精品解析：山东省济宁第二中学2025-2026学年高二上学期开学考试数学试题

2025-2026学年济宁二中高二上学期开学收心考 数学试题 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意列不等式组求解 【详解】由题意得，解得且， 故选：D 2. 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将所求式子化为，利用两角和差余弦公式可求得结果. 【详解】原式. 故选：C. 3. 复数，则的虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的除法运算化简复数，由共轭复数的定义即可求解. 【详解】由得，所以，故的虚部为为 ， 故选：C 4. 已知，，，则（ ） A. －1 B. 1 C. 3 D. －3 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量线性运算的坐标表示和向量数量积的坐标运算求解. 【详解】已知，，则有， 又，所以，即. 故选：D. 5. 已知角的终边在直线上，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由三角函数的定义求出，把利用诱导公式化简后直接得到答案. 【详解】因为角的终边在直线上，所以，所以 . 故选：C 6. 已知函数，若值域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式、的值域、的图象来求得的取值范围. 详解】当时，， 值域为当时，由，得， 由，得，解得或， 作出的图象如下图所示， 由图象可得：，即实数的取值范围是. 故选：C. 7. 由正弦二倍角公式，我们发现一个有趣事实. 同理，由此请计算（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用诱导公式化目标式为，结合已知及诱导公式化简求值. 【详解】由，，原式可化为， 由，故. 故选：C 8. 在平面直角坐标系中，角的顶点为，始边与轴正半轴重合，终边过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数的定义，求得，，再利用两角和的正弦公式，即可求解． 【详解】根据三角函数的定义，可得，， 又由. 故选：D． 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 如图，在等边三角形中，.动点从点出发，沿着此三角形三边逆时针运动回到点，记运动的路程为，点到此三角形中心距离的平方为，给出下列结论正确的有（ ） A. 函数的最大值为12； B. 函数的最小值为6； C. 关于的方程最多有6个实数根； D. 当时能取得最大值. 【答案】AC 【解析】 【分析】写出分别在上运动时的函数解析式，利用分段函数图象可解. 【详解】分别在上运动时的函数解析式，， 分别在上运动时的函数解析式，， 分别在上运动时的函数解析式，， ， 由图象可得，方程最多有6个实数根，函数的最大值为12，最小值为3，当时能取得最小值 故选：AC. 10. 已知角θ的终边经过点，且θ与α的终边关于x轴对称，则（ ） A. B. α为钝角 C. D. 点(tan θ，tan α)在第四象限 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据角θ的终边经过点，且θ与α的终边关于x轴对称，先算出和，进而逐个选项判断即可 【详解】角θ的终边经过点，，A正确． θ与α的终边关于x轴对称，由题意得α的终边经过点，α为第二象限角，不一定为钝角，，B错误，C正确． 因为tan θ=>0，，所以点(tan θ，tan α)在第四象限，D正确． 故选：ACD 11. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 在上单调递增 C. 的图象向左平移个单位长度后关于原点对称 D. 的图象的对称轴方程为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据三角函数的最小正周期、单调性、图象变换、对称轴等知识对选项进行分析，从而确定正确选项. 【详解】A：，A正确； B：，，所以在上不单调，所以B错误； C：的图象向左平移个单位长度得到： ，为奇函数，C正确. D：由，得，D正确. 故选：ACD 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 复数（为虚数单位），则的共轭复数为_________. 【答案】 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简得，再由共轭复数的定义得答案． 【详解】解：， ∴的共轭复数. 故答案为：. 13. 一艘客船在处测得灯塔在它的北偏东,在处测得灯塔在它的北偏西,距离为n mile.客船由处向正北航行n mile到达处,再看灯塔在它的南偏东,则______n mile;设灯塔在处的南偏西度,则______. 【答案】 ①. 36 ②. 60 【解析】 【分析】根据题意画出草图,在中由正弦定理得长度,在中,由余弦定理,得长度,发现在中符合勾股定理,从而得到值. 【详解】解:由题意画草图如下: 在中,由已知得,, 则,. 由正弦定理,得, 在中,由余弦定理, 得 即, , ,从而, 所以灯塔在处的南偏西. 故答案为: 14. 在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为正方体内部及其表面上的一动点，且，则满足条件的所有点构成的平面图形的周长等于________. 【答案】 【解析】 【分析】分别取的中点E，N，M，G，F，易证平面，则，从而，同理，由线面垂直判定定理得到平面，进而得到所有点构成的平面图形为正六边形求解. 【详解】如图所示： 分别取的中点E，N，M，G，F， 则，易知，，又， 所以平面， 则，所以， 同理 ，又， 所以平面， 即所有点构成的平面图形为正六边形， 因为正方体的棱长为1， 所以正六边形的边长为， 所以正六边形周长为， 故答案为： 四、解答题 15. 已知满足 ，且时， （1）判断的单调性并证明； （2）证明：； （3）若，解不等式． 【答案】（1）减函数，证明见解析 （2）证明见解析 （3）或． 【解析】 【分析】（1）利用函数的单调性定义证明；（2）采用赋值法探索与之间的关系；（3）利用单调性及特殊点的函数值解不等式即可. 【小问1详解】 是上的减函数，证明如下： 对任意且，则，所以； 又即，所以. 所以是上的减函数. 【小问2详解】 由，令，得； 再令可得； 即. 【小问3详解】 ，， ，即，又是上的减函数， 所以，解得：或， 所以不等式的解集为或. 16. 已知函数. (1) 证明在上是增函数； (2) 求在[1.2]上的最大值及最小值． 【答案】（1）见详解 （2）； 【解析】 【分析】（1）根据函数的单调性定义即可证明. （2）由（1）函数是增函数即可求解. 【详解】（1）在上任取，且 则 ， ，， ，即 ， 在上是增函数 （2）由（1）知：函数在上是增函数， 时，取得最小值 当时，取得最大值 . 【点睛】本题主要考查函数单调性的定义以及利用函数的单调性求最值，属于基础题. 17. 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN. 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】根据线面垂直判定定理可证AE⊥平面PCD，MN⊥平面PCD，则可得AE∥MN． 【详解】因为AB⊥平面PAD，AE⊂平面PAD，所以AE⊥AB， 又AB∥CD，所以AE⊥CD. 因为AD＝AP，E是PD的中点，所以AE⊥PD. 又CD∩PD＝D，CD，PD⊂平面PCD， 所以AE⊥平面PCD. 因为MN⊥AB，AB∥CD，所以MN⊥CD. 又因为MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD⊂平面PCD， 所以MN⊥平面PCD， 所以AE∥MN. 18. 已知函数. （1）求函数的单调递增区间； （2）若，其中，求的值. 【答案】（1）单调递增区间为；（2）. 【解析】 【分析】 （1）首先利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，再根据正弦函数的性质计算可得； （2）依题意可得，再利用同角三角函数的基本关系求出，则利用两角差的余弦公式计算可得； 【详解】解：（1）因为 所以. 令，得函数的单调递增区间为. （2）若，则，因为，所以，所以. . 【点睛】(1)给值求值问题一般是正用公式将所求“复角”展开，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入展开式即可． (2)通过求所求角某种三角函数值来求角，关键点在选取函数，常遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好． 19. 如图，在四棱锥中，平面，底面四边形是菱形，点是对角线与的交点，，，是的中点，连接． （1）证明：平面平面： （2）当三棱锥的体积等于时，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）. 【解析】 【分析】（1）根据题意，证明，得到平面，再由面面垂直的判定定理即可； （2）根据三棱锥的体积为，得，再求即可求的长. 【小问1详解】 由题意可知，底面四边形为菱形， 所以, 又因为平面， 且平面， 所以， 因为，平面， 所以平面， 又因为平面， 所以平面平面. 小问2详解】 因为三棱锥的体积为， 所以， 因为，且底面四边形为菱形， 所以，， 所以，即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年济宁二中高二上学期开学收心考 数学试题 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 2. 的值为（ ） A. B. C. D. 3. 复数，则的虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 4. 已知，，，则（ ） A. －1 B. 1 C 3 D. －3 5. 已知角的终边在直线上，则的值是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，若值域为，则实数取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 由正弦二倍角公式，我们发现一个有趣事实. 同理，由此请计算（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，角的顶点为，始边与轴正半轴重合，终边过点，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 如图，在等边三角形中，.动点从点出发，沿着此三角形三边逆时针运动回到点，记运动的路程为，点到此三角形中心距离的平方为，给出下列结论正确的有（ ） A. 函数的最大值为12； B. 函数的最小值为6； C. 关于方程最多有6个实数根； D. 当时能取得最大值. 10. 已知角θ的终边经过点，且θ与α的终边关于x轴对称，则（ ） A. B. α为钝角 C. D. 点(tan θ，tan α)在第四象限 11. 已知，则下列结论正确是（ ） A. 的最小正周期为 B. 在上单调递增 C. 的图象向左平移个单位长度后关于原点对称 D. 的图象的对称轴方程为 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 复数（为虚数单位），则的共轭复数为_________. 13. 一艘客船在处测得灯塔在它的北偏东,在处测得灯塔在它的北偏西,距离为n mile.客船由处向正北航行n mile到达处,再看灯塔在它的南偏东,则______n mile;设灯塔在处的南偏西度,则______. 14. 在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为正方体内部及其表面上的一动点，且，则满足条件的所有点构成的平面图形的周长等于________. 四、解答题 15. 已知满足 ，且时， （1）判断的单调性并证明； （2）证明：； （3）若，解不等式． 16. 已知函数. (1) 证明在上是增函数； (2) 求在[1.2]上的最大值及最小值． 17. 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN. 18. 已知函数. （1）求函数的单调递增区间； （2）若，其中，求的值. 19. 如图，在四棱锥中，平面，底面四边形是菱形，点是对角线与交点，，，是的中点，连接． （1）证明：平面平面： （2）当三棱锥的体积等于时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $