精品解析：山东省德州市德城区德州市第九中学2022-2023学年九年级下学期3月月考数学试题

2022-2023年第二学期单元测试 九年级数学学科 一、选择题（本大题共12小题，每小题4分．共48分） 1. ﹣的相反数是（　　） A. ﹣ B. ﹣ C. D. 2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 2023年春节期贺岁片《满江红》火爆出圈，据电影统计消息， 截至2月2日10：00，上映仅14天，电影票房便已突破亿元，将数据亿用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，一束光线先后经平面镜，反射后，反射光线与平行，当时，的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示的几何体是由4个相同的小正方体组成的，它的左视图为（ ） A. B. C. D. 7. 在践行“安全在我心中，你我一起行动”主题手抄报评比活动中，共设置“交通安全、消防安全、饮食安全、防疫安全”四个主题内容，推荐两名学生参加评比，若他们每人从以上四个主题内容中随机选取一个，则两人恰好选中同一主题的概率是（　　） A. B. C. D. 8. 以下命题是假命题的是（ ） A. 的算术平方根是2 B. 有两边相等的三角形是等腰三角形 C. 一组数据：3，，1，1，2，4的中位数是1.5 D. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 9. 已知A(1，y1)，B(2，y2)两点在双曲线y上，且y1＞y2，则m的取值范围是（　　） A. m＜0 B. m＞0 C. m D. m 10. 将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A，B的读数分别为86°，30°，则∠ACB的度数是（　　） A. 28° B. 30° C. 36° D. 56° 11. 如图，在中，AB＝AC，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．若BC＝4，面积为10，则BM+MD长度的最小值为（　　） A. B. 3 C. 4 D. 5 12. 在平面直角坐标系中，等边如图放置，点A的坐标为，每一次将绕着点逆时针方向旋转，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到，第二次旋转后得到，…依次类推，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 13. 分解因式：2a2﹣ab＝_____． 14. 已知，满足等式，则___________． 15. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是________． 16. 如图，正方形的边长为2，O为对角线的交点，点E，F分别为的中点．以C为圆心，2为半径作圆弧，再分别以E，F为圆心，1为半径作圆弧，则图中阴影部分的面积为______． 17. 如图，有甲乙两座建筑物，从甲建筑物点处测得乙建筑物点的俯角为，点的俯角为，为两座建筑物的水平距离．已知乙建筑物的高度为，则甲建筑物的高度为________．（，，，结果保留整数）． 18. 如图，已知抛物线（为常数，）经过点，且对称轴为直线，有下列结论：①；②；③；④无论取何值，抛物线一定经过；⑤，其中正确结论是______． 三、解答题（本大题共7小题，共78分） 19. 化简求值：，其中与2，3构成三角形的三边，且为整数． 20. 今年是中国共产主义青年团成立100周年，某校组织学生观看庆祝大会实况并进行团史学习．现随机抽取部分学生进行团史知识竞赛，并将竞赛成绩（满分100分）进行整理（成绩得分用a表示），其中60≤a<70记为“较差”，70≤a<80记为“一般”，80≤a<90记为“良好”，90≤a≤100记为“优秀”，绘制了不完整的扇形统计图和频数分布直方图． 请根据统计图提供的信息，回答如下问题： （1）x=________，y=________，并将直方图补充完整； （2）已知90≤a≤100这组的具体成绩为93，94，99，91，100，94，96，98，则这8个数据的中位数是________，众数是________； （3）若该校共有1200人，估计该校学生对团史掌握程度达到优秀的人数； （4）本次知识竞赛超过95分的学生中有3名女生，1名男生，现从以上4人中随机抽取2人去参加全市的团史知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽中2名女生参加知识竞赛的概率． 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数在第一象限的图象交于和B两点，与x轴交于点C． （1）求反比例函数的解析式； （2）若点P在x轴上，且的面积为5，求点P的坐标． 22. 渠县是全国优质黄花主产地，某加工厂加工黄花的成本为30元/千克，根据市场调查发现，批发价定为48元/千克时，每天可销售500千克．为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，工厂采取降价措施．批发价每千克降低1元，每天销量可增加50千克． （1）写出工厂每天的利润元与降价元之间的函数关系．当降价2元时，工厂每天的利润为多少元？ （2）当降价多少元时，工厂每天的利润最大，最大为多少元？ （3）若工厂每天的利润要达到9750元，并让利于民，则定价应为多少元？ 23. 如图，是的直径，点在的延长线上，、是上的两点，，，延长交的延长线于点 （1）求证：是的切线； （2）求证： （3）若，，求弦的长. 24. 如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）概念理解：如图2，在四边形中，，，问四边形是垂美四边形吗？请说明理由； （2）性质探究：如图1，垂美四边形的对角线，交于点．猜想：与有什么关系？并证明你的猜想． （3）解决问题：如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连结，，．已知，，求的长． 25. 如图1，抛物线过点，点与y轴交于点C．在x轴上有一动点，过点E作直线轴，交抛物线于点M． （1）求抛物线的解析式及C点坐标； （2）当时，D是直线l上的点且在第一象限内，若是以为底角的等腰三角形，求点D的坐标； （3）如图2，连接并延长交y轴于点N，连接，设的面积为，的面积为，若，求m的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022-2023年第二学期单元测试 九年级数学学科 一、选择题（本大题共12小题，每小题4分．共48分） 1. ﹣的相反数是（　　） A. ﹣ B. ﹣ C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数． 【详解】解：的相反数是 故选C． 【点睛】本题考查了相反数，关键是在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数． 2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，根据如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，如果一个图形绕某一点旋转后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，解答本题即可． 【详解】解：A、该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； B、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； D、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 故选：A． 3. 2023年春节期贺岁片《满江红》火爆出圈，据电影统计消息， 截至2月2日10：00，上映仅14天，电影票房便已突破亿元，将数据亿用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数． 【详解】解：数据亿用科学记数法可表示为， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值． 4. 如图，一束光线先后经平面镜，反射后，反射光线与平行，当时，的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点B作，过点C作，与相交于点E；根据余角性质计算得；根据平行线性质，得，结合角平分线性质，计算得；再根据余角性质计算，即可得到答案． 【详解】如下图，过点B作，过点C作，与相交于点E ∵， ∴ ∴ ∵与平行 ∴ ∵， ∴ ∴ 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线、角平分线、垂线、余角的知识；解题的关键是熟练掌握平行线的性质，从而完成求解． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的性质和运算法则，负整数指数幂，积的乘方法则，逐一判断选项，即可． 【详解】解：A. ，不能合并，故该选项错误， B. ，故该选项错误， C. ，故该选项正确， D. ，故该选项错误， 故选C． 【点睛】本题主要考查二次根式的性质和运算，负整数指数幂，积的乘方法则，熟练掌握上述性质和法则，是解题的关键． 6. 如图所示的几何体是由4个相同的小正方体组成的，它的左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体左面看所得到的图形．画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图． 【详解】解：从物体左面看，是左边一列2个正方形，右边下面1个正方形，其左视图为： 故选：A． 7. 在践行“安全在我心中，你我一起行动”主题手抄报评比活动中，共设置“交通安全、消防安全、饮食安全、防疫安全”四个主题内容，推荐两名学生参加评比，若他们每人从以上四个主题内容中随机选取一个，则两人恰好选中同一主题的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设“交通安全、消防安全、饮食安全、防疫安全”四个主题内容分别为A、B、C、D，画出树状图进行求解即可． 【详解】解：设“交通安全、消防安全、饮食安全、防疫安全”四个主题内容分别为A、B、C、D，画树状图如下： 共有16种等可能的结果，两人恰好选中同一主题的结果有4种， 则两人恰好选中同一主题的概率为． 故选：D． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法求概率，读懂题意，画出树状图是解题的关键． 8. 以下命题是假命题的是（ ） A. 的算术平方根是2 B. 有两边相等的三角形是等腰三角形 C. 一组数据：3，，1，1，2，4的中位数是1.5 D. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】A 【解析】 【分析】根据所学知识对命题进行判断，得出真假即可． 【详解】解：A，的算术平方根是，命题为假命题，符合题意； B，有两边相等的三角形是等腰三角形，命题为真命题，不符合题意； C，一组数据：3，，1，1，2，4的中位数是，命题为真命题，不符合题意； D，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，命题为真命题，不符合题意， 故选：A． 【点睛】本题考查了命题的真假，解题的关键是：要结合所学知识对选项逐一判断，需要对基本知识点掌握牢固． 9. 已知A(1，y1)，B(2，y2)两点在双曲线y上，且y1＞y2，则m的取值范围是（　　） A. m＜0 B. m＞0 C. m D. m 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知得，从而得出的取值范围． 【详解】解：点，两点在双曲线上，且， ， ， 的取值范围是， 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大． 10. 将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A，B的读数分别为86°，30°，则∠ACB的度数是（　　） A. 28° B. 30° C. 36° D. 56° 【答案】A 【解析】 【分析】设半圆圆心为O，连OA，OB，则∠AOB＝86°−30°＝56°，根据圆周角定理得∠ACB＝∠AOB，即可得到∠ACB的大小． 【详解】设半圆圆心为O，连OA，OB，如图， ∵∠AOB＝86°−30°＝56°， ∴∠ACB＝∠AOB＝×56°＝28°． 故选A． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 11. 如图，在中，AB＝AC，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．若BC＝4，面积为10，则BM+MD长度的最小值为（　　） A. B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】由基本作图得到得EF垂直平分AB，则MB＝MA，所以BM+MD＝MA+MD，连接MA、DA，如图，利用两点之间线段最短可判断MA+MD的最小值为AD，再利用等腰三角形的性质得到AD⊥BC，然后利用三角形面积公式计算出AD即可． 【详解】解：由作法得EF垂直平分AB， ∴MB＝MA， ∴BM+MD＝MA+MD， 连接MA、DA，如图， ∵MA+MD≥AD（当且仅当M点在AD上时取等号）， ∴MA+MD的最小值为AD， ∵AB＝AC，D点为BC的中点， ∴AD⊥BC， ∵ ∴ ∴BM+MD长度的最小值为5． 故选：D． 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，利用轴对称求线段和的最小值，三角形的面积，两点之间，线段最短，掌握以上知识是解题的关键． 12. 在平面直角坐标系中，等边如图放置，点A的坐标为，每一次将绕着点逆时针方向旋转，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到，第二次旋转后得到，…依次类推，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查坐标规律变化，旋转变换，等边三角形性质，解直角三角形的相关计算，根据题意可知，每旋转6次，A的对应点又回到x轴正半轴，故在第四象限，且，画出示意图，即可得到答案． 【详解】解：由已知可得： 第一次旋转后，在第一象限，， 第二次旋转后，在第二象限，， 第三次旋转后，在x轴负半轴，， 第四次旋转后，在第三象限，， 第五次旋转后，在第四象限，， 第六次旋转后，在x轴正半轴，， 如此循环，每旋转6次，A的对应点又回到x轴正半轴，而， 在第四象限，且，示意图如下： ，， ， 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 13. 分解因式：2a2﹣ab＝_____． 【答案】 【解析】 【分析】直接提取公因式a，进而得出答案． 【详解】解：2a2﹣ab＝a（2a﹣b）， 故答案为：a（2a﹣b）． 【点睛】本题考查因式分解的方法，熟练掌握提公因式法是解答本题的关键． 14. 已知，满足等式，则___________． 【答案】-3 【解析】 【分析】先将原式变形，求出a、b，再根据同底数幂的乘法、积的乘方的逆运算即可求解． 【详解】解：由，变形得， ∴， ∴， ∴． 故答案为：-3 【点睛】本题考查了完全平方公式，平方、算术平方根的非负性，同底数幂的乘法、积的乘方的逆用等知识，根据题意求出a、b的值，熟知同底数幂的乘法、积的乘方是解题关键． 15. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查根据一元二次方程根的情况求参数，正确理解题意是解题的关键．根据方程根的情况可得，又进而可求解； 【详解】解∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，且， ∴且， ∴m的取值范围是且． 故答案为：且． 16. 如图，正方形的边长为2，O为对角线的交点，点E，F分别为的中点．以C为圆心，2为半径作圆弧，再分别以E，F为圆心，1为半径作圆弧，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据阴影部分形状为不规则图形，连接，将阴影部分面积转化可得阴影部分面积等于扇形面积减去三角形面积即可． 【详解】解：连接，如图， 正方形的边长为2，O为对角线的交点， 由题意可得：经过点O，且， 点E，F分别为的中点， ， ，， 弓形的面积=弓形的面积， 阴影部分的面积等于弓形的面积， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了计算不规则图形面积，作出辅助线，利用扇形面积公式及三角形面积公式求解是解题关键． 17. 如图，有甲乙两座建筑物，从甲建筑物点处测得乙建筑物点的俯角为，点的俯角为，为两座建筑物的水平距离．已知乙建筑物的高度为，则甲建筑物的高度为________．（，，，结果保留整数）． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，则，，，在中，，设，则，，，在中，，解得，进而可得出答案． 【详解】解：如图，过点作于点，设， 根据题意可得：，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵从甲建筑物点处测得乙建筑物点的俯角为，点的俯角为，为两座建筑物的水平距离，乙建筑物的高度为， ∴，，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中， 即， ∴ 解得， 经检验是原分式方程的解且符合题意， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用一仰角俯角问题，涉及到锐角三角函数，矩形的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余，分式方程等知识．熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键． 18. 如图，已知抛物线（为常数，）经过点，且对称轴为直线，有下列结论：①；②；③；④无论取何值，抛物线一定经过；⑤，其中正确结论是______． 【答案】①③④⑤ 【解析】 【分析】根据抛物线与轴交在负半轴上可知①正确，再根据抛物线的对称轴为直线可知②不正确，利用抛物线（为常数，）经过点可知③正确，根据二次函数的图象及性质可知④⑤正确． 【详解】解：①∵抛物线的对称轴为直线，即对称轴在轴的右侧， ∴， ∵抛物线与轴交在负半轴上，， ∴， 故①正确； ②∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， 故②不正确； ③∵抛物线（为常数，）经过点， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故③正确； ④∵， ∴， ∴， ∴当，无论取何值，抛物线一定经过， 故④正确； ⑤∵， ∴， ∵， ∴， 即， 故⑤正确： 本题正确的有：①③④⑤, 故答案为①③④⑤； 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的对称轴，二次函数与轴的交点，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 三、解答题（本大题共7小题，共78分） 19. 化简求值：，其中与2，3构成三角形的三边，且为整数． 【答案】，-2 【解析】 【分析】先根据分式的混合运算法则进行化简，再根据三角形三边关系确定a的取值范围，把不合题意的a的值舍去，最后代入求值即可求解． 【详解】解：原式； ∵2，3，a为三角形的三边， ∴， ∴， ∵为整数， ∴，3或4， 由原分式得，， ∴且， ∴， ∴原式=． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，正确进行分式的化简是解题关键，在把a的值代入求值是要注意所求的a的值保证原分式有意义． 20. 今年是中国共产主义青年团成立100周年，某校组织学生观看庆祝大会实况并进行团史学习．现随机抽取部分学生进行团史知识竞赛，并将竞赛成绩（满分100分）进行整理（成绩得分用a表示），其中60≤a<70记为“较差”，70≤a<80记为“一般”，80≤a<90记为“良好”，90≤a≤100记为“优秀”，绘制了不完整的扇形统计图和频数分布直方图． 请根据统计图提供的信息，回答如下问题： （1）x=________，y=________，并将直方图补充完整； （2）已知90≤a≤100这组的具体成绩为93，94，99，91，100，94，96，98，则这8个数据的中位数是________，众数是________； （3）若该校共有1200人，估计该校学生对团史掌握程度达到优秀的人数； （4）本次知识竞赛超过95分的学生中有3名女生，1名男生，现从以上4人中随机抽取2人去参加全市的团史知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽中2名女生参加知识竞赛的概率． 【答案】（1）30%，16%， 补全图形如下： （2）95、94 （3）192人 （4） 【解析】 【分析】（1）先求出被调查的总人数，继而可求得y、x的值； （2）将数据重新排列，再根据中位数和众数的概念求解即可； （3）用总人数乘以样本中优秀人数所占百分比即可； （4）画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：被调查的总人数为4÷8%=50（人）， ∴优秀对应的百分比， 则一般对应的人数为50-（4+23+8）=15（人）， ∴其对应的百分比， 故答案为：30%，16%． 【小问2详解】 解：将这组数据重新排列为91，93，94，94，96，98，99，100， 所以其中位数为，出现次数最多的是94，故众数为94， 故答案为：95，94； 【小问3详解】 解：估计该校学生对团史掌握程度达到优秀的人数为1200×16%=192（人）； 答：估计该校学生对团史掌握程度达到优秀的人数为192人 ． 【小问4详解】 解：画树状图为： 共有12种等可能情况，其中被抽取的2人恰好是女生的有6种结果， 所以恰好抽中2名女生参加知识竞赛的概率为． 【点睛】此题考查了用列表法或树状图法求概率、频数分布直方图、扇形统计图、众数、中位数、用样本估计总体等知识，数形结合与用列表法或树状图法求概率是解题的关键． 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数在第一象限的图象交于和B两点，与x轴交于点C． （1）求反比例函数的解析式； （2）若点P在x轴上，且的面积为5，求点P的坐标． 【答案】（1） （2）P的坐标为或 【解析】 【分析】（1）利用点A在上求a，进而代入反比例函数求k即可； （2）设，求得C点的坐标，则，然后根据三角形面积公式列出方程，解方程即可． 【详解】（1）把点代入，得， ∴ 把代入反比例函数， ∴； ∴反比例函数的表达式为； （2）∵一次函数的图象与x轴交于点C， ∴， 设， ∴， ∴， ∴或， ∴P的坐标为或． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，用待定系数法求出反比例函数的解析式等知识点，能用待定系数法求出反比例函数的解析式是解此题的关键． 22. 渠县是全国优质黄花主产地，某加工厂加工黄花的成本为30元/千克，根据市场调查发现，批发价定为48元/千克时，每天可销售500千克．为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，工厂采取降价措施．批发价每千克降低1元，每天销量可增加50千克． （1）写出工厂每天的利润元与降价元之间的函数关系．当降价2元时，工厂每天的利润为多少元？ （2）当降价多少元时，工厂每天的利润最大，最大为多少元？ （3）若工厂每天的利润要达到9750元，并让利于民，则定价应为多少元？ 【答案】（1），9600；（2）降价4元，最大利润为9800元；（3）43 【解析】 【分析】（1）若降价元，则每天销量可增加千克，根据利润公式求解并整理即可得到解析式，然后代入求出对应函数值即可； （2）将（1）中的解析式整理为顶点式，然后利用二次函数的性质求解即可； （3）令可解出对应的的值，然后根据“让利于民”的原则选择合适的的值即可． 【详解】（1）若降价元，则每天销量可增加千克， ∴， 整理得：， 当时，， ∴每天的利润为9600元； （2）， ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为9800， ∴降价4元，利润最大，最大利润为9800元； （3）令，得：， 解得：，， ∵要让利于民， ∴，（元） ∴定价为43元． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用，弄清数量关系，准确求出函数解析式并熟练掌握二次函数的性质是解题关键． 23. 如图，是的直径，点在的延长线上，、是上的两点，，，延长交的延长线于点 （1）求证：是的切线； （2）求证： （3）若，，求弦的长. 【答案】（1）证明：连， ∵， ∴， 又，， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ， ∴，且过半径的外端点， ∴是的切线； （2）证明：在和中，， ，为公共边， ∴， ∴，又， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）连接OC，可证得∠CAD=∠BCD，由∠CAD+∠ABC=90°，可得出∠OCD=90°，即结论得证； （2）证明△ABC≌△AFC可得CB=CF，又CB=CE，则CE=CF； （3）证明△CBD∽△DCA，可求出DA的长，求出AB长，设BC=a，AC=a，则由勾股定理可得AC的长． 【详解】（1）略 （2）略 （3）∵∠BCD=∠CAD，∠ADC=∠CDB， ∴△CBD∽△DCA， ∴， ∴， ∴DA=2， ∴AB=AD-BD=2-1=1， 设BC=a，AC=a，由勾股定理可得：a2+(a)2＝12， 解得：a=， ∴AC＝． 【点睛】本题考查切线的判定、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线． 24. 如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）概念理解：如图2，在四边形中，，，问四边形是垂美四边形吗？请说明理由； （2）性质探究：如图1，垂美四边形的对角线，交于点．猜想：与有什么关系？并证明你的猜想． （3）解决问题：如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连结，，．已知，，求的长． 【答案】 （1）四边形是垂美四边形，理由如下： 如图，连接， ∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴直线是线段的垂直平分线，即， ∴四边形是垂美四边形； （2）猜想，证明如下： ∵四边形是垂美四边形， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ， ∴； （3）． 【解析】 【分析】（1）连接，先根据线段垂直平分线的判定定理可证直线是线段的垂直平分线，再根据垂美四边形的定义即可得证； （2）先根据垂美四边形的定义可得，再利用勾股定理解答即可； （3）设分别交于点，交于点，连接，先证明，得到，再根据角的和差可证，即，从而可得四边形是垂美四边形，然后结合（2）的结论、利用勾股定理进行计算即可得． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）如图，设分别交于点，交于点，连接， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，即， ∴四边形是垂美四边形， 由（2）得：， ∵是的斜边，且，， ∴，， 在中，， 在中，， ∴， 解得或（不符题意，舍去）， 故的长为． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定定理与性质、线段垂直平分线的判定、勾股定理等知识点，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题关键． 25. 如图1，抛物线过点，点与y轴交于点C．在x轴上有一动点，过点E作直线轴，交抛物线于点M． （1）求抛物线的解析式及C点坐标； （2）当时，D是直线l上的点且在第一象限内，若是以为底角的等腰三角形，求点D的坐标； （3）如图2，连接并延长交y轴于点N，连接，设的面积为，的面积为，若，求m的值． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、等腰三角形的性质、两点间距离公式等，其中（2），要注意分类求解，避免遗漏． （1）用待定系数法即可求解； （2）若是以为底角的等腰三角形，先设点D的坐标为，通过两点间距离公式表示三边，分或两种情况建立方程求解即可； （3）先求出故直线的表达式为，则点，则，再根据，即可求解． 【小问1详解】 解：将点A、B的坐标代入抛物线表达式得， 解得， 故抛物线的表达式为， 当时，，故点； 【小问2详解】 解：当时，点，设点D的坐标为， 由点A、C、D的坐标得， ， 同理可得： ， ， ①当时，即， ∴，解得； ②当时，即， ∴ 同理可得（舍去负值）； 故点D的坐标为或； 【小问3详解】 ∵，轴 点， 设直线的表达式为， 则， 解得：， 故直线的表达式为， 当时，，故点，则； ， ， ∵， ∴ ∴ ∵， ， 整理得： 解得（舍去负值）， 故． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $