， 由直线l与圆相切， 则满足条件的直线l即为圆和圆的公切线， 因为圆和圆外切， 所以这两个圆有两条外公切线和一条内公切线， 所以满足条件的直线l有3条． 故选: B． 二、多选题 28．（2024高三上·江苏南京·阶段练习）已知圆：，点M在抛物线：上运动，过点引直线与圆相切，切点分别为，则下列选项中能取到的值有（    ） A．2 B． C． D． 【答案】BC 【分析】由圆的方程可得圆心坐标和半径，设M的坐标，可得四边形PCQM的对角线互相垂直，是两个直角三角形，由面积相等可得的表达式，由的范围求出的范围. 【详解】解析：如图，    连接，题意，，而，而，则垂直平分线段， 于是得四边形面积为面积的2倍， 从而得， 即， 设点，而， 则，即， 所以，即，得， 所以的取值范围为．故选BC． 三、填空题 29．（2024·天津南开·二模）若直线与圆相切，则 . 【答案】/0.75 【分析】由圆心到切线的距离等于半径求解． 【详解】由题意圆心为，半径为2， 所以，解得． 故答案为：． 30．（2024高二上·江苏宿迁·阶段练习）已知分别是圆，圆上动点，是直线上的动点，则的最小值为 ． 【答案】3 【分析】首先求出圆关于直线的对称圆：，再根据，即可得到. 【详解】，， ，，， 设关于的对称点为， 则，解得，即. 所以圆关于直线的对称圆： 因为，， 所以. 故答案为：3 31．（2024高三上·天津滨海新·阶段练习）已知圆与直线相交所得圆的弦长是，若过点作圆的切线，则切线长为 . 【答案】 【分析】先将圆的方程化为标准方程，求出圆心和半径，再由弦，弦心距和半径的关系列方程可求出，然后求出圆心与间的距离，再利用勾股定理可求得结果. 【详解】由，得， 则圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为， 因为圆与直线相交所得圆的弦长是， 所以，解得或（舍去）， 所以圆心为，半径为， 所以与间的距离为， 所以所求的切线长为， 故答案为：. 32．（2024·福建福州·模拟预测）写出经过抛物线的焦点且和圆相切的一条直线的方程 . 【答案】（或，写出一个方程即可） 【分析】斜率不存在时，直接观察可知；斜率存在时，设点斜式方程，利用圆心到直线距离等于半径可解. 【详解】抛物线的焦点为，圆的圆心为，半径为2. 记过点的直线为l，当l斜率不存在时，由图可知l与圆相切，此时l的方程为； 当l斜率存在时，设其方程为，即， 因为直线l与圆相切，所以，解得 所以l的方程为，即. 故答案为：（或，写出一个方程即可） 33．（2024高三上·广东梅州·阶段练习）直线分别与轴，轴交于A，B两点，点P在圆上，则面积的取值范围是 . 【答案】 【分析】先求出A，B两点的坐标，则可求出，然后求出圆心到直线的距离，从而可求出点P到直线的距离的最大值和最小值，进而可求出面积的最大值和最小值，即可求得结果. 【详解】对于，当时，，当时，， 所以， 所以， 圆的圆心，半径， 圆心到直线的距离为， 所以点P到直线的距离的最大值， 点P到直线的距离的最小值， 所以面积的最大值为， 面积的最小值为， 所以面积的取值范围是， 故答案为：    34．（2024高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知圆与圆相交于两点，则 . 【答案】 【分析】两圆方程相减，即可求出直线AB的方程为，求出圆心到直线AB的距离d，进而根据几何法得弦. 【详解】解：因为圆与圆相交于两点， 所以直线AB的方程为：， 即， 圆心到弦AB的距离， 所以， 故答案为：. 35．（河北省石家庄部分重点高中2023届高三下学期3月月考数学试题）如图，正方形的边长为4，是边上的一动点，交于点，且直线平分正方形的周长，当线段的长度最小时，点到直线的距离为 .    【答案】 【分析】利用平面几何知识可得出点的轨迹是圆.适当建系，写出点的轨迹方程.再利用圆的性质得出当最小时，，，三点共线，进而求解即可. 【详解】根据题意平分正方形周长，可得恒过正方形的中心，设的中心为点，由可知，点的轨迹是以为直径的圆， 以为坐标原点，为轴，为轴建立直角坐标系， 则，，，， 以为直径的圆的方程为， 设为圆心，可知坐标为，当最小时，，，三点共线， 可知此时直线的方程为， 则点到直线的距离为. 故答案为：.    36．（2024·江西·模拟预测）已知圆的方程为，若直线与圆相交于两点，则的面积为 . 【答案】12 【分析】根据直线与圆相交弦长公式确定弦长及圆心到直线得距离，即可求的面积. 【详解】圆：，得圆心为，半径为， 圆心到直线的距离，因此， 所以. 故答案为：. 37．（2024·河北邯郸·二模）已知直线与圆交于A，两点，若是圆上的一动点，则面积的最大值是 . 【答案】/ 【分析】求出圆C圆心到弦AB的长度d，求出弦AB的长度，M到弦AB的最大距离为d＋r(r为圆C半径)，根据三角形面积公式即可求出答案． 【详解】，则圆C的圆心为，半径为， 圆心C到直线l（弦AB）的距离为， 则， 则到弦AB的距离的最大值为， 则面积的最大值是. 故答案为： 38．（2024·广东广州·三模）写出经过点且被圆截得的弦长为的一条直线的方程 ． 【答案】或 【分析】根据圆的一般方程求出圆心和半径，利用直线的点斜式方程设出直线及点到直线的距离公式，结合圆中弦长，半径及弦心距的关系即可求解. 【详解】圆的方程可化为，圆心为，半径． 当过点的直线的斜率不存在时，直线方程为，此时圆心在直线上，弦长，不满足题意， 所以过点的直线的斜率存在，设过点的直线的方程为，即，则 圆心到直线的距为， 依题意，即，解得或， 故所求直线的方程为或． 故答案为：或． 39．（2024高三下·江西南昌·阶段练习）圆心在直线上，与轴相切，且被直线截得的弦长为的圆的方程为 . 【答案】或 【分析】设圆心为，可知半径，根据垂径定理，利用直线截圆所得弦长可构造方程求得圆心和半径，由此可得圆的方程. 【详解】设所求圆的圆心为，半径为， 圆与轴相切，， 又圆心到直线的距离， ，解得：或， 所求圆的圆心为或，半径， 圆的方程为或. 故答案为：或. 40．（2024·河南郑州·模拟预测）已知圆，直线与圆C相交于M，N两点，则 ． 【答案】/ 【分析】先求出圆的圆心和半径，然后求出圆心到直线的距离，再利用弦、弦心距和半径的关系可求出弦长. 【详解】由，得，则圆的圆心为，半径， 所以圆心到直线的距离为 所以，解得． 故答案为： 41．（2024高二下·新疆·期中）已知P是直线上的动点，是圆的两条切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形面积的最小值为 ． 【答案】 【分析】确定圆心为，半径，将四边形的面积转化为，计算点到直线的距离得到答案. 【详解】，即，圆心为，半径， ，即最小时，面积最小. ，故四边形面积的最小值为. 故答案为： 42．（2024高三上·福建福州·期中）已知是圆上两点，若，则的最大值为 . 【答案】4 【分析】根据表示两点到直线的距离之和，结合两点到直线的距离之和等于线段的中点到直线的距离的2倍，求出线段的中点到直线的距离的最大值即可. 【详解】解：由，得为等腰直角三角形， 设为的中点，则，且， 则点在以为圆心，为半径的圆上， 表示两点到直线的距离之和， 两点到直线的距离之和等于中点到直线的距离的2倍， 点到直线的距离为， 所以点直线的距离的最大值为， 所以的最大值为， 所以的最大值为. 故答案为：4. 43．（2024高三上·广东·阶段练习）已知实数x，y满足：，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】方法一：采用三角换元法，然后利用两角差的正弦公式集合求解； 方法二：利用的几何意义：可以看作圆心到直线距离的倍，然后利用点到直线的距离公式即可求解. 【详解】解法一：因为，所以令，， 则，， 故，其中，，因为， 所以， 所以， 故的取值范围为． 解法二：因为圆心到直线的距离， 所以圆心上的点到直线的距离的取值范围为， 又因为， 所以的取值范围是． 故答案为：． 44．（2024高二上·河北石家庄·期中）已知圆C：与直线l：交与A，B两点，当|AB|最小值时，直线l的一般式方程是 . 【答案】 【分析】根据直线的方程得到直线过定点，根据几何知识得到当垂直直线时，最小，然后根据垂直列方程，解方程得到即可得到直线的方程. 【详解】由圆的方程可得圆心为，直线的方程可整理为，令，解得，所以直线过定点，当垂直直线时，最小，所以，解得，所以直线的方程为，即. 故答案为：. 45．（2024高三下·安徽亳州·开学考试）若在圆C：上存在一点P，使得过点P作圆M：的切线长为，则r的取值范围为 ． 【答案】 【分析】设点，根据题意可得：，然后再利用即可求解. 【详解】设点，过点作圆M：的切线，切点为， 由题意可知：，因为点， 所以，化简整理可得：， 所以，因为，， 所以，解得：， 所以的取值范围为， 故答案为：. 46．（2024·江苏无锡·三模）已如，是抛物线上的动点（异于顶点），过作圆的切线，切点为，则的最小值为 . 【答案】3 【分析】设出点的坐标，结合圆的切线的性质求出，再借助式子几何意义作答. 【详解】依题意，设，有，圆的圆心，半径， 于是，    因此，表示抛物线上的点到y轴距离与到定点的距离的和， 而点在抛物线内，当且仅当是过点垂直于y轴的直线与抛物线的交点时，取得最小值3， 所以的最小值为3. 故答案为：3. 47．（2024·四川成都·二模）若直线与相交于点，过点作圆的切线，切点为，则|PM|的最大值为 ． 【答案】 【分析】根据两直线所过的定点和位置关系，结合圆的性质进行求解即可. 【详解】直线过定点，直线过定点， 显然这两条直线互相垂直，因此在以为直径的圆上，设该圆的圆心为， 显然点的坐标为，所以该圆的方程为， 由圆的切线性质可知：，要想|PM|的值最大，只需的值最大， 当点在如下图位置时，的值最大，即， 所以|PM|的最大值为， 故答案为： 【点睛】关键点睛：根据两直线的位置关系确定点的轨迹，利用圆的几何性质是解题的关键. 48．（2024·江苏·二模）过点且与圆：相切的直线方程为 【答案】或 【分析】分斜率存在与否两种情况进行讨论，结合点到直线距离公式即可得解． 【详解】解：将圆方程化为圆的标准方程，得圆心，半径为， 当过点的直线斜率不存在时，直线方程为 是圆的切线，满足题意； 当过点的直线斜率存在时， 可设直线方程为，即， 利用圆心到直线的距离等于半径得，解得， 即此直线方程为， 故答案为：或 ． 49．（2024高二上·上海浦东新·期中）已知是平面内的三个单位向量，若，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】采用向量的坐标运算，得到所求模长之和的几何意义，将问题转化为单位圆上的点到和两点的距离之和的最小值的求解问题，由此计算得到结果. 【详解】均为单位向量且，不妨设，，且， ，， ， 的几何意义表示的是点到和两点的距离之和的2倍， 点在单位圆内，点在单位圆外， 则点到和两点的距离之和的最小值即为和两点间距离， 所求最小值为. 故答案为：. 50．（2024·河北邯郸·一模）已知点，，符合点A，B到直线l的距离分别为1，3的直线方程为 （写出一条即可）． 【答案】或或或（写出一条即可） 【分析】根据题意可知直线l是圆与圆的公切线，先判断两圆外离，可得直线l有四条，再根据几何性质（相似三角形的性质）和点到直线的距离公式即可求解直线l的方程． 【详解】由题意可知直线l是圆与圆的公切线， 因为两圆为外离关系，所以满足条件的直线l有四条． 当直线l是两圆的外公切线时，由几何性质（相似三角形的性质）易知直线l过点． 设直线l的方程为，则，解得， 此时直线l的方程为或． 当直线l是两圆的内公切线时，由几何性质（相似三角形的性质）易知直线l过点， 设直线l的方程为，则，解得， 此时直线l的方程为或． 故答案为：或或或（写出一条即可）． 51．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知圆与直线相切，函数过定点，过点作圆的两条互相垂直的弦，则四边形面积的最大值为 . 【答案】5 【分析】先根据相切求半径，再求出定点，最后求得四边形面积的表达式，结合基本不等式求得面积的最大值. 【详解】由题意圆与直线相切， 圆心为，半径为， 函数过定点 如图连接OA、OD作垂足分别为E、F， ，四边形OEMF为矩形， 已知，， 设圆心O到AC、BD的距离分别为、， 则 四边形ABCD的面积为：， 从而：， 当且仅当时即取等号， 故四边形ABCD的面积最大值是5，    故答案为：5. 52．（2024高二下·广东广州·期末）写出与圆和圆都相切的一条直线的方程 . 【答案】（答案不唯一，或均可以） 【分析】先判断两圆位置关系，再分情况依次求解可得. 【详解】圆的圆心为，半径为1；圆的圆心为，半径为4，圆心距为，所以两圆外切， 如图，有三条切线，易得切线的方程为； 因为，且，所以，设，即，则到的距离，解得（舍去）或，所以； 可知和关于对称，联立，解得在上， 在上取点，设其关于的对称点为，则， 解得，则， 所以直线，即， 综上，切线方程为或或. 故答案为：（答案不唯一，或均可以） 53．（2024·福建宁德·模拟预测）已知圆C：，直线l的横纵截距相等且与圆C相切﹐则直线l的方程为 ． 【答案】，或，或 【分析】对切线的是否过原点进行分类讨论，设出直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出参数的值，即可得出直线的方程. 【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为， 因为直线l的横纵截距相等，所以直线的斜率存在， 当直线过原点时，设直线的方程为，因为直线l与圆C相切， 此时圆心到直线的距离等于半径，可得，解得，所以切线方程为； 当直线不过原点时，设直线的方程为，因为直线l与圆C相切， 此时圆心到直线的距离等于半径，可得，解得，所以切线方程为或， 综上所述，直线l的方程为，或，或. 故答案为：，或，或. 54．（2024高三下·上海徐汇·阶段练习）若，则的最小值为 . 【答案】 【分析】由方程表示的图形的几何意义以及所求代数式的几何意义画出图形可求出最小值. 【详解】解：曲线表示的是以点为圆心，以为半径的圆， 表示点到点的距离， 表示点到直线的距离，设点在直线上的射影点为， 则， 当且仅当、、三点共线且点为线段与圆的交点时，等号成立，    故的最小值为. 故答案为：. 55．（2024高三·全国·专题练习）点，到直线l的距离分别为1和4，写出一个满足条件的直线l的方程： . 【答案】或或（填其中一个即可） 【分析】设，，以M为圆心，1为半径作圆M，以N为圆心4为半径作圆N，转化为找公切线问题. 【详解】设，，连接MN，则. 以M为圆心，1为半径作圆M，以N为圆心4为半径作圆N，则两圆外切， 所以两圆有3条公切线，即符合条件的直线l有3条.    当公切线的斜率不存在时，显然公切线的方程为. 当公切线的斜率存在时，设公切线的方程为，则有， 由①②得，所以或. 由①及得，由①及得， 所以公切线方程为或. 综上，直线l的方程为或或. 故答案为：或或 56．（2024高三下·湖南·阶段练习）写出一条与圆和曲线都相切的直线的方程： . 【答案】（答案不唯一） 【分析】设切线与圆相切于点，得到切线的方程，与联立，由判别式为零求解. 【详解】解：设切线与圆相切于点，则， 切线的方程为，即， 将与联立，可得， 令， 联立解得或或或 所以切线的方程为或或或. 故答案为：（答案不唯一） 57．（2024·广东惠州·模拟预测）在圆内，过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】数形结合确定弦和的位置，即可求出四边形的面积. 【详解】圆的方程化为标准方程为：， 则圆心半径，由题意知最长弦为过点的直径，最短弦为过点和这条直径垂直的弦，即，且，圆心和点之间的距离为1， 故， 所以四边形ABCD的面积为． 故答案为： 58．（2024高三上·浙江丽水·期末）已知圆与圆相交于两点，则 . 【答案】 【分析】将两圆方程相减求得公共弦的方程，求出圆心到直线的距离，利用几何法即可求得. 【详解】将圆与圆的方程相减， 即得的方程为 ， 则的圆心为，半径为， 则到直线的距离为 ， 故， 故答案为： 59．（2024·全国·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，过点的直线l与圆相交于M，N两点，若，则直线l的斜率为 . 【答案】 【分析】设，，直线MN的方程为，联立直线与圆的方程，消元列出韦达定理，根据根的判定式，求出的取值范围，根据，即可得到，即可求出； 【详解】解：由题意得，直线的斜率存在，设，，直线MN的方程为，与联立，得，，得，，.因为，所以，则，于是，（由点A及C在y轴上可判断出，同号） 所以，两式消去，得，满足，所以. 故答案为： 60．（2024高二上·江苏淮安·期中）圆与圆的公共弦的长为 ． 【答案】 【分析】将两圆方程作差可得出相交弦所在直线的方程，求出圆的圆心到相交弦所在直线的距离，利用勾股定理可求得相交弦长. 【详解】将圆与圆的方程作差可得， 所以，两圆相交弦所在直线的方程为， 圆的圆心为原点，半径为， 原点到直线的距离为， 所以，两圆的公共弦长为. 故答案为：. 61．（2024高三下·浙江·阶段练习）从抛物线上一点作圆：得两条切线，切点为，则当四边形面积最小时直线方程为 . 【答案】 【分析】表示出四边形面积，，求四边形面积的最小值即求的最小值，确定最值求出点坐标，则为以圆和以为直径的圆的公共弦，两圆方程作差即可求出直线的方程. 【详解】如图，由题可知 ，，由对称性可知， 所以求四边形的最小面积即求的最小值 设，，则 当，即时，，四边形的最小面积为 所以 所以以为直径的圆的方程为： 则为以圆和以为直径的圆的公共弦 如图所示 两圆方程作差得： 所以直线方程为 故答案为： 62．（2024高三·河南·阶段练习）已知函数的图象恒过定点A，圆上两点，满足，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】求出定点的坐标，由条件可得点三点共线，结合点到直线的距离公式求的最小值. 【详解】因为时，， 所以函数的图象过定点， 因为， 所以点三点共线，， 因为，为圆上两点， 所以点为过点的直线与圆的两个交点， 设线段的中点为，则， 因为表示点，到 直线的距离和， 表示表示点到直线的距离， 分别过点作与直线垂直，垂足为， 则， 所以， 因为，直线过点，所以， 所以， 所以，化简可得， 即点在圆上， 所以点的轨迹为以为圆心，半径为的圆， 所以点到直线的距离的最小值为， 所以， 所以， 所以， 故答案为：. 【点睛】本题的关键在于确定所求解析式的几何意义，并将所求值转化为线段的中点到直线的距离问题. 63．（2024·安徽阜阳·三模）已知A，B分别为圆与圆上的点，O为坐标原点，则面积的最大值为 . 【答案】/ 【分析】作圆M关于y轴对称的圆，根据对称性，把问题转化为转化为在半径为1的内接三角形OEF的面积的最大值问题，运用三角形的面积公式和基本不等式计算即可求解. 【详解】设M：，则半径为1； 圆N：，则，半径为2. 以ON为直径画圆，延长BO交圆于F，连接FE，NE，NF， 如图:    则，又，所以F为BO的中点， 由对称性可得， ，及， 所以， 故当最大时，最大， 故转化为在半径为1的内接三角形OEF的面积的最大值问题， 对于一个单位圆内接三角形的面积， ，又，， 所以， 当且仅当时，即三角形为等边三角形时等号成立， 此时， 所以， 即三角形OEF的面积的最大值为， 所以最大值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：利用对称思想把面积问题转化为圆内接三角形面积最大问题，用不等式求最值是难点. 四、解答题 64．（2024高二上·山东潍坊·阶段练习）已知两个条件：①圆心在直线上，直线与圆相交所得的弦长为4；②圆过圆和圆的公共点.在这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题. 问题：是否存在唯一的圆过点且___________，并说明理由. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】答案见解析 【分析】若选①设出圆的标准方程，由条件得出的方程，求解即可判断；若选②由条件设所求圆的方程为，将点坐标代入即可得到答案. 【详解】选择①，不存在唯一的圆，理由如下： 设圆的方程为， 因为圆心在直线上，所以，（1） 圆心到直线的距离，则，（2） 又因为圆过点，则，（3） 由（1）（2）（3）解得，，或者，，， 所以方程为或者. 故不存在唯一的圆. 选择②，存在唯一的圆，理由如下： 设圆的方程为， 又因为圆过点，则，即. 所以圆的方程为即. 故存在唯一的圆. 65．（2024·全国）已知点，圆，过点的动直线与圆交于，两点，线段的中点为，为坐标原点． （1）求的轨迹方程； （2）当时，求的方程及的面积． 【答案】（1）；（2）的方程为，的面积为. 【分析】（1）由圆的方程求出圆心坐标和半径，设出坐标，由与数量积等于0列式得的轨迹方程； （2）设的轨迹的圆心为，由得到．求出所在直线的斜率，由直线方程的点斜式得到所在直线方程，由点到直线的距离公式求出到的距离，再由弦心距、圆的半径及弦长间的关系求出的长度，代入三角形面积公式得答案． 【详解】解：（1）由圆，即， 圆的圆心坐标为，半径． 设，则，． 由题意可得，即． 整理得． 的轨迹方程是． （2）由（1）知的轨迹是以点为圆心，为半径的圆， 由于， 故在线段的垂直平分线上， 又在圆上， 从而． ， 直线的斜率为． 直线的方程为，即． 则到直线的距离为． 又到的距离为， ． ． 66．（2024高二上·浙江杭州·期中）已知圆C的半径为3，圆心C在射线上，直线被圆C截得的弦长为 (1)求圆C方程; (2)过点的直线l与圆C交于M、N两点，且的面积是为坐标原点，求直线l的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意设圆心，则圆的方程为 ，由垂径定理结合弦长即可求解； （2）分斜率存在与不存在两种情况结合三角形面积求解即可 【详解】（1）设圆心，则圆的方程为 ， 或舍去 圆的方程为 （2）①当斜率不存在时，此时直线l方程为， 原点到直线的距离为， 令代入圆方程得或， ， 满足题意. 此时方程为 ②当斜率存在时，设直线l的方程为， 圆心到直线l的距离， 原点O到直线l的距离， 整理，得，此时k无解． 综上所述，所求的直线的方程为 67．（2024高二·全国·课后作业）已知圆．求证：对任意不等于的实数，方程是通过两个已知圆交点的圆的方程． 【答案】证明见解析 【分析】首先判断圆、圆的交点坐标一定在目标方程上，再将目标方程化为圆的标准形式，结合圆的性质判断是否为圆即可. 【详解】若是圆、圆的交点坐标，则且， 所以必在上， 又， 所以，则在时，方程表示圆， 综上，对任意不等于的实数，方程是通过两个已知圆交点的圆的方程． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$