第二十二章 二次函数（培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记·巧练（广东省专用,人教版）

第二十二章 二次函数（单元培优卷 人教版） 考试时间：120分钟，满分：120分 1、 选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（　　） A． B． C． D． 2．将抛物线向左平移3个单位长度得到抛物线（    ） A． B． C． D． 3．对于二次函数，下列说法正确的是（    ） A．当时，y的值随x值得增大而减小 B．y有最大值，最大值为0 C．当时，y的值随x值的增大而增大 D．y的值随x值得增大而减小 4．函数和函数（是常数，且）的图象可能是（　　） A． B． C． D． 5．抛物线与轴的一个交点的坐标为，则此抛物线与轴的另一个交点的坐标是（  ） A． B． C． D． 6．已知点，，均在抛物线上，下列说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 7．如图，有一抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，当水面宽增加时，则水面应下降的高度是（   ）　　 A． B． C． D． 8．已知抛物线的对称轴为直线，若关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有解，则t的取值范围是（　　） A． B． C． D． 9．直线和抛物线都经过点，则不等式的解集为（　　） A． B． C． D．或 10．如图，二次函数的图象与y轴交于，对称轴为，对于此二次函数，有以下四个结论： ①； ②；③若此抛物线经过点，则一定是方程的一个根 ；④，中所有正确结论的序号是（   ） A．①④ B．①③ C．②④ D．②③ 2、 填空题：共6题，每题3分，共18分。 11．已知函数，当 时，它是二次函数． 12．若抛物线的顶点在x轴上，则 13．若二次函数（a、b、c为常数）的图像如图所示，则关于x的不等式的解集为 ． 14．抛物线的对称轴为直线，的最大值为，且与 的图象开口大小相同．则这条抛物线解析式为 ． 15．如图，二次函数的图象交x轴于A，B两点，交y轴于C点，则的面积为 ． 16．若二次函数的解析式，若函数过点和点，则t的取值范围是 ． 三、解答题：共9题，共72分，其中第17题4分，第18~21题每小题6分，第22~23题每小题10分，第24~25题每小题12分。 17．（4分）已知二次函数，当时，，时，． (1)求a，c的值． (2)当时，求函数y的值． 18．（6分）如图，用20米长的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃(墙足够长)，设垂直于墙的一边长为x米矩形花圃的面积为y平方米． (1)写出y关于x的函数解析式； (2)当x为多少时，矩形花圈的面积最大？ 19．（6分）已知，抛物线， （1）求证：不论k取何值时，抛物线与x轴总有两个交点； （2）若已知抛物线与x轴有一个交点A（1，0），另一交点B，求k的值及线段AB的长． 20．（6分）如图，已知抛物线过点与，与轴交于点．点在抛物线上，且与点关于对称轴对称． (1)求该抛物线的函数关系式和对称轴； (2)求的面积． 21．（6分）如图，直线和抛物线都经过点． (1)求抛物线的解析式和顶点P的坐标； (2)直接回答，当x为何值时，不等式． 22．（10分）已知二次函数． (1)若当时，该函数有最小值，求k的值； (2)若将二次函数的图象向上平移4个单位后与x轴只有一个交点，求k的值； (3)若，当时，y随着x的增大而增大，求m的范围． 23．（10分）某商店进购一商品，第一天每件盈利（毛利润）10元，销售500件． (1)第二、三天该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，第二、三天的销售量达到605件，求第二、三天的日平均增长率； (2)经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价1元，日销量将减少20件． ①现要保证每天总毛利润6000元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应张价多少元？ ②现需按毛利润的交纳各种税费，人工费每日按销售量每件支出0.9元，水电房租费每日102元，若剩下的每天总纯利润要达到5100元，则每件涨价应为多少？ 24．（12分）如图，在矩形中，，，点P，Q同时从点A出发，点P以每秒2个单位的速度沿的方向运动；点Q以每秒1个单位的速度沿的方向运动，当P、Q两点相遇时，它们同时停止运动，设P、Q两点运动的时间为x秒，的面积为S（平方单位）． (1)点P、Q从出发到相遇所用的时间是________秒； (2)当时，求S与x之间的函数关系式； (3)当（2）的条件下，x为何值时，的面积最大？并求出最大面积． 25．（12分）如图，抛物线经过点，对称轴与x轴交于点H． (1)求抛物线的解析式，并写出顶点M的坐标； (2)当时，直接写出函数值y的取值范围； (3)若点在抛物线上，点F是的中点，连接，求线段的长． 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7．如图，有一抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，当水面宽增加时，则水面应下降的高度是（   ）　　 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：以拱形桥顶为坐标原点，建立如图直角坐标系，水面宽为，与轴交于，水面下降后宽度为，与轴交于， ∵，抛物线的对称轴为轴， ∴点， 设抛物线为． ∵抛物线过点， ， ， ∴抛物线解析式为， 设水面下降， ， ， ∵点在抛物线上， ， 解得：． 故选：B． 8．已知抛物线的对称轴为直线，若关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有解，则t的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∵关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有解， ∴二次函数与直线在的范围内有交点， ∵二次函数的对称轴为直线且开口向下， ∴离对称轴越远函数值越小， 当时，， 当时，， 当时，， ∴当时，， ∴当时，二次函数与直线在的范围内有交点， 故选：D． 9．直线和抛物线都经过点，则不等式的解集为（　　） A． B． C． D．或 【答案】D 【详解】解：如图， ∵直线和抛物线都经过点， ∴根据图象可知，不等式的解集为或； 故选：D． 10．如图，二次函数的图象与y轴交于，对称轴为，对于此二次函数，有以下四个结论： ①； ②；③若此抛物线经过点，则一定是方程的一个根 ；④，中所有正确结论的序号是（   ） A．①④ B．①③ C．②④ D．②③ 【答案】C 【详解】解：由图可知：即，，，， 抛物线与轴有两个交点即， ，故①错误； 时，， ，故②正确； 此抛物线经过点，则是方程的一个根， 对称轴为， 则一定是方程的一个根，故③错误； ， ， 时，， ，故④正确， 综上所述，正确的是②④， 故选：C． 2、 填空题：共6题，每题3分，共18分。 11．已知函数，当 时，它是二次函数． 【答案】1 【详解】解：∵是关于x的二次函数， ∴，且， 解得或，且， ∴． 故答案为：1． 12．若抛物线的顶点在x轴上，则 【答案】 【详解】解：根据题意可得： 抛物线的顶点坐标为：， 抛物线的顶点在x轴上，， 解得：， 故答案为：． 13．若二次函数（a、b、c为常数）的图像如图所示，则关于x的不等式的解集为 ． 【答案】或/或 【详解】解：由图象可知，当时，． 故答案为：或． 14．抛物线的对称轴为直线，的最大值为，且与 的图象开口大小相同．则这条抛物线解析式为 ． 【答案】 【详解】解：设这条抛物线解析式为， ∵抛物线与 的图象开口大小相同， ∴， ∴， 故答案为：． 15．如图，二次函数的图象交x轴于A，B两点，交y轴于C点，则的面积为 ． 【答案】15 【详解】解：当时，，解得或3，则，， 当时，，则， ∴，， ∴， 故答案为：15． 16．若二次函数的解析式，若函数过点和点，则t的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：设直线与抛物线的交点为，，，， 由题意， 由，消去得到，， ，， ， ， ， 设， ， 当时，， ， 故答案为． 三、解答题：共9题，共72分，其中第17题4分，第18~21题每小题6分，第22~23题每小题10分，第24~25题每小题12分。 17．（4分）已知二次函数，当时，，时，． (1)求a，c的值． (2)当时，求函数y的值． 【答案】(1) (2)21 【详解】（1）解：由题意，得：，解得：， ∴； （2）由（1）知：， ∴， ∴当时，． 18．（6分）如图，用20米长的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃(墙足够长)，设垂直于墙的一边长为x米矩形花圃的面积为y平方米． (1)写出y关于x的函数解析式； (2)当x为多少时，矩形花圈的面积最大？ 【答案】(1) (2)当时，苗圃的面积最大，最大值是平方米． 【详解】（1）解：由题意可知，平行于墙的一边的长为米， ， ， ， y关于x的函数表达式为； （2）解：， ∴当时，y取得最大值，此时， 即当时，苗圃的面积最大，最大值是平方米． 19．（6分）已知，抛物线， （1）求证：不论k取何值时，抛物线与x轴总有两个交点； （2）若已知抛物线与x轴有一个交点A（1，0），另一交点B，求k的值及线段AB的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【详解】（1）由题意：==， 不论k取何值时，抛物线与x轴总有两个交点； （2）将A(1，0)代入解析式得：，解得：， 此时抛物线得解析式为：， 令，解得，，故， ． 20．（6分）如图，已知抛物线过点与，与轴交于点．点在抛物线上，且与点关于对称轴对称． (1)求该抛物线的函数关系式和对称轴； (2)求的面积． 【答案】(1)函数表达式为，抛物线的对称轴为 (2) 【详解】（1）抛物线过点，， 将，代入，得， 解得， 则该抛物线的函数表达式为， ， 即抛物线的对称轴为； （2）点与点关于对称轴对称，点， 点的坐标为， ，且轴． ． 21．（6分）如图，直线和抛物线都经过点． (1)求抛物线的解析式和顶点P的坐标； (2)直接回答，当x为何值时，不等式． 【答案】(1)抛物线的解析式为，抛物线的顶点 (2)当或时， 【详解】（1）∵直线经过点． ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∵， ∴抛物线的顶点； （2）由函数图像可知，当或时，抛物线在直线上方， ∴当或时，． 22．（10分）已知二次函数． (1)若当时，该函数有最小值，求k的值； (2)若将二次函数的图象向上平移4个单位后与x轴只有一个交点，求k的值； (3)若，当时，y随着x的增大而增大，求m的范围． 【答案】(1) (2)或 (3)当时，随着的增大而增大． 【详解】（1）解：由题得：， ∵当时，函数有最小值， ∴， 解得：； （2）解：由题得：由题平移后， 抛物线， ∵此时与x轴只有一个交点， ∴， 解得：或； （3）解：由题得：当时，抛物线对称轴为： ， ∵当时，y随着x的增大而增大，且抛物线开口向上， ∴当时，随着的增大而增大， ∴． 23．（10分）某商店进购一商品，第一天每件盈利（毛利润）10元，销售500件． (1)第二、三天该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，第二、三天的销售量达到605件，求第二、三天的日平均增长率； (2)经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价1元，日销量将减少20件． ①现要保证每天总毛利润6000元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应张价多少元？ ②现需按毛利润的交纳各种税费，人工费每日按销售量每件支出0.9元，水电房租费每日102元，若剩下的每天总纯利润要达到5100元，则每件涨价应为多少？ 【答案】(1) (2)①每件应张价5元；②每件涨价应为8元 【详解】（1）解： 设第二、三天的日平均增长率为x，根据题意，得 ， 解得： ， (不符合题意，舍去)， ∴， 答： 第二、三天的日平均增长率为10%． （2）解：①设每件应张价y元，根据题意，得 ， 解得：，， ∵要使顾客得到实惠， ∴， 答：每件应张价5元； ②设每件涨价应为z元，根据题意，得 ， 解得：， ∴， 答：每件涨价应为8元． 24．（12分）如图，在矩形中，，，点P，Q同时从点A出发，点P以每秒2个单位的速度沿的方向运动；点Q以每秒1个单位的速度沿的方向运动，当P、Q两点相遇时，它们同时停止运动，设P、Q两点运动的时间为x秒，的面积为S（平方单位）． (1)点P、Q从出发到相遇所用的时间是________秒； (2)当时，求S与x之间的函数关系式； (3)当（2）的条件下，x为何值时，的面积最大？并求出最大面积． 【答案】(1)4 (2)； (3)当时，有最大值，最大值为4． 【详解】（1）解：（秒）， 故答案为：4； （2）解：如图，当时，点P在线段上，点Q在线段上， ∴ ． ∴； （3）解：， ∵，开口向下，∴当时，S有最大值，最大值为4． 答：当时，有最大值，最大值为4． 25．（12分）如图，抛物线经过点，对称轴与x轴交于点H． (1)求抛物线的解析式，并写出顶点M的坐标； (2)当时，直接写出函数值y的取值范围； (3)若点在抛物线上，点F是的中点，连接，求线段的长． 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）解：将代入抛物线， 可得：，解得：， 所以抛物线的解析式为； ∵， ∴点M的坐标为． （2）解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线的开口向上，对称轴为：， ∴在上，y随x的增大而减小， 当时，；当时，， ∴当时，函数值y的取值范围为． （3）解：∵点在抛物线上， ∴， ∴， 如图：连接， ∴， ∵点F是的中点，抛物线的对称轴与x轴交于点H，即H为中点， ∴是的中位线， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$