精品解析：2023年山东省东营市九年级第二学期模拟考试（二模）数学试题

2022-2023学年第二学期九年级模拟考试 数学试题 时间：120分钟 满分：120分 注意事项： 1.本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷为选择题，30分；第Ⅱ卷为非选择题，90分；本试题共4页. 2.数学试题答题卡共4页.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号等填写在试题和答题卡上，考试结束，试题和答题卡一并收回. 3.第Ⅰ卷每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号【ABCD】涂黑.如需改动，先用橡皮擦干净，再改涂其它答案.第Ⅱ卷按要求用0.5mm碳素笔答在答题卡的相应位置上. 第Ⅰ卷（选择题共30分） 一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来.每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分. 1. 在实数：3.14159，，1.010 010 001，，，中，无理数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 把一块直尺与一块含的直角三角板如图放置，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 对于实数a，b，定义运算“*”如下：a*b＝a2﹣ab，例如：3*2＝32﹣3×2＝3，则方程（x＋1）*3＝﹣2的根的情况是（ ） A 没有实数根 B. 只有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 5. 如图，在△ABC中，AB＝AC，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交AB于点B和点D，再分别以点B，D为圆心，大于BD长为半径画弧，两弧相交于点M，作射线CM交AB于点E．若AE＝2，BE＝1，则EC的长度是（ ） A. 2 B. 3 C. D. 6. 如图,在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，则的值是（ ）． A. B. C. D. 7. 如图，中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（1，0），以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的2倍，设点B的横坐标是a，则点B的对应点的横坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点A是反比例函数图象上一点，的顶点B在x轴上，点C在y轴上，，，与y轴相交于点D，且，若的面积为5，则（ ） A. B. 5 C. 2 D. 4 9. 如图，中，，，，点P是斜边AB上任意一点，过点P作，垂足为P，交边或边于点Q，设，的面积为y，则y与x之间的函数图象大致是　　 A. B. C. D. 10. 在四边形中，，E为边上一点，，且．连接交对角线于H，连接．下列结论正确的是（ ） ①；②；③；④． A. ①②④ B. ①②③ C. ①③④ D. ①②③④ 第Ⅱ卷（非选择题共90分） 二、填空题：本大题共8小题，其中11-14题每小题3分，15-18题每小题4分，共28分，只要求填写最后结果. 11. 石墨烯目前是世界上最薄、最坚硬的纳米材料，其理论厚度仅0.00000000034米，则数0.00000000034用科学记数法表示为_______． 12. 已知，则__________． 13. 若一组数据的平均数为6，众数为5，则这组数据的方差为__________． 14. 如图，用一个半径为的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了，假设绳索粗细不计，且与轮滑之间没有滑动，则重物上升的高度为______．（结果保留） 15. 若关于的方程的解是正数，则的取值范围为_____________． 16. 平放在地面上的三角形铁板的一部分被沙堆掩埋，其示意图如图所示，量得为，为，边的长为边上露出部分的长为，铁板边被掩埋部分的长是________． 17. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，BC=12，D是以点A为圆心，3为半径的圆上一点，连接BD，M是BD的中点，则线段CM长度的最小值为______． 18. 如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以O为位似中心的位似图形，且位似比为，点，，在x轴上，延长交射线与点，以为边作正方形；延长，交射线与点，以为边作正方形；…按照这样的规律继续作下去，若，则正方形的面积为______． 三、解答题：本大题共7小题，共62分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 19 （1）计算： （2）先化简，再求值：，其中满足． 20. 为积极配合城市推行垃圾分类工作，某教育集团调查小组挂出“垃圾变宝源自分类，可护环境始于点滴”等宣传标语，同时在各校区（1）、（2）、（3）、（4）四个学部随机抽取部分学生进行垃圾分类常识测试，并将各部门测试成绩优秀的人数统计后绘制成如图所示的两幅统计图（部分数据不完整）． 请你结合图中信息回答下列问题： （1）扇形统计图中的_______，的度数为___________ （2）请将条形统计图补充完整； （3）假设一学生无垃圾分类常识，参加这次分类测试，袋中有三件垃圾记为a，b，c，分别属于“A一可回收物、B一其他垃圾、C一有害垃圾”三类，该学生从袋中随机抽取一件垃圾，再随机投进三类垃圾箱中的一个，请用列表法或画树状图法求该学生投放正确的概率． 21. 如图，直线，都与双曲线交于点，这两条直线分别与x轴交于B，C两点． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）直接写出当时，不等式的解集； （3）若点P在x轴上，连接把的面积分成两部分，求此时点P的坐标． 22. 如图，在中，点D在边上，平分，经过点B、C的交于点E，连接交于点F，． （1）求证：是的切线； （2）若，，，求的半径． 23. 6月1日是儿童节，为了迎接儿童节的到来，兰州某商场计划购进一批甲、乙两种玩具，已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为40元，用90元购进甲种玩具的件数与用150元购进乙种玩具的件数相同． （1）求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？ （2）商场计划购进甲、乙两种玩具共48件，其中甲种玩具的件数少于24件，并且商场决定此次进货的总资金不超过1000元，求商场共有几种进货方案？ （3）在（2）条件下，若每件甲种玩具售价30元，每件乙种玩具售价45元，请求出卖完这批玩具获利W（元）与甲种玩具进货量m（件）之间函数关系式，并求出最大利润为多少？ 24. 如图，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，连接． （1）求抛物线的解析式． （2）点P是第三象限抛物线上一点，当面积为12时，求P点坐标． （3）抛物线上是否存在点Q使得？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 25. 【问题发现】 （1）如图1所示，和均为正三角形，B、D、E三点共线．猜想线段，之间的数量关系为 ； ； 类比探究】 （2）如图2所示，和均为等腰直角三角形，，，，B、D、E三点共线，线段、交于点F．此时，线段，之间的数量关系是什么？请写出证明过程并求出的度数； 【拓展延伸】 （3）如图3所示，在中，，，， 为的中位线，将绕点A顺时针方向旋转，当所在直线经过点B时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2022-2023学年第二学期九年级模拟考试 数学试题 时间：120分钟 满分：120分 注意事项： 1.本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷为选择题，30分；第Ⅱ卷为非选择题，90分；本试题共4页. 2.数学试题答题卡共4页.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号等填写在试题和答题卡上，考试结束，试题和答题卡一并收回. 3.第Ⅰ卷每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号【ABCD】涂黑.如需改动，先用橡皮擦干净，再改涂其它答案.第Ⅱ卷按要求用0.5mm碳素笔答在答题卡的相应位置上. 第Ⅰ卷（选择题共30分） 一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来.每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分. 1. 在实数：3.14159，，1.010 010 001，，，中，无理数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【详解】解：， ∴在实数：3.14159，，1.010010001…，π，中，无理数有1.010010001…，π，共2个． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了无理数的定义，掌握无理数的定义是解题的关键，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数． 2. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据完全平方及平方差公式，幂的乘方运算，同底数幂的乘法运算，即可一一判定． 【详解】解：A.，故该选项不正确； B.，故该选项不正确； C.，故该选项正确； D.，故该选项不正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了完全平方及平方差公式，幂的乘方运算，同底数幂的乘法，熟练掌握和运用各运算法则是解决本题的关键． 3. 把一块直尺与一块含的直角三角板如图放置，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线的性质和三角形外角的性质解答即可． 【详解】如图， 由题意可知， ∴． ∵， ∴． 故选B． 【点睛】本题考查三角板中的角度计算，平行线的性质，三角形外角的性质．掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和是解题关键． 4. 对于实数a，b，定义运算“*”如下：a*b＝a2﹣ab，例如：3*2＝32﹣3×2＝3，则方程（x＋1）*3＝﹣2的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 只有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 【答案】D 【解析】 【分析】根据运算“*”的定义将方程（x+1）*3＝﹣2转化为一般式，由根的判别式Δ＝1＞0，即可得出该方程有两个不相等的实数根． 【详解】解：∵（x+1）*3＝﹣2， ∴（x+1）2﹣3（x+1）＝﹣2，即x2﹣x＝0， ∴Δ＝（﹣1）2﹣4×1×0＝1＞0， ∴方程（x+1）*3＝﹣2有两个不相等的实数根． 故选：D． 【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键． 5. 如图，在△ABC中，AB＝AC，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交AB于点B和点D，再分别以点B，D为圆心，大于BD长为半径画弧，两弧相交于点M，作射线CM交AB于点E．若AE＝2，BE＝1，则EC长度是（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本作图得到CE⊥AB，再根据等腰三角形的性质得到AC=3，然后利用勾股定理计算CE的长． 【详解】由作法得CE⊥AB，则∠AEC＝90°， AC＝AB＝BE+AE＝2+1＝3， 在Rt△ACE中，CE＝． 故选D． 【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）． 6. 如图,在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，则的值是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】延长到点D，连接，由网格可得即，即可求出答案． 【详解】解：延长到点D，连接，如图： ，， ， ， 故选A． 【点睛】本题考查网格中的锐角三角函数、解题的关键是作辅助线，构造直角三角形． 7. 如图，中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（1，0），以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的2倍，设点B的横坐标是a，则点B的对应点的横坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设点的横坐标为，然后表示出、的横坐标的距离，再根据位似比列式计算即可得解. 【详解】设点的横坐标为， 则、间的横坐标的差为，、间的横坐标的差为， 放大到原来的倍得到， ， 解得：. 故选：A. 【点睛】本题考查了位似变换，坐标与图形的性质，根据位似比的定义，利用两点间的横坐标的距离等于对应边的比列出方程是解题的关键. 8. 如图，点A是反比例函数图象上一点，的顶点B在x轴上，点C在y轴上，，，与y轴相交于点D，且，若的面积为5，则（ ） A. B. 5 C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】过点作轴于点，作轴于点，先利用三角形的中位线定理可得，设点的坐标为，则，，，再根据三角形全等的判定证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得，然后利用两点之间的距离公式可得，最后根据三角形的面积公式可得，将点代入反比例函数的解析式即可得． 【详解】解：如图，过点作轴于点，作轴于点， ， ， ， 设点的坐标为，则， ，， ， ， 在和中，， ， ， ， ， 又， ，即， ， 又， ， ， 的面积为5， ，即， 解得， 将点代入得：， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理、三角形全等的判定与性质、反比例函数的几何应用等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． 9. 如图，中，，，，点P是斜边AB上任意一点，过点P作，垂足为P，交边或边于点Q，设，的面积为y，则y与x之间的函数图象大致是　　 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先过点C作CD⊥AB于点D，由△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，可求得∠B的度数与AD的长，再分别从当0≤≤12时与当12＜x≤16时，去分析求解即可求得答案． 【详解】解：∵∠ACB=90°，∠A=30°，AB=16， ∴∠B=60°，BC=AB=8， ∴∠BCD=30°， ∴BD=BC=4， ∴AD=AB﹣BD=12． 如图1，当0≤AD≤12时， AP=x，PQ=AP•tan30°=x， ∴y=x•x=x2； 如图2：当12＜x≤16时，BP=AB﹣AP=16﹣x， ∴PQ=BP•tan60°=（16﹣x）， ∴y=x•（16﹣x）=， 该函数图象前半部分是抛物线开口向上，后半部分也为抛物线开口向下， 故选D． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，运用分类讨论思想、结合图形进行解题是关键. 10. 在四边形中，，E为边上一点，，且．连接交对角线于H，连接．下列结论正确的是（ ） ①；②；③；④． A. ①②④ B. ①②③ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】根据三线合一可得；由为直角三角形，且即可判定②；根据全等三角形的性质可判定③，过H作 ，利用相似三角形的性质可判定④⑤． 【详解】∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴，故①正确； ∵为直角三角形，且 ∴ ∵ ∴ ∴，故②错误； 由①知， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴为等边三角形 ∴ ∴，故③正确； 过H作 ∴ ∴ ∴ ∴，故④正确； 故选：C． 【点睛】此题考查了直角梯形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及等腰直角三角形性质此题难度较大，注意掌握数形结合思想的应用熟记各性质是解题的关键． 第Ⅱ卷（非选择题共90分） 二、填空题：本大题共8小题，其中11-14题每小题3分，15-18题每小题4分，共28分，只要求填写最后结果. 11. 石墨烯目前是世界上最薄、最坚硬的纳米材料，其理论厚度仅0.00000000034米，则数0.00000000034用科学记数法表示为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法：为整数，进行表示即可． 【详解】解：； 故答案为：． 12. 已知，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】先因式分解得出，再把代入即可得出答案 【详解】解：∵， ∵， ∴原式= 故答案为： 【点睛】本题考查了利用平方差公式分解因式和求代数式的值，掌握整体代入的方法是解题的关键 13. 若一组数据的平均数为6，众数为5，则这组数据的方差为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据这组数的平均数及众数求出中一个是5，另一个是6，再利用方差公式计算即可． 【详解】∵一组数据的平均数为6，众数为5， ∴中至少有一个是5， ∵一组数据的平均数为6， ∴， ∴， ∴中一个是5，另一个是6， ∴这组数据的方差为； 故答案：． 【点睛】本题考查了数据的平均数、众数及方差，熟练掌握知识点是解题的关键． 14. 如图，用一个半径为的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了，假设绳索粗细不计，且与轮滑之间没有滑动，则重物上升的高度为______．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求弧长，根据题意，得到重物上升的高度为半径为，圆心角为的弧长，根据弧长公式进行计算即可． 【详解】解：由题意：重物上升的高度为半径为，圆心角为的弧长， （）； 故答案为：． 15. 若关于的方程的解是正数，则的取值范围为_____________． 【答案】m＞-7且m≠-3 【解析】 【分析】先用含m的代数式表示x，再根据解为正数，列出关于m的不等式，求解即可． 【详解】解：由，得：且x≠2， ∵关于的方程的解是正数， ∴且，解得：m＞-7且m≠-3， 故答案是：m＞-7且m≠-3． 【点睛】本题考查了分式方程的解以及解一元一次不等式组，求出方程的解是解题的关键． 16. 平放在地面上的三角形铁板的一部分被沙堆掩埋，其示意图如图所示，量得为，为，边的长为边上露出部分的长为，铁板边被掩埋部分的长是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，正确利用三角函数解得的长是解题关键．首先根据三角函数求得的长，然后根据即可求解． 【详解】解：由题意可知：三角形是直角三角形，则在直角三角形中，， ， ． 故答案为： 17. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，BC=12，D是以点A为圆心，3为半径的圆上一点，连接BD，M是BD的中点，则线段CM长度的最小值为______． 【答案】5 【解析】 【分析】取AB中点N，连接NM，CB，AD根据三角形中位线的性质和直角三角形斜边中线等于斜边一半求出BM和CB长，再根据三角形的三边关系确定CM长度的范围，从而确定CM的最小值 【详解】解：如图，取AB的中点N，连接NM，CB，AD ∠ACB=90°，AC=5，BC=12， 在中 M是BD的中点，是的中点 ， 的最小值为 故答案为：5 【点睛】本题考查了勾股定理，圆的性质，三角形三边关系，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形中位线定理，添加辅助线是解题的关键． 18. 如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以O为位似中心的位似图形，且位似比为，点，，在x轴上，延长交射线与点，以为边作正方形；延长，交射线与点，以为边作正方形；…按照这样的规律继续作下去，若，则正方形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据位似比求出，再证明，得到，，，，同理证明，得到，从而得到正方形的面积为，正方形的面积为，正方形的面积为，……，据此发现规律即可得到答案． 【详解】解：∵正方形与正方形是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为， ， 轴，轴， ， ， ， ， ， ， 正方形的边长为， ， ， 正方形的边长为， ， ， 同理可得， ， ， 正方形的边长为， 正方形的面积为， 正方形的面积为， 正方形的面积为， …… ∴正方形的面积是． 故答案为：． 【点睛】本题为位似的实际应用，考查了位似比，正方形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，综合性较强，理解题意，根据相似三角形和正方形的知识分别求出正方形的边长，从而表示出正方形的面积并发现规律是解题关键． 三、解答题：本大题共7小题，共62分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 19. （1）计算： （2）先化简，再求值：，其中满足． 【答案】（1）；（2），6 【解析】 【分析】（1）先计算三角函数、绝对值、零次方和负指数幂，然后再进行加减计算即可． （2）根据分式的混合运算法则把原式化简，由，得 ，代入计算即可得到答案． 本题考查实数的混合运算和分式的化简求值，掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解：原式 . ∵， ∴． ∴原式． 20. 为积极配合城市推行垃圾分类工作，某教育集团调查小组挂出“垃圾变宝源自分类，可护环境始于点滴”等宣传标语，同时在各校区（1）、（2）、（3）、（4）四个学部随机抽取部分学生进行垃圾分类常识测试，并将各部门测试成绩优秀的人数统计后绘制成如图所示的两幅统计图（部分数据不完整）． 请你结合图中信息回答下列问题： （1）扇形统计图中的_______，的度数为___________ （2）请将条形统计图补充完整； （3）假设一学生无垃圾分类常识，参加这次分类测试，袋中有三件垃圾记为a，b，c，分别属于“A一可回收物、B一其他垃圾、C一有害垃圾”三类，该学生从袋中随机抽取一件垃圾，再随机投进三类垃圾箱中的一个，请用列表法或画树状图法求该学生投放正确的概率． 【答案】（1）10；144 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由（1）的优秀人数除以所占百分比求出这次测试成绩优秀的人数，即可解决问题； （2）求出（2）的人数，将条形统计图补充完整即可 （3）画树状图，共有9种等可能的结果，该学生投放正确的结果有3种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：测试成绩优秀的总人数为人， ∴； ； 故答案为：10；144 【小问2详解】 解：（2）学部的人数为人， 补全条形统计图，如下： 【小问3详解】 解：根据题意，画出树状图，如下： 共有9种等可能结果，其中该学生投放正确的有3种情况， ∴该学生投放正确的概率为． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能结果，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率也考查了条形统计图和扇形统计图． 21. 如图，直线，都与双曲线交于点，这两条直线分别与x轴交于B，C两点． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）直接写出当时，不等式的解集； （3）若点P在x轴上，连接把的面积分成两部分，求此时点P的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】(1)把点代入，确定，分别代入，，计算即可． (2)结合不等式，运用数形结合思想，计算即可． (3)分，计算即可． 【小问1详解】 把点代入，得， ∴， 把分别代入，，得， 解得， ∴，． 【小问2详解】 ∵当时，由， ∴， 去分母得， ∴， ∴与相交时两横坐标分别为1，3， 根据图象可知不等式的解集是． 【小问3详解】 ∵直线，， ∴， 设，则； ∴， ∵把的面积分成两部分， 当时，得， 解得， 故； 当时，得， 解得， 故； 故点的坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，数形结合确定解析式构成不等式的解集，三角形面积之比，熟练掌握一次函数与反比例函数的交点问题是解题的关键． 22. 如图，在中，点D在边上，平分，经过点B、C的交于点E，连接交于点F，． （1）求证：是的切线； （2）若，，，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2）的半径为5 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得，然后利用外角性质及切线的判定方法可得结论 （2）根据等腰三角形的性质可得，再根据解直角三角形及勾股定理可得的长，进而得到答案． 【小问1详解】 连接，如图， ∵ ∴ ∵平分， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵是半径 ∴是的切线； 【小问2详解】 ∵，平分， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 令 ∴ ∵ ∴ ，即 ∴ ∴半径为5 【点睛】此题考查的是外角的性质，切线的定义，等腰三角形的性质，解直角三角形和勾股定理等知识，正确作出辅助线是解决此题的关键． 23. 6月1日是儿童节，为了迎接儿童节的到来，兰州某商场计划购进一批甲、乙两种玩具，已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为40元，用90元购进甲种玩具的件数与用150元购进乙种玩具的件数相同． （1）求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？ （2）商场计划购进甲、乙两种玩具共48件，其中甲种玩具的件数少于24件，并且商场决定此次进货的总资金不超过1000元，求商场共有几种进货方案？ （3）在（2）条件下，若每件甲种玩具售价30元，每件乙种玩具售价45元，请求出卖完这批玩具获利W（元）与甲种玩具进货量m（件）之间的函数关系式，并求出最大利润为多少？ 【答案】（1）甲、乙两种玩具分别是15元/件，25元/件；（2）故商场共有四种进货方案：方案一：购进甲种玩具20件，乙种玩具28件；方案二：购进甲种玩具21件，乙种玩具27件；方案三：购进甲种玩具22件，乙种玩具26件；方案四：购进甲种玩具23件，乙种玩具25件；（3）W＝﹣5m+960，最大利润860元. 【解析】 【分析】(1)设甲种玩具进价为x元/件，则乙种玩具进价为(40﹣x)元/件，根据用90元购进甲种玩具的件数与用150元购进乙种玩具的件数相同可列方程求解； (2)设购进甲种玩具m件，则购进乙种玩具(48﹣m)件，根据甲种玩具的件数少于24件，并且商场决定此次进货的总资金不超过1000元，可列出不等式组求解； (3)先列出有关总利润和进货量的一次函数关系式，然后利用一次函数的性质结合自变量的取值范围求最大值即可． 【详解】(1)设甲种玩具进价x元/件，则乙种玩具进价为(40﹣x)元/件， 根据题意，得， 解得x＝15， 经检验x＝15是原方程的解， 则40﹣x＝25， 答：甲、乙两种玩具分别是15元/件，25元/件； (2)设购进甲种玩具m件，则购进乙种玩具(48﹣m)件， 由题意，得， 解得20≤m＜24， ∵m是整数， ∴m取20，21，22，23， 故商场共有四种进货方案： 方案一：购进甲种玩具20件，乙种玩具28件； 方案二：购进甲种玩具21件，乙种玩具27件； 方案三：购进甲种玩具22件，乙种玩具26件； 方案四：购进甲种玩具23件，乙种玩具25件； (3)设购进甲种玩具m件，卖完这批玩具获利W元，则购进乙种玩具(48﹣m)件， 根据题意得：W＝(30﹣15)m+(45﹣25)(48﹣m)＝﹣5m+960， ∵比例系数k＝﹣5＜0， ∴W随着m的增大而减小， ∴当m＝20时，有最大利润W＝﹣5×20+960＝860元． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，列分式方程解实际问题的应用，一元一次不等式解方案设计问题的应用，找出题中的等量关系与不等关系是解题的关键． 24. 如图，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，连接． （1）求抛物线的解析式． （2）点P是第三象限抛物线上一点，当的面积为12时，求P点坐标． （3）抛物线上是否存在点Q使得？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，点Q的坐标为或 【解析】 【分析】（1）将A、C两点的坐标代入中，求出b、c的值，即可得抛物线的解析式． （2）先求出B点的坐标为，再求出的表达式为．过P点做y轴的平行线交的延长线与M点，设则．根据求出m的值，即可得P点的坐标． （3）根据题意当点Q在第一象限时，利用二次函数的对称性求解；当点Q在第四象限时，设与x轴交于点E，首先根据勾股定理求出点E的坐标，然后求出的解析式，最后联立直线和抛物线即可求出点Q的坐标． 【小问1详解】 解：将，代入， ， 解得， ∴抛物线的解析式； 【小问2详解】 解： 由，得 ，， ∵， ∴． 设的表达式为：， 则，解得， ∴． 过P点做y轴的平行线交的延长线与M点，设，则， 则． ∵， ∴， 得， ∴， 解得，（舍去）， ∴ ． 【小问3详解】 解：存在，如图所示，当点Q在第一象限抛物线上时， ∵， ∴， ∴点Q和点C关于对称轴对称， ∵，， ∴抛物线的对称轴为， ∵， ∴点Q的坐标为； 如图所示，当点Q在第四象限的抛物线上时，设与x轴交于点E． ∵， ∴， ∴设， ∵，， ∴，， ∴在中，， 即， 解得， ∴， ∴． ∴设直线的解析式为， 将，代入得， ∴解得， ∴． ∴联立直线和抛物线得，， ∴解得（舍去0），， ∴将代入得， ∴点Q的坐标为． 综上所述，点Q的坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数的图像及性质，熟练掌握二次函数的图像及性质，直角三角形的性质，勾股定理的应用是解题的关键． 25. 【问题发现】 （1）如图1所示，和均为正三角形，B、D、E三点共线．猜想线段，之间的数量关系为 ； ； 【类比探究】 （2）如图2所示，和均为等腰直角三角形，，，，B、D、E三点共线，线段、交于点F．此时，线段，之间的数量关系是什么？请写出证明过程并求出的度数； 【拓展延伸】 （3）如图3所示，在中，，，， 为的中位线，将绕点A顺时针方向旋转，当所在直线经过点B时，请直接写出的长． 【答案】（1），（2），（3）或 【解析】 【分析】（1）先证明，得到，，进一步求得，即可得到答案； （2）类似于（1）的思路，先证明，得到，，在利用等腰直角三角形的性质即得答案； （3）分当在内部和外部两种情况，均可证明，分别利用勾股定理列方程并求解，即可得到答案． 【详解】（1）和均为正三角形， ，，，， ， 即， 在和中， ， ， ，， B、D、E三点共线， ， ， ， 综上所述，线段、之间的数量关系是，； 故答案为：，． （2），； 和均为等腰直角三角形， ，， ，， 在和中， ，，， ， ， 又， ， ，， ， ， ，， ； （3）的长为或．理由如下： 分两种情况： ①如图1，当在内部时， ，，， ， ， 未旋转前， 为的中位线， ，，，， 图1中，，， ， ， ， ， ，， ， ， 设 ，则，， 在中，， 解得或（舍去）， ； ②如图2，当在外部时， 同①，得， 则，， 设 ，则，， 在中，， 解得或（舍去）， ， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转变换的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$