精品解析：2024年天津市中考模拟数学试题

2024年天津市九年级数学下学期4月模拟试题 考生须知： 1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上． 2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号． 3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效． 一、选择题（每题4分，共48分） 1. 下列命题正确的是(    ) A. 圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴 B. 平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 C. 相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等 D. 同弧或等弧所对的圆周角相等 2. 如图，函数的图象与轴的一个交点坐标为(3,0)，则另一交点的横坐标为（ ） A. ﹣4 B. ﹣3 C. ﹣2 D. ﹣1 3. 从一组数据1，2，2，3中任意取走一个数，剩下三个数不变的是（　　） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 4. 如图，边长为a，b的长方形的周长为14，面积为10，则a3b+ab3的值为( ) A. 35 B. 70 C. 140 D. 290 5. 将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线解析是（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 7. 一元二次方程4x2﹣3x+＝0根的情况是（　　） A. 没有实数根 B. 只有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 8. 下列方程中，是关于x的一元二次方程是(　　) A. B. x2+2x＝x2﹣1 C. ax2+bx+c＝0 D. 3(x+1)2＝2(x+1) 9. 如图，在正方形 中，点 是对角线的交点，过点 作射线分别交于点 ，且，交于点．给出下列结论：;；四边形的面积为正方形 面积的；．其中正确的是（　　） A. B. C. D. 10. 一个不透明的袋子中装有20个红球，2个黑球，1个白球，它们除颜色外都相同，若从中任意摸出1个球，则（ ） A. 摸出黑球的可能性最小 B. 不可能摸出白球 C. 一定能摸出红球 D. 摸出红球的可能性最大 11. 下列各组图形中，两个图形不一定是相似形的是（ ） A. 两个等边三角形 B. 有一个角是的两个等腰三角形 C. 两个矩形 D. 两个正方形 12. 我国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界一些国家的互利合作，根据规划“一带一路”地区覆盖总 人口为4400000000人，这个数用科学记数法表示为（ ） A. 4.4×108 B. 4.40×108 C. 4.4×109 D. 4.4×1010 二、填空题（每题4分，共24分） 13. 小刚要测量一旗杆的高度，他发现旗杆的影子恰好落在一栋楼上，如图，此时测得地面上的影长为8米，楼面上的影长为2米．同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则旗杆的高度为_______米． 14. 绕着A点旋转后得到，若，，则旋转角等于_____． 15. 在一个不透明的盒子中装有 个小球，它们只有颜色上的区别，其中有 个红球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定于，那么可以推算出 大约是______． 16. 如图，在反比例函数的图象上任取一点P，过P点分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为M，N，那么四边形PMON的面积为_____． 17. 如图，已知在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，P是线段AD上的一动点，连接PC，过点P作PE⊥PC交AB于点E．以CE为直径作⊙O，当点P从点A移动到点D时，对应点O也随之运动，则点O运动的路程长度为_____． 18. 已知一扇形，半径为6，圆心角为120°，则所对的弧长为___． 三、解答题（共78分） 19. 如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，BC＞AD，∠D＝90°，AC⊥BC，AB＝10cm，BC＝6cm，F点以2cm/秒的速度在线段AB上由A向B匀速运动，E点同时以1cm/秒的速度在线段BC上由B向C匀速运动，设运动时间为t秒（0＜t＜5）． （1）求证：△ACD∽△BAC； （2）求DC的长； （3）试探究：△BEF可以为等腰三角形吗？若能，求t的值；若不能，请说明理由． 20. 如图,直线y=x+3分别交 x轴、y轴于点A、C.点P是该直线与双曲线在第一象限内的一个交点,PB⊥x轴于B,且S△ABP=16. （1）求证:△AOC∽△ABP； （2）求点P的坐标； （3）设点Q与点P在同一个反比例函数的图象上,且点Q在直线PB的右侧,作QD⊥x轴于D,当△BQD与△AOC相似时,求点Q的横坐标. 21. 我区某校组织了一次“诗词大会”，张老师为了选拔本班学生参加，对本班全体学生诗词的掌握情况进行了调查，并将调查结果分为了三类：A：好，B：中，C：差．请根据图中信息，解答下列问题： （1）全班学生共有　 　人； （2）扇形统计图中，B类占的百分比为　 　%，C类占的百分比为　 　%； （3）将上面的条形统计图补充完整； （4）小明被选中参加了比赛．比赛中有一道必答题是：从下表所示的九宫格中选取七个字组成一句诗，其答案为“便引诗情到碧霄”．小明回答该问题时，对第四个字是选“情”还是选“青”，第七个字是选“霄”还是选“宵”，都难以抉择，若分别随机选择，请用列表或画树状图的方法求小明回答正确的概率． 情 到 碧 霄 诗 青 引 宵 便 22. 阅读材料：各类方程的解法 求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为的形式：求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为二元一次方程组来解；求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解：求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想一一转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为，解方程 和，可得方程的解．利用上述材料给你的启示，解下列方程； （1）； （2）． 23. 如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，AB＝12，四边形EFPQ是矩形，点P与点C重合，点Q、E、F分别在BC、AB、AC上（点E与点A、点B均不重合）． （1）当AE＝8时，求EF的长； （2）设AE＝x，矩形EFPQ的面积为y． ①求y与x的函数关系式； ②当x为何值时，y有最大值，最大值是多少？ （3）当矩形EFPQ的面积最大时，将矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线CB匀速向右运动（当点P到达点B时停止运动），设运动时间为t秒，矩形EFPQ与△ABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围． 24. 已知一个二次函数图象上部分点的横坐标 与纵坐标 的对应值如下表所示： ... ... ... ... （1）求这个二次函数的表达式； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； （3）结合图像，直接写出当时， 的取值范围． 25. 某年，猪肉价格不断上涨，主要是由非洲猪瘟疫情导致，非洲猪瘟疫情发病急，蔓延速度快，某养猪场第一天发现 头生猪发病，两天后发现共有头生猪发病． （1）求每头发病生猪平均每天传染多少头生猪？ （2）若疫情得不到有效控制，按照这样的传染速度， 天后生猪发病头数会超过头吗？ 26. 如图，某小区规划在一个长16m，宽9m的矩形场地ABCD上，修建同样宽的小路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草，若草坪部分总面积为112m2，求小路的宽． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年天津市九年级数学下学期4月模拟试题 考生须知： 1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上． 2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号． 3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效． 一、选择题（每题4分，共48分） 1. 下列命题正确的是(    ) A. 圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴 B. 平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 C. 相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等 D. 同弧或等弧所对的圆周角相等 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆的对称性、圆周角定理、垂径定理逐项判断即可． 【详解】解：A．圆是轴对称图形,它有无数条对称轴,其对称轴是直径所在的直线或过圆心的直线，此命题不正确； B． 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，此命题不正确； C． 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，此命题不正确； D． 同弧或等弧所对的圆周角相等，此命题正确； 故选：D． 【点睛】本题考查的知识点是圆的对称性、圆周角定理以及垂径定理，需注意的是对称轴是一条直线并非是线段，而圆的两条直径互相平分但不一定垂直． 2. 如图，函数的图象与轴的一个交点坐标为(3,0)，则另一交点的横坐标为（ ） A. ﹣4 B. ﹣3 C. ﹣2 D. ﹣1 【答案】D 【解析】 【分析】根据到函数对称轴距离相等的两个点所表示的函数值相等可求解． 【详解】根据题意可得：函数的对称轴直线x=1，则函数图像与x轴的另一个交点坐标为(－1，0)． 故横坐标为-1, 故选D 考点：二次函数的性质 3. 从一组数据1，2，2，3中任意取走一个数，剩下三个数不变的是（　　） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 【答案】C 【解析】 【分析】根据中位数的定义求解可得． 【详解】原来这组数据的中位数为＝2， 无论去掉哪个数据，剩余三个数的中位数仍然是2， 故选：C． 【点睛】此题考查数据平均数、众数、中位数方差的计算方法，掌握正确的计算方法才能解答. 4. 如图，边长为a，b的长方形的周长为14，面积为10，则a3b+ab3的值为( ) A. 35 B. 70 C. 140 D. 290 【答案】D 【解析】 【分析】由题意得，将所求式子化简后，代入即可得. 【详解】由题意得：，即 又 代入可得：原式 故选：D. 【点睛】本题考查了长方形的周长和面积公式、多项式的因式分解、以及完全平方公式，熟练掌握相关内容是解题的关键. 5. 将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线解析是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把配成顶点式，根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可． 【详解】解：将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线的解析式为： 故选：B 【点睛】考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减． 6. 如图所示几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据从左面看得到的图形是左视图，可得答案． 【详解】解：如图所示，几何体的左视图是： ． 故选：B． 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从左面看得到的图形是左视图． 7. 一元二次方程4x2﹣3x+＝0根的情况是（　　） A. 没有实数根 B. 只有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 【答案】D 【解析】 【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△＞0，由此即可得出原方程有两个不相等的实数根． 【详解】解：4x2﹣3x+＝0， 这里a＝4，b＝﹣3，c＝， b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×＝5＞0， 所以方程有两个不相等的实数根， 故选：D． 【点睛】本题考查的知识点是根据一元二次方程根的判别式来判断方程的解的情况，熟记公式是解此题的关键. 8. 下列方程中，是关于x的一元二次方程是(　　) A. B. x2+2x＝x2﹣1 C. ax2+bx+c＝0 D. 3(x+1)2＝2(x+1) 【答案】D 【解析】 【分析】利用一元二次方程的定义判断即可． 【详解】A、＝3不是整式方程，不符合题意； B、方程整理得：2x+1＝0，是一元一次方程，不符合题意； C、ax2+bx+c＝0没有条件a≠0，不一定是一元二次方程，不符合题意； D、3(x+1)2＝2(x+1)是一元二次方程，符合题意， 故选：D． 【点睛】此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键． 9. 如图，在正方形 中，点 是对角线的交点，过点 作射线分别交于点 ，且，交于点．给出下列结论：;；四边形的面积为正方形 面积的；．其中正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定（ASA）即可得到正确；根据相似三角形的判定可得正确；根据全等三角形的性质可得正确；根据相似三角形的性质和判定、勾股定理，即可得到答案. 【详解】解：四边形 是正方形， ，， ， ， ， 故正确； ， 点四点共圆， ∴， ∴， 故正确； ， ， ， 故正确； ， ，又， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又中，， ， ， 故错误， 故选 ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定（ASA）和性质、相似三角形的性质和判定、勾股定理，解题的关键是掌握全等三角形的判定（ASA）和性质、相似三角形的性质和判定. 10. 一个不透明的袋子中装有20个红球，2个黑球，1个白球，它们除颜色外都相同，若从中任意摸出1个球，则（ ） A. 摸出黑球的可能性最小 B. 不可能摸出白球 C. 一定能摸出红球 D. 摸出红球的可能性最大 【答案】D 【解析】 【分析】根据概率公式先分别求出摸出黑球、白球和红球的概率，再进行比较，即可得出答案． 【详解】解：∵不透明的袋子中装有20个红球，2个黑球，1个白球，共有23个球， ∴摸出黑球的概率是， 摸出白球的概率是， 摸出红球的概率是， ∵＜＜， ∴从中任意摸出1个球，摸出红球的可能性最大； 故选：D． 【点睛】本题考查了可能性大小的比较：只要总情况数目相同，谁包含的情况数目多，谁的可能性就大；反之也成立；若包含的情况相当，那么它们的可能性就相等． 11. 下列各组图形中，两个图形不一定是相似形的是（ ） A. 两个等边三角形 B. 有一个角是的两个等腰三角形 C. 两个矩形 D. 两个正方形 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似图形的定义，以及等边三角形，等腰三角形，矩形，正方形的性质对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、两个等边三角形，对应边的比相等，角都是60°，相等，所以一定相似，故A正确； B、有一个角是100°的两个等腰三角形，100°的角只能是顶角，夹顶角的两边成比例，所以一定相似，故B正确； C、两个矩形，四个角都是直角，但四条边不一定对应成比例，不一定相似，故C错误； D、两个正方形，对应边的比相等，角都是90°，相等，所以一定相似，故D正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了相似图形的判断，严格按照定义，对应边成比例，对应角相等进行判断即可，另外，熟悉等腰三角形，等边三角形，正方形的性质对解题也很关键． 12. 我国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界一些国家的互利合作，根据规划“一带一路”地区覆盖总 人口为4400000000人，这个数用科学记数法表示为（ ） A. 4.4×108 B. 4.40×108 C. 4.4×109 D. 4.4×1010 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【详解】解：4400000000=4.4×109， 故选：C． 二、填空题（每题4分，共24分） 13. 小刚要测量一旗杆的高度，他发现旗杆的影子恰好落在一栋楼上，如图，此时测得地面上的影长为8米，楼面上的影长为2米．同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则旗杆的高度为_______米． 【答案】6 【解析】 【分析】直接利用已知构造三角形，利用同一时刻，实际物体与影长成比例进而得出答案． 【详解】如图所示：由题意可得，DE＝2米， BE＝CD＝8米， ∵同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米， ∴， 解得：AB＝4， 故旗杆的高度AC为6米． 故答案为：6． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，正确构造三角形是解题关键． 14. 绕着A点旋转后得到，若，，则旋转角等于_____． 【答案】50°或210° 【解析】 【分析】首先根据题意作图，然后由∠BAC′=130°，∠BAC=80°，即可求得答案． 【详解】解：∵∠BAC′=130°，∠BAC=80°， ∴如图1，∠CAC′=∠BAC′-∠BAC=50°， 如图2，∠CAC′=∠BAC′+∠BAC=210°． ∴旋转角等于50°或210°． 故答案为：50°或210°． 【点睛】本题考查了旋转的性质．注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用． 15. 在一个不透明的盒子中装有 个小球，它们只有颜色上的区别，其中有 个红球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定于，那么可以推算出 大约是______． 【答案】10 【解析】 【分析】根据在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解． 【详解】由题意可得，， 解得，． 故估计 大约有个． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率，解题的关键是根据红球的频率得到相应的等量关系． 16. 如图，在反比例函数的图象上任取一点P，过P点分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为M，N，那么四边形PMON的面积为_____． 【答案】6 【解析】 【分析】设出点P的坐标，四边形PMON的面积等于点P的横纵坐标的积的绝对值，把相关数值代入即可． 【详解】解：设点P的坐标为（x，y）， ∵点P的反比例函数解析式上， ∴xy＝﹣6， ∵PM⊥x轴于M,PN⊥y轴于N, ∴四边形PMON为矩形， ∴四边形PMON的面积为|xy|＝6， 故答案为：6． 【点睛】本题考查反比例函数的比例系数的意义;用到的知识点为:在反比例函数图象上的点的横纵坐标的积等于反比例函数的比例系数.注意面积应为正值． 17. 如图，已知在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，P是线段AD上的一动点，连接PC，过点P作PE⊥PC交AB于点E．以CE为直径作⊙O，当点P从点A移动到点D时，对应点O也随之运动，则点O运动的路程长度为_____． 【答案】． 【解析】 【分析】连接AC，取AC的中点K，连接OK．设AP＝x，AE＝y，求出AE的最大值，求出OK的最大值，由题意点O的运动路径的长为2OK，由此即可解决问题． 【详解】解：连接AC，取AC的中点K，连接OK．设AP＝x，AE＝y， ∵PE⊥CP ∴∠APE+∠CPD＝90°，且∠AEP+∠APE＝90° ∴∠AEP＝∠CPD，且∠EAP＝∠CDP＝90° ∵△APE∽△DCP ∴， 即x（3﹣x）＝2y， ∴y＝x（3﹣x）＝﹣x2+x＝﹣GXdjs4436236（x﹣）2+， ∴当x＝时，y的最大值为， ∴AE的最大值＝， ∵AK＝KC，EO＝OC， ∴OK＝AE＝， ∴OK的最大值为， 由题意点O的运动路径的长为2OK＝， 故答案为：． 【点睛】考查了轨迹、矩形的性质、三角形的中位线定理和二次函数的应用等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题． 18. 已知一扇形，半径为6，圆心角为120°，则所对的弧长为___． 【答案】4π． 【解析】 【分析】根据弧长公式求弧长即可. 【详解】此扇形的弧长＝＝4π， 故答案为：4π． 【点睛】此题考查的是求弧长，掌握弧长公式：是解决此题的关键. 三、解答题（共78分） 19. 如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，BC＞AD，∠D＝90°，AC⊥BC，AB＝10cm，BC＝6cm，F点以2cm/秒的速度在线段AB上由A向B匀速运动，E点同时以1cm/秒的速度在线段BC上由B向C匀速运动，设运动时间为t秒（0＜t＜5）． （1）求证：△ACD∽△BAC； （2）求DC的长； （3）试探究：△BEF可以为等腰三角形吗？若能，求t的值；若不能，请说明理由． 【答案】（1）∵CD∥AB， ∴∠BAC＝∠DCA， 又AC⊥BC，∠ACB＝90°， ∴∠D＝∠ACB＝90°， ∴△ACD∽△BAC； （2）DC＝6.4cm； （3）当△EFB为等腰三角形时，t的值为秒或秒或秒． 【解析】 【分析】（1）根据三角形相似的判定定理即可得到结论； （2）由△ACD∽△BAC，得，结合＝8cm，即可求解； （3）若△EFB为等腰三角形，可分如下三种情况：①当 BF＝BE时， ②当EF＝EB时，③当FB＝FE时，分别求出t的值，即可． 【详解】（1）略 （2）在Rt△ABC中，＝8cm， 由（1）知，△ACD∽△BAC， ∴ ， 即: ，解得：DC＝6.4cm； （3）△BEF能为等腰三角形，理由如下： 由题意得：AF＝2t，BE＝t， 若△EFB为等腰三角形，可分如下三种情况： ①当 BF＝BE时，10﹣2t＝t，解得：t=； ②当EF＝EB时，如图1，过点E作AB的垂线，垂足为G， 则，此时△BEG∽△BAC， ∴，即 ， 解得：t=； ③当FB＝FE时，如图2，过点F作AB的垂线，垂足为H， 则，此时△BFH∽△BAC， ∴，即 ， 解得：； 综上所述：当△EFB为等腰三角形时，t的值为秒或秒或秒． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质的综合以及等腰三角形的性质与勾股定理，添加辅助线构造相似三角形，是解题的关键． 20. 如图,直线y=x+3分别交 x轴、y轴于点A、C.点P是该直线与双曲线在第一象限内的一个交点,PB⊥x轴于B,且S△ABP=16. （1）求证:△AOC∽△ABP； （2）求点P的坐标； （3）设点Q与点P在同一个反比例函数的图象上,且点Q在直线PB的右侧,作QD⊥x轴于D,当△BQD与△AOC相似时,求点Q的横坐标. 【答案】 （1）证明：∵PB⊥ x轴，OC⊥x轴， ∴OC∥PB， ∴△AOC∽△ABP； （2）点P的坐标为（2，4）； （3）点Q的横坐标为：或. 【解析】 【分析】（1）利用PB∥OC，即可证明三角形相似； （2）由一次函数解析式，先求点A、C的坐标，由△AOC∽△ABP，利用线段比求出BP，AB的值，从而可求出点P的坐标即可； （3）把P坐标代入求出反比例函数，设Q点坐标为（n，），根据△BQD与△AOC相似分两种情况，利用线段比联立方程组求出n的值，即可确定出Q坐标． 【详解】（1）略 （2）解：对于直线y=x+3， 令x=0，得y=3； 令 y=0，得x=-6 ； ∴A(-6，0)，C(0，4)， ∴OA=6，OC=3. ∵△AOC∽△ABP， ∴， ∵S△ABP=16，S△AOC=， ∴， ∴，即， ∴PB=4，AB=8， ∴OB=2， ∴点P的坐标为：（2，4）. （3）设反比例函数的解析式为：y=， 把P(2，4)代入，得k=xy=2×4=8， ∴y=. 点Q在双曲线上，可设点Q的坐标为：（n，）(n＞2)， 则BD=，QD=， ①当△BQD∽△ACO时，， 即， 整理得：， 解得：或； ②当△BQD∽△CAO时，， 即， 整理得：， 解得：，（舍去）， 综上①②所述，点Q的横坐标为：1+或1+. 【点睛】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，一次函数与反比例函数的交点，以及坐标与图形性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 21. 我区某校组织了一次“诗词大会”，张老师为了选拔本班学生参加，对本班全体学生诗词的掌握情况进行了调查，并将调查结果分为了三类：A：好，B：中，C：差．请根据图中信息，解答下列问题： （1）全班学生共有　 　人； （2）扇形统计图中，B类占的百分比为　 　%，C类占的百分比为　 　%； （3）将上面的条形统计图补充完整； （4）小明被选中参加了比赛．比赛中有一道必答题是：从下表所示的九宫格中选取七个字组成一句诗，其答案为“便引诗情到碧霄”．小明回答该问题时，对第四个字是选“情”还是选“青”，第七个字是选“霄”还是选“宵”，都难以抉择，若分别随机选择，请用列表或画树状图的方法求小明回答正确的概率． 情 到 碧 霄 诗 青 引 宵 便 【答案】（1）40； （2）60，15； （3）补全图形如下： （4）小明回答正确的概率是． 【解析】 【分析】（1）根据统计图可知，10人占全班人数的，据此求解； （2）根据（1）中所求，容易得C类占的百分比，用1减去两类的百分比即可求得 类百分比； （3）根据题意，画出树状图，根据概率公式即可求得. 【详解】（1）全班学生总人数为10÷25%＝40（人）； 故答案为：40； （2）B类占的百分比为：×100%＝60%； C类占的百分比为1﹣25%﹣60%＝15%； 故答案为：60，15； （3）C类的人数40×15%＝6（人）； （4）根据题意画图如下： 由树状图可知共有4种可能结果，其中正确的有1种， 所以小明回答正确的概率是． 【点睛】本题考查统计图表的中数据的计算，以及树状图的绘制，涉及利用概率公式求随机事件的概率，属综合基础题. 22. 阅读材料：各类方程的解法 求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为的形式：求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为二元一次方程组来解；求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解：求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想一一转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为，解方程 和，可得方程的解．利用上述材料给你的启示，解下列方程； （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）x=3 【解析】 【分析】（1）因式分解多项式，然后得结论； （2）根据题目中的方程，两边同时平方转化为有理方程，然后解方程即可，注意，最后要检验，所得的根是否使得原无理方程有意义． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴，，， 解得：； （2）∵， ∴， ∴， ∴， 解得：x1=-1，x2=3， 经检验，x=3是原无理方程的根，x=-1不是原无理方程的根， 即方程，的解是x=3． 【点睛】本题考查解无理方程、因式分解法，解答本题的关键是明确解方程的方法，注意无理方程最后要检验． 23. 如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，AB＝12，四边形EFPQ是矩形，点P与点C重合，点Q、E、F分别在BC、AB、AC上（点E与点A、点B均不重合）． （1）当AE＝8时，求EF的长； （2）设AE＝x，矩形EFPQ的面积为y． ①求y与x的函数关系式； ②当x为何值时，y有最大值，最大值是多少？ （3）当矩形EFPQ的面积最大时，将矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线CB匀速向右运动（当点P到达点B时停止运动），设运动时间为t秒，矩形EFPQ与△ABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围． 【答案】（1）4；（2）①y=﹣x2+3x（0＜x＜12）；②x=6时，y有最大值为9；（3）S= 【解析】 【分析】(1)由EF∥BC,可得,由此即可解决问题; (2)①先根据点E为AB上一点得出自变量x的取值范围,根据30度的直角三角形的性质求出EF和AF的长,在Rt△ACB中,根据三角函数求出AC的长,计算FC的长,利用矩形的面积公式可求得S的函数关系式; ②把二次函数的关系式配方可以得结论; (3)分两种情形分别求解即可解决问题. 【详解】解：（1）在Rt△ABC中，∵AB=12，∠A=30°， ∴BC=AB=6，AC=BC=6， ∵四边形EFPQ是矩形， ∴EF∥BC， ∴=， ∴=， ∴EF=4． （2）①∵AB=12，AE=x，点E与点A、点B均不重合， ∴0＜x＜12， ∵四边形CDEF是矩形， ∴EF∥BC，∠CFE=90°， ∴∠AFE=90°， 在Rt△AFE中，∠A=30°， ∴EF=x， AF=cos30°•AE=x， 在Rt△ACB中，AB=12， ∴cos30°=， ∴AC=12×=6， ∴FC=AC﹣AF=6﹣x， ∴y=FC•EF=x（6﹣x）=﹣x2+3x（0＜x＜12）； ②y=x（12﹣x）=﹣（x﹣6）2+9， 当x=6时，S有最大值为9； （3）①当0≤t＜3时，如图1中，重叠部分是五边形MFPQN， S=S矩形EFPQ﹣S△EMN=9﹣t2=﹣t2+9． ②当3≤t≤6时，重叠部分是△PBN， S=（6﹣t）2， 综上所述，S= 【点睛】本题考查二次函数与三角形综合的知识，难度较大，需综合运用所学知识求解. 24. 已知一个二次函数图象上部分点的横坐标 与纵坐标 的对应值如下表所示： ... ... ... ... （1）求这个二次函数的表达式； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； （3）结合图像，直接写出当时， 的取值范围． 【答案】（1）或； （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）利用表中数据和抛物线的对称性可得到二次函数的顶点坐标为（1，4），则可设顶点式y=a（x-1）2+4，然后把点（0，3）代入求出a即可； （2）利用描点法画二次函数图象； （3）根据x=、3时的函数值即可写出y的取值范围． 【详解】解：根据题意可知, 二次函数的顶点坐标为（1，4）， ∴设二次函数的解析式为：， 把代入得： ； ∴； ∴解析式为：或. （2）略 （3）当时，； 当时，； ∵抛物线的对称轴为：， 此时y有最大值4； ∴当时， 的取值范围为：. 25. 某年，猪肉价格不断上涨，主要是由非洲猪瘟疫情导致，非洲猪瘟疫情发病急，蔓延速度快，某养猪场第一天发现 头生猪发病，两天后发现共有头生猪发病． （1）求每头发病生猪平均每天传染多少头生猪？ （2）若疫情得不到有效控制，按照这样的传染速度， 天后生猪发病头数会超过头吗？ 【答案】（1）每头发病生猪平均每天传染头生猪 （2）若疫情得不到有效控制， 天后生猪发病头数会超过头 【解析】 【分析】（1）设每头发病生猪平均每天传染 头生猪，根据“第一天发现 头生猪发病，两天后发现共有头生猪发病”，即可得出关于 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）根据 天后生猪发病头数= 天后生猪发病头数，即可求出 天后生猪发病头数，再将其与进行比较即可得出结论． 【小问1详解】 解：设每头发病生猪平均每天传染 头生猪， 依题意，得， 解得：， （不合题意，舍去）． 答：每头发病生猪平均每天传染7头生猪． 【小问2详解】 （头），． 答：若疫情得不到有效控制，3天后生猪发病头数会超过1500头． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 26. 如图，某小区规划在一个长16m，宽9m的矩形场地ABCD上，修建同样宽的小路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草，若草坪部分总面积为112m2，求小路的宽． 【答案】1m 【解析】 【分析】根据场地的原长与宽，设小路的宽度为xm，得到草坪的总长度和总宽度应该为（16﹣2x），（9﹣x），由题意列出方程即可． 【详解】设小路的宽度为xm， 那么草坪的总长度和总宽度应该为（16﹣2x），（9﹣x）． 根据题意即可得出方程为： （16﹣2x）（9﹣x）＝112， 解得x1＝1，x2＝16． ∵16＞9， ∴x＝16不符合题意，舍去， ∴x＝1． 答：小路的宽为1m． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，弄清草坪的总长与总宽时关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $