精品解析：2024年黑龙江省龙东地区中考模拟数学试题（三）

二○二四年升学模拟大考卷（三） 数学试卷 考生注意： 1.考试时间120分钟 2.全卷共三道大题，总分120分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列计算中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，根据同底数幂的除法，积的乘方，完全平方公式，单项式乘单项式的法则，逐一进行计算即可． 【详解】解：A、，原选项计算错误； B、，原选项计算错误； C、，原选项计算错误； D、，原选项计算正确； 故选D． 2. 人工智能的爆发，是机遇也是挑战，将改变我们生活的世界．下图是我国人工智能科技的标识．这些标识是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，根据相关定理逐项判断即可，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，熟练掌握这两个概念是解题的关键． 【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故A不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故B不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C符合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故D不符合题意； 故选：C． 3. 如图是由6个相同的小正方体搭成的一个几何体，这个几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了简单组合体的三视图-主视图，掌握主视图的含义是解题关键．根据主视图的意义，从正面看该组合体所得到的图形即可． 【详解】解：从正面看该组合体，一共有三列，从左到右正方体个数分别是3，1，1，下面3个． 故选：B． 4. 若一组数据x，3，1，6，3的中位数和平均数相等，则x的值为（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据平均数与中位数的定义分三种情况x≤1，1<x<3，3≤x<6，x≥6时，分别列出方程，进行计算即可求出答案． 【详解】当x⩽1时,中位数与平均数相等,则得到： (x+3+1+6+3)=3， 解得x=2(舍去)； 当1<x<3时,中位数与平均数相等,则得到： (x+3+1+6+3)=3， 解得x=2； 当3⩽x<6时,中位数与平均数相等,则得到： (x+3+1+6+3)=3， 解得x=2(舍去)； 当x⩾6时,中位数与平均数相等,则得到： (x+3+1+6+3)=3， 解得x=2(舍去). 所以x的值为2. 故选A. 【点睛】此题考查中位数，算术平均数，解题关键在于分三种情况x≤1，1<x<3，3≤x<6，x≥6，进行求解 5. 在数学实践课上，小华要给一幅长，宽的手抄报加一个边框，如图所示，上下左右边框的宽度相等，且整个图形面积为，则小华添加的边框的宽度是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，设小华添加的边框的宽度是，根据整个图形面积为，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设小华添加的边框的宽度是，由题意，得： ， 解得：（舍去）； 故小华添加的边框的宽度是； 故选A． 6. 若关于x的方程的解是非负数，则a的取值范围为（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了分式方程的解法、分式方程的解以及不等式组的解法，首先解此分式方程，可得，由关于 的方程的解是非负数，即可得，且，解不等式组即可求得答案，此题难度适中，注意不要漏掉分式方程无解的情况：． 【详解】解：方程两边同乘以，得：， 解得：， 关于 的方程的解是非负数， ，且， 解得：且． 故选：C． 7. 某校将举办主题为“激情三月，学习雷锋精神”的演讲比赛活动，学校计划用150元钱购买三种奖品（三种都买），A种奖品每个10元，B种奖品每个20元，C种奖品每个30元，在C种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下，购买方案有（ ） A. 6种 B. 7种 C. 8种 D. 9种 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，设购买 个 种奖品，个种奖品，分购买1个种奖品及购买2个种奖品两种情况考虑，利用总价 单价数量，结合钱全部用完，可列出关于 ，的二元一次方程，再结合 ，均为正整数，即可得出可供选择的方案总数，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． 【详解】解：设购买 个 种奖品，个种奖品， 当购买1个种奖品时， ， ， ，均为正整数， ， ，，， 此时有5种购买方案可供选择； 当购买2个种奖品时，， ， ，均为正整数， ，，， 此时有4种购买方案可供选择． （种． 故选：D． 8. 如图，点A，B在反比例函数的图象上，轴，垂足为D，，若四边形的面积为6，，则k的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，设点，可得，，从而得到，再由．可得点，从而得到，然后根据，即可求解，熟练掌握反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键． 【详解】解：设点， 轴， ，， ， ， ， ．轴， 轴， 点， ， ， ， 解得：． 故选：C． 9. 如图，菱形的顶点A在x轴正半轴上，点，将菱形绕原点O逆时针旋转，则旋转后点B的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点B作轴于点D，过作轴于点，过点C作轴于点E，利用勾股定理，菱形的性质，旋转的性质和全等三角形的判定个性质，进行求解即可． 【详解】如图所示，将菱形绕原点O逆时针旋转，过点B作轴于点D，过作轴于点，过点C作轴于点E， ∵点， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由旋转可得，， ∴， ，， ∴， ∵在第二象限， ∴； 故选C． 【点睛】本题考查了旋转的性质、菱形的性质、全等三角形的判定和性质，平面直角坐标系中点的坐标特点，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 10. 如图，在边长为6的正方形中，，连接交于点M，G，H分别是，的中点，连接并延长，交边于点N．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，证明可判断①②；连接并延长交 于点 ，连接，利用中位线的性质可得 ，延长交的延长线于点 ，求得和 的长度，利用等高不同底的三角形面积比等于底边之比，可判断④，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键． 【详解】解： 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ，故①正确； ， ，故②正确； 如图，连接并延长交 于点 ，连接， 点 是的中点， ， ， ， ， ， ， ， 点分别是的中点， ，故③正确； 如图，延长交的延长线于点 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 可得， ， ， ，故④正确， 故正确的为：①②③④， 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共30分） 11. 哈尔滨冰雪大世界，引爆元旦旅游狂潮．据报道：哈尔滨元旦三天旅游总收入高达59.14亿．将59.14亿用科学记数法表示为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，熟知科学记数法的一般形式为，其中， 可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意 的形式，以及指数 的确定方法是解题的关键． 【详解】解：59.14亿． 故答案为：． 12. 在函数中，自变量x的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求自变量的取值范围，分式有意义的条件，根据分式的分母不为0，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故答案为：． 13. 如图，已知，请再添上一个条件_________，使（写出一个即可）． 【答案】 【解析】 【分析】由题可知△ABC和△ADC有公共边AC，，可根据AAS来判定三角形全等． 【详解】添加一个条件：， 证明：在三角形△ABC和△ADC中 ， ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，三角形全等判定方法有SSS、ASA、SAS、AAS等，关键是要根据题意选择合适的判定方法． 14. 布袋内装有1个黑球和2个白球，这些球除颜色外其余都相同，随机摸出一个球后不放回，再随机摸出一个球，则两次摸出的球都是白球的概率是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列表法求概率，根据题意，列出表格，利用概率公式进行求解即可． 【详解】解：由题意，列表如下： 黑 白 白 黑 黑白 黑白 白 白黑 白白 白 白黑 白白 共有6种等可能的结果，其中两次摸出的球都是白球的结果有2种， ∴； 故答案为：． 15. 若不等式组有3个整数解，则a的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根据不等式组的解集的情况求参数的范围，先求出不等式组的解集，进而得到关于参数的不等式组，进行求解即可． 【详解】解：解，得： ∵不等式组有3个整数解， ∴整数解为：， ∴， ∴； 故答案为：． 16. 如图，在中， 是直径， 是弦，过点C的切线与 的延长线交于点D，若，则的度数为____________． 【答案】##40度 【解析】 【分析】此题考查切线的性质，连接，利用切线的性质和三角形的内角和解答即可，关键是根据切线的性质解答． 【详解】解：如图，连接， 是切线， ， ，， ， ， 故答案为：． 17. 小杨用一个半径为、面积为的扇形纸板制作一个圆锥形的玩具帽（接缝的重合部分忽略不计），则帽子的底面半径为_____． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算、扇形的面积以及圆的周长，解题的关键是熟练的运用扇形的弧长以及圆的周长公式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据圆锥的制作过程找出圆锥的底面周长等于扇形的弧长是关键． 根据扇形的公式结合扇形的半径及扇形的面积可得出扇形的弧长，再利用圆的周长公式即可得出帽子的底面半径． 【详解】解：∵扇形的半径为、面积为， ∴扇形的弧长， 即可得帽子的底面半径． 故答案为：9． 18. 如图，已知正方形的边长是4，E是 边上一动点，是以点E为直角顶点的等腰直角三角形，则的最小值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】在 上截取，证明，推出，得到点 在正方形的一个外角的角平分线上运动，作点 关于角平分线的对称点，连接，得到，求出的长即可得出结果． 【详解】解：在 上截取，连接， ∵正方形， ∴， ∴，， ∴， ∵是以点E为直角顶点的等腰直角三角形， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点 在射线上移动， 作点 关于角平分线的对称点，则：垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∴三点共线， ∵正方形的边长是4， ∴， ∴， 在中，； ∵， ∴的最小值为； 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，利用轴对称解决线段和最小的问题，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，确定点 的运动轨迹． 19. 矩形中，M为对角线 的中点，点N在边上，且．当以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，的长为______． 【答案】4或 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、勾股定理、线段垂直平分线的判定与性质，平行线分线段成比例定理以及分类讨论等知识，熟练掌握矩形的性质和勾股定理，进行分类讨论是解题的关键． 分两种情况，①当时，②当时，根据矩形的性质和勾股定理分别求出的长，即可得出结论． 【详解】解：分两种情况：①如图1，当时， 则 ， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵M为对角线 的中点， ∴， ∴， ∵， ∴； ②如图2，当时， 则， ∵M为对角线 的中点， ∴， ∴垂直平分 ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的长为4或， 故答案为：4或． 20. 如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点，交y轴于点，点，，，，都在直线l上；点，，，，都在x轴上，以为直角顶点作等腰直角三角形；再以为直角顶点作等腰直角三角形如此下去，则等腰直角三角形的腰长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，通过罗列计算得到规律是关键．根据题意，分别计算、、、可得边长规律，据此计算即可． 【详解】解：在函数中，令 ，则；令，则， ，， 是等腰直角三角形， ， 设代入直线解析式得，解得， ， 设代入直线解析式得，解得， ， 设代入直线解析式得，解得， ， ， ． 故答案为：． 三、解答题（满分60分） 21. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 【解析】 【分析】先根据分式的加减法法则计算括号内的，再根据乘法公式分解并根据分式乘除法法则计算即可． 【详解】原式． 当时， 原式， 故答案为： . 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，掌握分式的运算法则是解题的关键． 22. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中， 的三个顶点，，均在格点上． （1）将 向下平移5个单位长度得到，画出，并写出点的坐标； （2）画出绕点逆时针旋转后得到的，并写出点的坐标； （3）在（2）的条件下，求的长． 【答案】（1） 如图所示，即为所作， 点的坐标为； （2） 如图所示，即为所作， 点的坐标为； （3） 【解析】 【分析】本题考查了作图-旋转变换，作图-平移变换以及弧长公式： （1）根据平移的性质即可将 向下平移5个单位长度得到，写出点的坐标即可； （2）根据旋转的性质即可画出绕点逆时针旋转后得到的，写出点的坐标即可； （3）根据弧长公式计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由勾股定理得，。 ∴的长 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于点A，B，点A在y轴上，抛物线的对称轴是． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质： （1）运用待定系数法求解即可； （2）联立方程组求出点A，B的坐标，设，设 与对称轴交点为Q，坐标为，得，根据三角形面积公式求解即可 【小问1详解】 解：对于，当 时， ∴， 代入得， ∵抛物线的对称轴是 ， ∴， ∴； ∴抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 解：联立， 解得，，， ∵， ∴， 设直线与对称轴的交点为， 当时，，则 设， ∴， ∴， ∴ ∴ 解得，或 ∴点的坐标为或 24. 某校团委组织开展“红心向党”党史知识宣传主题教育活动，为了解初中学生对于党史知识的了解情况，某校随机抽取若干名学生进行测试（测试满分100分，得分均为整数），根据测试结果，将结果分为五个等级：不合格（）；基本合格（）；合格（）；良好（）；优秀（）．若干名学生的党史知识测试成绩的条形统计图和扇形统计图如图所示（部分信息未给出）． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）本次接受随机抽样调查的学生人数为____________人，扇形统计图中m的值为____________； （2）补全条形统计图； （3）如果全校学生2000人都参加测试，请你根据抽样测试的结果，估计该校获得优秀的学生有多少人． 【答案】（1）100；16 （2） 条形统计图补全如下： ； （3）280 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图，用样本估计总体人数，熟练利用条形统计图和扇形统计图求出相关数据是解题的关键． （1）利用良好的人数和对应占比，即可求出总人数；再根据不合格人数算出占比，即可解答； （2）算出合格的人数，补全条形统计图即可解答； （3）利用优秀占比乘总人数，即可解答． 【小问1详解】 解：本次接受随机抽样调查的学生人数：人； ，故， 故答案为：100；16； 【小问2详解】 解：合格人数：人， 图如答案所示； 【小问3详解】 解：人， 答：该校获得优秀的学生有280人． 25. 一辆出租车和货车同时从甲地出发，出租车到达乙地后停留了30分钟，然后按原路原速返回甲地；货车途径货站（甲地、货站、乙地依次在一条直线上）时，用30分钟装完货物继续前往乙地，此时出租车恰好到达乙地，结果货车到达乙地的时间比出租车返回甲地的时间早了1.5小时．在两车行驶过程中，甲、乙两车距甲地的距离y（单位：千米）与出租车所用时间x（单位：小时）之间的函数图象如图所示，请结合图象信息解答下列问题： （1）图中m的值是_______，出租车的速度为__________千米/时； （2）求货车装完货物后驶往乙地过程中，距其出发地的距离y与行驶时间x的函数关系式； （3）出租车出发多长时间，在返回甲地的过程中与货车相距60千米？直接写出答案． 【答案】（1）；； （2） （3）小时或7小时 【解析】 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，用待定系数法求一次函数，一次函数的实际应用，能准确地理解题意，根据题中信息求得所需数据是解题的关键． （1）根据出租车所用时间可得点 坐标，再根据用30分钟装完货物继续前往乙地，此时出租车恰好到达乙地，即可求m的值，再利用出租车原路原速返回，即可求出出租车的速度； （2）求得两点的坐标，利用待定系数法即可解决； （3）求出出租车返回时的函数解析式，利用返回甲地的过程中与货车相距60千米列方程，即可解答． 【小问1详解】 解：根据题意可得出租车到达乙地的时间为小时， ； 出租车的速度为千米/时； 故答案为：；； 【小问2详解】 解：根据题意可得货车到达甲地的时间为小时， ， 设距其出发地的距离y与行驶时间x的函数关系式为， 将，代入可得， 解得， 距其出发地的距离y与行驶时间x的函数关系式为； 【小问3详解】 解：设出租车返回甲地的出租车距离y与行驶时间x的函数关系式为， 将代入，可得， 解得， ， 当出租车返回甲地的过程中与货车相距60千米时， 可得， 解得， 答：出租车出发小时或7小时，在返回甲地的过程中与货车相距60千米． 26. 在 和 中，，，，点E在 内部，直线与 相交于点F，点D，F不重合，连接． （1）如图①，当时，求证：； （2）如图②，当 和 都是等边三角形时；如图③，当 和 都是等腰三角形，且时，试判断，，之间又有怎样的数量关系．请分别写出图②和图③的结论，不需要证明． 【答案】（1） 证明：， ， 即， ，， ， ， 如图，过点作交于点 ， ， ， 即， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， （2）当 和 都是等边三角形时，；当 和 都是等腰三角形，且时， 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，作出正确的辅助线马，能够举一反三是解题的关键． （1）利用等腰三角形的性质，证明，过点作交于点 ，证明，可得为等腰直角三角形，即可解答； （2）分别过点作交于点，同（1）中原理，得到与的关系，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 证明：当 和 都是等边三角形时，如图，过点作交于点， 同（1）原理可得， ， 为等边三角形， ， ， 即； 当 和 都是等腰三角形，且时，如图，过点作交于点 ，过点作， 同（1）原理可得， ， 为等腰三角形， ， ， 根据勾股定理可得， ， 即． 27. 某体育用品专卖店准备购进两种类型的羽毛球拍，每副A型羽毛球拍比B型羽毛球拍的进价少10元，用6000元购进A型羽毛球拍的副数是用3500元购进B型羽毛球拍副数的2倍． （1）求两种型号的羽毛球拍每副进价各是多少元； （2）若该商场购进B型羽毛球拍的副数比A型羽毛球拍的2倍还多5副，且A型羽毛球拍不少于18副，购进两种型号羽毛球拍的总费用不超过4350元，请你求出该商场有哪几种进货方案； （3）若A型羽毛球拍售价为70元/副，B型羽毛球拍售价为85元/副，该商场在（2）中获得最大利润的条件下，为促进销售，商场推出每购买一副羽毛球拍可抽奖一次，中奖顾客赠送同款羽毛球一盒，两款羽毛球的进价每盒分别是30元、35元．如果两款羽毛球拍全部售出，除去奖品的费用后仍获利675元，那么两款羽毛球共赠送多少盒？请直接写出答案． 【答案】（1） 种型号的羽毛球拍每副进价40元，种型号的羽毛球拍每副进价50元 （2）有12种进货方式 （3）两款羽毛球共赠送或或盒 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，二元一次方程的应用，熟练得到相应的等量关系和不等关系是解题的关键． （1）设每副“ 型球拍”的价格为 元，则每副“型球拍”的价格为元，根据“用6000元购进“ 型球拍”是用3500元购进“型球拍”的数量的两倍”列出方程，解方程即可； （2）设商场购进“A型球拍” 副，则购进“B型球拍”副，根据A型羽毛球拍不少于18副，购进两种型号羽毛球拍的总费用不超过4350元，列出不等式组，即可解答； （3）设设 款羽毛球赠送a盒, 款羽毛球赠送b盒,根据题意列出方程，再根据条件得到的解，即可解答． 【小问1详解】 解：设每副“ 型球拍”的价格为 元，则每副“型球拍”的价格为元， 可得方程， 解得， 经检验，可得是原方程的解， 元， 答： 种型号的羽毛球拍每副进价40元，种型号的羽毛球拍每副进价50元． 【小问2详解】 解：设商场购进“A型球拍” 副，则购进“B型球拍”副， 可得， 解得， 为正整数，可得， 故有12种进货方式． 【小问3详解】 解：获得最大利润时，购进“ 型球拍”29副，购进“B型球拍”63副， “ 型球拍”的利润为元/副；“B型球拍”的利润为元/副， 设 款羽毛球赠送a盒, 款羽毛球赠送b盒, 可得， 可得， ， 可得，此时； ，此时； ，此时， 答：两款羽毛球共赠送或或盒． 28. 如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，，的长分别为的两个根（），动点M从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿向终点A运动，同时动点N从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿 向终点C运动，过点N作，交 于点P，连接，，当点N运动到点C时，点M也同时停止运动，当两动点运动了t秒时，记的面积为S． （1）求直线 的解析式； （2）求S关于t的函数关系式； （3）点P在运动过程中，坐标平面内是否存在一点Q，使以为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，或或 【解析】 【分析】（1）解一元二次方程，求出方程的两个根，进而求出的坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）分在的左侧和右侧，两种情况进行讨论求解即可； （3）根据以为顶点的四边形是菱形，得到为等腰三角形，分三种情况进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴设直线 的解析式为：，把，代入，得：， ∴； 【小问2详解】 解：∵矩形， ∴， 由题意，得：，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 延长交 轴于点 ，则：四边形和四边形均为矩形， 当三点共线时，则：， ∴，解得：， ∴当时，如图： 则：， ∴， ∴； 当时，如图： 同法可得：， 综上：； 【小问3详解】 存在； ∵点在线段 上， ∴设， ∵以为顶点的四边形是菱形，则必为等腰三角形， ∵， ∴， 当时：，解得：（舍去）或， ∴， 此时，且，点在点上方， ∴； 当时：，解得：或（舍去）； ∴， 此时，且，点在点下方， ∴； 当时，，解得： ， ∴， 此时为菱形的对角线，的中点坐标为， ∴的中点也为， ∴； 综上：或或． 【点睛】本题考查坐标与图形，解一元二次方程，二次函数与图形的综合应用，一次函数与图形的综合应用，菱形的性质，等腰三角形的性质等知识点，综合性强，计算量大，难度大，属于压轴题，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 二○二四年升学模拟大考卷（三） 数学试卷 考生注意： 1.考试时间120分钟 2.全卷共三道大题，总分120分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列计算中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 人工智能的爆发，是机遇也是挑战，将改变我们生活的世界．下图是我国人工智能科技的标识．这些标识是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图是由6个相同的小正方体搭成的一个几何体，这个几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 4. 若一组数据x，3，1，6，3的中位数和平均数相等，则x的值为（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 在数学实践课上，小华要给一幅长，宽的手抄报加一个边框，如图所示，上下左右边框的宽度相等，且整个图形面积为，则小华添加的边框的宽度是（ ） A. B. C. D. 6. 若关于x的方程的解是非负数，则a的取值范围为（ ） A. B. C. 且 D. 且 7. 某校将举办主题为“激情三月，学习雷锋精神”的演讲比赛活动，学校计划用150元钱购买三种奖品（三种都买），A种奖品每个10元，B种奖品每个20元，C种奖品每个30元，在C种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下，购买方案有（ ） A. 6种 B. 7种 C. 8种 D. 9种 8. 如图，点A，B在反比例函数的图象上，轴，垂足为D，，若四边形的面积为6，，则k的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 如图，菱形 的顶点A在x轴正半轴上，点，将菱形绕原点O逆时针旋转，则旋转后点B的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在边长为6的正方形 中，，连接 交于点M，G，H分别是， 的中点，连接并延长，交边于点N．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 二、填空题（每小题3分，共30分） 11. 哈尔滨冰雪大世界，引爆元旦旅游狂潮．据报道：哈尔滨元旦三天旅游总收入高达59.14亿．将59.14亿用科学记数法表示为____________． 12. 在函数中，自变量x的取值范围是____________． 13. 如图，已知，请再添上一个条件_________，使（写出一个即可）． 14. 布袋内装有1个黑球和2个白球，这些球除颜色外其余都相同，随机摸出一个球后不放回，再随机摸出一个球，则两次摸出的球都是白球的概率是____________． 15. 若不等式组有3个整数解，则a的取值范围是____________． 16. 如图，在 中， 是直径，是弦，过点C的切线与 的延长线交于点D，若，则的度数为____________． 17. 小杨用一个半径为、面积为的扇形纸板制作一个圆锥形的玩具帽（接缝的重合部分忽略不计），则帽子的底面半径为_____． 18. 如图，已知正方形 的边长是4，E是边上一动点，是以点E为直角顶点的等腰直角三角形，则的最小值为____________． 19. 矩形 中，M为对角线 的中点，点N在边上，且．当以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，的长为______． 20. 如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点，交y轴于点，点，，，，都在直线l上；点，，，，都在x轴上，以为直角顶点作等腰直角三角形；再以为直角顶点作等腰直角三角形如此下去，则等腰直角三角形的腰长为________． 三、解答题（满分60分） 21. 先化简，再求值：，其中． 22. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点，，均在格点上． （1）将向下平移5个单位长度得到，画出，并写出点的坐标； （2）画出绕点逆时针旋转后得到的，并写出点的坐标； （3）在（2）的条件下，求的长． 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于点A，B，点A在y轴上，抛物线的对称轴是． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 24. 某校团委组织开展“红心向党”党史知识宣传主题教育活动，为了解初中学生对于党史知识的了解情况，某校随机抽取若干名学生进行测试（测试满分100分，得分均为整数），根据测试结果，将结果分为五个等级：不合格（）；基本合格（）；合格（）；良好（ ）；优秀（ ）．若干名学生的党史知识测试成绩的条形统计图和扇形统计图如图所示（部分信息未给出）． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）本次接受随机抽样调查的学生人数为____________人，扇形统计图中m的值为____________； （2）补全条形统计图； （3）如果全校学生2000人都参加测试，请你根据抽样测试的结果，估计该校获得优秀的学生有多少人． 25. 一辆出租车和货车同时从甲地出发，出租车到达乙地后停留了30分钟，然后按原路原速返回甲地；货车途径货站（甲地、货站、乙地依次在一条直线上）时，用30分钟装完货物继续前往乙地，此时出租车恰好到达乙地，结果货车到达乙地的时间比出租车返回甲地的时间早了1.5小时．在两车行驶过程中，甲、乙两车距甲地的距离y（单位：千米）与出租车所用时间x（单位：小时）之间的函数图象如图所示，请结合图象信息解答下列问题： （1）图中m的值是_______，出租车的速度为__________千米/时； （2）求货车装完货物后驶往乙地过程中，距其出发地的距离y与行驶时间x的函数关系式； （3）出租车出发多长时间，在返回甲地的过程中与货车相距60千米？直接写出答案． 26. 在和中，，，，点E在内部，直线与相交于点F，点D，F不重合，连接 ． （1）如图①，当时，求证：； （2）如图②，当和都是等边三角形时；如图③，当和都是等腰三角形，且时，试判断 ， ， 之间又有怎样的数量关系．请分别写出图②和图③的结论，不需要证明． 27. 某体育用品专卖店准备购进两种类型的羽毛球拍，每副A型羽毛球拍比B型羽毛球拍的进价少10元，用6000元购进A型羽毛球拍的副数是用3500元购进B型羽毛球拍副数的2倍． （1）求两种型号的羽毛球拍每副进价各是多少元； （2）若该商场购进B型羽毛球拍的副数比A型羽毛球拍的2倍还多5副，且A型羽毛球拍不少于18副，购进两种型号羽毛球拍的总费用不超过4350元，请你求出该商场有哪几种进货方案； （3）若A型羽毛球拍售价为70元/副，B型羽毛球拍售价为85元/副，该商场在（2）中获得最大利润的条件下，为促进销售，商场推出每购买一副羽毛球拍可抽奖一次，中奖顾客赠送同款羽毛球一盒，两款羽毛球的进价每盒分别是30元、35元．如果两款羽毛球拍全部售出，除去奖品的费用后仍获利675元，那么两款羽毛球共赠送多少盒？请直接写出答案． 28. 如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形， ，的长分别为的两个根（），动点M从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿 向终点A运动，同时动点N从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿向终点C运动，过点N作，交于点P，连接，，当点N运动到点C时，点M也同时停止运动，当两动点运动了t秒时，记的面积为S． （1）求直线的解析式； （2）求S关于t的函数关系式； （3）点P在运动过程中，坐标平面内是否存在一点Q，使以为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $