第1章 全等三角形（核心素养提升+中考能力提升+过关检测）-2024-2025学年八年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（苏科版）

第1章 全等三角形（核心素养提升+中考能力提升+过关检测） 知识点1.全等图形 1. 定义 能完全重合的图形叫做全等图形. 全等图形的特征： (1)两相同：①形状相同；②大小相同. (2)两无关：①与位置无关；②与方向无关. 2. 全等变换的常见方式 平移、翻折、旋转. 特别解读 1. 两个全等图形的周长相等、面积相等； 2. 周长、面积相等的两个图形不一定是全等图形. 知识点2.全等三角形 1. 全等三角形的相关概念 (1)全等三角形的定义： 两个能完全重合的三角形叫做全等三角形. (2)全等三角形的对应元素： ① 对应顶点：全等三角形中，能够重合的顶点； ② 对应边：全等三角形中，能够重合的边； ③ 对应角：全等三角形中，能够重合的角． 2. 全等三角形的表示方法 全等用符号“≌”表示，读作“全等于”. 表示两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应的位置上. 特别解读 对应边、对应角是两个全等三角形中对应的两条边、对应的两个角；对边、对角是同一个三角形中的边和角，“对边”是指三角形中某个角所对的边，“对角”是指三角形中某条边所对的角. 方法提醒 1. 两个全等三角形找对应边的方法: ①最长边是对应边，最短边是对应边;②公共边是对应边; ③对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边. 2. 两个全等三角形找对应角的方法: ①最大角是对应角，最小角是对应角;②公共角是对应角，对顶角是对应角; ③对应边所对的角是对应角，两组对应边所夹的角是对应角. 知识点3.全等三角形的性质 1.性质 全等三角形的对应边相等，对应角相等. 2. 拓展 全等三角形的对应元素相等. 全等三角形中的对应元素包括对应边、对应角、对应边上的中线、对应边上的高、对应角的平分线、周长、面积等. 3. 易错警示 周长相等的两个三角形不一定全等，面积相等的两个三角形也不一定全等. 要点提醒 1. 应用全等三角形的性质时，要先确定两个条件： ①两个三角形全等； ②找准对应元素. 2. 全等三角形的性质是证明线段、角相等的常用依据. 方法点拨 全等三角形的性质在几何证明和计算中起着重要作用，当所求线段不是全等三角形的边时，可利用等式的基本性质进行转换，从而找到所求线段与已知线段的关系. 知识点4.全等三角形的判定方法——边角边(SAS) 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边角边”或“SAS”). 要点提醒 1. 相等的元素：两边及其夹角. 2. 书写顺序：边→角→边. 3. 两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等. 方法点拨 常见的隐含等角的情况：①公共角相等；②对顶角相等；③等角加(或减)等角，其和(或差)仍相等；④同角或等角的余(或补) 角相等；⑤由角平分线的定义得出角相等；⑥由垂直的定义得出角相等；⑦由平行线得到同位角或内错角相等. 知识点5.全等三角形的判定方法——角边角(ASA) 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”). 要点提醒 1. 相等的元素：两角及其夹边. 2. 书写顺序：角→边→角. 3. 夹边即两个角的公共边. 方法点拨 运用“ASA”判定两个三角形全等，既要找边相等，又要找角相等，除已知条件外，看缺什么条件，就去找什么条件. 另外，判定两个三角形全等后可以运用其性质，得出线段或角的相等关系. 知识点6.全等三角形的判定方法——角角边(AAS) 基本事实(ASA)的推论 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS”). 特别解读 (1)判定两个三角形全等的三个条件中，“边”是必不可少的； (2)由于“角角边”和“角边角”是可以互相转化的，故能用“角角边”证明的问题，一般也可以用“角边角”证明； (3)在运用“ASA”和“AAS”判定时，要注意“夹边”和“对边”的区别. 要点提醒 1. 相等的元素：两角及其中一角的对边； 2. 用判定三角形全等的方法证明三角形全等时，要注意图形中隐含的等角. 虽然已知条件无涉及，但证明中要特别注意挖掘这些重要条件. 证明三角形全等时找条件的方法： 证明三角形全等时，有些条件是已知的，有些条件是隐含在题设或图形中的，比如对顶角相等、公共角、公共边等，还有些条件是通过证明其他三角形全等，利用全等三角形的性质得到的. 知识点7.全等三角形的判定方法——边边边(SSS) 基本事实 三边分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边边边”或“SSS”). 要点提醒 1. 相等的元素：三角形的三条边； 2. 在列举两个三角形全等的条件时，应把三个条件按顺序排列并用大括号将其括起来； 3. 书写过程中三角形边的两个端点及三角形的顶点前后顺序要对应. 方法点拨 除了题目中已知的边相等以外，还有些相等的边隐含在题设或图形中. 常见的有： 1. 公共边相等； 2. 等边加(或减)等边，其和(或差)仍相等； 3. 由中点得出线段相等. 知识点8.三角形的稳定性 1. 三角形的稳定性 如果一个三角形三边的长度确定，那么这个三角形的形状和大小就完全确定，这个性质叫做三角形的稳定性. 三角形的稳定性在生活和生产中有着广泛的应用. 2. 四边及四边以上的图形不具有稳定性，为保证其稳定，常在多边形中构造三角形. 知识点9.用尺规作角平分线和垂线 1. 角平分线的作法 用直尺和圆规作∠AOB的平分线. 作法： (1)以点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交射线OA、OB于点C、D. (2)分别以点C、D为圆心，大于1/2CD的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部交于点M. 特别解读 “大于1/2CD的长为半径作弧”是因为若以小于1/2CD的长为半径，则画出的两弧不能相交. (3)作射线OM. OM就是∠AOB的平分线 .(如图) 连接CM、DM，依据作图可知△OCM≌△ODM(SSS)， 所以∠AOM＝∠BOM, 所以OM平分∠ AOB. 2. 垂线的作法 过直线上一点作垂线 1. 以点P为圆心，适当的长为半径作弧，使它与直线l 交于点M、N. 2. 分别以点M、N为圆心，大于½MN的长为半径作弧，两弧交于点C. 3. 作直线CP. 直线CP即为所求. 如图. 过直线 外一点 作垂线 1. 以点C为圆心，适当的长为半径作弧，使它与直线l 交于点A、B. 2. 分别以点A、B为圆心，大于½AB的长为半径作弧，两弧交于点D. 3. 作直线CD.直线CD即为所求. 如图. 特别解读 1. 因为所作的垂线是一条直线，所以不能说成“作射线CP”或者“连接CP”. 2. 根据图，连接CM、CN， 可知△CMP≌△CNP(SSS)，所以∠CPM＝∠CPN. 又∠CPM＋∠CPN＝180°，所以 ∠CPM＝∠CPN＝90 °， 所以直线CP 即为所求作的垂线. 方法点拨 尺规作图要虚实分明，一般辅助性的线用虚线， 要求画出的线用实线，要保留作图痕迹，这样才可以体现出作图的全过程. 注意本题中求作的三角形的角平分线和高是线段. 知识点10.直角三角形全等的判定方法——斜边、直角边(HL) 1. 定理 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”). 2. 注意点 书写时必须强调直角三角形. 3. 易错警示 “HL”是判定两个直角三角形全等的特殊方法，但不是唯一方法，前面学习的判定三角形全等的方法在直角三角形中仍然适用. 特别提醒 1. 应用“HL”判定两个直角三角形全等，在书写时一定要加上“Rt”. 2. 判定两个直角三角形全等的特殊方法“HL”， 只适用于直角三角形全等的判定， 对于一般三角形不适用. 技巧点拨 两个直角三角形中，由于有直角相等的条件，所以判定两个直角三角形全等只需要再找2对对应元素分别相等(其中至少有一对边). 考点1：两个概念 概念1：全等图形 【例题1】（22-23八年级上·全国·单元测试）下列图形中，是全等图形的有（   ） A．组 B．组 C．组 D．组 【变式1】（24-25八年级上·全国·课后作业）下列各选项中的两个图形属于全等形的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（22-23八年级·全国·课堂例题）如图所示，下列图形中的全等图形是 . 【变式3】（2024八年级上·江苏·专题练习）找出下列各组图中的全等图形． 概念2：全等三角形 【例题2】（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）下列说法正确的是（　　） A．形状相同的两个三角形全等 B．周长相等的两个三角形全等 C．面积相等的两个三角形全等 D．形状、大小相同的两个三角形全等 【变式1】（23-24八年级上·广西南宁·期中）如图，，和，和是对应边，则的对应角是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，．下列结论：①与是对应边；②与是对应边；③与是对应角；④与是对应角．其中正确的是 ．（填序号）    【变式3】（23-24八年级上·陕西延安·阶段练习）如图，，请写出图中的对应角，对应边．    ①的对应角为（    ）；②的对应角为（    ）；③的对应角为（    ）；④的对应边为（    ）；⑤的对应边为（    ）． 考点2：一个性质——全等三角形的性质 【例题3】（2024八年级上·浙江·专题练习）已知图中的两个三角形全等，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【变式1】（22-23八年级上·山西运城·期末）如图，，下列等式不一定正确的是（  ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，，点在线段上，若，，则的长为 ． 【变式3】（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，点A，B，C在同一直线上，点E在上，且． (1)求的长． (2)判断与的位置关系，并说明理由． 考点3：一个判定——全等三角形的判定 【例题4】（22-23八年级上·山东聊城·阶段练习）如图，与交于点，若，用“”证明，还需（    ） A． B． C． D． 【变式1】（22-23八年级上·河南南阳·期中）如图是小明用同一种材料制成的金属框架，已知，，，则 ，其依据是 ． 【变式2】（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，点B、E、C、F在同一直线上，， 求证：． 【变式3】（2024八年级上·全国·专题练习）如图，，，三点在同一直线上，，，． 求证：． 考点4：两个作图 作图1：作角的平分线 【例题5】（七年级下·陕西宝鸡·阶段练习）作图题（要求：利用尺规作图，不写出作法，但要保留作图痕迹） 已知：如图，在直线MN上求作一点P，使点P到∠AOB两边的距离相等. 【变式1】（八年级上·广东·期中）尺规作图：已知ΔABC，作∠B的角平分线BD，交AC于点D． 【变式2】（七年级下·福建漳州·期末）如图，已知，求作射线，使（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法），并说明其中的道理． 【变式3】（八年级上·上海浦东新·期末）已知：∠O、点A及线段a（如图），求作：点P，使点P到∠O的两边的距离相等，且PA=a．（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． 作图2：作已知直线的垂线 【例题6】（八年级上·上海·期末）按要求作图（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写出作法和证明）． 如图，已知∠AOB和线段MN，求作点P，使P点到M、N的距离相等，且到角的两边的距离也相等． 【变式1】（八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，.点同时满足下面两个条件:①点到两边的距离相等; ②.         (1)用直尺(没有刻度)和圆规作出点(保留作图痕迹，不写作法);   (2)点的坐标为 . 【变式2】（八年级上·江苏无锡·期中）已知△ABC，利用直尺和圆规，在BC上作一点P，使BC=PA+PC（保留作图痕迹）． 【变式3】（八年级上·广东·期中）如图，在△ABC中，AB=AC． 尺规作图：作AB的垂直平分线，交AC于点M，（不写作法，保留作图痕迹）； 考点5：两个技巧 技巧1：截长补短法 【例题7】（22-23八年级上·重庆綦江·期末）如图所示，在中，，平分，为线段上一动点，为  边上一动点，当的值最小时，的度数是（    ） A．118° B．125° C．136° D．124° 【变式1】（20-21八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图， 是的角平分线，延长至点，使，若，， 则 ． 【变式2】（八年级上·浙江杭州·期末）如图中，分别平分相交于点． （1）求的度数； （2）求证： 【变式3】（八年级上·河北沧州·期末）数学课上，老师给出了如下问题： 已知：如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，延长CB到点D，∠DBE=45°，点F是边BC上一点，连结AF，作FE⊥AF，交BE于点E． （1）求证：∠CAF=∠DFE； （2）求证：AF=EF．经过独立思考后，老师让同学们小组交流．小辉同学说出了对于第二问的想法：“我想通过构造含有边AF和EF的全等三角形，又考虑到第(1)题中的结论，因此我过点E作EG⊥CD于G（如图2所示），再证明Rt△ACF和Rt△FGE全等，问题就解决了．”你同意小辉的方法吗？如果同意，请给出证明过程；不同意，请给出理由； （3）小亮同学说：“按小辉同学的思路，我还可以有其他添加辅助线的方法．”请你顺着小亮同学的思路在图3中继续尝试，并完成证明．    技巧2：倍长中线法 【例题8】（23-24八年级上·吉林·阶段练习）是的中线，若，则的长不可能是（   ） A．2 B．3 C．4 D．10 【变式1】（2024八年级上·全国·专题练习）如图，是的中线，，，则的取值范围是 ．    【变式2】（22-23八年级上·广东广州·期末）如图，在中，点D是的中点，分别以为腰向外作等腰三角形和等腰三角形，其中，，连接． (1)请写出与的数量关系，并说明理由． (2)延长交于点F，求的度数． 【变式3】（23-24八年级上·安徽安庆·期末）（1）如图①，在中，若，，为边上的中线，求的取值范围； （2）如图②，在中，点D是的中点，，交于点E，交于点F，连接，判断与的大小关系并证明； （3）如图③，在四边形中，，与的延长线交于点F，点E是的中点，若是的角平分线．试探究线段，，之间的数量关系，并加以证明． 考点6：一个思想——分类讨论思想 【例题9】（22-23八年级上·内蒙古兴安盟·期中）如图，在中，厘米，，厘米，点D为AB的中点，点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．当点Q的运动速度为______厘米/秒时，能够在某一时刻使与全等 A．1 B．2或4 C．3 D．4或6 【变式1】（22-23八年级上·四川德阳·阶段练习）如图，，，，，点和点同时从点出发，分别在线段和射线上运动，且，当 时，以点，，为顶点的三角形与全等． 【变式2】（22-23八年级上·广西南宁）如图，在中，已知，是的高，，直线，动点D从点C开始沿射线方向以每秒3厘米的速度运动，动点E也同时从点C开始在直线上以每秒1厘米的速度向远离C点的方向运动，连接、，设运动时间为t秒． 备用图 (1)请直接写出、的长度（用含有t的代数式表示）：________，________； (2)当t为多少时，的面积为？ (3)探究：当t为多少时，？并简要说明理由． 【变式3】（24-25八年级上·全国·假期作业）如图，有一直角三角形，，，，一条线段，、两点分别在上和过点且垂直于的射线上运动，问点运动到上什么位置时才能和全等？ 一、单选题 1．（2021·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，，点和点是对应顶点，点和点是对应顶点，过点作，垂足为点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（2022·四川成都·中考真题）如图，在和中，点，，，在同一直线上，，，只添加一个条件，能判定的是（    ） A． B． C． D． 3．（2023·吉林长春·中考真题）如图，工人师傅设计了一种测零件内径的卡钳，卡钳交叉点O为、的中点，只要量出的长度，就可以道该零件内径的长度．依据的数学基本事实是（    ） A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 C．两条直线被一组平行线所截，所的对应线段成比例 D．两点之间线段最短 4．（2023·四川凉山·中考真题）如图，点在上，，，添加一个条件，不能证明的是（　　）    A． B． C． D． 5．（2024·山东济南·中考真题）如图，已知，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 二、填空题 6．（2022·江苏南通·中考真题）如图，点B、F、C、E在一条直线上，，，要使，还需添加一个条件是    7．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，中，D是上一点，，D、E、F三点共线，请添加一个条件 ，使得．（只添一种情况即可） 8．（2023·重庆·中考真题）如图，在中，，，点D为上一点，连接．过点B作于点E，过点C作交的延长线于点F．若，，则的长度为 ．      9．（2024·四川成都·中考真题）如图，，若，，则的度数为 ． 三、解答题 10．（2023·云南·中考真题）如图，是的中点，．求证：．    11．（2024·云南·中考真题）如图，在和中，，，． 求证：． 12．（2024·江苏盐城·中考真题）已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，，． 若________，则． 请从①；②；③这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由． 一、单选题 1．（23-24八年级上·辽宁阜新·期中）下列各组中的两个图形中，属于全等图形的是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级·全国·课堂例题）说法中正确的是（    ） A．全等三角形是指形状相同的两个三角形 B．全等三角形是指面积相等的两个三角形 C．两个等边三角形是全等三角形 D．周长相等的两个三角形不一定全等 3．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在中，于点D、E是上一点，若，，，则的周长为（    ） A．22 B．23 C．24 D．26 4．（22-23八年级上·湖北武汉·阶段练习）在中，，中线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（22-23八年级上·广西南宁·阶段练习）如图，与相交于点，，若用“”说明，则还需添加的一个条件是（    ） A． B． C． D． 6．（22-23八年级上·新疆吐鲁番·阶段练习）如图，已知，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 7．（22-23八年级上·四川德阳·阶段练习）如图，用直尺和圆规作两个全等三角形，能得到的依据是（    ） A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS 8．（23-24八年级上·山西临汾·期末）如图，已知，点在同一条直线上，若，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 9．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，已知于点，交于点，于点，且．若，则的大小为（　　） A． B． C． D． 10．（22-23八年级上·山东日照·阶段练习）如图，中，，，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（22-23八年级上·广西柳州·期中）如图，，，，则，两点间的距离是 ．    11．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，点、在上，，要用证，则需添加的条件为 ． 13．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图1是某款雨伞的实物图，图2是该雨伞部分骨架示意图．测得，点，分别是，的三等分点，，那么的依据是 ； 14．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在中，于点，于点，，交于点，，若，，则的面积为 ． 15．（21-22八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，△ABC≌△ADE，BC的延长线经过点E，交AD于F，∠ACB＝∠AED＝105°，∠CAD＝10°，∠B＝50°，则∠AFE＝ °． 16．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，四边形与四边形是全等四边形，若，，，则 ． 17．（22-23八年级上·山东聊城·阶段练习）如图所示，在中，，，，则 ． 18．（23-24八年级上·江苏徐州·阶段练习）已知，中，，，为的中点，则中线的取值范围为 ． 三、解答题 19．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）如图，已知．求证：． 20．（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，，，，求证：． 21．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，，，求证：． 22．（23-24八年级上·湖北荆门·期末）如图，点E为上一点，．求证：． 23．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，，，，． (1)求的度数； (2)若，求证：． 24．（23-24八年级上·江西赣州·期中）安安同学遇到这样一个问题：如图，中，，，是中线，求的取值范围. 宁宁提示她可以延长到，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决.请解答： (1)和全等吗？请说明理由； (2)求出的取值范围. 25．（23-24八年级上·广西柳州·期末）如图，在和 中，边，交于点，，，． (1)若，，求的度数； (2)求证：． 26．（八年级上·山东济宁·期中）现阅读下面的材料，然后解答问题： 截长补短法，是初中数学几何题中一种常见辅助线的做法．在证明线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用．截长法：在较长的线段上截一条线段等于较短线段，而后再证明剩余的线段与另一段线段相等．补短法：就是延长较短线段与较长线段相等，而后证延长的部分等于另一条线段． 请用截长法解决问题（1） （1）已知：如图1等腰直角三角形中，，是角平分线，交边于点．求证：． 请用补短法解决问题（2） （2）如图2，已知，如图2，在中，，是的角平分线．求证：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 全等三角形（核心素养提升+中考能力提升+过关检测） 知识点1.全等图形 1. 定义 能完全重合的图形叫做全等图形. 全等图形的特征： (1)两相同：①形状相同；②大小相同. (2)两无关：①与位置无关；②与方向无关. 2. 全等变换的常见方式 平移、翻折、旋转. 特别解读 1. 两个全等图形的周长相等、面积相等； 2. 周长、面积相等的两个图形不一定是全等图形. 知识点2.全等三角形 1. 全等三角形的相关概念 (1)全等三角形的定义： 两个能完全重合的三角形叫做全等三角形. (2)全等三角形的对应元素： ① 对应顶点：全等三角形中，能够重合的顶点； ② 对应边：全等三角形中，能够重合的边； ③ 对应角：全等三角形中，能够重合的角． 2. 全等三角形的表示方法 全等用符号“≌”表示，读作“全等于”. 表示两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应的位置上. 特别解读 对应边、对应角是两个全等三角形中对应的两条边、对应的两个角；对边、对角是同一个三角形中的边和角，“对边”是指三角形中某个角所对的边，“对角”是指三角形中某条边所对的角. 方法提醒 1. 两个全等三角形找对应边的方法: ①最长边是对应边，最短边是对应边;②公共边是对应边; ③对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边. 2. 两个全等三角形找对应角的方法: ①最大角是对应角，最小角是对应角;②公共角是对应角，对顶角是对应角; ③对应边所对的角是对应角，两组对应边所夹的角是对应角. 知识点3.全等三角形的性质 1.性质 全等三角形的对应边相等，对应角相等. 2. 拓展 全等三角形的对应元素相等. 全等三角形中的对应元素包括对应边、对应角、对应边上的中线、对应边上的高、对应角的平分线、周长、面积等. 3. 易错警示 周长相等的两个三角形不一定全等，面积相等的两个三角形也不一定全等. 要点提醒 1. 应用全等三角形的性质时，要先确定两个条件： ①两个三角形全等； ②找准对应元素. 2. 全等三角形的性质是证明线段、角相等的常用依据. 方法点拨 全等三角形的性质在几何证明和计算中起着重要作用，当所求线段不是全等三角形的边时，可利用等式的基本性质进行转换，从而找到所求线段与已知线段的关系. 知识点4.全等三角形的判定方法——边角边(SAS) 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边角边”或“SAS”). 要点提醒 1. 相等的元素：两边及其夹角. 2. 书写顺序：边→角→边. 3. 两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等. 方法点拨 常见的隐含等角的情况：①公共角相等；②对顶角相等；③等角加(或减)等角，其和(或差)仍相等；④同角或等角的余(或补) 角相等；⑤由角平分线的定义得出角相等；⑥由垂直的定义得出角相等；⑦由平行线得到同位角或内错角相等. 知识点5.全等三角形的判定方法——角边角(ASA) 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”). 要点提醒 1. 相等的元素：两角及其夹边. 2. 书写顺序：角→边→角. 3. 夹边即两个角的公共边. 方法点拨 运用“ASA”判定两个三角形全等，既要找边相等，又要找角相等，除已知条件外，看缺什么条件，就去找什么条件. 另外，判定两个三角形全等后可以运用其性质，得出线段或角的相等关系. 知识点6.全等三角形的判定方法——角角边(AAS) 基本事实(ASA)的推论 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS”). 特别解读 (1)判定两个三角形全等的三个条件中，“边”是必不可少的； (2)由于“角角边”和“角边角”是可以互相转化的，故能用“角角边”证明的问题，一般也可以用“角边角”证明； (3)在运用“ASA”和“AAS”判定时，要注意“夹边”和“对边”的区别. 要点提醒 1. 相等的元素：两角及其中一角的对边； 2. 用判定三角形全等的方法证明三角形全等时，要注意图形中隐含的等角. 虽然已知条件无涉及，但证明中要特别注意挖掘这些重要条件. 证明三角形全等时找条件的方法： 证明三角形全等时，有些条件是已知的，有些条件是隐含在题设或图形中的，比如对顶角相等、公共角、公共边等，还有些条件是通过证明其他三角形全等，利用全等三角形的性质得到的. 知识点7.全等三角形的判定方法——边边边(SSS) 基本事实 三边分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边边边”或“SSS”). 要点提醒 1. 相等的元素：三角形的三条边； 2. 在列举两个三角形全等的条件时，应把三个条件按顺序排列并用大括号将其括起来； 3. 书写过程中三角形边的两个端点及三角形的顶点前后顺序要对应. 方法点拨 除了题目中已知的边相等以外，还有些相等的边隐含在题设或图形中. 常见的有： 1. 公共边相等； 2. 等边加(或减)等边，其和(或差)仍相等； 3. 由中点得出线段相等. 知识点8.三角形的稳定性 1. 三角形的稳定性 如果一个三角形三边的长度确定，那么这个三角形的形状和大小就完全确定，这个性质叫做三角形的稳定性. 三角形的稳定性在生活和生产中有着广泛的应用. 2. 四边及四边以上的图形不具有稳定性，为保证其稳定，常在多边形中构造三角形. 知识点9.用尺规作角平分线和垂线 1. 角平分线的作法 用直尺和圆规作∠AOB的平分线. 作法： (1)以点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交射线OA、OB于点C、D. (2)分别以点C、D为圆心，大于1/2CD的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部交于点M. 特别解读 “大于1/2CD的长为半径作弧”是因为若以小于1/2CD的长为半径，则画出的两弧不能相交. (3)作射线OM. OM就是∠AOB的平分线 .(如图) 连接CM、DM，依据作图可知△OCM≌△ODM(SSS)， 所以∠AOM＝∠BOM, 所以OM平分∠ AOB. 2. 垂线的作法 过直线上一点作垂线 1. 以点P为圆心，适当的长为半径作弧，使它与直线l 交于点M、N. 2. 分别以点M、N为圆心，大于½MN的长为半径作弧，两弧交于点C. 3. 作直线CP. 直线CP即为所求. 如图. 过直线 外一点 作垂线 1. 以点C为圆心，适当的长为半径作弧，使它与直线l 交于点A、B. 2. 分别以点A、B为圆心，大于½AB的长为半径作弧，两弧交于点D. 3. 作直线CD.直线CD即为所求. 如图. 特别解读 1. 因为所作的垂线是一条直线，所以不能说成“作射线CP”或者“连接CP”. 2. 根据图，连接CM、CN， 可知△CMP≌△CNP(SSS)，所以∠CPM＝∠CPN. 又∠CPM＋∠CPN＝180°，所以 ∠CPM＝∠CPN＝90 °， 所以直线CP 即为所求作的垂线. 方法点拨 尺规作图要虚实分明，一般辅助性的线用虚线， 要求画出的线用实线，要保留作图痕迹，这样才可以体现出作图的全过程. 注意本题中求作的三角形的角平分线和高是线段. 知识点10.直角三角形全等的判定方法——斜边、直角边(HL) 1. 定理 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”). 2. 注意点 书写时必须强调直角三角形. 3. 易错警示 “HL”是判定两个直角三角形全等的特殊方法，但不是唯一方法，前面学习的判定三角形全等的方法在直角三角形中仍然适用. 特别提醒 1. 应用“HL”判定两个直角三角形全等，在书写时一定要加上“Rt”. 2. 判定两个直角三角形全等的特殊方法“HL”， 只适用于直角三角形全等的判定， 对于一般三角形不适用. 技巧点拨 两个直角三角形中，由于有直角相等的条件，所以判定两个直角三角形全等只需要再找2对对应元素分别相等(其中至少有一对边). 考点1：两个概念 概念1：全等图形 【例题1】（22-23八年级上·全国·单元测试）下列图形中，是全等图形的有（   ） A．组 B．组 C．组 D．组 【答案】C 【详解】根据全等图形的定义判断即可．掌握能够完全重合的两个图形是全等形是解题的关键． 【解答】解：图①与⑩是全等图形， 图②与⑫是全等图形； 图④与⑧是全等图形； 图⑤与⑨是全等图形； 综上分析可知：全等图形有4组． 故选：C 【变式1】（24-25八年级上·全国·课后作业）下列各选项中的两个图形属于全等形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是全等形的识别．利用全等图形的概念（两个图形能够完全重合，就是全等图形）可得答案． 【详解】解：A、两个图形形状不同，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； B、两个图形能够完全重合，是全等图形，符合题意； C、两个图形形状不同，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； D、两个图形大小不同，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； 故选：B． 【变式2】（22-23八年级·全国·课堂例题）如图所示，下列图形中的全等图形是 . 【答案】（1）（9），（2）（3），（4）（8），（11）（12） 【分析】本题主要考查了全等图形的识别，能够完全重合的两个图形叫做全等图形，据此逐一判断即可。 【详解】解；由全等图形的定义可知，（1）（9），（2）（3），（4）（8），（11）（12）是全等图形， 故答案为：（1）（9），（2）（3），（4）（8），（11）（12）． 【变式3】（2024八年级上·江苏·专题练习）找出下列各组图中的全等图形． 【答案】（）③和④是全等形；（）①和④是全等形 【分析】本题考查了全等形的概念和性质，利用能够完全重合的两个图形称为全等图形，全等图形的大小和形状都相同，据此即可判断求解，掌握全等形的概念和性质是解题的关键． 【详解】解：（）由图形可得，③和④是全等形； （）由图形可得，①和④是全等形． 概念2：全等三角形 【例题2】（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）下列说法正确的是（　　） A．形状相同的两个三角形全等 B．周长相等的两个三角形全等 C．面积相等的两个三角形全等 D．形状、大小相同的两个三角形全等 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的定义，根据两个三角形全等的定义即可判断．理解定义是判断的关键． 【详解】解：A、形状相同的两个三角形不一定全等，说法错误，不符合题意； B、周长相等的两个三角形不一定全等，说法错误，不符合题意； C、面积相等的两个三角形不一定全等，说法错误，不符合题意； D、形状、大小相同的两个三角形全等，正确，符合题意． 故选：D． 【变式1】（23-24八年级上·广西南宁·期中）如图，，和，和是对应边，则的对应角是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查全等三角形的概念，根据已知条件，和，和是对应边，点与点对应点，点与点是对应点，由此即可得到的对应角，理解其概念是解题的关键． 【详解】∵， ∴∠的对应角是， 故选：． 【变式2】（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，．下列结论：①与是对应边；②与是对应边；③与是对应角；④与是对应角．其中正确的是 ．（填序号）    【答案】②④ 【分析】本题主要考查了全等三角形的有关概念，解题时应注重识别全等三角形中的对应边、对应角． 根据全等三角形的有关概念，即可求解． 【详解】解：∵， ∴与是对应边，故①错误； 与是对应边，故②正确； 与是对应角，故③错误； 与是对应角，故④正确． 所以正确的有②④． 故答案为：②④ 【变式3】（23-24八年级上·陕西延安·阶段练习）如图，，请写出图中的对应角，对应边．    ①的对应角为（    ）；②的对应角为（    ）；③的对应角为（    ）；④的对应边为（    ）；⑤的对应边为（    ）． 【答案】，，，， 【分析】根据全等三角形的定义可直接得出答案． 【详解】解：∵， ∴①的对应角为； ②的对应角为； ③的对应角为； ④的对应边为； ⑤的对应边为； 故答案为：，，，，． 【点睛】本题考查了全等三角形，找准对应边、对应角是解题的关键． 考点2：一个性质——全等三角形的性质 【例题3】（2024八年级上·浙江·专题练习）已知图中的两个三角形全等，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的性质．解题时要认准对应关系．全等图形要根据已知的对应边去找对应角，并运用“全等三角形对应角相等”即可得答案． 【详解】解：∵图中的两个三角形全等， a与a，c与c分别是对应边，那么它们的夹角就是对应角， ， 故选：D． 【变式1】（22-23八年级上·山西运城·期末）如图，，下列等式不一定正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据全等三角形的性质得出，，，，再逐个判断即可．本题考查了全等三角形的性质，能熟记全等三角形的性质是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等． 【详解】解：， ，，，， ， ， 即只有选项D符合题意，选项A、选项B、选项C都不符合题意； 故选：D 【变式2】（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，，点在线段上，若，，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了全等三角形的性质，线段的和差计算，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 根据全等三角形的性质可得，再根据即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：2 【变式3】（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，点A，B，C在同一直线上，点E在上，且． (1)求的长． (2)判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题侧重考查全等三角形的性质、邻补角的题目，全等三角形的对应边、对应角分别相等． （1）根据全等三角形的对应边相等及线段的和差关系可得答案； （2）根据全等三角形的对应角相等及余角的性质可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∴． （2），理由如下： ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴ 考点3：一个判定——全等三角形的判定 【例题4】（22-23八年级上·山东聊城·阶段练习）如图，与交于点，若，用“”证明，还需（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查的是全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理成为解题的关键． 由，再加上隐含条件“对顶角相等”，还需即可根据“”证得；然后逐项判断即可． 【详解】解：A、AB=DC，不能根据“”证两三角形全等，故本选项错误； B、∵在和中，，可证，故本选项正确； C、由和，根据“”证得两三角形全等，故本选项错误； D、根据和，不能证两三角形全等，故本选项错误． 故选B 【变式1】（22-23八年级上·河南南阳·期中）如图是小明用同一种材料制成的金属框架，已知，，，则 ，其依据是 ． 【答案】 【分析】由，推导出，而，，即可证明，此题重点考查全等三角形的判定与性质． 【详解】解：， ， ， 在和中， ， ， 故答案为：， 【变式2】（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，点B、E、C、F在同一直线上，， 求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题关键．由题意可知，，，即可证明全等． 【详解】证明：， ， ， 在和中， ， ． 【变式3】（2024八年级上·全国·专题练习）如图，，，三点在同一直线上，，，． 求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据平行线的性质得到，由即可得证．解题的关键是掌握：两组对应边相等且夹角相等的两个三角形全等． 【详解】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴． 考点4：两个作图 作图1：作角的平分线 【例题5】（七年级下·陕西宝鸡·阶段练习）作图题（要求：利用尺规作图，不写出作法，但要保留作图痕迹） 已知：如图，在直线MN上求作一点P，使点P到∠AOB两边的距离相等. 【答案】见详解. 【分析】利用角平分线的作法作∠AOB的平分线，∠AOB的平分线与直线MN交于一点，这一点就是P点． 【详解】解：如图所示，作∠AOB的平分线，∠AOB的平分线与直线MN交于一点，则点P即为所求． 【点睛】此题主要考查了作角平分线，关键是掌握角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 【变式1】（八年级上·广东·期中）尺规作图：已知ΔABC，作∠B的角平分线BD，交AC于点D． 【答案】见详解 【分析】根据尺规作图的要求即可解题,图形见详解. 【详解】解：以B为圆心,任意长为半径作弧,交∠ABC的两边于点M,N, 再分别以M,N为圆心,大于MN的长为半径作弧,交于一点P, 连接BP并延长,交AC于点D, 图形见下图. 【点睛】本题考查了角平分线的尺规作图,属于简单题,熟悉尺规作图作角平分线的流程是解题关键. 【变式2】（七年级下·福建漳州·期末）如图，已知，求作射线，使（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法），并说明其中的道理． 【答案】见解析. 【分析】利用基本作图（作已知角的角平分线）作出OC，同时得到OC′，然后根据“SSS“判断△ODP≌△OEP得到∠DOP=∠EOP，再根据等角的补角相等得到∠AOC′=∠BOC′． 【详解】解：如图，射线或为所作． 通过证明得到， 然后根据等角的补角相等得到． 【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）． 【变式3】（八年级上·上海浦东新·期末）已知：∠O、点A及线段a（如图），求作：点P，使点P到∠O的两边的距离相等，且PA=a．（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】答案见解析. 【分析】先利用尺规作图作出∠O的平分线，再以点A为圆心，线段a的长度为半径画弧，与角平分线的交点即为所求． 【详解】解：如图所示，点P1和点P2即为所求． 【点睛】考查作图-复杂作图，解题的关键是熟练掌握角平分线的尺规作图和角平分线的性质． 作图2：作已知直线的垂线 【例题6】（八年级上·上海·期末）按要求作图（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写出作法和证明）． 如图，已知∠AOB和线段MN，求作点P，使P点到M、N的距离相等，且到角的两边的距离也相等． 【答案】见解析 【分析】根据题意作出线段MN的垂直平分线,∠AOB的角平分线,它们的交点即为点P. 【详解】（1）作出∠AOB的平分线.（用尺规作图）    （2）作出线段MN的垂直平分线（用尺规作图） （3）两条直线的交点即为P点 【点睛】本题考查了尺规作图,作角平分线和中垂线,属于简单题,熟悉尺规作图的方法是解题关键. 【变式1】（八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，.点同时满足下面两个条件:①点到两边的距离相等; ②.         (1)用直尺(没有刻度)和圆规作出点(保留作图痕迹，不写作法);   (2)点的坐标为 . 【答案】（1）详见解析；（2）（3，3）. 【分析】（1）作∠AOC的角平分线和AB的垂直平分线，它们相交于点P，点P即为所求；（2）由于P点在AB的垂直平分线上，而AB∥x轴，则P点的横坐标为3，加上点P在第一象限的角平分线上，则P点的横纵坐标相等，于是得到P（3，3）． 【详解】（1）如图，点P为所作；    （2）P点坐标为（3，3）． 故答案为（3，3）． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作 【变式2】（八年级上·江苏无锡·期中）已知△ABC，利用直尺和圆规，在BC上作一点P，使BC=PA+PC（保留作图痕迹）． 【答案】答案见解析 【分析】作AB的垂直平分线，交BC于点P，则点P即为所求； 【详解】如图所示：点P即为所求； 【点睛】本题主要考查了应用设线段垂直平分线的性质知识 【变式3】（八年级上·广东·期中）如图，在△ABC中，AB=AC． 尺规作图：作AB的垂直平分线，交AC于点M，（不写作法，保留作图痕迹）； 【答案】作图见解析 【分析】利用基本作图（作线段的垂直平分线）作AB的垂直平分线，此垂直平分线与AC的交点为M点； 【详解】如图，点M为所作； 【点睛】本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）． 考点5：两个技巧 技巧1：截长补短法 【例题7】（22-23八年级上·重庆綦江·期末）如图所示，在中，，平分，为线段上一动点，为  边上一动点，当的值最小时，的度数是（    ） A．118° B．125° C．136° D．124° 【答案】D 【分析】先在上截取，连接，证明，得出，说明，找出当A、P、E在同一直线上，且时，最小，即最小，过点A作于点E，交于点P，根据三角形外角的性质可得答案． 【详解】解：在上截取，连接，如图： ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当A、P、E在同一直线上，且时，最小，即最小，过点A作于点E，交于点P，如图： ∵，， ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，三角形内角和定理与三角形的外角的性质，解题的关键是找出使最小时点P的位置 【变式1】（20-21八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图， 是的角平分线，延长至点，使，若，， 则 ． 【答案】102° 【分析】在BC上截取BF＝AB，连DF，如图，先根据SAS证明△ABD≌△FBD，得出DF＝DA＝DE，∠ADB＝∠BDF＝60°，∠A=∠BFD，进而可得∠EDC＝∠FDC，然后可根据SAS证明△CDE≌△CDF，再根据全等三角形的性质即可求出答案． 【详解】解：在BC上截取BF＝AB，连接DF，如图， ∵BD是∠ABC的平分线， ∴∠ABD＝∠FBD， ∵BA=BF，∠ABD＝∠FBD，BD=BD， ∴△ABD≌△FBD（SAS）， ∴DF＝DA＝DE，∠ADB＝∠BDF＝60°，∠A=∠BFD=78°， ∴∠FDC＝60°，∠DFC=102°， 又∵∠EDC＝∠ADB＝60°， ∴∠EDC＝∠FDC， ∵DE＝DF，∠EDC＝∠FDC，DC＝DC， ∴△CDE≌△CDF（SAS）， ∴∠E=∠DFC=102°； 故答案为：102°． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的定义以及对顶角相等的性质等知识，正确添加辅助线、构造全等三角形是解题的关键 【变式2】（八年级上·浙江杭州·期末）如图中，分别平分相交于点． （1）求的度数； （2）求证： 【答案】（1）∠CPD=60°；（2）详见解析 【分析】（1）根据三角形的内角和定理及角平分线的定义，三角形的外角性质即可求出； （2）在AC上截取AF=AE，先证明△APE≌△APF（SAS），再证明△CFP≌△CDP（ASA），根据全等三角形的性质证明即可． 【详解】解：（1）∵∠ABC=60°， ∴∠BAC+∠ACB=180°-60°=120°， 又∵AD、CE分别平分， ∴， ∴， 又∵∠CPD是△ACP的外角， ∴∠CPD=∠CAD+∠ACE=60°， ∴∠CPD=60°． （2）如图，在AC上截取AF=AE，连接PF， ∵∠CPD=60°， ∴∠APC=120°，∠APE=60° ∵AD平分∠BAC，CE平分∠ACB， ∴∠BAD=∠CAD，∠ACE=∠BCE 在△APE与△APF中 ， ∴△APE≌△APF（SAS） ∴∠APF=∠APE=60°， ∴∠CPF=∠AOC-∠APF=60°， 在△CFP与△CDP中， ∴△CFP≌△CDP（ASA） ∴CD=CF ∴AC=AF+CF=AE+CD， 即． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质、三角形内角和定理与角平分线的角度计算问题，解题的关键是通过在AC上截取AF=AE构造全等三角形 【变式3】（八年级上·河北沧州·期末）数学课上，老师给出了如下问题： 已知：如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，延长CB到点D，∠DBE=45°，点F是边BC上一点，连结AF，作FE⊥AF，交BE于点E． （1）求证：∠CAF=∠DFE； （2）求证：AF=EF．经过独立思考后，老师让同学们小组交流．小辉同学说出了对于第二问的想法：“我想通过构造含有边AF和EF的全等三角形，又考虑到第(1)题中的结论，因此我过点E作EG⊥CD于G（如图2所示），再证明Rt△ACF和Rt△FGE全等，问题就解决了．”你同意小辉的方法吗？如果同意，请给出证明过程；不同意，请给出理由； （3）小亮同学说：“按小辉同学的思路，我还可以有其他添加辅助线的方法．”请你顺着小亮同学的思路在图3中继续尝试，并完成证明．    【答案】（1）见解析；（2）不同意小辉的方法，理由见解析；（3）见解析 【分析】(1)依据“同角的余角相等”，即可得到∠CAF=∠DFE； (2) 不同意小辉的方法，理由是两个三角形中只有两个角对应相等无法判定其是否全等； (3)在AC 上截取AG=BF，连结FG，依据ASA即可判定△AGF≌△FBE，进而得出AF=EF． 【详解】解：证明：（1）∵∠C＝90°， ∴∠CAF+∠AFC＝90°． ∵FE⊥AF， ∴∠DFE+∠AFC＝90°． ∴∠CAF＝∠DFE． （2）不同意小辉的方法，理由：根据已知条件，两个三角形中只有两个角对应相等即∠CAF＝∠DFE和∠C=∠EGF=90°，没有对应边相等，故不能判定两个三角形全等． （3）如图3，在AC上截取AG＝BF，连结FG，    ∵AC＝BC， ∴AC﹣AG＝BC﹣BF，即CG＝CF． ∵∠C＝90°， ∴△CGF为等腰直角三角形， ∴∠CGF＝∠CFG＝45°． ∴∠AGF＝180°﹣∠CGF＝135°． ∵∠DBE＝45°， ∴∠FBE＝180°﹣∠DBE＝135°． ∴∠AGF＝∠FBE． 在△AGF和△FBE中： ∴△AGF≌△FBE（ASA）． ∴AF＝EF． 【点睛】此题主要考查了等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，解本题的关键是在AC上截取AG=BF，构造辅助线后证明△AGE≌△FBE． 技巧2：倍长中线法 【例题8】（23-24八年级上·吉林·阶段练习）是的中线，若，则的长不可能是（   ） A．2 B．3 C．4 D．10 【答案】D 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、三角形的三边关系，先画出图形，延长至点，使得，连接，再利用定理证出，根据全等三角形的性质可得，然后根据三角形的三边关系定理即可得． 【详解】解：如图，延长至点，使得，连接，则，   是的中线， ， 在和中， ， ， ， 在中，，即， ， 观察四个选项可知， 的长不可能是， 故选：D． 【变式1】（2024八年级上·全国·专题练习）如图，是的中线，，，则的取值范围是 ．    【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的常见模型—倍长中线模型及三角形三边关系的应用 ，熟记模型的构成及结论是解题关键． 【详解】解：如图，延长至H，使，连接，    ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故答案为： 【变式2】（22-23八年级上·广东广州·期末）如图，在中，点D是的中点，分别以为腰向外作等腰三角形和等腰三角形，其中，，连接． (1)请写出与的数量关系，并说明理由． (2)延长交于点F，求的度数． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】此题主要考查了倍长中线法，全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，利用倍长中线法作出辅助线是解本题的关键． （1）延长至E，使，连接则，证明，得出，进而判断出进而判断出，得出，即可得出结论； （2）结合（1），可得，然后利用三角形内角和定理即可解决问题． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图，延长至E，使，连接 ∵点D是的中点， ∴， ∵ ∴ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴． （2）解：延长交于点F， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 【变式3】（23-24八年级上·安徽安庆·期末）（1）如图①，在中，若，，为边上的中线，求的取值范围； （2）如图②，在中，点D是的中点，，交于点E，交于点F，连接，判断与的大小关系并证明； （3）如图③，在四边形中，，与的延长线交于点F，点E是的中点，若是的角平分线．试探究线段，，之间的数量关系，并加以证明． 【答案】（1）；（2），见解析；（3），见解析 【分析】（1）由已知得出，即为的一半，即可得出答案； （2）延长至点M，使，连接，可得，得出，由线段垂直平分线的性质得出，在中，由三角形的三边关系得出即可得出结论； （3）延长交于点G，根据平行和角平分线可证，也可证得，从而可得，即可得到结论． 【详解】解：（1）如图①，延长到点E，使，连接， ∵D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2），理由如下： 延长至点M，使，连接，如图②所示． 同（1）得：， ∴， ∵， ∴， 在中，由三角形的三边关系得： ， ∴； （3），理由如下： 如图③，延长交于点G， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴ ． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了三角形的三边关系，作辅助线—倍长中线法、全等三角形的判定与性质，角的关系等知识点，所以本题的综合性比较强，有一定的难度，通过作辅助线证明三角形全等是解题的关键 考点6：一个思想——分类讨论思想 【例题9】（22-23八年级上·内蒙古兴安盟·期中）如图，在中，厘米，，厘米，点D为AB的中点，点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．当点Q的运动速度为______厘米/秒时，能够在某一时刻使与全等 A．1 B．2或4 C．3 D．4或6 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的对应边相等的性质，等边对等角的性质，根据对应角分情况讨论是本题的难点．根据等边对等角可得，然后表示出、、、，再根据全等三角形对应边相等，分①、是对应边，②与是对应边两种情况讨论求解即可． 【详解】解：，，点为的中点， ， 设点、的运动时间为， ， 若与全等．则有： ①当时，， 解得：， 则， 故点的运动速度为：； ②当时， ， ， ． 故点的运动速度为． 故选：D 【变式1】（22-23八年级上·四川德阳·阶段练习）如图，，，，，点和点同时从点出发，分别在线段和射线上运动，且，当 时，以点，，为顶点的三角形与全等． 【答案】或 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定方法，分两种情况：①当时；②当时；由证明即可得出结果，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 分两种情况：①当时， 在和中， ， ∴； ②当时， 在和中， ， ∴； 综上，当点运动到或时，与全等， 故答案为：或． 【变式2】（22-23八年级上·广西南宁）如图，在中，已知，是的高，，直线，动点D从点C开始沿射线方向以每秒3厘米的速度运动，动点E也同时从点C开始在直线上以每秒1厘米的速度向远离C点的方向运动，连接、，设运动时间为t秒． 备用图 (1)请直接写出、的长度（用含有t的代数式表示）：________，________； (2)当t为多少时，的面积为？ (3)探究：当t为多少时，？并简要说明理由． 【答案】(1)，t (2)当为或时，的面积为 (3)秒或4秒时，．理由见详解 【分析】本题考查了线段的和与差、三角形全等的判定定理与性质，熟记判定定理与性质是解题关键．需注意的一点是：动点D的位置要分情况讨论，避免漏解． （1）根据“”即可得； （2）根据可求出的长，因为要求t则需要求出的长，由点D的位置可知，需分点D在点B右侧和点D在点B左侧两种情况，根据线段的和与差分别讨论即可； （3）先假设，则有，同（2）分两种情况讨论解出t的值，再检验两种情况下的t值，能否使得即可 【详解】（1）解：由“”得：， 故答案为：； （2）， ， 求的长分以下两种情况： 若在点右侧，，则 若在点左侧，，则 综上所述：当为或时，的面积为； （3）如果，则有 同（2）分两种情况： ①若在点右侧，当E在射线上时，D必在上，如下图： 则 由，即可得： 检验： 因此，由定理可得， ②若在点左侧，当E在的反向延长线上时，D必在延长线上，如下图： 则，， 由，即可得： 检验： ， ∴由定理可得， 综上，秒或4秒时， 【变式3】（24-25八年级上·全国·假期作业）如图，有一直角三角形，，，，一条线段，、两点分别在上和过点且垂直于的射线上运动，问点运动到上什么位置时才能和全等？ 【答案】当点位于的中点处或当点与点重合时，才能和全等 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质等知识，根据题意分情况讨论：①，此时，可据此求出点的位置；②，此时，、重合．判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、，由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，分类讨论是解决问题的关键． 【详解】解：根据三角形全等的判定方法可知： ①当运动到时， ， 在与中， ，即； ②当运动到与点重合时，， 在与中， ， ，即， 当点与点重合时，才能和全等， 综上所述，当点位于的中点处或当点与点重合时，才能和全等 一、单选题 1．（2021·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，，点和点是对应顶点，点和点是对应顶点，过点作，垂足为点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意易得，，然后问题可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选B． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质及直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质及直角三角形的性质是解题的关键． 2．（2022·四川成都·中考真题）如图，在和中，点，，，在同一直线上，，，只添加一个条件，能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形全等的判定做出选择即可． 【详解】A、，不能判断，选项不符合题意； B、，利用SAS定理可以判断，选项符合题意； C、，不能判断，选项不符合题意； D、，不能判断，选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查三角形全等的判定，根据SSS、SAS、ASA、AAS判断三角形全等，找出三角形全等的条件是解答本题的关键． 3．（2023·吉林长春·中考真题）如图，工人师傅设计了一种测零件内径的卡钳，卡钳交叉点O为、的中点，只要量出的长度，就可以道该零件内径的长度．依据的数学基本事实是（    ） A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 C．两条直线被一组平行线所截，所的对应线段成比例 D．两点之间线段最短 【答案】A 【分析】根据题意易证，根据证明方法即可求解． 【详解】解：O为、的中点， ，， （对顶角相等）， 在与中， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了全等三角形的证明，正确使用全等三角形的证明方法是解题的关键． 4．（2023·四川凉山·中考真题）如图，点在上，，，添加一个条件，不能证明的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，全等三角形的判定定理有，两直角三角形全等还有等．根据求出，再根据全等三角形的判定定理进行分析即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ， ∴当时，利用可得； 当时，利用可得； 当时，利用可得； 当时，无法证明； 故选：D． 5．（2024·山东济南·中考真题）如图，已知，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、三角形内角和定理等知识点，掌握全等三角形的对应角相等成为解题的关键． 先根据三角形内角和定理求得，然后根据全等三角形的对应角相等即可解答． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵， ∴． 故选C． 二、填空题 6．（2022·江苏南通·中考真题）如图，点B、F、C、E在一条直线上，，，要使，还需添加一个条件是    【答案】（或或或）． 【分析】根据平行线的性质可得，，添加条件为：或，根据可证明；添加条件为：或，根据可证明． 【详解】解：∵，， ∴，， ①添加条件为：， 在和中， ， ∴； ②添加条件为：， 在和中， ， ∴； ③添加条件为：， ∴， 在和中， ， ∴； ④添加条件为： ， 在和中， ， ∴； ∴这个条件可以是（或或或）． 故答案为：（或或或）． 【点睛】本题考查全等三角形的判定，平行线的性质．熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 7．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，中，D是上一点，，D、E、F三点共线，请添加一个条件 ，使得．（只添一种情况即可） 【答案】或（答案不唯一） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用全等三角形的判定解答．根据题目中的条件和全等三角形的判定，可以写出添加的条件，注意本题答案不唯一． 【详解】解：∵ ∴，， ∴添加条件，可以使得， 添加条件，也可以使得， ∴； 故答案为：或（答案不唯一）． 8．（2023·重庆·中考真题）如图，在中，，，点D为上一点，连接．过点B作于点E，过点C作交的延长线于点F．若，，则的长度为 ．      【答案】3 【分析】证明，得到，即可得解． 【详解】解： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中： ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质．利用同角的余角相等和等腰三角形的两腰相等证明三角形全等是解题的关键． 9．（2024·四川成都·中考真题）如图，，若，，则的度数为 ． 【答案】/100度 【分析】本题考查了三角形的内角和定理和全等三角形的性质，先利用全等三角形的性质，求出，再利用三角形内角和求出的度数即可． 【详解】解：由，， ∴， ∵， ∴， 故答案为： 三、解答题 10．（2023·云南·中考真题）如图，是的中点，．求证：．    【答案】见解析 【分析】根据是的中点，得到，再利用证明两个三角形全等． 【详解】证明：是的中点， ， 在和中， ， 【点睛】本题考查了线段中点，三角形全等的判定，其中对三角形判定条件的确定是解决本题的关键． 11．（2024·云南·中考真题）如图，在和中，，，． 求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键．利用“”证明，即可解决问题． 【详解】证明：， ，即， 在和中， ， ． 12．（2024·江苏盐城·中考真题）已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，，． 若________，则． 请从①；②；③这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由． 【答案】①或③（答案不唯一），证明见解析 【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，①根据平行线的性质得出，再由全等三角形的判定和性质得出，结合图形即可证明；②得不出相应的结论；③根据全等三角形的判定得出，结合图形即可证明；熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． 【详解】解：选择①； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即； 选择②； 无法证明， 无法得出； 选择③； ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴，即； 故答案为：①或③（答案不唯一） 一、单选题 1．（23-24八年级上·辽宁阜新·期中）下列各组中的两个图形中，属于全等图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等图形的定义，根据能够完全重合的两个图形称为全等图形进行逐项判断即可． 【详解】解：A中两个图形不是全等图形，故不符合题意； B中两个图形不是全等图形，故不符合题意； C中两个图形是全等图形，故符合题意； D中两个图形不是全等图形，故不符合题意； 故选：C． 2．（22-23八年级·全国·课堂例题）说法中正确的是（    ） A．全等三角形是指形状相同的两个三角形 B．全等三角形是指面积相等的两个三角形 C．两个等边三角形是全等三角形 D．周长相等的两个三角形不一定全等 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的概念，根据能够完全重合的两个三角形是全等三角形，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：形状相同的两个三角形若其大小不相等就不是全等三角形，故选项A错误； 面积相等的两个三角形形状不一定相同，不一定是全等三角形，故选项B错误； 两个等边三角形，形状相同，边长不一定相等，不一定能完全重合，不一定是全等三角形，故选项C错误． 长相等的两个三角形不一定全等，故选项D正确； 故选D． 3．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在中，于点D、E是上一点，若，，，则的周长为（    ） A．22 B．23 C．24 D．26 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应边相等，是解题的关键．由全等三角形的性质可得，，即可得的周长，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴的周长， ∵，， ∴的周长为． 故选：C． 4．（22-23八年级上·湖北武汉·阶段练习）在中，，中线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形三边关系等知识， 作辅助线（延长至，使，连接）构建全等三角形，然后由全等三角形的对应边相等知；而三角形的两边之和大于第三边、两边之差小于第三边，据此可以求得的取值范围． 【详解】解：延长至，使，连接，则， ∵是边上的中线，是中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由三角形三边关系，得， 即， ∴． 故选：B． 5．（22-23八年级上·广西南宁·阶段练习）如图，与相交于点，，若用“”说明，则还需添加的一个条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据题意即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：在和中，由题意可知，，， ∴若用“”说明，则还需添加的一个条件是， 故选：． 6．（22-23八年级上·新疆吐鲁番·阶段练习）如图，已知，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，根据证明，得出即可得出答案． 【详解】解：∵在和中， ∴， ∴． 故选：A． 7．（22-23八年级上·四川德阳·阶段练习）如图，用直尺和圆规作两个全等三角形，能得到的依据是（    ） A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS 【答案】B 【分析】本题考查复杂作图，根据作图的痕迹进行判断即可求解．掌握全等三角形的判定定理及基本作图是解题的关键． 【详解】解：由作图得：，， 在和中， ， ∴， ∴能得到的依据是． 故选：B． 8．（23-24八年级上·山西临汾·期末）如图，已知，点在同一条直线上，若，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据得到，得到，从而解答． 本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选B． 9．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，已知于点，交于点，于点，且．若，则的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的内角和定理，先由、得到，然后结合，得证，进而得到，再利用求得的大小，最后求得的大小． 【详解】解：，， ， ，， ， ， ，， ， ． 故选：B． 10．（22-23八年级上·山东日照·阶段练习）如图，中，，，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质以及三角形的内角和定理，由，推出，由，推出即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：． 二、填空题 11．（22-23八年级上·广西柳州·期中）如图，，，，则，两点间的距离是 ．    【答案】/60米 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，解决本题的关键是判定与全等．由，，可得，从而可得，所以，又，则，两点间的距离即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，两点间的距离为． 故答案为：． 11．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，点、在上，，要用证，则需添加的条件为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据且证，则添加条件为，即可作答． 【详解】解：∵运用证，且 ∴添加条件为 即和中 ∴ 故答案为： 13．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图1是某款雨伞的实物图，图2是该雨伞部分骨架示意图．测得，点，分别是，的三等分点，，那么的依据是 ； 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的应用，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． 由点分别是的三等分点，，得出，根据三边对应相等，证明． 【详解】解：∵点分别是的三等分点， ， ， ， 在与中， ， ， 故答案为：． 14．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在中，于点，于点，，交于点，，若，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和三角形的面积，能根据全等三角形的性质求出是解此题的关键． 根据全等三角形的性质得出，求出，再根据三角形的面积公式求出面积即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 15．（21-22八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，△ABC≌△ADE，BC的延长线经过点E，交AD于F，∠ACB＝∠AED＝105°，∠CAD＝10°，∠B＝50°，则∠AFE＝ °． 【答案】85 【分析】利用三角形内角和定理求出∠BAC＝25°，再根据三角形外角的性质可得答案． 【详解】解：在△ABC中，∵∠B＝50°，∠ACB＝105°， ∴∠BAC＝25°， ∵∠CAD＝10°，∠B＝50°， ∴∠AFE＝∠BAD+∠B＝∠BAC+∠CAD+∠B＝25°+10°+50°＝85°， 故答案为：85． 【点睛】本题考查了全等三角形的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识，熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和是解题的关键． 16．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，四边形与四边形是全等四边形，若，，，则 ． 【答案】/60度 【分析】本题考查了全等多边形的性质和四边形的内角和，先根据全等图形的性质求得和，再由四边形的内角和求得即可． 【详解】解：∵全等多边形的对应边和对应角相等， ∴，， 又∵四边形的内角和为， ∴， 故答案为：； 17．（22-23八年级上·山东聊城·阶段练习）如图所示，在中，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，证得成为解题的关键． 先证明可得，然后根据平角的性质即可解答． 【详解】解：在和中，，，, ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 18．（23-24八年级上·江苏徐州·阶段练习）已知，中，，，为的中点，则中线的取值范围为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了添加辅助线，全等三等三角形的判定和性质，以及三角形的三边关系，延长到，使，连接，可证明，根据全等三角形的性质可得，在中利用三角形三边关系可求得的范围，可求得的取值范围． 【详解】解：如图，延长到，使，连接，    为的中点， ， 在和中， ， （）， ， 在中，由三角形三边关系可得， 即， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题 19．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）如图，已知．求证：． 【答案】见详解 【分析】求出，根据推出，根据全等三角形的性质推出即可．本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有，，，，全等三角形的对应边相等，对应角相等． 【详解】证明：， ， ， 在和中 ， ， ． 20．（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．利用证明，继而可得出． 【详解】证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即． 21．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，已知，又公共，根据即可证明． 【详解】证明：在与中， ， ∴． 22．（23-24八年级上·湖北荆门·期末）如图，点E为上一点，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的性质与判定，平行线性质，先根据两直线平行内错角相等得到，再证明，根据全等三角形性质即可求出答案． 【详解】证明：， ， 在与中， ， ， ． 23．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，，，，． (1)求的度数； (2)若，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质，平行线的性质． （1）由，，可得，结合，即可求解； （2）证明，即可求解． 【详解】（1）解：，， ， ， ； （2）证明：在和中， ， ， ． 24．（23-24八年级上·江西赣州·期中）安安同学遇到这样一个问题：如图，中，，，是中线，求的取值范围. 宁宁提示她可以延长到，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决.请解答： (1)和全等吗？请说明理由； (2)求出的取值范围. 【答案】(1)全等，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形的三边关系； （1）根据中线的性质可得，延长到，使，根据证明 ，即可； （2）根据三角形的三边关系，即可求解． 【详解】（1）解：∵是中线， ∴， 延长到，使， 又， ∴ （2）由（1）可知，，， 在中，，， ∴，即， ∴. 25．（23-24八年级上·广西柳州·期末）如图，在和 中，边，交于点，，，． (1)若，，求的度数； (2)求证：． 【答案】(1)； (2)证明见解析． 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，平行线的性质，全等三角形的判定，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据三角形内角和定理求出，再根据平行线的性质得出即可； （）根据平行线的性质得出，求出，再根据全等三角形的判定定理推出即可； 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴； （2）证明：∵， ∴， 在和中， ∴． 26．（八年级上·山东济宁·期中）现阅读下面的材料，然后解答问题： 截长补短法，是初中数学几何题中一种常见辅助线的做法．在证明线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用．截长法：在较长的线段上截一条线段等于较短线段，而后再证明剩余的线段与另一段线段相等．补短法：就是延长较短线段与较长线段相等，而后证延长的部分等于另一条线段． 请用截长法解决问题（1） （1）已知：如图1等腰直角三角形中，，是角平分线，交边于点．求证：． 请用补短法解决问题（2） （2）如图2，已知，如图2，在中，，是的角平分线．求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【分析】（1）根据截长法，在上截取，连接，通过题目条件可证，进而证得是等腰直角三角形，等量代换即可得； （2）根据补短法，延长到，使，连接，根据已知条件可证，进而可证，等量代换即可得证． 【详解】（1）证明：如图1，在上截取，连接， ∵是角平分线， ∴ 在和中 ∴ ∴， 又∵是等腰直角三角形， ∴，∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． （2）如图2，延长到，使，连接， ∵是的角平分线， ∴ 在和中 ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了截长法和补短法两种方法证明线段和的问题，三角形全等的判定和性质的应用，角平分线的性质应用，等量代换的应用，掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$