精品解析：辽宁省鞍山市岫岩满族自治县2022-2023学年八年级下学期期中数学试题

2022－2023学年辽宁省鞍山市岫岩县八年级（下）期中数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，共20.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 要使式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. x≥1 B. x＜1 C. x≤1 D. x≠1 2. 下列二次根式中，不能与合并的是（ ） A. B. C. D. 3. 在下列以线段、、的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. D. ，， 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列各命题都成立，而它们的逆命题也成立的是（ ） A. 全等三角形的面积相等 B. 对顶角相等 C. 如果，那么 D. 等腰三角形的两个底角相等 6. 放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是40米/分，小红用15分钟到家，小颖20分钟到家，小红和小颖家的直线距离为（　　） A. 600米 B. 800米 C. 1000米 D. 不能确定 7. 如图，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点连接AF，BF，∠AFB =90°，且AB=8，BC= 14，则EF的长是 （ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 9. 如图，在平面直角坐标系中，将长方形沿直线折叠（点E在边上），折叠后顶点D恰好落在边上的点F处．若点D的坐标为．则点E的坐标为（　　） A. B. C. D. 10. 在正方形中，对角线、交于点，的平分线交于点，交于点．过点作于点，交于点．下列结论：①；②四边形是菱形；③；④若，则．其中正确的个数有（　　） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（本大题共6小题，共18.0分） 11. 计算：________． 12. 已知n为正整数，也是正整数，那么满足条件n的最小值是___． 13. 如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为30海里的A处，轮船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为__________． 14. 如图，在中，对角线，相交于点，的周长比的周长大2，若，则的长是______． 15. 已知菱形的边长为6，，如果点是菱形内一点，且，那么的长为__________． 16. 一组正方形按如图所示的方式放置，其中顶点在轴上，顶点，，，，，，…在轴上，已知正方形的边长为1，，，则正方形的边长是______． 三、解答题（本大题共9小题，共82.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1） （2） 18. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，小明以格点为顶点画出了． （1）小华看了看说，是直角三角形，你同意他的观点吗？说明理由． （2）在中，求边上高的长． 19. 如图，已知在□ABCD中，点E在AB上，点F在CD上，且，求证：． 20. 已知，． （1）试求的值； （2）试求的值． 21. 海滨公园是珠海市市民放风筝的最佳场所，某校八年级（1）班的小华和小轩学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为12米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为20米；③牵线放风筝的小明的身高为1.62米． （1）求风筝的垂直高度； （2）如果小明想风筝沿方向下降11米，则他应该往回收线多少米？ 22. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO，且∠ABC+∠ADC＝180°． （1）求证：四边形ABCD是矩形； （2）若∠ADF：∠FDC＝3：2，DF⊥AC，求∠BDF的度数． 23. 如图，在四边形中，已知，，，，． （1）求证：是直角三角形； （2）求四边形的面积． 24. 如图，在矩形中，点O是对角线的中点，过点O作交于点E，交于F，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形的周长和面积． 25. 如图（1），四边形为正方形，E为对角线上一点，连接，． （1）求证：； （2）如图（2），过点E作，交边于点F，以，为邻边作矩形，连接． ①求证：矩形是正方形； ②若正方形的边长为9，，求正方形的边长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022－2023学年辽宁省鞍山市岫岩县八年级（下）期中数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，共20.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 要使式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. x≥1 B. x＜1 C. x≤1 D. x≠1 【答案】A 【解析】 【分析】根据被开方数大于等于0，列式得，x﹣1≥0，解不等式即可. 【详解】解：根据被开方数大于等于0，列式得，x﹣1≥0，解得x≥1． 故选A． 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，掌握被开方数为非负数是本题的解题关键. 2. 下列二次根式中，不能与合并的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】化简二次根式，根据最简二次根式的被开方数相同，可得答案． 【详解】解：A、，能与合并，故A不符合题意； B、，能与合并，故B不符合题意； C、，不能与合并，故C符合题意； D、，能与合并，故D不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了同类二次根式， 关键是掌握被开方数相同的最简二次根式是同类二次根式． 3. 在下列以线段、、的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理（两边的平方和等于第三边的平方）判断即可； 【详解】解：A：，，， ， 故不能构成直角三角形； B：，，， ， 故能构成直角三角形； C，设， 则：， ， 故能构成直角三角形； D：，，， ， 故能构成直角三角形； 故选：A 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练运用勾股定理的逆定理是解题关键． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用二次根式的加减法的法则，二次根式的除法的法则及化简的法则对各项进行运算即可． 【详解】解：A、，故正确，符合题意； B、与不属于同类二次根式，不能运算，故错误，不符合题意； C、，故错误，不符合题意； D、，故错误，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 5. 下列各命题都成立，而它们的逆命题也成立的是（ ） A. 全等三角形的面积相等 B. 对顶角相等 C. 如果，那么 D. 等腰三角形的两个底角相等 【答案】D 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质，对顶角的定义，等腰三角形的判定和性质，绝对值的性质一一判断即可． 【详解】、全等三角形的面积相等，逆命题是：面积相等的两个三角形全等，是假命题，本选项不符合题意． 、对顶角相等，逆命题是：相等的两个角是对顶角，是假命题，本选项不符合题意． 、如果，那么，逆命题是：如果，，是假命题，本选项不符合题意． 、等腰三角形的两个底角相等，逆命题是：有两个角相等的三角形是等腰三角形，是真命题，本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查命题和定理，全等三角形的性质，对顶角的定义，等腰三角形的判定和性质，绝对值的性质，解题关键是熟练掌握相关定理和性质． 6. 放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是40米/分，小红用15分钟到家，小颖20分钟到家，小红和小颖家的直线距离为（　　） A. 600米 B. 800米 C. 1000米 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，小红和小颖的家以及学校三点组成一个直角三角形，小红和小颖的行走距离即为直角三角形的两直角边的长度，由勾股定理可以求得直角三角形斜边的长度，从而得到小红和小颖家的直线距离． 【详解】解：由题意，小红和小颖的家以及学校三点组成一个直角三角形， ∵ ∴直角三角形的两直角边为600和800， 所以由可得小红和小颖家的直线距离为1000米． 故选C． 【点睛】本题考查直角三角形和方位角的综合应用，通过方位角的方向判断所成角为直角并由勾股定理得到所求边长是解题关键．　 7. 如图，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定方法逐个判断即可解决问题． 【详解】解：A、根据，，可能得出四边形可能是等腰梯形，不一定能推出四边形是平行四边形，故本选项符合题意； B、，，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，得出四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； C、∵，，四边形内角和为， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； D、，，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可以判定四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； 故选A． 【点睛】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是记住平行四边形的判定方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．两组对边分别相等的四边形是平行四边形．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．两组对角分别相等的四边形是平行四边形．对角线互相平分的四边形是平行四边形． 8. 如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点连接AF，BF，∠AFB =90°，且AB=8，BC= 14，则EF的长是 （ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据直角三角形的性质得到DF=4，根据BC= 14，由三角形中位线定理得到DE=7，解答即可． 【详解】解：∵∠AFB=90°，点D是AB的中点， ∴DF= AB=4， ∵BC= 14，D、E分别是AB，AC的中点， ∴DE=BC=7， ∴EF=DE-DF=3， 故选：B 【点睛】本题考查了直角三角形的性质和中位线性质，掌握定理是解题的关键． 9. 如图，在平面直角坐标系中，将长方形沿直线折叠（点E在边上），折叠后顶点D恰好落在边上的点F处．若点D的坐标为．则点E的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据点D的坐标得到，再由折叠的性质得到，利用勾股定理求出，则，设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是长方形，点D的坐标为， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴， 故选A． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，折叠的性质，坐标与图形，灵活运用所学知识是解题的关键． 10. 在正方形中，对角线、交于点，的平分线交于点，交于点．过点作于点，交于点．下列结论：①；②四边形是菱形；③；④若，则．其中正确的个数有（　　） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】A 【解析】 【分析】设，则，可算出，故①正确；先证明，再由得，即，四边形是菱形，故②正确；由，得，可求出，故③正确；由四边形是菱形证明，即可得，故④正确． 【详解】解：平分，，， ， 四边形是正方形， ， ， 设，则， ，故①正确； 在和中， ， ， ，， 四边形是正方形， ， 又 ， ， ， ， ， 四边形是菱形，故②正确； 由①②知，，， ， ，故③正确； ，， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ，故④正确． 故选：A． 【点睛】此题考查了正方形的性质、角平分线的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质以及菱形的判定与性质．此题综合性较强，难度较大．设出未知数、利用好正方形的性质是解决此题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，共18.0分） 11. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式乘方的意义与二次根式乘法的运算法则，即可求得答案． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式的乘方及二次根式的乘法运算，熟练掌握二次根式乘法的运算法则是解题的关键． 12. 已知n为正整数，也是正整数，那么满足条件n的最小值是___． 【答案】3 【解析】 【分析】由为正整数，也是正整数，知是一个完全平方数，再将12分解质因数，从而得出结果． 【详解】解：为正整数，也是正整数， 则是一个完全平方数， 又∵， ∴是一个完全平方数， ∴的最小值是3． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，解题的关键是掌握如果是正整数，那么是一个完全平方数． 13. 如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为30海里的A处，轮船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为__________． 【答案】30海里 【解析】 【分析】根据题意得出：∠B=30°，AP=30海里，∠APB=90°，再利用勾股定理得出BP的长，求出答案． 【详解】由题意可得：∠B=30°，AP=30海里，∠APB=90°， 故AB=2AP=60（海里）， 则此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为： BP=（海里） 故答案为30海里. 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用以及方向角，正确应用勾股定理是解题关键． 14. 如图，在中，对角线，相交于点，的周长比的周长大2，若，则的长是______． 【答案】8 【解析】 【分析】根据平行四边形对边相等可得，再利用周长之差可得，结合，可得结果． 【详解】解：在中， ， ∵的周长比的周长大2， ∴， ∵， ∴ ∴， 故答案为：8． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形对角线互相平分． 15. 已知菱形的边长为6，，如果点是菱形内一点，且，那么的长为__________． 【答案】4或2． 【解析】 【分析】根据题意得，应分P与A在BD的同侧与异侧两种情况进行讨论． 【详解】解：当P与A在BD的异侧时：连接AP交BD于M， ∵AD=AB，DP=BP， ∴AP⊥BD（到线段两端距离相等的点在垂直平分线上）， 在直角△ABM中，∠BAM=30°， ∴AM=AB•cos30°=3，BM=AB•sin30°=3， ∴PM==， ∴AP=AM+PM=4； 当P与A在BD的同侧时：连接AP并延长AP交BD于点M AP=AM-PM=2； 当P与M重合时，PD=PB=3，与PB=PD=2矛盾，舍去． AP的长为4或2． 故答案为：4或2． 【点睛】本题注意到应分两种情况讨论，并且注意两种情况都存在关系AP⊥BD，这是解决本题的关键． 16. 一组正方形按如图所示的方式放置，其中顶点在轴上，顶点，，，，，，…在轴上，已知正方形的边长为1，，，则正方形的边长是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用正方形的性质，结合含30度的直角三角形的性质以及勾股定理得出正方形的边长，进而得出变化规律即可得出答案． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， ， 正方形的边长为， 同理可求正方形的边长为， 正方形的边长为， 正方形的边长是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，含30度的直角三角形的性质，得出正方形的边长变化规律是解题关键． 三、解答题（本大题共9小题，共82.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的性质化简，然后合并同类二次根式即可； （2）根据二次根式的乘除法法则计算，然后合并同类二次根式即可； 【小问1详解】 解：， ， ， ． 【小问2详解】 解：， ， ， ． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练运用二次根式的运算法则是解题关键． 18. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，小明以格点为顶点画出了． （1）小华看了看说，是直角三角形，你同意他的观点吗？说明理由． （2）在中，求边上高的长． 【答案】（1）我同意他的观点，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由网格确定三边长度，然后利用勾股定理逆定理即可证明； （2）利用三角形等面积法求解即可． 【小问1详解】 解：我同意他的观点， 理由：由图可得， ， ， ， ∴， ∴是直角三角形． 【小问2详解】 解：由（1）知：是直角三角形， ，， ∵， 的面积为：， 设边上高为h， ， 解得： ∴边上高为． 【点睛】本题主要考查勾股定理及逆定理，熟练掌握勾股定理运用三角形等面积法求解是解题关键． 19. 如图，已知在□ABCD中，点E在AB上，点F在CD上，且，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质和判定，可以得到四边形DEBF是平行四边形，进而可得． 【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴，即， 又∵， ∴四边形DEBF是平行四边形， ∴． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质和判定，解题关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 20. 已知，． （1）试求的值； （2）试求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）转化，然后将的数值代入即可； （2）转化，然后将的数值代入即可； 【小问1详解】 解：， 将，代入上式得： ， ； 【小问2详解】 解：， 将，代入上式得： ， ； 【点睛】本题考查了二次根式的计算，相关知识点有：完全平方公式，分式的化简等，代数式的转化是解题快捷的关键． 21. 海滨公园是珠海市市民放风筝的最佳场所，某校八年级（1）班的小华和小轩学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为12米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为20米；③牵线放风筝的小明的身高为1.62米． （1）求风筝的垂直高度； （2）如果小明想风筝沿方向下降11米，则他应该往回收线多少米？ 【答案】（1）17.62米 （2）7米 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度； （2）根据勾股定理即可得到结论． 【小问1详解】 解：在中， 由勾股定理得，， 所以，（负值舍去）， 所以，（米）， 答：风筝的高度为17.62米； 【小问2详解】 解：由题意得，米， ∴米， ∴（米）， ∴（米）， ∴他应该往回收线7米． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键． 22. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO，且∠ABC+∠ADC＝180°． （1）求证：四边形ABCD是矩形； （2）若∠ADF：∠FDC＝3：2，DF⊥AC，求∠BDF的度数． 【答案】 （1）证明：∵AO＝CO，BO＝DO， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ABC＝∠ADC， ∵∠ABC+∠ADC＝180°， ∴∠ABC＝∠ADC＝90°， ∴四边形ABCD是矩形； （2）∠BDF＝18°． 【解析】 【分析】（1）先证明四边形ABCD是平行四边形，求出∠ABC=90°，然后根据矩形的判定定理，即可得到结论； （2）求出∠FDC的度数，根据三角形的内角和，求出∠DCO，然后得到OD=OC，得到∠CDO，即可求出∠BDF的度数． 【详解】（1）略 （2）解：∵∠ADC＝90°，∠ADF：∠FDC＝3：2， ∴∠FDC＝36°， ∵DF⊥AC，l ∴∠DCO＝90°﹣36°＝54°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴CO＝OD， ∴∠ODC＝∠DCO＝54°， ∴∠BDF＝∠ODC﹣∠FDC＝18°． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，能灵活运用定理进行推理是解题的关键．注意：矩形的对角线相等，有一个角是直角的平行四边形是矩形． 23. 如图，在四边形中，已知，，，，． （1）求证：是直角三角形； （2）求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，含角直角三角形的特征，勾股定理的逆定理，三角形的面积，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）根据直角三角形的性质得到，根据跟勾股定理的逆定理即可得到结论； （2）根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【小问1详解】 证明：在中，，，， ， 在中，，， ，即， ，即是直角三角形； 【小问2详解】 在中，，，，， ， 的面积为：， 又的面积为：， 四边形的面积为：． 24. 如图，在矩形中，点O是对角线的中点，过点O作交于点E，交于F，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形的周长和面积． 【答案】（1）见解析 （2）菱形的面积是120，菱形的周长是52 【解析】 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质，可得，，，然后由四边形是矩形，再证明，则可得，继而证得结论； （2）由勾股定理可求的长，由直角三角形的性质可求解． 【小问1详解】 证明：∵点O是的中点，， ∴是的垂直平分线， ∴，，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形． 【小问2详解】 解：∵四边形为菱形， ∴、相互垂直且平分， ∴． ∴， ∴， ∴菱形AECF的面积， 菱形AECF的周长． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，证得是关键． 25. 如图（1），四边形为正方形，E为对角线上一点，连接，． （1）求证：； （2）如图（2），过点E作，交边于点F，以，为邻边作矩形，连接． ①求证：矩形是正方形； ②若正方形的边长为9，，求正方形的边长． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；② 【解析】 【分析】本题考查四边形的综合应用，主要考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握正方形的性质是解题的关键，同时注意解题方法的延续性． （1）由正方形得，，可证得，可证得结果； （2）①作于点P，于点Q，利用角平分线的性质得，证明，即可得出，从而证明结论； ②过点E作于M，先证明，可得，最后由勾股定理求得的长 【小问1详解】 证明：∵在正方形中， ∴，， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 ①证明：如图，作于点P，于点Q， ∵在正方形中， ∴， ∴和均为等腰直角三角形， 由勾股定理可得， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴矩形是正方形； ②解：∵在正方形，正方形中， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 如图所示，过点E作于M，则是等腰直角三角形， 根据勾股定理得， ∵， ∵， 即正方形的边长为； 故答案为： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $