精品解析：2023年山东省济南市莱芜区联考中考二模数学试题

2023年山东省济南市莱芜区联考中考二模数学试题 本试题分选择题和非选择题两部分．选择题部分共2页，满分为40分；非选择题部分共6页，满分为110分．本试题共8页，满分为150分．考试时间120分钟．本考试不允许使用计算器． 选择题部分 共40分 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 有理数的绝对值为（ ） A B. C. D. 2. 下列立体图形中，俯视图与主视图不同的是( ) A. 正方体 B. 圆柱 C. 圆锥 D. 球 3. 同步卫星在赤道上空大约36000000米处．将36000000用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 4. 下面四幅图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形是（ ） A. B. C. D. 5. 点在数轴上的位置如图所示，为原点，，．若点所表示的数为，则点所表示的数为（ ） A. B. C. D. 6. 某射击运动员在训练中射击了10次，成绩如图所示： 下列结论不正确的是（ ） A. 众数是8 B. 中位数是8 C. 平均数是8.2 D. 方差是1.2 7. 计算的结果正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，直线y＝x＋b与直线y＝kx＋6交于点P(3，5)，则关于x的不等式x＋b＞kx＋6的解集为（ ） A. x＞3 B. x＞5 C. x＜3 D. 无法确定 9. 如图，在中，AC=BC=8，∠C=90°，以A点为圆心，AC长为半径作圆弧交AB 于E，连接CE，再分别以C、E为圆心，大于的长度为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP交BC与点D，连接DE，则下列说法中错误的是（ ） A. B. C. D. 10. 对于一个函数：当自变量取时，其函数值也等于，我们称为这个函数的不动点．若二次函数（为常数）有两个不相等且都小于1的不动点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. （非选择题部分 共110分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 分解因式：16﹣x2=__________． 12. 在一个不透明的袋子中有若干个小球，这些球除颜色外无其他差别，从袋中随机摸出一球，记下其颜色，这称为一次摸球试验，然后把它重新放回袋中并摇匀，不断重复上述过程．以下是利用计算机模拟的摸球试验统计表： 摸球实验次数 100 1000 5000 10000 50000 100000 “摸出黑球”的次数 36 387 2019 4009 19970 40008 “摸出黑球”的频率 （结果保留小数点后三位） 0.360 0387 0.404 0.401 0.399 0.400 根据试验所得数据，估计“摸出黑球”的概率是_______（结果保留小数点后一位）． 13. 在平面直角坐标系中，点关于直线对称点的坐标是______． 14. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_____． 15. 我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形，证明了勾股定理．如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若a＝3，b＝4，则该矩形的面积为_． 16. 如图所示，四边形是正方形，E为边的中点，连接并延长， 与延长线交于点F，连接，G为的中点，连接，与相交于点H，与相交于点M，连接，与相交于点N．有下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有______（只填写结论序号）． 三、解答题（本大题共10小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 解不等式组，求出解集并写出此不等式组的整数解． 19. 如图，四边形是平行四边形，E，F是对角线的三等分点，连接，证明：． 20. 某校九年级开展征文活动，征文主题只能从“爱国”“敬业”“诚信”“友善”四个主题中选择一个，九年级每名生按要求都上交了一份征文，学校为了解选择各种征文主题的生人数，随机抽取了部分征文进行了调查，根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． （1）求本次调查共抽取了________名学生的征文，并把条形统计图补充完整； （2）求扇形统计图中“爱国”所对应扇形的圆心角度数； （3）本次抽取的3份以“诚信”为主题的征文分别是甲、乙、丙的，若从中随机选取2份以“诚信”为主题的征文进行交流，请用画树状图法或列表法求甲和乙征文同时被选中的概率． 21. 如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O交于点F，弦AD平分，，垂足为E （1）试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若⊙O的半径为2，，求线段EF的长． 22. 如图，海上观察哨所B位于观察哨所A正北方向，距离为25海里．在某时刻，哨所A与哨所B同时发现一走私船，其位置C位于哨所A北偏东的方向上，位于哨所B南偏东的方向上． （1）求观察哨所A与走私船所在的位置C的距离； （2）若观察哨所A发现走私船从C处以16海里/小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东的方向前去拦截．求缉私艇的速度为多少时，恰好在D处成功拦截．（结果保留根号） （参考数据：，，，） 23. 端午节是我国的传统节日，人们素有吃粽子的习俗，某商场在端午节来临之际用3000元购进、两种粽子1100个，购买种粽子与购买种粽子的费用相同，已知粽子的单价是种粽子单价的1.2倍. （1）求、两种粽子的单价各是多少？ （2）若计划用不超过7000元的资金再次购买、两种粽子共2600个，已知、两种粽子的进价不变，求中粽子最多能购进多少个？ 24. 矩形中，，，分别以为轴、轴，建立如图1所示平面直角坐标系，是边上一个动点（不与重合），过点的反比例函数的图象与边交于点． （1）当点运动到边的中点时，求点的坐标； （2）连接，试探究：随着点的运动，的正切值是否发生变化？若不变，求出这个值；若变化，请说明理由； （3）如图2，将沿折叠，点恰好落在边上的点处，求此时点的坐标． 25. 如图（1），已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD，垂足为点F． （1）证明与推断： ①求证：四边形CEGF是正方形； ②推断：的值为　 　： （2）探究与证明： 将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图（2）所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由： （3）拓展与运用： 正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长CG交AD于点H．若AG=6，GH=2，则BC=　 　． 26. 如图，二次函数的图象过原点，与x轴的另一个交点为 （1）求该二次函数的解析式； （2）在x轴上方作x轴的平行线，交二次函数图象于A、B两点，过A、B两点分别作x轴的垂线，垂足分别为点D、点C．当矩形ABCD为正方形时，求m的值； （3）在（2）的条件下，动点P从点A出发沿射线AB以每秒1个单位长度匀速运动，同时动点Q以相同的速度从点A出发沿线段AD匀速运动，到达点D时立即原速返回，当动点Q返回到点A时，P、Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒（）．过点P向x轴作垂线，交抛物线于点E，交直线AC于点F，问：以A、E、F、Q四点为顶点构成的四边形能否是平行四边形．若能，请求出t的值；若不能，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023年山东省济南市莱芜区联考中考二模数学试题 本试题分选择题和非选择题两部分．选择题部分共2页，满分为40分；非选择题部分共6页，满分为110分．本试题共8页，满分为150分．考试时间120分钟．本考试不允许使用计算器． 选择题部分 共40分 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 有理数的绝对值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了绝对值，正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数．根据绝对值的性质解答即可． 【详解】解：有理数的绝对值为． 故选：A． 2. 下列立体图形中，俯视图与主视图不同的是( ) A. 正方体 B. 圆柱 C. 圆锥 D. 球 【答案】C 【解析】 【分析】从正面看所得到的图形是主视图，从上面看到的图象是俯视图，再根据判断即可． 【详解】A选项：俯视图与主视图都是正方形，故不合题意； B选项：俯视图与主视图都是长方形，故不合题意； C选项：俯视图是圆，主视图是三角形；故符合题意； D选项：俯视图与主视图都是圆，故不合题意； 故选：C． 【点睛】考查了立体图形的三视图，解题关键是理解：从正面看所得到的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从上面看到的图象是俯视图． 3. 同步卫星在赤道上空大约36000000米处．将36000000用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】科学记数法就是将一个数字表示成（的n次幂的形式），其中，n表示整数，即从左边第一位开始，在首位非零的后面加上小数点，再乘以10的n次幂． 【详解】 故选D． 【点睛】此题考查了对科学记数法的理解和运用和单位的换算．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 4. 下面四幅图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．掌握中心对称图形与轴对称图形的判断是解题的关键． 【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意； D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意． 故选：C． 5. 点在数轴上的位置如图所示，为原点，，．若点所表示的数为，则点所表示的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意和数轴可以用含 a的式子表示出点 B表示的数，本题得以解决． 【详解】为原点，，，点所表示的数为， 点表示的数为， 点表示的数为：， 故选． 【点睛】本题考查数轴，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 6. 某射击运动员在训练中射击了10次，成绩如图所示： 下列结论不正确的是（ ） A. 众数是8 B. 中位数是8 C. 平均数是8.2 D. 方差是1.2 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据图形数出各环数出现的次数，在进行计算众数、中位数、平均数、方差. 【详解】根据图表可得10环的2次，9环的2次，8环的3次，7环的2次，6环的1次.所以可得众数是8，中位数是8，平均数是 方差是 故选D 【点睛】本题主要考查统计的基本知识，关键在于众数、中位数、平均数和方差的概念.特别是方差的公式. 7. 计算的结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的乘法运算，先利用平方差公式展开，然后约分即可． 【详解】解： 故选：A． 8. 如图，直线y＝x＋b与直线y＝kx＋6交于点P(3，5)，则关于x的不等式x＋b＞kx＋6的解集为（ ） A. x＞3 B. x＞5 C. x＜3 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】求关于x的不等式x＋b＞kx＋6的解集，表示x取何值时，函数y=x+b的函数值大于函数y=kx+6的函数值，体现在图象上，直线y=x+b位于直线y=kx+6上方，因此观察图形即可解决． 【详解】观察图形知，当x>3时，直线y=x+b位于直线y=kx+6上方，所以求关于x的不等式x＋b＞kx＋6的解集为：x>3． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元一次不等式与一次函数的关系，要从数与形两个方面来理解一元一次不等式与一次函数的关系． 9. 如图，在中，AC=BC=8，∠C=90°，以A点为圆心，AC长为半径作圆弧交AB 于E，连接CE，再分别以C、E为圆心，大于的长度为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP交BC与点D，连接DE，则下列说法中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由作图方法即可判断A；然后利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，从而得到即可判断C；再由，∠BED=∠BCA=90°，即可判断C；根据勾股定理求出AB，从而得到DE=BE的长，即可求出BD，从而判断D． 【详解】解，由作图方法可知，AP为CE的垂直平分线，AC=AE ∴DE=CD，∠ACE=∠AEC，故A不符合题意； ∵AB=AC，∠ACB=90°， ∴∠CAB=∠CBA=45°， ∴， ∴， ∴∠EDB=∠DCE+∠DEC=45°=∠B， ∴DE=BE，∠BED=90°， ∴AB=AE+BE=AC+DE，故C不符合题意， ∵，∠BED=∠BCA=90°， ∴△BDE∽△BAC，故B不符合题意； ∵AC=BC=8，∠ACB=90°， ∴， ∴， ∴，故D符合题意 故选D． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，勾股定理等等，熟知相关知识是解题的关键． 10. 对于一个函数：当自变量取时，其函数值也等于，我们称为这个函数的不动点．若二次函数（为常数）有两个不相等且都小于1的不动点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，二次函数的图象与性质，以及与轴的交点问题，由题意得，即得，可得，得，再画出二次函数图象，由图象可得当时，，即得，综上即可求解，掌握数形结合思想是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， 整理得，， ∵二次函数有两个相异的不动点， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， 令， 画该二次函数的草图如下： 设抛物线与轴交点的横坐标为，且， 当时，， ∴， ∴的取值范围是， 故选：． （非选择题部分 共110分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 分解因式：16﹣x2=__________． 【答案】（4+x）（4﹣x） 【解析】 【详解】分析：16和x2都可写成平方形式，且它们符号相反，符合平方差公式特点，利用平方差公式进行因式分解即可． 详解：16-x2=（4+x）（4-x）． 点睛：本题考查利用平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键． 12. 在一个不透明的袋子中有若干个小球，这些球除颜色外无其他差别，从袋中随机摸出一球，记下其颜色，这称为一次摸球试验，然后把它重新放回袋中并摇匀，不断重复上述过程．以下是利用计算机模拟的摸球试验统计表： 摸球实验次数 100 1000 5000 10000 50000 100000 “摸出黑球”的次数 36 387 2019 4009 19970 40008 “摸出黑球”的频率 （结果保留小数点后三位） 0.360 0.387 0.404 0.401 0.399 0.400 根据试验所得数据，估计“摸出黑球”的概率是_______（结果保留小数点后一位）． 【答案】04 【解析】 【分析】大量重复试验下摸球的频率可以估计摸球的概率，据此求解. 【详解】观察表格发现随着摸球次数的增多频率逐渐稳定在0.4附近， 故摸到白球的频率估计值为0.4； 故答案为0.4． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是了解大量重复试验中某个事件发生的频率能估计概率． 13. 在平面直角坐标系中，点关于直线的对称点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出点到直线的距离，再根据对称性求出对称点到直线的距离，从而得到点的横坐标，即可得解． 【详解】解：点， 点到直线的距离为， 点关于直线的对称点到直线的距离为1， 点的横坐标为， 对称点的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化—对称，根据轴对称性求出对称点到直线的距离，从而得到横坐标是解题的关键． 14. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的判别式的意义可以得到，然后解关于的不等式即可． 【详解】根据题意得， 解得． 故答案为． 【点睛】本题考查一元二次方程根判别式.一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 15. 我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形，证明了勾股定理．如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若a＝3，b＝4，则该矩形的面积为_． 【答案】 【解析】 【分析】欲求矩形的面积，则求出小正方形的边长即可；设小正方形的边长为x，已知a=3，b=4，得AB=3+4=7，在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，即(3+x)2+(x+4)2=72； 整理得x2+7x-12=0，解方程求出x的值，进而可求出该矩形的面积. 【详解】如图. 设小正方形的边长为x， ∵a=3，b=4， ∴AB=3+4=7. 在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2， 即(3+x)2+(x+4)2=72， 整理得，x2+7x-12=0， 解得，或（舍去）， ∴该矩形的面积 故答案为. 【点睛】考查勾股定理，设出正方形的边长，根据勾股定理列出方程是解题的关键. 16. 如图所示，四边形是正方形，E为边的中点，连接并延长， 与延长线交于点F，连接，G为的中点，连接，与相交于点H，与相交于点M，连接，与相交于点N．有下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有______（只填写结论序号）． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】先证明，可得，，即可判断①；由是等腰直角三角形，可得，结合三角函数的定义，即可判断②；先证明，从而得，即可判断③；连接,可得，从而得，即可判断④. 【详解】解：①∵四边形ABCD是正方形，E为边CD的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故①正确； ②∵， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴，故②错误； ③∵G为DF的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即，故③正确； ④连接, ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴，故④正确. 故答案为：①③④ 【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义，中位线的性质，熟练掌握正方形的性质，相似三角形的判定和性质，是解题的关键. 三、解答题（本大题共10小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】3 【解析】 【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答． 【详解】解： ． 【点睛】本题主要考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键． 18. 解不等式组，求出解集并写出此不等式组的整数解． 【答案】；整数解为0，1，2 【解析】 【分析】分别求出不等式组中的两个不等式的解集，找出解集的公共部分确定出解集，再找出解集中的整数解即可． 【详解】 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式的解集为， ∴此不等式组的整数解为0，1，2． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组整数解的应用，能根据不等式的解集得出不等式组的解集是解题的关键． 19. 如图，四边形是平行四边形，E，F是对角线的三等分点，连接，证明：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】只需要利用证明即可证明. 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵E，F是对角线的三等分点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴. 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，熟知平行四边形对边平行且相等是解题的关键. 20. 某校九年级开展征文活动，征文主题只能从“爱国”“敬业”“诚信”“友善”四个主题中选择一个，九年级每名生按要求都上交了一份征文，学校为了解选择各种征文主题的生人数，随机抽取了部分征文进行了调查，根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． （1）求本次调查共抽取了________名学生的征文，并把条形统计图补充完整； （2）求扇形统计图中“爱国”所对应扇形的圆心角度数； （3）本次抽取的3份以“诚信”为主题的征文分别是甲、乙、丙的，若从中随机选取2份以“诚信”为主题的征文进行交流，请用画树状图法或列表法求甲和乙征文同时被选中的概率． 【答案】（1）50，统计图见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）用主题为“诚信”的数量除以其数量占比即可求出本次调查的学生的征文数量，再求出主题为“友善”的数量即可补全统计图； （2）用360度乘以主题为“爱国”的数量占比即可得到答案； （3）先列出表格得到所有的等可能性的结果数，然后找到符合题意的结果数，最后根据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：名， ∴本次调查共抽取了50名学生的征文， ∴主题为“友善”的有名， 补全统计图如下： 【小问2详解】 解：， ∴扇形统计图中“爱国”所对应扇形的圆心角度数为； 【小问3详解】 解：列表如下： 甲 乙 丙 甲 （乙，甲） （丙，甲） 乙 （甲，乙） （丙，乙） 丙 （甲，丙） （乙，丙） 由表格可知，一共有6种等可能性的结果数，其中甲和乙征文同时被选中的结果数有2种， ∴甲和乙征文同时被选中的概率为． 【点睛】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，树状图或列表法求解概率，灵活运用所学知识是解题的关键． 21. 如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O交于点F，弦AD平分，，垂足为E （1）试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若⊙O的半径为2，，求线段EF的长． 【答案】（1）直线DE与⊙O相切；（2）. 【解析】 【分析】（1）欲证明DE是⊙O的切线，只要证明即可； （2）过O作于G，得到，根据直角三角形的性质得到，得到，推出四边形AODF是菱形，得到，，于是得到结论． 【详解】（1）直线DE与⊙O相切， 连结OD． ∵AD平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴，即， ∴DE是⊙O的切线； （2）过O作于G， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形AODF是菱形， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查切线的判定和性质、垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型． 22. 如图，海上观察哨所B位于观察哨所A正北方向，距离为25海里．在某时刻，哨所A与哨所B同时发现一走私船，其位置C位于哨所A北偏东的方向上，位于哨所B南偏东的方向上． （1）求观察哨所A与走私船所在的位置C的距离； （2）若观察哨所A发现走私船从C处以16海里/小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东的方向前去拦截．求缉私艇的速度为多少时，恰好在D处成功拦截．（结果保留根号） （参考数据：，，，） 【答案】（1）观察哨所与走私船所在的位置的距离为15海里 （2）当缉私艇以每小时海里的速度行驶时，恰好在处成功拦截 【解析】 【分析】此题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想． （1）先根据三角形内角和定理求出，再解，利用正弦函数定义得出即可； （2）过点C作于点M，易知，在一条直线上．解，求出．解中，求出，得出．设缉私艇的速度为x海里/小时，根据走私船行驶所用的时间等于缉私艇行驶所用的时间列出方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：在中，， 在中，，所以（海里）， 答：观察哨所与走私船所在的位置的距离为15海里； 【小问2详解】 过点作，垂足为，由题意易知，在一条直线上， 在中，，， 在中，， 所以. 所以， 设缉私艇的速度为海里/小时，则有，解得， 经检验，是原方程的解， 答：当缉私艇以每小时海里的速度行驶时，恰好在处成功拦截． 23. 端午节是我国传统节日，人们素有吃粽子的习俗，某商场在端午节来临之际用3000元购进、两种粽子1100个，购买种粽子与购买种粽子的费用相同，已知粽子的单价是种粽子单价的1.2倍. （1）求、两种粽子的单价各是多少？ （2）若计划用不超过7000元的资金再次购买、两种粽子共2600个，已知、两种粽子的进价不变，求中粽子最多能购进多少个？ 【答案】（l）种粽子的单价是3元，种粽子的单价是2.5元；（2）种粽子最多能购进1000个. 【解析】 【分析】（1）根据题意列出分式方程计算即可，注意根的验证. （2）根据题意列出不等式即可，根据不等式的性质求解. 【详解】（l）设种粽子的单价为元，则种粽子的单价为元 根据题意，得 解得： 经检验，是原方程的根 所以种粽子的单价是3元，种粽子的单价是2.5元 （2）设种粽子购进个，则购进种粽子个 根据题意，得 解得 所以，种粽子最多能购进1000个 【点睛】本题主要考查分式方程的应用，以及一元一次不等式的应用，关键在于分式方程的解需要验证. 24. 矩形中，，，分别以为轴、轴，建立如图1所示的平面直角坐标系，是边上一个动点（不与重合），过点的反比例函数的图象与边交于点． （1）当点运动到边的中点时，求点的坐标； （2）连接，试探究：随着点的运动，的正切值是否发生变化？若不变，求出这个值；若变化，请说明理由； （3）如图2，将沿折叠，点恰好落在边上的点处，求此时点的坐标． 【答案】（1）点的坐标为 （2）的正切值不发生变化，为 （3）点的坐标为 【解析】 【分析】（1）根据题意可得到点的坐标为，从而即可得到反比例函数的解析式为，当时，求出的值，即可得到点的坐标； （2）设点的坐标为，则，则反比例函数的解析式为：，从而可以求出点的坐标为，进而求出，最后根据正切的定义，即可求得答案； （3）设点的坐标为，则，由（2）同理可得点的坐标为，由翻折的性质可得，，，作交轴于点，通过证明，可得到，最后通过勾股定理计算即可解答． 【小问1详解】 解：四边形为矩形，，， 当点运动到边的中点时，点的坐标为， 此时， 反比例函数的解析式为：， 当时，， 解得， 点的坐标为； 【小问2详解】 解：的正切值不发生变化，为， 理由：设点的坐标为， 则， 反比例函数的解析式为：， 当时，， 解得：， 点的坐标为， ， ； 【小问3详解】 解：设点的坐标为，则， 由（2）同理可得点的坐标为， 将沿折叠，点恰好落在边上的点处， ，， 作交轴于点，如图所示， ， ， ， ，即， ， ， ， 解得：， 点的坐标为． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、反比例函数与几何综合，相似三角形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质，相似三角形的判定与性质，折叠的性质，添加恰当的辅助线，是解题的关键． 25. 如图（1），已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD，垂足为点F． （1）证明与推断： ①求证：四边形CEGF是正方形； ②推断：的值为　 　： （2）探究与证明： 将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图（2）所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由： （3）拓展与运用： 正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长CG交AD于点H．若AG=6，GH=2，则BC=　 　． 【答案】（1）①四边形CEGF是正方形；②；（2）线段AG与BE之间的数量关系为AG=BE；（3）3 【解析】 【分析】（1）①由、结合可得四边形CEGF矩形，再由即可得证； ②由正方形性质知、，据此可得、，利用平行线分线段成比例定理可得； （2）连接CG，只需证∽即可得； （3）证∽得，设，知，由得、、，由可得a的值． 【详解】（1）①∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BCD=90°，∠BCA=45°， ∵GE⊥BC、GF⊥CD， ∴∠CEG=∠CFG=∠ECF=90°， ∴四边形CEGF是矩形，∠CGE=∠ECG=45°， ∴EG=EC， ∴四边形CEGF是正方形； ②由①知四边形CEGF是正方形， ∴∠CEG=∠B=90°，∠ECG=45°， ∴，GE∥AB， ∴， 故答案为； （2）连接CG， 由旋转性质知∠BCE=∠ACG=α， 在Rt△CEG和Rt△CBA中， =、=， ∴=， ∴△ACG∽△BCE， ∴， ∴线段AG与BE之间的数量关系为AG=BE； （3）∵∠CEF=45°，点B、E、F三点共线， ∴∠BEC=135°， ∵△ACG∽△BCE， ∴∠AGC=∠BEC=135°， ∴∠AGH=∠CAH=45°， ∵∠CHA=∠AHG， ∴△AHG∽△CHA， ∴， 设BC=CD=AD=a，则AC=a， 则由得， ∴AH=a， 则DH=AD﹣AH=a，CH==a， ∴由得， 解得：a=3，即BC=3， 故答案为3． 【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，相似三角形的判定与性质等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线，熟练掌握正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键. 26. 如图，二次函数的图象过原点，与x轴的另一个交点为 （1）求该二次函数的解析式； （2）在x轴上方作x轴的平行线，交二次函数图象于A、B两点，过A、B两点分别作x轴的垂线，垂足分别为点D、点C．当矩形ABCD为正方形时，求m的值； （3）在（2）的条件下，动点P从点A出发沿射线AB以每秒1个单位长度匀速运动，同时动点Q以相同的速度从点A出发沿线段AD匀速运动，到达点D时立即原速返回，当动点Q返回到点A时，P、Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒（）．过点P向x轴作垂线，交抛物线于点E，交直线AC于点F，问：以A、E、F、Q四点为顶点构成的四边形能否是平行四边形．若能，请求出t的值；若不能，请说明理由． 【答案】（1）；（2）当矩形ABCD为正方形时，m值为4；（3）以A、E、F、Q四点为顶点构成的四边形能为平行四边形，t的值为4或6或. 【解析】 【分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数的解析式； （2）利用二次函数图象上点的坐标特征求出点A，B的坐标，进而可得出点C，D的坐标，再利用正方形的性质可得出关于m的方程，解之即可得出结论； （3）由（2）可得出点A，B，C，D的坐标，根据点A，C的坐标，利用待定系数法可求出直线AC的解析式，利用二次函数图象上点的坐标特征及一次函数图象上点的坐标特征可求出点E，F的坐标，由且以A、E、F、Q四点为顶点的四边形为平行四边形可得出，分，，三种情况找出AQ，EF的长，由可得出关于t的一元二次方程，解之取其合适的值即可得出结论． 【详解】（1）将，代入，得：， 解得， ∴该二次函数的解析式为． （2）当 时，， 解得：，， ∴点a的坐标为（，m），点b的坐标为（，m）， ∴点d的坐标为（，0），点c的坐标为（，0）． ∵矩形ABCD为正方形， ∴， 解得：，（舍去），． ∴当矩形ABCD为正方形时，m的值为4． （3）以A、E、F、Q四点为顶点构成的四边形能为平行四边形． 由（2）可知：点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，点D的坐标为． 设直线AC的解析式为， 将，代入， 得， 解得， ∴直线AC的解析式为． 当时， ， ∴点E的坐标为（，），点F的坐标为（，-t+4）． ∵以A、E、F、Q四点为顶点构成的四边形为平行四边形，且 ， ∴，分三种情况考虑： ①当时，如图1所示，，EF=， ∴，解得：（舍去），； ②当时，如图2所示，，EF=， ∴， 解得：（舍去），； ③,, EF=， ， 解得（舍去）， 综上所述，当以A、E、F、Q四点为顶点构成的四边形为平行四边形时，t的值为4或6或 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及平行四边形的性质，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用正方形的性质，找出关于m的方程；（3）分，，三种情况，利用平行四边形的性质找出关于t的一元二次方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $