第21章 二次函数与反比例函数（重难点题型复习）数学沪科版九年级上册

第二十一章：二次函数与反比例函数重难点题型复习 题型一 两个概念——二次函数与反比例函数的概念 【例题1-1】（2024九年级上·全国·专题练习）下列函数关系式中：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；二次函数的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例题1-2】（23-24九年级上·四川成都·期末）下列函数中，是的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（22-23九年级上·江苏苏州·阶段练习）关于x的函数，甲说：此函数不一定是二次函数；乙说：此函数一定是二次函数，你认为谁的说法正确？为什么？ 【变式2】（2024九年级上·广西·专题练习）下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥中，y是x的反比例函数的有 （填序号） 题型二 两个关系——二次函数与方程、不等式的关系 【例题2】（23-24九年级上·云南昭通·期中）如图,抛物线的对称轴为直线,与轴的一个交点坐标为,其部分图像如图所示,下列结论: ①;②; ③方程的两个根是,; ④;⑤当时,随增大而增大． 其中结论正确的个数是(    ) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式1】（23-24九年级上·天津津南·期末）二次函数（其中是常数，），对称轴为直线，函数图象的一部分如图所示，下列说法中：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式2】（23-24九年级上·福建龙岩·期末）二次函数（为常数）与轴的只有一个交点，则 ． 【变式3】（23-24九年级上·安徽芜湖·阶段练习）二次函数的部分图象如图所示，求一元二次方程的解． 题型三 两个性质——二次函数与与反比例函数的图像与性质 【例题3】（23-24九年级上·北京·期末）下列函数中，当时，函数值y随x的增大而增大的有（　　） ①；②；③；④． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式1】（23-24九年级上·吉林白山·期末）若点，，在反比例函数的图像上，则，，的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（23-24九年级上·广东东莞·期末）对于函数，当时，的取值范围是 ． 【变式3】（23-24九年级上·江苏南京·期末）如图是二次函数的图象． (1)求该二次函数的关系式及顶点坐标； (2)当时的取值范围是___________． 题型四 两个应用 应用1：二次函数的应用 【例题4】（2024九年级上·浙江·专题练习）如图，人民医院在某流感高发时段，用防护隔帘布临时搭建了一隔离区，隔离区一面靠长为的墙，隔离区分成两个区域，中间也用防护隔帘布隔开．已知整个隔离区所用防护隔帘布总长为，如果隔离区出入口的大小不计，并且隔离区靠墙的一面不能超过墙长，小明认为：隔离区的最大面积为；小亮认为：隔离区的面积可能为，你认为他们俩的说法是（　　） A．小明正确，小亮错误 B．小明错误，小亮正确 C．两人均正确 D．两人均错误 【变式1】（23-24九年级上·重庆渝北·期末）如图，有一抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，当水面宽增加时，则水面应下降的高度是（   ）　　    A． B． C． D． 【变式2】（23-24九年级上·云南红河·期末）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加利润，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现：若这种衬衫每降价2元，商场平均每天可多售出4件，则商场降价后每天的盈利y（元）与降价x（元）的函数关系式 ． 【变式3】（23-24九年级上·宁夏银川·期末）某商城在2024年元旦节期间举行促销活动，一种热销商品进货价为每个14元，标价为每个20元． (1)商城举行了“感恩老客户”活动，对于老客户，商城连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每个16.2元的价格售出，求商城每次降价的百分率； (2)市场调研表明：当每个售价20元时，平均每天能够售出40个，当每个售价每降1元时，平均每天就能多售出10个，在保证每个商品的售价不低于进价的前提下，商城要想获得最大利润，每个商品的定价应为多少元？最大利润是多少？ 应用2：反比例函数的应用 【例题5】（2024九年级上·全国·专题练习）已知闭合电路的电压为定值，电流与电路的电阻是反比例函数关系，根据下表判断以下选项正确的是（　　） 5 … a … … … b … … 20 30 40 50 60 70 80 90 100 A．I与R的关系式为 B． C． D．当时， 【变式1】（23-24九年级上·山东济南·期末）学校的自动饮水机，开机加热时水温每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降．此时水温与通电时间成反比例．当水温降至时，饮水机再自动加热．若水温在时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．水温从加热到，需要 B．水温下降过程中，y与x的函数关系式是 C．水温从降至，所需时间为 D．水温不低于的时间为 【变式2】（23-24九年级上·全国·单元测试）某厂计划建造一个容积为的长方体蓄水池，则蓄水池的底面积与其深度的函数关系式是 ． 【变式3】（23-24九年级上·山东济南·期末）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图象如图所示． (1)求该函数的表达式； (2)当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？（精确到） 题型五 两个易错 易错点1：易忽视反比例函数增减性的前提而致错 【例题6】（23-24九年级上·江苏苏州）在函数（为常数）的图象上有三点，则函数值的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24九年级上·山东济南·期末）已知函数，当，且时，则函数y的取值范围是（　　） A． B． C．或 D． 【变式2】（23-24九年级上·河南开封·阶段练习）若点在反比例函数的图象上，则的大小关系是 ． 【变式3】（23-24九年级上·吉林·期末）已知反比例函数的图像经过点 (1)求的值； (2)若点，点是该反比例函数图像上的两点，并且满足，则与的大小关系是________________（用“”连接）． 易错点2：在求函数取值范围时，易忽视抛物线顶点位置而致错 【例题7】（2024九年级下·江苏·专题练习）在二次函数中，当时，y的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式1】（22-23九年级上·山东德州·阶段练习）已知二次函数 ，若，则y的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（23-24九年级上·山东德州·阶段练习）已知二次函数，若，则y的取值范围是 ． 【变式3】（23-24九年级上·吉林·阶段练习）已知二次函数，当时，函数值y的取值范围是 ． 题型六 三个思想 思想1：数形结合思想 【例题8】．（23-24九年级上·湖南株洲·期中）如图：点P、Q是反比例函数图象上的两点，轴于点A，轴于点N，作轴于点M，轴于点B，连接、，的面积记为，的面积记为，则与的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24九年级上·湖南郴州·期中）已知一次函数与反比例函在同一直角坐标系中的图象如图所示，则当时，的取值范围是 【变式2】（23-24九年级上·广东东莞·期末）如图，抛物线经过点，对称轴与x轴交于点H． (1)求抛物线的解析式，并写出顶点M的坐标； (2)当时，直接写出函数值y的取值范围； (3)若点在抛物线上，点F是的中点，连接，求线段的长． 【变式3】（23-24九年级上·安徽蚌埠·单元测试）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，B两点，与x轴交于点C． (1)求k值及面积． (2)根据图象直接写出时，x的取值范围． (3)若反比例函数与一次函数的图象总有交点，求k的取值范围． 思想2：转化思想 【例题9】（23-24九年级上·广东惠州·期末）如图，在同一平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于两点，已知点的坐标为，则点B的坐标（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24九年级上·山东泰安·期末）当直线与函数的图象至少有两个公共点时，关于的不等式有解，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（23-24九年级上·山东东营·阶段练习）如图，一次函数与反比例函数（）的图象交于点，过点作，交轴于点；作，交反比例函数图象于点；过点作交轴于点；再作，交反比例函数图象于点，依次进行下去，……，则点的横坐标为 ．    【变式3】（23-24九年级上·山东泰安·期末）已知一次函数和反比例函数相交于点和点． (1)＝ ，＝ ； (2)连接，在反比例函数的图象上找一点，使，求出点的坐标； (3)点为轴正半轴上任意一点，过点作轴的垂线交反比例函数和一次函数分别于点，且满足，求的值． 思想3：分类讨论思想 【例题10】（22-23九年级上·重庆·阶段练习）如图，已知抛物线与x轴交于A和B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D点．若点M是抛物线上一点，点N在y轴上，连接，当是以为直角的等腰直角三角形时，点M的坐标为（　　） A． B．或 C．或 D．或 【变式1】（22-23九年级上·福建福州·阶段练习）已知函数和的图象分别与垂直于x轴的直线l相交于P，Q两点，若平移直线l，可使P，Q都在x轴的下方，则实数a的取值范围是 ． 【变式2】（23-24九年级上·甘肃白银·期末）如图，已知反比例函数和一次函数，其中一次函数的图象经过，两点． (1)求反比例函数的解析式； (2)如下图，已知点A在第一象限，且同时在上述两个函数的图象上，求点A的坐标； (3)利用（2）的结果为条件，请问：在x轴上是否存在点P，使是以为腰的等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标． 【变式3】（23-24九年级上·河北秦皇岛·期末）如图，已知抛物线． (1)求抛物线的顶点坐标； (2)将二次函数的图像向右平移2个单位长度，与二次函数的图像组成一个新的函数图像，记为，设上的一点的坐标为． ①当满足_______时，随的增大而增大； ②直接写出的函数表达式； ③当时，过点作轴的垂线，分别交，于点，，若点是线段的三等分点，求点的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十一章：二次函数与反比例函数重难点题型复习 题型一 两个概念——二次函数与反比例函数的概念 【例题1-1】（2024九年级上·全国·专题练习）下列函数关系式中：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；二次函数的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如为常数，的函数叫做二次函数．判断一个函数是不是二次函数，在关系式是整式的前提下，如果把关系式化简整理（去括号、合并同类项）后，能写成为常数，的形式，那么这个函数就是二次函数，否则就不是． 【详解】解：（1）是二次函数，故符合题意； （2），不是二次函数，故不符合题意； （3）是二次函数，故符合题意； （4）不是二次函数，故不符合题意； （5）不是二次函数，故不符合题意； （6），不确定m是否为0，不一定是二次函数，故不符合题意； 综上所述，二次函数有2个． 故选：B 【例题1-2】（23-24九年级上·四川成都·期末）下列函数中，是的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了反比例函数的概念，解题的关键是掌握反比例函数的定义．根据反比例函数的概念形如为常数，的函数称为反比例函数进行分析即可． 【详解】解：A、不是反比例函数，选项A不符合题意； B、是反比例函数，选项B符合题意； C、不是反比例函数，选项C不符合题意； D、不是反比例函数，选项D不符合题意； 故选：B． 【变式1】（22-23九年级上·江苏苏州·阶段练习）关于x的函数，甲说：此函数不一定是二次函数；乙说：此函数一定是二次函数，你认为谁的说法正确？为什么？ 【答案】乙的说法对．理由见解析 【分析】本题考查二次函数的定义，配方法的应用．只需要判断含x的二次项的系数是否为0即可． 【详解】解：乙的说法对．理由如下： 对配方可得， 因为无论a取何值，， 所以， 故无论a取何值，该函数一定是二次函数． 【变式2】（2024九年级上·广西·专题练习）下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥中，y是x的反比例函数的有 （填序号） 【答案】②⑤ 【分析】本题考查了反比例函数定义，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键． 根据反比例函数的定义逐个判断即可． 【详解】解：①是一次函数，不是反比例函数，故不符合要求； ②是反比例函数，故符合要求； ③不是反比例函数，故不符合要求； ④不是反比例函数，故不符合要求； ⑤是反比例函数，故符合要求； ⑥中，当时，是反比例函数，没有此条件则不是反比例函数，故不符合要求； 故答案为：②⑤． 题型二 两个关系——二次函数与方程、不等式的关系 【例题2】（23-24九年级上·云南昭通·期中）如图,抛物线的对称轴为直线,与轴的一个交点坐标为,其部分图像如图所示,下列结论: ①;②; ③方程的两个根是,; ④;⑤当时,随增大而增大． 其中结论正确的个数是(    ) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图像及性质．根据题意对序号逐个进行分析即可得到本题答案,熟记二次函数图像性质是解出本题的关键． 【详解】解:∵根据二次函数图像对称性,对称轴为直线,与x轴的一个交点坐标为, ∴与x轴的另一个交点坐标为, ∴二次函数与x轴有两个交点,即方程的两个根是,, ∴③不正确; ∴,即, ∴①正确; ∵对称轴为直线, ∴,即, ∴②正确; ∵当时,, ∵, ∴, ∴④不正确; ∵,对称轴为直线, ∴当时,y随x增大而增大, ∴⑤正确, ∴正确的序号有:①②⑤, 故选:B． 【变式1】（23-24九年级上·天津津南·期末）二次函数（其中是常数，），对称轴为直线，函数图象的一部分如图所示，下列说法中：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图形与性质．由抛物线的开口方向判断，由抛物线与轴的交点判断，根据对称轴的位置判断及关系，根据抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所有结论进行逐一判断． 【详解】解：①∵开口向下， ∴ 对称轴在轴右边，故． ∴，故①错误； ②由图知：对称轴，即 ∴，故②正确； ③抛物线于轴有两个交点．故，故③正确； ④由图象可知，抛物线与轴的左交点位于 0 和 之间，在两个交点之间时，， 当时，，即： 当时，，即： ∴ ∴，故④正确； ⑤根据当时，，即：，由②将，代入 ∴，故⑤错误； 故正确的个数为：3个． 故选：B． 【变式2】（23-24九年级上·福建龙岩·期末）二次函数（为常数）与轴的只有一个交点，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题．令，计算，即可求解． 【详解】解：令，则， 依题意，， 解得：． 故答案为：． 【变式3】（23-24九年级上·安徽芜湖·阶段练习）二次函数的部分图象如图所示，求一元二次方程的解． 【答案】，． 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程．先求得抛物线的对称轴，根据抛物线与轴的一个交点为求得另一个交点为，据此即可求解． 【详解】解：抛物线的对称轴为， ∵抛物线与轴的一个交点为， ∴抛物线与轴的另一个交点为， ∴一元二次方程的解为， 题型三 两个性质——二次函数与与反比例函数的图像与性质 【例题3】（23-24九年级上·北京·期末）下列函数中，当时，函数值y随x的增大而增大的有（　　） ①；②；③；④． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质；一次函数的性质，首先判断每个函数是哪一类函数，再根据函数的性质分别进行判断． 【详解】解：①此函数是正比例函数，，y随x的增大而增大，故符合题意； ②此函数是一次比例函数，，y随x的增大而减小，故不符合题意； ③函数中，当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，故符合题意； ④函数中，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，故不符合题意； 故选：C． 【变式1】（23-24九年级上·吉林白山·期末）若点，，在反比例函数的图像上，则，，的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是反比例函数图像上点的坐标特点，根据题意判断出反比例函数的图像所在的象限及在各象限内的增减性是解答此题的关键． 【详解】解：点，，在反比例函数的图像上， ，，， ，在反比例函数的图像上，在每一象限内随的增大而减小， ， ，，的大小关系是：． 故选：B 【变式2】（23-24九年级上·广东东莞·期末）对于函数，当时，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，由反比例函数解析式得出函数图象在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小，结合，计算即可得出答案． 【详解】解：∵函数， ∴， ∴函数图象在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小， ∴当时，，当时，， ∴当时，的取值范围是， 故答案为： 【变式3】（23-24九年级上·江苏南京·期末）如图是二次函数的图象． (1)求该二次函数的关系式及顶点坐标； (2)当时的取值范围是___________． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据图象得出抛物线与坐标轴交点坐标，代入解析式求解即可； （2）求出抛物线与x轴交点坐标，根据图象即可求出取值范围． 【详解】（1）解：由图象可知，抛物线经过，，代入得， ， 解得，， 抛物线解析式为， 化成顶点式为， 抛物线顶点坐标为； （2）解：当时，，解得，，， 抛物线与x轴另一个交点坐标为， ∴当时的取值范围是； 故答案为：． 题型四 两个应用 应用1：二次函数的应用 【例题4】（2024九年级上·浙江·专题练习）如图，人民医院在某流感高发时段，用防护隔帘布临时搭建了一隔离区，隔离区一面靠长为的墙，隔离区分成两个区域，中间也用防护隔帘布隔开．已知整个隔离区所用防护隔帘布总长为，如果隔离区出入口的大小不计，并且隔离区靠墙的一面不能超过墙长，小明认为：隔离区的最大面积为；小亮认为：隔离区的面积可能为，你认为他们俩的说法是（　　） A．小明正确，小亮错误 B．小明错误，小亮正确 C．两人均正确 D．两人均错误 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，不等式组的应用，设垂直于墙的一边为，矩形的面积为，则隔离区的另一边为，根据矩形的面积公式列出面积S关于x的函数解析式，再根据题意求出x的取值范围，然后分别令和，解方程求出x，取在x取值范围内的值即可． 【详解】解：设垂直于墙的一边为，矩形的面积为，则隔离区的另一边为， ∴， 根据题意，得不等式组， 解得：， 当时，， 解得（不合题意，舍去）； 当时，， 解得，（不合题意，舍去）， 故小明错误，小亮说法正确． 故选：B． 【变式1】（23-24九年级上·重庆渝北·期末）如图，有一抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，当水面宽增加时，则水面应下降的高度是（   ）　　    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查建立平面直角坐标系，待定系数法求抛物线解析式，利用抛物线上点坐标与解析式关系求解是关键． 以拱形桥顶为坐标原点，建立如图直角坐标系，水面宽为与轴交于，水面下降后宽度为与轴交于，由，抛物线的对称轴为轴，可求点利用待定系数法可求抛物线解析式为，设水面下降，可求，，由点在抛物线上，代入解析式解方程即可． 【详解】解：以拱形桥顶为坐标原点，建立如图直角坐标系，水面宽为，与轴交于，水面下降后宽度为，与轴交于，    ∵，抛物线的对称轴为轴， ∴点， 设抛物线为． ∵抛物线过点， ， ， ∴抛物线解析式为， 设水面下降， ， ， ∵点在抛物线上， ， 解得：． 故选：B． 【变式2】（23-24九年级上·云南红河·期末）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加利润，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现：若这种衬衫每降价2元，商场平均每天可多售出4件，则商场降价后每天的盈利y（元）与降价x（元）的函数关系式 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的应用．商场降价后每天盈利=每件的利润×卖出的件数，把相关数值代入即可求解． 【详解】解：∵每件衬衫降价2元，商场平均每天可多售出4件， ∴每件衬衫降价x元，商场平均每天可多售出件， ∵原来每件的利润为40元，现在降价x元， ∴现在每件的利润为元， ∴． 故答案为：． 【变式3】（23-24九年级上·宁夏银川·期末）某商城在2024年元旦节期间举行促销活动，一种热销商品进货价为每个14元，标价为每个20元． (1)商城举行了“感恩老客户”活动，对于老客户，商城连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每个16.2元的价格售出，求商城每次降价的百分率； (2)市场调研表明：当每个售价20元时，平均每天能够售出40个，当每个售价每降1元时，平均每天就能多售出10个，在保证每个商品的售价不低于进价的前提下，商城要想获得最大利润，每个商品的定价应为多少元？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)19元；250元 【分析】（1）设商城每次降价的百分率为x，根据题意，得，解方程即可． （2）设降价x元，则每个盈利元，每天可售出个，每天的总利润为w元，利用每天销售获得的总利润＝每件的销售利润×每天的销售量，构造二次函数，根据抛物线的最值，结合每个商品的售价不低于进价，解之即可得出x的值即可求得． 本题考查了一元二次方程的应用-平均增长率问题，二次函数的应用，找准等量关系，正确构造二次函数是解题的关键． 【详解】（1）设商城每次降价的百分率为x， 根据题意，得， 解得（舍去）， 答：商城每次降价的百分率为为． （2）设降价x元，则每个盈利元，每天可售出个，每天的总利润为w元， 根据题意，得 ， ∴当时，利润最大，250(元), 答：定价为19元，最大利润为250元 应用2：反比例函数的应用 【例题5】（2024九年级上·全国·专题练习）已知闭合电路的电压为定值，电流与电路的电阻是反比例函数关系，根据下表判断以下选项正确的是（　　） 5 … a … … … b … … 20 30 40 50 60 70 80 90 100 A．I与R的关系式为 B． C． D．当时， 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握电流电阻电压是解决此题的关键． 【详解】解：∵闭合电路的电压为定值， ∴， ∴，故A错误，不符合题意； 当时，，故B错误，不符合题意； 当时， ∴，故C错误，不符合题意； 当时， 当时，， ∴当时，，故D正确，符合题意； 故选：D． 【变式1】（23-24九年级上·山东济南·期末）学校的自动饮水机，开机加热时水温每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降．此时水温与通电时间成反比例．当水温降至时，饮水机再自动加热．若水温在时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．水温从加热到，需要 B．水温下降过程中，y与x的函数关系式是 C．水温从降至，所需时间为 D．水温不低于的时间为 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的应用，数形结合是解决本题的关键．先利用待定系数法求函数的解析式，再利用解析式求得对应信息． 【详解】∵开机加热时水温每分钟上升， ∴水温从加热到，需要，故A选项错误； ∴设反比例函数的解析式为，将点代入，可=得， ∴水温下降过程中，与的函数关系式是，故B选项错误； 将代入得， 解得 ∴ ∴水温从降至，所需时间为，故C选项错误； ∵开机加热时水温每分钟上升， ∴水温从加热到，需要， 将代入得， 解得 ∴水温不低于的时间为，故D选项正确． 故选：D． 【变式2】（23-24九年级上·全国·单元测试）某厂计划建造一个容积为的长方体蓄水池，则蓄水池的底面积与其深度的函数关系式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的应用及反比例函数的关系式，解题的关键是根据题意确定函数解析式． 根据体积底面积高即可列出反比例函数关系． 【详解】解：由体积公式知：， 故底面积与其深度的函数关系式是． 故答案为： 【变式3】（23-24九年级上·山东济南·期末）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图象如图所示． (1)求该函数的表达式； (2)当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？（精确到） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了求反比例函数关系式，应用反比例函数解决实际问题，理解气压和气球体积的关系是解题的关键． （1）设反比例函数关系式，再将点A的坐标代入即可得出答案； （2）将代入关系式，求出解，再判断即可． 【详解】（1）设， 将代入，得，解得， ∴所求函数的表达式为； （2）∵， ∴在第一象限内，p随V的增大而减小． 当时，． ∴为了安全起见，气体的体积应不小于 题型五 两个易错 易错点1：易忽视反比例函数增减性的前提而致错 【例题6】（23-24九年级上·江苏苏州）在函数（为常数）的图象上有三点，则函数值的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数值的大小比较．熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 由，可知函数（为常数）的图象在第二、四象限，在第二象限中随的增大而增大，且；在第四象限中随的增大而增大，且；然后比较大小即可． 【详解】解：由题意知，， ∴函数（为常数）的图象在第二、四象限， 在第二象限中随的增大而增大，且；在第四象限中随的增大而增大，且； ∵， ∴， 故选：D． 【变式1】（23-24九年级上·山东济南·期末）已知函数，当，且时，则函数y的取值范围是（　　） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】当时，，根据反比例函数的增减性，求出y的取值范围即可． 本题主要考查反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【详解】解：当时，， ∴当时，则有y的取值范围为， 当时，则有y的取值范围为； 综上所述：或； 故选：C． 【变式2】（23-24九年级上·河南开封·阶段练习）若点在反比例函数的图象上，则的大小关系是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查反比例函数图像上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的图像是解题的关键．根据判断出反比例函数在一、三象限，由横坐标大小判断即可． 【详解】解：， 反比例函数在一、三象限， 故在每个象限内，随的增大而减小， 位于第三象限， ， 故答案为： 【变式3】（23-24九年级上·吉林·期末）已知反比例函数的图像经过点 (1)求的值； (2)若点，点是该反比例函数图像上的两点，并且满足，则与的大小关系是________________（用“”连接）． 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，比较反比例函数值的大小，正确求出反比例函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求可得反比例函数图象经过第二、四象限，在每个象限内，y随x增大而增大，再由可得． 【详解】（1）解：将代入得 的值为3； （2）解：由（1）得反比例函数解析式为， ∵， ∴反比例函数图象经过第二、四象限，在每个象限内，y随x增大而增大， ∵点，点是该反比例函数图像上的两点，并且满足， ∴， 故答案为： 易错点2：在求函数取值范围时，易忽视抛物线顶点位置而致错 【例题7】（2024九年级下·江苏·专题练习）在二次函数中，当时，y的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，关键是掌握二次函数的性质．先把解析式化为顶点式，求出抛物线的对称轴，再根据对称轴和的位置关系求出y的取值范围即可． 【详解】解：， ∵， ∴当时，y有最小值，最小值为1， ∵， ∴当时，， ∴当时，y的取值范围是， 故选：D． 【变式1】（22-23九年级上·山东德州·阶段练习）已知二次函数 ，若，则y的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用顶点式求最小值，利用抛物线开口向上时抛物线上的点离对称轴越远函数值越大求最大值． 【详解】解：∵，， 当时，； 又∵抛物线开口向上， ∴抛物线上的点离对称轴越远函数值越大． 又∵对称轴是直线，， ∴当抛物线上的点横坐标为时，纵坐标最大， 即当时， ∴ 故选：C． 【点睛】此题考查二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．注意：题中需判断x的取值范围中是否包括顶点，这是解此类题中容易出现错误的地方 【变式2】（23-24九年级上·山东德州·阶段练习）已知二次函数，若，则y的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据二次函数的解析式可知图象开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，再求出当，时，y的值即可求得结论． 【详解】解：∵，且， ∴可知图象开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， 把代入得，， 当时，， ∴当时，函数值y的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 【变式3】（23-24九年级上·吉林·阶段练习）已知二次函数，当时，函数值y的取值范围是 ． 【答案】 【分析】把二次函数的一般式转化成顶点式即可求得顶点坐标，结合，把分别代入，分别得出对应的值，再进行比较，即可作答．本题考查了二次函数的图象性质以及函数值的取值范围 【详解】解： ∴顶点坐标 ∵ ∴把分别代入 得， ∴当时，函数值y的取值范围是 故答案为： 题型六 三个思想 思想1：数形结合思想 【例题8】．（23-24九年级上·湖南株洲·期中）如图：点P、Q是反比例函数图象上的两点，轴于点A，轴于点N，作轴于点M，轴于点B，连接、，的面积记为，的面积记为，则与的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于，这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解的几何意义． 设，，根据三角形的面积公式和的几何意义，即可求出结果． 【详解】解：设，， 则， ， 点，在反比例函数的图象上， ， ． 故选：B 【变式1】（23-24九年级上·湖南郴州·期中）已知一次函数与反比例函在同一直角坐标系中的图象如图所示，则当时，的取值范围是 【答案】−或 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题．解答此题时，采用了“数形结合”的数学思想．根据图象知，两个函数的图象的交点是，．由图象可以直接写出当时所对应的的取值范围． 【详解】解：根据图象知，一次函数与反比例函的交点是，， ∴当时，−或 故答案为：−或． 【变式2】（23-24九年级上·广东东莞·期末）如图，抛物线经过点，对称轴与x轴交于点H． (1)求抛物线的解析式，并写出顶点M的坐标； (2)当时，直接写出函数值y的取值范围； (3)若点在抛物线上，点F是的中点，连接，求线段的长． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了利用待定系数法求抛物线的解析式、勾股定理、三角形中位线，二次函数最值问题等知识点，熟练掌握二次函数的知识是解题的关键． （1）将代入抛物线求得b、c的值即可求得解析式，然后将解析式化成顶点式即可确定顶点坐标； （2）根据抛物线的解析式可得抛物线的开口向上，对称轴为，然后根据二次函数的增减性求得函数在的最大值和最小值即可解答； （3）先得到点，再根据勾股定理可求，再根据三角形中位线的性质可求线段的长即可． 【详解】（1）解：将代入抛物线， 可得：，解得：， 所以抛物线的解析式为； ∵， ∴点M的坐标为． （2）解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线的开口向上，对称轴为：， ∴在上，y随x的增大而减小， 当时，；当时，， ∴当时，函数值y的取值范围为． （3）解：∵点在抛物线上， ∴， ∴， 如图：连接， ∴， ∵点F是的中点，抛物线的对称轴与x轴交于点H，即H为中点， ∴是的中位线， ∴． 【变式3】（23-24九年级上·安徽蚌埠·单元测试）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，B两点，与x轴交于点C． (1)求k值及面积． (2)根据图象直接写出时，x的取值范围． (3)若反比例函数与一次函数的图象总有交点，求k的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】本题考查二次函数、反比例函数的图象和性质，把函数关系式联立可求出两个函数图象交点坐标，同时数形结合直观得出不等式的解集． （1）把点坐标代入一次函数关系式可求出的值，确定点的坐标，再代入反比例函数关系式可求出的值，作适当辅助线，根据即可求解； （2）一次函数与反比例函数联立，可求出交点的坐标，再根据图象可得出当时，的取值范围． （3）若反比例函数与一次函数的图象总有交点，就是有实数根，根据根的判别式求出的取值范围． 【详解】（1）解：一次函数的图象过， ， 代入反比例函数得， ； 连接， 一次函数，当，， 当，， 联立， 解得：或， ， ； （2）解：反比例函数，由题意得， ，解得，，， 点，点 当，即一次函数的图象位于反比例函数图象上方时， 自变量的取值范围为：或； （3）解：若反比例函数与一次函数的图象总有交点， 即，方程有实数根，也就是有实数根， ， 解得， 的取值范围为： 思想2：转化思想 【例题9】（23-24九年级上·广东惠州·期末）如图，在同一平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于两点，已知点的坐标为，则点B的坐标（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数图象及性质，根据反比例函数的图象是中心对称图形，则它与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，据此求解即可，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵直线与双曲线相交于两点， ∴点与点关于原点对称， ∵点的坐标为， ∴点的坐标为， 故选：． 【变式1】（23-24九年级上·山东泰安·期末）当直线与函数的图象至少有两个公共点时，关于的不等式有解，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题、解不等式等，根据图象求出的取值范围是解题的关键． 先分析出当直线与函数相切时，直线与函数的图象至少有两个公共点，当直线与函数相切时，直线与函数的图象至少有两个公共点，由此求出的取值范围，再根据不等式的性质即可得出结果． 【详解】解：当直线与函数相切时，直线与函数的图象至少有两个公共点， 故令， 整理得，， 令， 解得， 当直线与函数相切时，直线与函数的图象至少有两个公共点， 故令， 整理得，， 令， 解得， ， ， ， ． 故选：A． 【变式2】（23-24九年级上·山东东营·阶段练习）如图，一次函数与反比例函数（）的图象交于点，过点作，交轴于点；作，交反比例函数图象于点；过点作交轴于点；再作，交反比例函数图象于点，依次进行下去，……，则点的横坐标为 ．    【答案】 【分析】根据直的关系式为，以及，可得到是等腰直角三角形，进而得到、都是等腰直角三角形，设，则点，点在反比例函数的图象上，可求出，进而得到点的横坐标为1，同理，则点，求出点的横坐标为，同理得出点的横坐标为；点的横坐标为；点的横坐标为；点的横坐标为；根据规律可得答案． 【详解】解：如图，过点、、、分别作轴，轴，轴，轴，垂足分别为、、、． 直线的关系式为，， 是等腰直角三角形， ， 同理可得、、都是等腰直角三角形， 设， 则点，点在反比例函数的图象上， ， 解得：（负值舍去）， 点的横坐标为1， 设， 则点，点在反比例函数的图象上， ， 解得：， 点的横坐标为； 设， 则点，点在反比例函数的图象上， ， 解得：， 点的横坐标为； 同理可得：点的横坐标为； 点的横坐标为； 点的横坐标为； ． 点的横坐标为：； 故答案为：．    【点睛】本题考查反比例函数与一次函数图象的交点，掌握一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征以及等腰直角三角形的性质是正确解答的关键． 【变式3】（23-24九年级上·山东泰安·期末）已知一次函数和反比例函数相交于点和点． (1)＝ ，＝ ； (2)连接，在反比例函数的图象上找一点，使，求出点的坐标； (3)点为轴正半轴上任意一点，过点作轴的垂线交反比例函数和一次函数分别于点，且满足，求的值． 【答案】(1)3；1 (2)或 (3)或 【分析】本题是函数综合题，主要考查了待定系数法求解析式、三角形的面积、两点之间距离公式等，涉及到了数形结合的思想，能够根据题意综合应用上述知识点是解题的关键． （1）把点分别代入和中即可得到结果； （2）根据两三角形同底等高即面积相等即可得到点的坐标； （3）根据点的坐标设的坐标，利用两点之间距离公式求出和的距离，再代入即可． 【详解】（1）解：把点分别代入和得， ，， 解得，． （2）解：由（1）可知，，， 设过原点与直线平行的直线解析式为， 列方程组， 解得，或（舍去）， 则点坐标为， 把直线向上平移2个单位得， 列方程组， 解得，或（舍去）， 则点坐标为或． （3）解：点为轴正半轴上任意一点， ， 设，， ， ， ， 当时，整理得， 解得或（舍去）， 当时，整理得， 解得或（舍去）， 或． 思想3：分类讨论思想 【例题10】（22-23九年级上·重庆·阶段练习）如图，已知抛物线与x轴交于A和B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D点．若点M是抛物线上一点，点N在y轴上，连接，当是以为直角的等腰直角三角形时，点M的坐标为（　　） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，过M点作于H点，如图，先确定，设，易得为等腰直角三角形，所以，则或，利用M点纵坐标的表示方法得到即或，然后分别解方程求出m，从而得到M点的坐标． 【详解】解：过M点作于H点，如图， 当时，， ∴， 设， ∴是以为直角的等腰直角三角形， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴或， 即或， 解方程得（舍去），，此时M点的坐标为； 解方程得（舍去），，此时M点的坐标为； 综上所述，M点的坐标为或． 故选：C． 【变式1】（22-23九年级上·福建福州·阶段练习）已知函数和的图象分别与垂直于x轴的直线l相交于P，Q两点，若平移直线l，可使P，Q都在x轴的下方，则实数a的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】令，；当时，与有解，则；当时，与有解，，则；即可求解． 【详解】平移直线，可以使，都在轴的下方， 令， ， 令， 当时，；当时，； ①当时，与有解，则，解得， ②当时，与有解，，则； 综上所述，或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查二次函数图象及性质，一次函数图象及性质以及函数与不等式的关系；数形结合的分析问题，将问题转化为不等式的解是解题的关键 【变式2】（23-24九年级上·甘肃白银·期末）如图，已知反比例函数和一次函数，其中一次函数的图象经过，两点． (1)求反比例函数的解析式； (2)如下图，已知点A在第一象限，且同时在上述两个函数的图象上，求点A的坐标； (3)利用（2）的结果为条件，请问：在x轴上是否存在点P，使是以为腰的等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）把过一次函数的两个点代入一次函数，即可求得k，进而求得反比例函数的解析式． （2）同时在这两个函数解析式上，让这两个函数组成方程组求解即可． （3）先求出的距离，然后根据：，，分情况讨论解决． 【详解】（1）将，代入得， 解得 ∴反比例函数的解析式为； （2）由 解得， ∵点A在第一象限 ∴ 将代入 ∴点A的坐标为； （3）设， ∵点A的坐标为 ∴ ，与x轴所夹锐角为， ∵为腰 ∴当时， ∴ ∴ ∴P点坐标为或； 当时， ∴ ∴或0（舍去） ∴P点坐标为 综上所述，P点坐标为或或． 【点睛】此题考查了反比例函数和一次函数综合，勾股定理，等腰三角形的定义等知识，解题的关键是利用待定系数法求出反比例函数的解析式 【变式3】（23-24九年级上·河北秦皇岛·期末）如图，已知抛物线． (1)求抛物线的顶点坐标； (2)将二次函数的图像向右平移2个单位长度，与二次函数的图像组成一个新的函数图像，记为，设上的一点的坐标为． ①当满足_______时，随的增大而增大； ②直接写出的函数表达式； ③当时，过点作轴的垂线，分别交，于点，，若点是线段的三等分点，求点的坐标． 【答案】(1) (2)①；②；③或 【分析】（1）将二次函数的一般式转化为顶点式即可得到顶点坐标； （2）①画出二次函数平移后的草图即可得出结论；②对于二次函数的平移，需要在顶点式的基础上进行，左右平移只针对，依据左加右减即可得出结论；③根据草图可知的对称轴为直线，两点关于直线对称，，又因点是线段的三等分点，所以可分为两种情况，和，将线段长度代入即可求得点的坐标． 【详解】（1）解：， 抛物线的顶点坐标为． （2）① 由题意可知，的图像开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，随的增大而增大， 当时，随的增大而增大， ； ②的表达式为， 当时，的图像向右平移2个单位长度，函数解析式为：， 当时，， 的表达式为； ③ 如图，由题意可知，的对称轴为直线，两点关于直线对称，两点关于直线对称， ， ， 由平移得，， 当时，即， 解得， 此时点的坐标为， 当时，即， 解得， 此时点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图像与性质（增减性、对称性）、二次函数草图的画法、求解二次函数的顶点式、平移对二次函数图像及解析式的影响，根据题意画出相对应二次函数的草图是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$