第4章 一元二次方程单元测试（A卷基础篇）2024-2025学年青岛版数学九年级上册

第4章 一元二次方程单元测试（A卷基础篇）（含解析） 数学问卷 时间：120分钟 分值 ：120分 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、单选题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．根据下表格对应值： 2 3 4 5 6 判断方程的一个解的范围是（    ） A． B． C． D． 2．一元二次方程4x2﹣3x﹣1＝0的二次项系数a、一次项系数b和常数c分别是 （　　） A．a＝4，b＝3，c＝﹣1 B．a＝4，b＝1，c＝3 C．a＝4，b＝﹣3，c＝﹣1 D．a＝4，b＝﹣3，c＝1 3．方程的根是（    ） A． B． C． D． 4．2022年4月，张文宏在“科学为盾，战胜疫情”分论坛上发言表示，只有做到更高的疫苗接种率和医疗资源供应保障，才能最终安心走出这一波的疫情．新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有人患新冠肺炎（假设每轮传染的人数相同），则每轮传染中平均每个人传染了（　　） A．11人 B．12人 C．13人 D．14人 5．如果关于的方程有实数根，那么的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 6．随着生产技术的进步，生产成本逐年下降．某工厂两年前生产一台扫地机器人的成本是900元，现在生产一台扫地机器人的成本是600元．设该种扫地机器人生产成本的年平均下降率为x，则下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 7．命题人“魔力”去参加同学聚会，每两个人相互赠送礼品，他发现共送礼40件，若设有x人参加聚会，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 8．用配方法解一元二次方程时，方程变形正确的是（    ） A． B． C． D． 9．用配方法解方程，变形后的结果正确的是(   ) A． B． C． D． 10．某超市四月份赢利a万元，计划五、六月份平均每月的增长率为x，那么该超市第二季度共赢利（　　） A．a（1+x）万元 B．a（1+x）2万元 C．a（1+x）+a（1+x）2万元 D．a+a（1+x）+a（1+x）2万元 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．已知是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根是 ． 12．已知关于x的方程a-3）x2-4x-5=0是一元二次方程，那么a的取值范围是 ． 13．用长为14的铁丝围成一个面积是12的矩形，这个矩形相邻的两边长分别是 ． 14．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m满足 ． 15．若关于x的方程有一根是2，则 . 16．已知x1，x2是一元二次方程x2+2（m+1）x+m2﹣1=0的两实数根，且满足（x1﹣x2）2=16﹣x1x2，实数m的值为 ． 三、解答题：本题共8小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17．用公式法解方程：． 18．解一元二次方程： 19．某学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买一批树苗，园林公司规定：如果购买树苗不超过60棵，每棵售价120元；如果购买树苗超过60棵，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元，但每棵树苗最低售价不得少于100元． （1）若购买树苗70棵，则每棵树苗的售价为 元； （2）若该校最终向园林公司支付树苗款8 800元，则购买了多少棵树苗？ 20．解方程： 21．（1）用公式法解方程：． （2）用配方法解方程： （3）用因式分解法解方程 22．用适当的方法解一元二次方程：． 23．已知，关于的一元二次方程有两个不相等的实数根. （1）求的取值范围； （2）如果为非负整数，且该方程的根都是整数，求的值. 24．第二十二届中国上海国际艺术节首次移师上海市黄浦区南京东路第一百货商业中心．主办方工作人员准备利用一边靠墙（墙长25米）的空旷场地为提前到场的观众设立面积为320平方米的封闭型长方形等候区．如图，为了方便观众进出，在两边空出两个宽各为1米的出入口，共用去隔栏绳50米．请问，工作人员围成的这个长方形的相邻两边长分别是多少米？ 解：令这个长方形垂直于墙的一边为宽，平行于墙的一边为长； 设这个长方形的宽为米，则长为_________米．（用含x代数式表示） （完成填空后继续解题） 试卷第1页，共3页 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．D 【分析】由于x=4时，-4；x=5时，6，则在-4和5之间有一个值能使的值为0，于是可判断方程的一个解x的范围为4＜x＜5． 【详解】解：∵x=4时，-4；x=5时，6， ∴方程的一个解x的范围为4＜x＜5． 故选：D． 【点睛】本题考查估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根． 2．C 【分析】一元二次方程的一般形式是： (a，b，c是常数且a≠0)．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，据此作答． 【详解】解：一元二次方程4x2﹣3x﹣1＝0的二次项系数a、一次项系数b和常数c分别是：a＝4，b＝﹣3，c＝﹣1， 故选：C． 【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式为（a≠0）． 3．A 【分析】先把方程化为，可得两个一次方程，再解一次方程即可． 【详解】解：， ∴， 解得：，， 故选A 【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握利用因式分解的方法解方程是解本题的关键． 4．B 【分析】设每轮传染中平均每个人传染了x人，则第一轮传染中有x人被感染，第二轮传染中有人被感染，根据经过两轮传染后共有169人患新冠肺炎，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设每轮传染中平均每个人传染了x人，则第一轮传染中有x人被感染，第二轮传染中有人被感染， 依题意得：， 即， 解得：（不合题意，舍去）， ∴每轮传染中平均每个人传染了12人． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 5．C 【分析】分类讨论：当时，方程为一元一次方程，有解；当时，根据判别式的意义得到，解得且，然后综合两种情况就看得到的取值范围． 【详解】解：当时，，解得； 当时，，解得且， 所以的取值范围为． 故选：C． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 6．A 【分析】等量关系为：两年前的生产成本×（1﹣年平均下降率）2＝现在的生产成本，把相关数值代入即可． 【详解】解：由该种扫地机器人生产成本的年平均下降率为x， 根据题意得： 900（1﹣x）2＝600， 故选：A． 【点睛】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，平均增长率问题，一般形式为a（1±x）n＝b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量． 7．B 【分析】由于每两个人相互赠送礼品，所以x人共送礼件，据此即可列出方程. 【详解】解：设有x人参加聚会，根据题意可列方程， 故选：B. 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意、列出所需的方程是解题的关键. 8．D 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，先将变号后移项到方程右边，然后方程左右两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并为一个非负常数，即可得到所求的式子，掌握配方法是解题的关键． 【详解】解：， 移项得：， 两边都加上得：， 即， 故选：． 9．D 【分析】先将常数项移到右侧，然后两边同时加上一次项系数一半的平方，配方后进行判断即可. 【详解】， ， ， 所以， 故选D. 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的一般步骤以及注意事项是解题的关键. 10．D 【分析】根据增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），可知五月份生产零件a（1+x），则六月份生产零件a（1+x）2，进而可求出第二季度共赢利． 【详解】解：根据题意得： 第二季度共赢利：a+a（1+x）+a（1+x）2万元， 故选D． 【点睛】此题考查了列代数式：解题的关键应注意五月份生产零件数是在四月份的基础上增长x，而六月份生产零件数是在五月份的基础上增长x． 11． 【分析】直接根据一元二次方程的根与系数的关系即可求解． 【详解】解：设方程的另一个根为， 根据一元二次方程的根与系数的关系，有 故答案为：． 【点睛】此题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数是解答此题的关键． 12． 【分析】根据一元二次方程的定义，二次项系数不为零，列不等式即可 【详解】解：根据题意可知，， 解得，． 故答案是． 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程二次项系数不为0，列出不等式是解题关键． 13．4，3 【分析】设矩形的长为x，则宽为（7﹣x），根据矩形的面积公式，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】设矩形的长为x，则宽为（7﹣x），根据题意得： x（7﹣x）=12 解得：x1=4，x2=﹣3（舍去）． 当x=4时，∴7﹣x=3． 故答案为4，3． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 14．，且 【分析】此题考查了一元二次方程根的情况．熟练掌握一元二次方程根的判别式，及一元二次方程的定义，是解决问题的关键． 根据一元二次方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，且二次项系数不等于0，解不等式即可求出m的范围． 【详解】∵该一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得，， 又， ∴，且． 故答案为：，且． 15．6 【分析】将方程的根代入可求得a的值. 【详解】解：将x=2代入，得： 故答案为：6 【点睛】本题考查一元二次方程的根，即一元二次方程的解，也考查了解一元一次方程，正确代入求值并计算是本题的解题关键. 16．1 【详解】解：由题意有△=[2（m+1）]2﹣4（m2﹣1）≥0，整理得8m+8≥0，解得m≥﹣1， 由两根关系，得x1+x2=﹣2（m+1），x1x2=m2﹣1，（x1﹣x2）2=16﹣x1x2 （x1+x2）2﹣3x1x2﹣16=0，∴[﹣2（m+1）]2﹣3（m2﹣1）﹣16=0， ∴m2+8m﹣9=0，解得m=﹣9或m=1．∵m≥﹣1，∴m=1 故答案为：1． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数关系，利用两根关系得出的结果必须满足△≥0的条件． 17． 【分析】利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】解：，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查解一元二次方程．熟练掌握公式法解一元二次方程，是解题的关键．注意，先求判别式． 18．. 【分析】找出a，b，c的值，计算出根的判别式的值，代入求根公式即可求出解． 【详解】 ∴ ∴原方程的解为 【点睛】此题考查了解一元二次方程-公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键． 19．（1）115； （2）购买了80棵树苗 【分析】（1）根据如果购买树苗超过60棵，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元即可求解； （2）根据设购买了(60＋x)棵树苗．根据题意列方程得(60＋x)(120－0.5x)＝8800 ,进而得出结论． 【详解】（1）120−0.5（70−60）=115 故填115； （2）解：∵120×60＝7200＜8800，所以购买的树苗数量多于60棵 设购买了(60＋x)棵树苗． 根据题意列方程得(60＋x)(120－0.5x)＝8800 解得x1＝160，x2＝20 当x＝160时，120－0.5x＝120－0.5×160＝40＜100， ∴ x＝160不合题意舍去． 60＋x＝60＋20＝80棵 答：购买了80棵树苗 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，根据已知“如果购买树苗超过60棵，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元”得出方程是解题关键． 20．， 【分析】先整理，再提出公因式，然后求出解即可． 【详解】整理，得， 即， ∴，． 【点睛】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，将方程变为因式乘积等于0的形式是解题的关键． 21．（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）用公式法解方程； （2）先将移项，然后两边同时加上1，用配方法解方程； （3）先移项，然后根据平方差公式因式分解，用因式分解法解方程； 【详解】解：（1）， ∵，，， ∴， ∴， 解得：； （2）， ∴， ∴ ∴ ∴， 解得：； （3） ∴， ∴， ∴ 即 ∴ 22． 【分析】根据公式法解一元二次方程即可求解． 【详解】解：， ∵，， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握公式法解一元二次方程是解题的关键． 23．(1) ；(2) 的值是. 【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根知△＞0，据此列出关于m的不等式，解之可得； （2）由（1）中m的范围且m为非负整数得出m的值，代入方程，解之可得． 【详解】解：（1）根据题意得：， 解得：. 故的取值范围为； （2）由（1）得： 为非负整数， 或， 把代入原方程得：， 解得：，， 不合题意舍去； 把代入原方程得：， 解得：，. 故的值是. 【点睛】此题考查根的判别式及一元二次方程的解，熟练掌握根的判别式及一元二次方程的解的定义是解题关键． 24．；工作人员围成的这个长方形的相邻两边长分别是16米，20米 【分析】设这个长方形的宽为米，根据题意可得长为米，最后列出一元二次方程进行求解即可． 【详解】解：设这个长方形的宽为米，则长为米， 故答案为：； ∴， ∴， 解得，， 当时，长为（不合题意，舍去）， 当时，长为， 答：工作人员围成的这个长方形的相邻两边长分别是16米，20米． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意并列出一元二次方程是解决本题的关键． 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$