Z20名校联盟（浙江省名校新高考研究联盟）2025届高三第一次联考数学试题

Z20名校联盟(浙江省名校新高考研究联盟)2025届高三第一次联考 数学试题卷 考生须知: 1.本卷满分150分,考试时间120分钟. 2.答题前务必将自己的姓名,准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸 规定的地方. 3.答题时,请按照答题纸上“注意事项”的要求,在答题纸相应的位置上规范答题,在本试卷纸 上答题一律无效. 4.考试结束后,只需上交答题卷 第I卷 一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目 要求的 1.已知集合A={x1x2-x-2≤0,B={x2x-3<0,则AnB= A.【-21] B.1 3 c.( D.(9,- 2.(2x-》的展开式中二项的系数是 :,:发 的2武1 A.672 :得 B.-420 C.84 D.-560 3.已知等差数列a,}前n项和为3,若凸=吕 a,13,则5 是B B号 c. D. 4.已知随机变量X的分布列如下表所示,则E(2X+)= X 1 2 3 6 A号 8. 3 c.号 D. 3 5. 已知函数f(x)=log2(x2-ax),aeR,则“a≤2”是“函数f()在(L,+o)上单调递增”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.函数f=co0s(@r+?(@>0)的图象在区间Q,)上恰有一个对称中心,则u的取值范围为 A(辰] B.(后 c.(] D] Z20名校联盟(浙江省名校新高考研究联盟)2025届高三第一次联考数学试题卷第1页共4页 7.若某圆台有内切球(与圆台的上下底面及每条母线均相切的球),且母线与底面所成角的余弦值 为},则此圆台与英内切球的体积之比为 指61 B.2 c.3t8D. 2 3 8.设函数f=ar-少2-1,g)=cos四-2ar,若函数)=f)-g因在区间(-1,)上存在零 62 点,则实数a的取值范围是 A.as2 B.iasl C.iax2 D.1<a≤2 二、多选题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对得 6分,部分选对得部分分,有选错的得0分。 9.已知正实数a,b,c满足2 =5=10 ,则 A.b+c=a B.a>b>c c.+= D.a+4b≥9c a b c 10.若直线y=(k∈R)与圆C:(x-1)2+0y-1)2=1交于不同的两点A、B,O为坐标原点,则 A.当k=2时,1AB卡45 B.C.C的取值范围为[-山,刂 C.IO4l-10BE1" 2行过9 D.线段AB中点的轨迹长度为√2元 11.若函数f(cosx)=1-cosx,neZ,则下列说法正确的是 A.若n=2,则函数∫(x)的最大值为2 B.若n=3,则函数f树为奇函数年n卡,卡=挂,潭供三R以门8A言( C.存在neZ,使得f(sinx)=l-sinx D.若f(sinx)+f(cosx)=2,则n=4k+2,k∈Z 第 卷 三、填空题:本题共3小题,共15分 12.已知a,b是两个单位向量,若(3a-b)⊥b,则向量a,b夹角的余弦 值为 13.若复数z满足z+z=2、2z=2,则|z一2z卡 一,二a41 14.如国,设双曲线C活若=1a>06>0的左焦点为F,过P作 倾斜角为60 的直线1与双曲线C的左支交于A,B两点,若 A厅=4FB,则双曲线C的渐近线方程为 Z20名校联盟(浙江省名校新高考研究联盟)2025届高三第一次联考数学试题卷第2页共4页 四、解答题:本题共5小题,共T7分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 I5、(本小题满分I3分)已知三棱锥A-BCD,AD⊥底面BCD,BC⊥CD,AD=BC=CD=2, 点P是AD的中点,点Q为线段BC上一动点,点M在线段DO上. (1)若PM/平面ABC,求证:M为DO的中点; (2)若Q为BC的中点,求直线D2与平面ABC所成角的正弦值, 1的不千令一⊙+') 16.(本小题满分15分)在A4BC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足cosB=a-C 2c 1)若A=背求B !1,5-1=任o 入第【二 (2)若 4BC是锐角三角形,且c=4,求b的取值范围.两以(八添,1 ,5二0 72-! t24袋投的… N三4出本一,S=1\+13 区调 102:2 人.4上-01821今 1n.(本小感满分15分)已妇琳圆岳号+芳-阳>b>0)的离心率为e-,左右顶点分别为 A,B,O为坐标原点,M为线段OA的中点,P为椭圆上动点,且 MPB面积的最大值为5 (1)求椭圆E的方程: (2)延长PM交椭圆于Q,若B严.BO=6,求直线PQ的方程. Z20名校联盟(浙江省名校新高考研究联盟)2025届高三第一次联考数学试题卷第3页共4页 18.(本小题满分17分)已知函数f(x)=xnx(x>0) (1)设函数g()=fx)+f1-x),求函数g(x)的极值: (2)若不等式f(x)≥ax+b(a,b∈)当且仅当在区间[e+∞)上成立(其中c为自然对数的底 数),求ab的最大值: (3)实数m,n满足0<m<n,求证:hm+1<)-fm<hn+1. n一m 19.(本小题满分17分)混沌现象普遍存在于自然界和数学模型中,假设在一个混沌系统中,用x。 来表示系统在第n个时刻的状态值,且该系统下一时刻的状态值x+1满足x1=f(x,),已知初 始状态值∈(0,),其中f(x)=a2-ax(a∈),这样每一时刻的状态值,,x,,x,构成数 列{x}(ne) (1)若数列{x}为等比数列,求实数a的取值范围: (2)若名=2a-1,证明: 01<1-1s2: ②2xsn+ 2(n+2) Z20名校联盟(浙江省名校新高考研究联盟)2025届高三第一次联考数学试题卷第4页共4页 Z20名校联盟(浙江省名校新高考研究联盟)2025届高三第一次联考 数学参考答案 一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目 要求的 1.【答案】B 【解折1A=K-16x≤2,B=x<,所以AnB=-1sx<孕, 故选B. 2.【答案】D 【解折】c92(-》P=- 故选D. 3.【答案】D 13 【解析】 =2a+a)134-1324 S, 9 a+a) 9%9*污,故透D 4.【答案】C 【解析】由分布列的+a+61,得a=)所以EX)=1X+2x号+3x 3 2 661 故选C 所以E(2X+)=2E(X)+1=14 5.【答案】B a 1 若函数f(x)在(1,+∞)上单调递增,则2 得a≤1, 1-a≥0 所以“a≤2”是“函数f(x)在(L,+o)上单调递增的必要不充分条件, 6.【答案】C 【解析】因为x∈0,),则,得产<or+严<o+, 6 6 6 由题意得<。+石≤钙,得只<0≤4托,故选C 3 3 S 7.【答案】A 【解析】将圆台母线延长交于点S,得圆锥SO, 作圆锥SO的轴截面如右图,设底面直径AB=2R, 由条件知c0s∠SA0=号得SA=3R,S0=22R, 设内切球半径为r,则OT=OO=OO,=r, 所以S0=3r,那么S0=4r=2W2R, 则R=√2r,O2为SO的中点,CD为 SAB的中位线, 0 Z20名校联盟(浙江省名校新高考研究联盟)2025届高三第一次联考数学参考答案第1页共7页 于是内切球的体积V 3 圆台的体积%=了 83R25O=x 2r2 4r= r3 所以圆台与其内切球的体积比为兰。?, 故选A 8.【答案】C 【解析】令h(x)=f(x)-g(x)=0, 即ax-1D2-1Ecos-2ax, 2 整理得方程ar2+a-1=cos在(-l1)上有解, 记F)=ar2+a-1,G)=cos 即函数F(,G(x)图像有公共点,如图,0<G(x)≤1, 当a≤0时,F(x)=ax2+a-1≤-1, 显然函数F(x),G(x)图像无公共点, 当a>0时,由F(x),G(x)图像的对称性, 得F0sG0 ,即a-1s1 F(1)>G(1) a-1>0' 解得}aS2,散选C 二、多选题:本题共3小题,共18分在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求. 9.【答案】BCD 【解析】若c=1,2=5=10,则a=log210,b=log310,显然a=log210≠1og10+1=b+c, 故A不正确. 因为a,b,C>0,显然a>b>c,故B正确. 设2=5=10=t,得a=log2t,b=log5t,c=logiot, 则。log,2名log,5log,10,所以+=kg,2+log,5=1og,10=,故c正确 a b 对于D,a+4b=ca+4b2+h=c0+4+4地+马≥9c, a b 故D正确. 10.【答案】AC 【解析】如图,选项A,直线y=2x,d=CM=-2-5 55 1A8=21W=2P-2写号5,放A正确 对于选项B,A.CBCA~CB|cos∠ACB=cos∠ACB Z20名校联盟(浙江省名校新高考研究联盟)2025届高三第一次联考数学参考答案第2页共7页 因为点A,B不重合,所以cOs∠ACB<1,故B不正确. 对于选项C,|OA |OB=IOM|+|MA)0OM|-|MAI) =OMP-MAP-OCP-d2-(r2-d2) OC2-r2=1,故C正确 对于选项D,如图线段AB中点M满足OM⊥CM,M的轨迹是以OC为直径的圆(圆 C内部部分),所以轨迹长为;25 22 ,故D不正确 11.【答案】ACD 【解析】当n=2时,f(cosx)=1-cos2x=2sin2x=2-2cos2x, 那么f(x)=2-2x2≤2,故A正确. 对于B,当n=3时,f(-cosx)=f[cos( -x]=1-cos3( -x) =1-cos(3z-3x)=1+cos3x, 于是f(-oosx)+f(cosx)=2≠0, 所以函数f(x)不是奇函数,故B错误。 对于C,当n=1时,f(cosx)=1-cosx,则f(x)=1-x, 此时f(sinx)=l-sinx,故C正确. 对于D fm-f(经小1-on任小1(受l-ow 则f(m+f(eos1-co-+1-cos=2. 得cosr-")=-cosx=cos(-2kr-m),所以2Z=2k +z, 得n=4k+2,故D正确. 三、填空题:本题共3小题,共15分: 12.【答案1月 【解析】由(3a-b)⊥b,得3ab=b2=1,则cos<a,b>= ab I lallbl 3 13.【答案】0 【解析】设z=a+bi,则z+乞=2a=2,得a=1,zz=a2+b2=1+b2=2, 得b2=12-2z=-a+3i,则1z-22上Va2+9%2=1而 4.【答案】y=士 【解析】设双曲线得右焦点为F,BF=m,则AF=4m, 连结AF',BF',则BF'=m+2a,AF'=4m+2a, 在 BFF'中,∠BFF'=60 , 由余弦定理得(0m+2a)2=m2+4c2-2mc, 整理得2c2-2a2=(2a+c)① Z20名校联盟(浙江省名校新高考研究联盟)2025届高三第一次联考数学参考答案第3页共7页 在 AFF'中,∠AFF'=120 , 由余弦定理得(4m+2a)2=16m2+4c2+81c, 整理得c2-a2=m4a-2c)② ① ②两式相除得,2=2a+c,得6a=5c, 4a-2c 所以渐近线方程为y=士厅x 四、解答题:本题共5小题,共77分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 15.(本小题满分13分) 【解析】 (1)连结AQ,因为PM∥平面ABC,PMc平面ADQ 又平面ADQ与平面ABC相交于AQ,所以PMI∥AQ, 因为P是AD的中点,所以M是DO中点.-6 (2)方法一,因为AD⊥底面BCD,BC⊥CD, 如图建立坐标系, -7 D2,0,0),B(0,2,0),A(2,0,2),Q0,1,0), D B D0=(-2,10,=2,02),8=02,0, I LIE 0 则平面ABC的法向量为n=(-1,0,1), =-9 LLAE DQn 所以cos<D0,n>= 2 -12 Dg m5.2 5 因此直线DQ与平面ABC所成角的正弦值为而 -13 方法二,取AC中点N,因为DA=DC,所以DW⊥AC, 因为AD⊥底面BCD,所以AD⊥BC, 又BC⊥CD,则BC⊥平面ACD, -7 所以BC⊥DN所以DN⊥平面ABC, 于是∠DQN即为所求, -9 DN=√2,D0=5 -11 因此sin∠DON=Dy=V2_Vo -13 D05-5 B D 方法三,设D到平面ABC的距离为d, 2=4 0 -8 3 1 易知Sc=2BCAC=25, -9 所以a=%cd-Sc-号-音得d=反, 因此直线D0与平面ABC所成角的正弦值d=2_V而 -13 D2N55 Z20名校联盟(浙江省名校新高考研究联盟)2025届高三第一次联考数学参考答案第4页共7页 16.(本小题满分15分) 【解析】 (1)cos B=a-c_sinA-sinc 2c 2sinC 2sin Ccos B=sin A-sin C=sin(B+C)-sin C=sin Bcos C+sin Ccos B-sin C 整理得sinC=sin Bcos C-sin Ccos B=sin(B-C), 则C=B-C,即B=2C, -5 由A=严,得B+C=3C= ,则C=。元,B=。号 , 2 -7 3 9 B=2C<I (2)由 4BC是锐角三角形知 ,得<C< -9 B+C=3C> 6 4 则 <cosC< 1 -11 2 由正弦定理得,C b b=csin B=4sin2C-8c0sC,-13 sinC sin B sinC sinC 因此4W2<b<45 -15 17.(本小题满分15分) 【解析】 (1)由条件得e=C= 即a=2c,则b=√5c, -2 a 2 所以oM-a=c,6awm=ba+0=3ye-35 1 2 2 得c=1,-4 2 因此椭圆E的方程为+二=1. -一-6 4 3 (2)设直线P2:y=k(x+1),P(,,Qx,y2), 即=G-2),=(65-2), 与椭圆联列方程得 y=k(x+1) ,得(3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0, 3x2+4y2=12 8M2 4k2-12 则+6=3计4农,5=3+4收, -8 所以8D.80=(6-2Xx,-2)+y4=(G-2Xx-2)+kG+16+D=-10 =0+k2)x5+k2-2x+5)+4+k2=1+k4k2-12_8k2k2-2 +4+k2 3+4k2 3+4k2 27k2 3+42 =6, -13 得k2=6,k= √6,因此直线PQ的方程为y= √6(x+1): -15 18.(本小题满分17分) 【解析】 Z20名校联盟(浙江省名校新高考研究联盟)2025届高三第一次联考数学参考答案第5页共7页 (1)g(x)=f(x)+f1-x)=xlnx+(1-x)n1-x),0<x<1, 8(x)=1+Inx-In(1-x)-1=Inx-In(1-x), -1 令8闭=0,得x=2 -2 当x∈0,时,8闭<0,当x∈D时,8四>0, 所以g()有极小值g(分=-ln2,无极大值, -5 (2)∫'(x)=1+血x=0,得x=二, 易知f)在(0,马上递减,在仁+∞)上递增,结合f)的图象, 由题意得 f(e)=e=ae+b ,得b=e-ea≥0,a≤1. b≥0 -9 于是ab=ad-0=ea-+异故ab=号 -11 (3)先证明左边:作差fo)-fm-nm=nhn-mnm-nlhm+mlhm 1n-1n n-17m n _n血n-lhm=mn” -12 n一m 2-1m n 令1=”>1, nnm-lhm-美nt= t-1 1-1, h(t)=tInt-t+1,h'(t)=1+Int-1=Int, 当t>1时,h)>0,函数h(t)在(L,+o)上是增函数,所以h)=tnt-t+1>h(①=0, 因此h1>1-l,所以h>1,即f)-f0m-nm>l,故f四-f0m>nm+l. t-1 n-m n-m (或者利用nt>1-,得h -15 对于右边f))-fm-nn=nlnn-mlnm-nlnn+mlhn 7-m n-m mdon-Inm)=1 In n-m n-1 m. m 令1=”>l,mn-tnm=ht<L, n-m t-1 (利用n1<1-l,得t<1) f-1 即f@)-f0m-nn<l,故fm)-f0 2<lnn+1. n-m 11-1m Z20名校联盟(浙江省名校新高考研究联盟)2025届高三第一次联考数学参考答案第6页共7页