精品解析：山东省德州市武城县第二中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题

高二上学期数学开学考试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，向量，且⊥，则（ ） A. 3 B. 5 C. 9 D. 25 3. 某校在五四青年节举行了班班有歌声比赛.现从该校随机抽取20个班级的比赛成绩，得到以下数据，由此可得这20个比赛成绩的第80百分位数是（ ） 比赛成绩 6 7 8 9 10 班级数 3 5 4 4 4 A. 8.5 B. 9 C. 9.5 D. 10 4. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 已知一个圆台的上底面半径为1，下底面半径为4，高为4，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 一个不透明的盒子中装有大小、材质均相同的四个球，其中有两个红球和两个黄球，现从盒子中一次性随机摸取两个球，则这两球不同色的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 在平行四边形中，，，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 8. 在三角形中，内角的对边分别为，，，已知，，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分． 9. 已知，则下列正确的是（ ） A. B. 在复平面内所对应的点在第二象限 C. D. 10. 在中，角的对边分别是，若，，则（ ） A. B. C. D. 的面积为 11. 如图，在三棱柱中，已知点，分别在，上，且与共面，点，分别是，的中点，且平面平面，下列结论正确的是（ ） A. B. 平面 C. D. 平面平面 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知事件A和B互斥，且，，则______. 13. 已知在中，内角的对边分别为，若，则的面积为_______． 14. 在中，为中点，若，则实数的值为______________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 已知两组各有5位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下： 组：10，11，12，13，14， 组：12，13，15，14，． 假设所有病人的康复时间相互独立，从两组随机各选1人，组选出的人记为甲，组选出的人记为乙． （1）如果，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率； （2）如果，事件：“甲康复时间为11天”，事件：“甲乙康复时间之和为25天”，事件是否相互独立？ 16. 如图，在三棱柱中，平面． （1）证明：平面平面； （2）设，求四棱锥的高． 17. 某中学高一年级举行了一次数学竞赛，从中随机抽取了一批学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于50至100之间，将数据按照，，，，的分组作出频率分布直方图如图所示. （1）求频率分布直方图中a的值，并估计本次竞赛成绩的中位数和平均数； （2）若按照分层随机抽样从成绩在的两组中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求至少有1人的成绩在内的概率. 18. 在①，②外接圆面积为，这两个条件中任选一个，补充在下面横线上，并作答. 在锐角中，，，的对边分别为，，，若，且______. （1）求； （2）若的面积为，求的周长. 19. 如图，在直角梯形ABCD中，，，，，，边AD上一点E满足，现将沿BE折起到的位置，使平面平面BCDE，如图所示. （1）在棱上是否存在点F，使直线平面，若存在，求出，若不存在，请说明理由； （2）求二面角的平面角的正切值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二上学期数学开学考试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】整理可得，结合复数的模长公式运算求解. 【详解】由题意可得：， 所以． 故选：C． 2. 设，向量，且⊥，则（ ） A. 3 B. 5 C. 9 D. 25 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量垂直得到方程，求出，进而得到，求出模长. 【详解】由题意得，解得， 故， 所以. 故选：B 3. 某校在五四青年节举行了班班有歌声比赛.现从该校随机抽取20个班级的比赛成绩，得到以下数据，由此可得这20个比赛成绩的第80百分位数是（ ） 比赛成绩 6 7 8 9 10 班级数 3 5 4 4 4 A. 8.5 B. 9 C. 9.5 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】根据百分位数的定义和求解步骤直接计算求解即可. 【详解】因为， 所以由表格数据可知这20个比赛成绩的第80百分位数是. 故选：C. 4. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】运用线面垂直平行的定理，结合长方体模型举反例即可判断. 【详解】对于A，如图，，此时，故A错误； 对于B，若，面内可以找一条直线，使得； 而，与内任意一条直线都垂直，则，则.故B正确； 对于C， 如图，，此时，故C错误； 对于D， 如图，，此时，故D错误． 故选：B. 5. 已知一个圆台的上底面半径为1，下底面半径为4，高为4，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆台的体积公式计算得出结果 【详解】该圆台的体积. 故选：C. 6. 一个不透明的盒子中装有大小、材质均相同的四个球，其中有两个红球和两个黄球，现从盒子中一次性随机摸取两个球，则这两球不同色的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】借助列举法，找出所有情况及符合要求的情况后计算即可得. 【详解】将两个红球编号为1，2，两个黄球编号为3，4， 一次性随机摸取两个球的情况有，，，，，，共6种， 其中两球不同色的情况有，，，，共4种， 故两球不同色的概率为. 故选：D. 7. 在平行四边形中，，，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的加减运算及数乘运算可得，从而得解. 【详解】， ， ， ， ， ，，． 故选：D． 8. 在三角形中，内角的对边分别为，，，已知，，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由正弦定理和辅助角公式得到，结合余弦定理得到，利用三角形面积公式求出答案. 【详解】，由正弦定理得， 因为，所以， 故，即，故， 因为，所以， 故，解得， 由余弦定理得，即， 因为，，所以，解得， . 故选：B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分． 9. 已知，则下列正确的是（ ） A. B. 在复平面内所对应的点在第二象限 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用复数乘方运算，结合复数模、共轭复数的意义及复数的几何意义判断即可. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，在复平面内对应的点在第三象限，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，由选项C知，，则，即，因此，D错误. 故选：AC 10. 在中，角的对边分别是，若，，则（ ） A. B. C. D. 的面积为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据及余弦定理可判断A；根据及正弦定理可判断B；由的值及同角三角函数的基本关系可求，，根据正弦定理求出，代入求出可判断C；根据三角形面积公式可判断D. 【详解】由余弦定理可得，解得，故A正确； 由及正弦定理，可得, 化简可得. 因为，所以，所以，即. 因为，所以，故B错误； 因为，所以且，代入， 可得，解得，. 因为，，， 所以由正弦定理可得， 由，可得， 化简可得，解得或（舍），故C正确； . 故选:AC. 11. 如图，在三棱柱中，已知点，分别在，上，且与共面，点，分别是，的中点，且平面平面，下列结论正确的是（ ） A. B. 平面 C. D. 平面平面 【答案】AB 【解析】 【分析】由三棱柱性质和面面平行性质可知A正确；利用线面平行判定定理可得B正确；由重心分边长比例可得C正确；易知平面与平面相交，即D正确. 【详解】由三棱柱性质可知平面平面，又平面平面，平面平面， 由面面平行的性质可知； 又点，分别是，的中点，可知，即可得，所以A正确； 由，平面，平面，所以平面，即B正确； 平面平面，平面分别与两平面交于，所以 又,所以为平行四边形，所以，所以，所以，可知C错误； 因为四点共面，且易知与相交，所以平面与平面相交，因此D错误； 故选：AB 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知事件A和B互斥，且，，则______. 【答案】0.4## 【解析】 【分析】根据互斥事件及对立事件的概率相关知识进行求解. 【详解】∵事件A和B互斥，∴， 又，∴， ∴. 故答案为：0.4. 13. 已知在中，内角的对边分别为，若，则的面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用余弦定理解得，结合面积公式运算求解. 【详解】由余弦定理可得，即， 整理可得，解得（舍负），则， 所以的面积为． 故答案为：. 14. 在中，为中点，若，则实数的值为______________． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量加法和减法法则进行化简，利用向量数量积公式建立方程进行求解即可． 【详解】，，， ， 为中点， ， ， ， ， 即， 即，得，得． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 已知两组各有5位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下： 组：10，11，12，13，14， 组：12，13，15，14，． 假设所有病人的康复时间相互独立，从两组随机各选1人，组选出的人记为甲，组选出的人记为乙． （1）如果，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率； （2）如果，事件：“甲康复时间为11天”，事件：“甲乙康复时间之和为25天”，事件是否相互独立？ 【答案】（1） （2）不相互独立 【解析】 【分析】（1）列举符合条件的基本事件，即可由古典概型的概率公式求解， （2）分别求解,即可根据相互独立事件满足的关系求解. 【小问1详解】 如果，从两组随机各选1人，样本空间，，共有25种， 甲的康复时间比乙的康复时间长的情况有，共有8种， 所以概率为； 【小问2详解】 当时，，事件的情况有，共4种 所以 事件：“甲康复时间为11天且甲乙康复时间和为25天”的情况为． 故 所以事件不相互独立． 16. 如图，在三棱柱中，平面． （1）证明：平面平面； （2）设，求四棱锥的高． 【答案】（1）证明：因为平面，平面, 所以, 又因为，即， 平面，, 所以平面， 又因为平面, 所以平面平面. （2） 【解析】 【分析】(1)由平面得，又因为，可证平面，从而证得平面平面； (2) 过点作，可证四棱锥的高为,由三角形全等可证，从而证得为中点，设，由勾股定理可求出，再由勾股定理即可求. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图， 过点作，垂足为. 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 所以四棱锥的高为. 因为平面，平面, 所以,, 又因为，为公共边， 所以与全等，所以. 设，则， 所以为中点，, 又因为,所以, 即，解得， 所以， 所以四棱锥的高为． 17. 某中学高一年级举行了一次数学竞赛，从中随机抽取了一批学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于50至100之间，将数据按照，，，，的分组作出频率分布直方图如图所示. （1）求频率分布直方图中a的值，并估计本次竞赛成绩的中位数和平均数； （2）若按照分层随机抽样从成绩在的两组中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求至少有1人的成绩在内的概率. 【答案】（1），中位数约为，平均数约为75； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图所有小矩形面积之和等于 求出a的值，再估计中位数和平均数. （2）求出抽取的6人中在的人数，再利用列举法结合古典概率求解即得. 【小问1详解】 由频率分布直方图，得，解得， 成绩在的频率依次为， 显然本次竞赛成绩的中位数，则，解得， 本次竞赛成绩的平均数为， 所以，中位数约为，平均数约为75. 【小问2详解】 由（1）知，成绩在，的频率之比为， 则在中随机抽取人，记为1，2，3，4，在中随机抽取人，记为a，b， 从6人中随机抽取2人的样本空间为，共15个样本点， 设事件“至少有1人的成绩在内”，则，有9个样本点， 因此， 所以至少有1人的成绩在内的概率. 18. 在①，②外接圆面积为，这两个条件中任选一个，补充在下面横线上，并作答. 在锐角中，，，的对边分别为，，，若，且______. （1）求； （2）若的面积为，求的周长. 【答案】（1） （2）8 【解析】 【分析】（1）选①或选②都可借助正弦定理得到，即可得； （2）借助余弦定理与三角形面积公式计算即可得. 【小问1详解】 由得， 若选①： 由正弦定理得， 所以，则，又因为，故； 若选②： 外接圆半径，由正弦定理， 所以，则，又因为，故； 【小问2详解】 由（1）知，所以， 因为的面积为，所以， 所以， 因为，所以， 由余弦定理得，， 所以，所以， 所以，所以的周长为8. 19. 如图，在直角梯形ABCD中，，，，，，边AD上一点E满足，现将沿BE折起到的位置，使平面平面BCDE，如图所示. （1）在棱上是否存在点F，使直线平面，若存在，求出，若不存在，请说明理由； （2）求二面角的平面角的正切值. 【答案】（1）存在， （2）2 【解析】 【分析】（1）设的中点为N，证得四边形DENF是平行四边形，得到，得出平面，进而得到结论； （2）连接CE，取BE中点O，作于M，证得，得到为二面角的平面角，在直角中，即可求解． 【小问1详解】 解：当F是AC的中点时，直线平面. 证明如下： 设的中点为N，连接EN，FN， 因为，，且，， 所以且，所以四边形DENF是平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 所以存在点F，使平面，且. 【小问2详解】 解：在平面图形中，连接CE，则，， 所以， 如图所示，取BE中点O，连接，则， 因为平面，平面平面，且平面平面， 所以平面，又因为平面，所以 作于M，连接， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以， 所以为二面角的平面角， 在直角中，，，可得， 故二面角的平面角的正切值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $