8.6.3平面与平面垂直(二)教学设计-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

高中数学（人教 A 版 2019）必修第二册 8.6.3 平面与平面垂直（第二课时） 一、教学内容 1、平面与平面垂直的性质定理二、教学目标 1. 掌握应用类比思想探究平面与平面垂直的性质定理的过程，进一步明确“直观感知” “推理论证”相结合的研究思路． 2. 掌握平面与平面垂直的性质定理． 3. 能熟练运用平面与平面垂直的性质定理进行相关的证明或计算． 4. 通过对平面与平面垂直性质定理的学习，培养数学抽象、逻辑推理、数学计算、直观想象等数学素养. 三、教学重点与难点 教学重点：平面与平面垂直的性质定理． 教学难点：平面与平面垂直的性质定理的探究及应用．四、教学过程设计 （一）探究平面与平面垂直的性质定理 类比线面垂直的性质定理，研究平面与平面垂直的性质，也就是在两个平面互相垂直的条件下，能推出哪些结论？如果两个平面互相垂直，根据前面学习性质定理的研究经验，我们可以对其中一项进行降维处理，先研究其中一个平面内的直线与另一个平面具有什么位置关系。 问题 1：如图已知平面 平面， a ，则 平面内异于交线 a 的直线 b 与直线 a 有什么位置有关系？相应地，直线b 与平面有什么位置有关系？为什么？ 设计意图：设置问题情境，探究已知平面与平面垂直的条件下，一个平面内的直线与另一平面的位置关系． 教师活动：（预设学生回答）直线 b 与直线 a 平行或相交．当直线 b 与直线 a 平行时，由线面平行的判定定理可知，直线 b//平面α；当直线 b 与直线 a 相交时，直线 b 与平面α也相交． 问题 2：平面β内是否存在直线与平面α垂直,能证明吗？ 设计意图：在问题 1 的基础上，由一般位置关系过渡到特殊情形，排除斜线与平面垂十后，引导学生重点研究平面β的直线 b 垂直直线 a 的特殊情况，引出本课的教学重点． 教师活动：教师可以给出一些具体的情境帮助学生思考，比如让学生思考如何在黑板上画一条直线，使之与地面垂直．这样更容易猜想出结论：在平面与平面垂直的条件下，在其中一个平面作垂直于交线的直线，则该直线垂直于另一个平面． 问题 3：你能根据图形写出对应的结论用符号、语言表示出来吗？ 设计意图：在学生直观感知得出结论的基础上，让学生结论进行严格证明，从而得到平面与平面垂直的性质定理． 教师活动：学生结合图示，尝试给出定理的文字表示和符号表示：α⊥β,α∩β=a，b ⊂β,b⊥a,则 b⊥α．教师可让一名学生汇报其成果，注意补充其可能遗漏的条件，并注意结合实例展示某一条件缺失后，结论为什么不成立．在给出符号表示之后，教师再请学生对定理的正确性进行证明．学生动笔证明前，教师可适当给出一些提示，帮助学生思考，比如： “要证直线和平面垂直，一般需先证明什么？” “平面与平面垂直时如何定义的？如何使用平面与平面垂直这一条件？”等． 证毕结论，教师指出该定理即为平面与平面垂直的性质定理，该定理和平面与平面垂直的判定定理一道体现了“平面与平面的垂直关系”与“直线与 平面的垂直关系”之间的相互转化． 问题 4：设平面α⊥平面β，点 P 在平面α内，过点 P 作平面β的垂线 a，则直线 a 与平面α具有什么位置关系？ 教师活动：学生根据直观感觉不难回答出 a 在平面α内，但要严格证明并不容易．教师可以给出“同一法”的思路提示（过一点只能作一条直线与已知平面垂直，因此如果过一点有两条直线与平面垂直，那么这两条直线重合），然后再让学生完善证明过程． 追问：在立体几何中，我们常需过平面外一个点向平面作垂线．这个问题的难点在于确定垂足的位置．问题 4 能给你什么样的启发？ 此处教师要作适当的补充点评：在立体几何中，我们常需过平面外一个点向平面作垂线．这个问题的难点在于确定垂足的位置．问题 4 就给出了这个难题的一个解决方案——欲确定平面α外一点 P 在α内射影的位置，可寻找或构造一个过点 P 且与α垂直的平面β，则根据平面与平面垂直的性质定理，只需过点 P 向平面α与β的交线作垂线即可． 教师还可以举出一些例子来帮助学生加深理解，例如在三棱柱 ABC-A1B1C1 中， AC AB，CC1 AB，且AC CC1 ，则点 C 在平面ABC1 上的射影 H 位于何处？ 根据题设条件，学生不难发现平面 ACC1 平面ABC1 .又因为平面 ACC1  平面ABC1 AC1 ，所以只需要在平面 ACC1 内过点 C 作交线AC1 的垂线，则该直线垂直于平面 ABC1 ，所以点 C 在平面ABC1 上的射影 H 位于直线AC1 上。 设计意图：旨在向学生展示平面与平面垂直的性质定理的一些实际应用，让学生进一步加深对定理的认识． 问题 5：平面与平面垂直的性质定理表明，若两平面垂直，则其中一个平面内垂直于交线的 直线垂直于别一个平面。如果交换部分条件与结论，可以探究更多的结论，例如书本例题 9。例 9：已知平面、β，⊥β，直线 a 满足直线 a⊥平面β，直线 a平面，试判断直线 a 与平面的位置关系。 设计意图：继续深入探究在已知两平面垂直的条件下，特定直线与平面的位置关系，证明过程也是平面与平面垂直的性质定理的简单应用。 教师活动：学生不难发现直线a // 平面，然后是教师请 学生思考如何严谨的证明这一结论。教师可以给出提示---根据平面与平面垂直的性质定量，可以将条件平面 平面转化为一件直（不妨设为 b）与平面垂直，强求合条件直 线 a 平面,根据直线与平面垂直的性质琮理可得b // a ，因为直线a 平面，由直线 与平面平行的判定定理可得： 直线a // 平面 解：在α内作垂直于α与β交线的垂线 b ∵α⊥β ∴b⊥β ∵a⊥β ∴a∥b ∵a α ∴a∥α 即直线 a 与平面平行 变式练习：（课本第 163 页第 10 题） 已知平面α ,β,γ ,且α ⊥ γ ,β ⊥ γ ,α∩β=l,求证 l⊥ γ 设计意图：在平面与平面垂直的性质定理的基础上，进一步探究在已知平面垂直的条件下，可以推证出怎样的一些直线与平面的特殊位置关系．同时该例题还综合运用了直线与平面、平面与平面的平行和垂直的判定定理和性质定理，具有较强的综合性． 证明：在 l 上找一点 A，过点 A 作直线 a 垂直于γ ∵点 A 在平面α 内，所以直线 a 在平面α内过点 A 作直线 b 垂直于γ ∵点 A 在平面β内，所以直线 b 在平面β内 又∵过一点有且仅有一条直线与平面γ垂直， ∴直线 a 与直线 b 重合，且为α与β 的交线 l，因此 l⊥ γ。 二、【数学运用】平面与平面垂直的性质定理的应用 例 10.如图，已知 PA⊥平面 ABC，平面 PAB⊥平面 PBC，求证：BC⊥平面 PAB. 分析：要证明 BC⊥平面 PAB，需证明 BC 垂直于平面 PAB 内的 两条相交直线.由已知条件 PA 垂直平面 ABC，易得 BC⊥PA.如何由条件“平面 PAB⊥平面 PBC 产生另一组相互垂直的直线？ 教师活动：教师分析后，帮助学生梳理思路，然后请学生动脑进行思考。并请学生进行回签答，利用平面 PAB⊥平面 PBC过点 A 作 PB 的垂线 AE，由两个平面垂直的性质可得 BC⊥AE. 最后教师进行点评，总结题中出现的垂直关系的相互转化 ，平面 PAB⊥平面 PBC，AE⊥生不面 PBC，BC⊥AE.；PA⊥平面 ABC，BC⊥PA；最后由 BC⊥AE，BC⊥PA，从而最后证得 BC⊥平面 PAB. 证明：过点 A 作 AE⊥PB，垂足为 E， ∵平面 PAB⊥平面 PBC，平面 PAB∩平面 PBC=PB， ∴AE⊥平面 PBC. ∵BC 平面 PBC,∴AE⊥BC ∵PA⊥平面 ABC，BC 平面 ABC, ∴PA⊥BC.又 PA∩AE=A, ∴BC⊥平面 PAB 【练习】如图甲，在平面四边形 ABCD 中，已知A 45 ， C 90 ， ADC 105 ， AB BD ，现将四边形 ABCD 沿 BD 折起，使平面 ABD 平面 BDC（如图乙），设点 E 、 F 分别为棱 AC 、 AD 的中点求证： DC 平面 ABC 证明：由题意，图甲中，∵ AB BD 且A 45 ∴ ADB 45 ， ABC 90，即 AB BD 在图乙中，∵平面 ABD 平面 BDC ，且平面 ABD 平面 BDC BD ∴ AB 底面 BDC 又∵CD 底面 BDC ∴ AB CD 又∵ DCB 90 ∴ DC BC ，且 AB BC B ∴ DC 平面 ABC 方法规律：利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时，要注意以下三点： (1)两个平面垂直 (2)直线必须在其中一个平面内 (3)直线必须垂直于它们的交线 五、归纳小结 1、知识点（面面垂直性质定理的具体内容） 文字语言： 符号语言： 图形语言： 2、知识网 3、数学思想：化归与转化六、布置作业 教科书第 163 页第 9 题，第 164 页第 17 题．七、目标检测设计 1. 下列命题中错误的是（）． A. 如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β B. 如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β C．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β D．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么 l⊥平面γ 解析：A 两平面垂直时，平面α内平行于交线的直线一定平行于平面β，所以正确，B答案正确，反证，若有，那么这条直线在平面α内，由线面垂直的判定定理知两平面垂直，也条件矛盾，所以不存在。C 因为 A 正确，所以 C 错误，D 答案正确，在正课中有证明过程。 C 答做案是错误的，故选 C． 2. 在四棱锥 P­ABCD中，已知 PA⊥底面 ABCD，且底面 ABCD为矩形，则下列结论中不正 确的是( ) A. 平面 PAB⊥平面 PAD B. 平面 PAB⊥平面 PBC C. 平面 PBC⊥平面 PCD D. 平面 PCD⊥平面 PAD 解析：选 ABD 由面面垂直的判定定理知，平面 PAB⊥平面 PAD，平面 PAB⊥平面 PBC， 平面 PCD⊥平面 PAD，C 答做案是错误的，故选 C． 3. 已知平面α，β，γ，则下列命题中正确的是( ) A．α⊥β，β⊥γ，则α∥γ B．α∥β，β⊥γ，则α⊥γ C．α∩β＝a，β∩γ＝b，α⊥β，β⊥γ，则 a⊥b D．α⊥β，α∩β＝a，a⊥b，则 b⊥α 解析：选 B A 中α，γ可以相交；C 中如图：a与 b不一定垂直； D 中 b仅垂直于α的一条直线 a，不能判定 b⊥α.故选 B. 4. 如图，在斜三棱柱 ABC-A1B1C1 中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则点 AA1 的中点 E 在面 ABC1 上的射影点 H必在( ) A. 直线 AC1 上 B. 直线 AB上 C. 直线 BC1 上 D. △ABC1 内部 解析：选 A 连接 AC1(图略)．∵AC ⊥ AB，AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，∴AC⊥平面 ABC1，AC//A1C1 ∴A1C1⊥平面 ABC1 又∵A1C1⊂平面 AA1C1，∴平面 ABC1⊥平面 AA1C1，交于 AC1，E在平面 ABC1 内∴点 E在平面 ABC1 上的射影点 H必在平面 ABC1 与平面 AA1C1 的交线 AC1 上，故选 A． 5．(多选)如图，在四面体 PABC中，AB＝AC，PB＝PC，D，E，F分别 是棱 AB，BC，CA的中点，则下列结论中一定成立的是( ) A．BC∥平面 PDF B．DF⊥平面 PAE C．平面 PDF⊥平面 PAE D．平面 PDF⊥平面 ABC 解析：选 ABC 因为 D，F分别为 AB，AC的中点，则 DF为△ABC的中位线，则 BC∥DF， 依据线面平行的判定定理，可知 BC∥平面 PDF，A 成立；又 E为 BC的中点，且 PB＝PC，AB ＝AC，则 BC⊥PE，BC⊥AE，依据线面垂直的判定定理，可知 BC⊥平面 PAE.因为 BC∥DF，所 以 DF⊥平面 PAE，B 成立；又 DF⊂平面 PDF，则平面 PDF⊥平面 PAE，C 成立；要使平面 PDF ⊥平面 ABC，已知 AE⊥DF，则必须有 AE⊥PD或 AE⊥PF，由条件知此垂直关系不一定成立， D 不一定成立．故选 A、B、C． 学科网（北京）股份有限公司 $$