第04讲 平面直角坐标系中的距离公式（2考点5题型）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（北师大版2019选择性必修第一册）

第04讲 平面直角坐标系中的距离公式 课程标准 学习目标 1 熟练记忆距离公式； 2 掌握平面直角坐标系中点的坐标表示和直线方程求法； 3 能够根据距离公式，解决生活一些实际问题． 1. 理解平面直角坐标系中距离公式的几何意义； 2. 能够将几何问题转化代数问题； 3. 培养学生解决实际问题能力，空间想象能力． 知识点一、平面直角坐标系中的距离公式 1、两点之间的距离公式： 平面上任意两点，间的距离公式为 2、点到直线的距离公式 平面上任意一点到直线：的距离. 3、两条平行线间的距离 两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝. 知识点二、对称问题 1、点关于点对称问题(方法：中点坐标公式) 求点关于点的对称点 由： 2、点关于直线对称问题（联立两个方程） 求点关于直线：的对称点 ①设中点为利用中点坐标公式得，将代入直线：中； ② 整理得： 3、直线关于点对称问题(求关于点的对称直线，则） 方法一：在直线上找一点，求点关于点对称的点，根据，再由点斜式求解； 方法二：由，设出的直线方程，由点到两直线的距离相等求参数. 方法三：在直线任意一点，求该点关于点对称的点，则该点在直线上. 4、直线关于直线对称问题 4.1直线：（）和：（）相交,求关于直线的对称直线 ①求出与的交点 ②在上任意取一点(非点），求出关于直线的对称点 ③根据，两点求出直线 4.2直线：（）和：（）平行,求关于直线的对称直线 ① ②在直线上任取一点，求点关于直线的对称点，利用点斜式求直线. 题型01 两点之间的距离公式 1.在直线上求一点,使它到点的距离为5，并求直线的方程. 2.已知点，则的面积为（ ） A． B． C． D． 3.已知三个顶点坐标分别为，，. (1)试判断的形状； (2)求边上的中线所在直线的方程. 4.已知的三个顶点分别为，，. (1)求边所在直线的方程； (2)判断的形状. 题型02 点到直线的距离公式 1.点到直线l：的距离为（    ） A． B． C． D． 2.若点到直线的距离为1，则实数a的值为 ． 3.已知直线：，则点到直线距离的最大值为（    ） A． B． C．5 D．10 4.在直线上求一点，使它到直线的距离等于原点到l的距离，则此点的坐标为 . 5.若点到直线l：的距离为d，则d的取值范围是 ． 6.在平面直角坐标系中，已知的三个顶点. (1)求边所在直线的方程; (2)若的面积等于7，且点的坐标满足，求点的坐标. 题型03 两条平行线之间的距离公式 1.已知直线和互相平行，则它们之间的距离是（    ） A．4 B． C． D． 2.两平行直线之间的距离为（    ） A． B．3 C． D． 3.（多选）已知两条直线，的方程分别为与，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则两条平行直线之间的距离为 C．若，则 D．若，则直线，一定相交 4.若直线与直线平行，则 ，它们之间的距离为 . 题型04 点关于直线对称 1.一条光线从点射出，与轴相交于点，经轴反射，则反射光线所在直线的方程为（　　） A． B． C． D． 2.已知与关于直线对称，则下列说法中错误的是（    ） A．直线过,的中点 B．直线的斜率为 C．直线的斜率为3 D．直线的一个方向向量的坐标是 3.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在白天观望烽火台之后黄昏时从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（    ） A． B．5 C． D．     4.一条光线从射出，经直线后反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线方程为 . 5.已知直线和点 (1)请写出过点且与直线平行的直线； (2)求点关于直线的对称点的坐标. 题型05 直线关于直线对称 1.已知直线l：与直线关于直线对称，则的方程为（    ） A． B． C． D． 2.求直线关于直线对称的直线的方程． 3.已知直线，，． （1）求直线关于直线的对称直线的方程； （2）求直线关于直线的对称直线的方程． 4.已知直线，试求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于直线对称的直线方程； (3)直线关于点对称的直线方程． 1.已知直线：，则下列结论正确的是（    ） A．直线的倾斜角是 B．若直线：，则 C．点到直线的距离是 D．过与直线平行的直线方程是 2.已知点与直线，下列说法正确的是（ ） A．过点且截距相等的直线与直线一定垂直 B．过点且与坐标轴围成三角形的面积为2的直线有4条 C．点关于直线的对称点坐标为 D．直线关于点对称直线方程为 3.点，点在轴上，则的最小值为（    ） A． B．5 C．4 D． 4.（多选）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”隐藏着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即某将军观望完烽火台之后从山脚的某处出发，先去河边饮马，再返回军营，怎样走能使总路程最短?在平面直角坐标系中有两条河流m，n，其方程分别为，，将军的出发点是点，军营所在位置为，则下列说法错误的是（    ） A．若将军先去河流m饮马，再返回军营，则将军在河边饮马的地点的坐标为 B．将军先去河流n饮马，再返回军营的最短路程是 C．将军先去河流m饮马，再去河流n饮马，最后返回军营的最短路程是 D．将军先去河流n饮马，再去河流m饮马，最后返回军营的最短路程是   5.（多选）已知直线l：，则下列结论正确的是（   ） A．直线l的一个法向量为 B．若直线m：，则 C．点到直线l的距离是2 D．过与直线l平行的直线方程是 6.（多选）已知直线：，则下列结论正确的是（    ） A．直线的倾斜角是 B．过点与直线平行的直线是 C．直线到直线的距离为 D．若直线：，则 7．（多选）已知直线：，下列说法正确的是（    ） A．直线过定点 B．当时，关于轴的对称直线为 C．点到直线的最大距离为 D．直线一定经过第四象限 8.已知直线l经过点，且平行于向量. (1)求直线l的方程； (2)若直线m与l平行且点P到直线m的距离为，求直线m的方程. 9.如图，已知，，，直线：． (1)求直线经过的定点坐标； (2)若，李老师站在点用激光笔照出一束光线，依次由（反射点为）、（反射点为）反射后，光斑落在点，求入射光线的直线方程． 10．已知两条直线，求分别满足下列条件的的值： (1)直线过点，并且直线与直线垂直； (2)直线与直线平行，并且坐标原点到的距离相等． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 平面直角坐标系中的距离公式 课程标准 学习目标 1 熟练记忆距离公式； 2 掌握平面直角坐标系中点的坐标表示和直线方程求法； 3 能够根据距离公式，解决生活一些实际问题． 1. 理解平面直角坐标系中距离公式的几何意义； 2. 能够将几何问题转化代数问题； 3. 培养学生解决实际问题能力，空间想象能力． 知识点一、平面直角坐标系中的距离公式 1、两点之间的距离公式： 平面上任意两点，间的距离公式为 2、点到直线的距离公式 平面上任意一点到直线：的距离. 3、两条平行线间的距离 两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝. 知识点二、对称问题 1、点关于点对称问题(方法：中点坐标公式) 求点关于点的对称点 由： 2、点关于直线对称问题（联立两个方程） 求点关于直线：的对称点 ①设中点为利用中点坐标公式得，将代入直线：中； ② 整理得： 3、直线关于点对称问题(求关于点的对称直线，则） 方法一：在直线上找一点，求点关于点对称的点，根据，再由点斜式求解； 方法二：由，设出的直线方程，由点到两直线的距离相等求参数. 方法三：在直线任意一点，求该点关于点对称的点，则该点在直线上. 4、直线关于直线对称问题 4.1直线：（）和：（）相交,求关于直线的对称直线 ①求出与的交点 ②在上任意取一点(非点），求出关于直线的对称点 ③根据，两点求出直线 4.2直线：（）和：（）平行,求关于直线的对称直线 ① ②在直线上任取一点，求点关于直线的对称点，利用点斜式求直线. 题型01 两点之间的距离公式 1.在直线上求一点,使它到点的距离为5，并求直线的方程. 【答案】或，对应直线PM的方程为或. 【详解】设，由题意，解得或， 所以或， 当时，直线PM的斜率， 因此直线PM方程为，即； 当时，直线PM的斜率， 因此直线PM方程为，即. 2.已知点，则的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意， 所以，即， 所以的面积为. 故选：A. 3.已知三个顶点坐标分别为，，. (1)试判断的形状； (2)求边上的中线所在直线的方程. 【答案】(1)是以为直角的等腰直角三角形 (2) 【详解】（1）因为，，， 所以的斜率，， 的斜率，， 则， 所以且，所以是以为直角的等腰直角三角形； （2）易求中点坐标，所以直线的斜率， 边上的中线为，化为一般式为． 4.已知的三个顶点分别为，，. (1)求边所在直线的方程； (2)判断的形状. 【答案】(1)； (2)是等腰直角三角形. 【详解】（1）依题意，直线的斜率，则直线的方程为：， 化简得：. （2）直线的斜率，显然，即，是直角三角形， 又，则是等腰三角形， 所以是等腰直角三角形. 题型02 点到直线的距离公式 1.点到直线l：的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】点到直线l：的距离为. 故选：A 2.若点到直线的距离为1，则实数a的值为 ． 【答案】或 【详解】因为点到直线的距离为1， 所以解得：或 故答案为：或 3.已知直线：，则点到直线距离的最大值为（    ） A． B． C．5 D．10 【答案】B 【详解】直线：，即， 由，得到，所以直线过定点， 当直线垂直于直线时，距离最大，此时最大值为， 故选：B. 4.在直线上求一点，使它到直线的距离等于原点到l的距离，则此点的坐标为 . 【答案】或 【详解】设直线上的点为， 点直线的距离为， 原点到l的距离为， 所以，解得或， 所以此点的坐标为或. 故答案为：或. 5.若点到直线l：的距离为d，则d的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：把直线的方程化为， 由方程组 解得 所以直线恒过定点， 其中直线不包括直线． 又， 且当与直线垂直时，点到直线的距离为， 所以点到直线的距离满足， 故答案为：． 6.在平面直角坐标系中，已知的三个顶点. (1)求边所在直线的方程; (2)若的面积等于7，且点的坐标满足，求点的坐标. 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）因为、， 所以边所在直线的方程为，整理得； （2）点到直线的距离， 又，因为， 所以有，即， 又点的坐标满足， 因此有或， 解得或， 所以点的坐标为或． 题型03 两条平行线之间的距离公式 1.已知直线和互相平行，则它们之间的距离是（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【详解】因为和互相平行， 所以，解得. 直线可以转化为， 由两条平行直线间的距离公式可得. 故选：D 2.两平行直线之间的距离为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【详解】直线可化为， 直线可化为， 所以两平行直线之间的距离为. 故选：A. 3.（多选）已知两条直线，的方程分别为与，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则两条平行直线之间的距离为 C．若，则 D．若，则直线，一定相交 【答案】AD 【详解】两条直线，的方程分别为与，它们不重合， 若，则，得，检验符合，故A选项正确； 若，由A选项可知，：，直线的方程可化为， 故两条平行直线之间的距离为，故B选项不正确； 若，则，得，故C选项不正确； 由A选项知，当时，，所以若，则直线，一定相交，故D选项正确. 故选：AD. 4.若直线与直线平行，则 ，它们之间的距离为 . 【答案】 【详解】因为直线与直线平行， 所以，解得， 所以直线的方程可化简， 而直线，即直线， 它们之间的距离为， 故答案为：；. 题型04 点关于直线对称 1.一条光线从点射出，与轴相交于点，经轴反射，则反射光线所在直线的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可得反射光线所在直线经过点， 设点关于x轴的对称点为， 则根据反射定律，点在反射光线所在直线上， 故反射光线所在直线的方程为 ，即， 故选：A． 2.已知与关于直线对称，则下列说法中错误的是（    ） A．直线过,的中点 B．直线的斜率为 C．直线的斜率为3 D．直线的一个方向向量的坐标是 【答案】B 【详解】对于A，因为与关于直线对称，所以直线过，的中点，故A正确； 对于B，直线的斜率为，故B错误； 对于C，因为直线的斜率为，所以直线的斜率为3    ，故C正确； 对于D，因为直线的斜率为3，所以直线的一个方向向量的坐标是，故D正确. 故选：B. 3.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在白天观望烽火台之后黄昏时从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（    ） A． B．5 C． D． 【答案】A 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，解得， ，又点 故“将军饮马”的最短总路程为． 故选：A．      4.一条光线从射出，经直线后反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线方程为 . 【答案】 【详解】设关于的对称点， 则有，解得，即， 反射光线所在直线为：， 整理得：. 故答案为： 5.已知直线和点 (1)请写出过点且与直线平行的直线； (2)求点关于直线的对称点的坐标. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设过点且与直线平行的直线为， 将代入，可得，所以直线方程为. （2）设，由题意可得，解得， 所以点的坐标为. 题型05 直线关于直线对称 1.已知直线l：与直线关于直线对称，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为直线l：与直线关于直线对称， 所以在方程中，用代，以代，得， 化简，得， 故选：A 2.求直线关于直线对称的直线的方程． 【答案】 【详解】解法一：由，得两直线的交点， 在直线上取一点，设点M关于直线l的对称点为， 则，解得，由题意知经过此点， 则由两点式得，即， 所以的方程为． 解法二：由解法一得，设直线的方程为，即， 在直线l上取一点，则点Q到的距离与点Q到的距离相等， 即，解得或（舍去）． ∴的方程为． 解法三：由于对称轴的斜率为， 可用直接代入的方法：把，代入， 得，即， ∴的方程为． 3.已知直线，，． （1）求直线关于直线的对称直线的方程； （2）求直线关于直线的对称直线的方程． 【答案】（1） ；（2） ． 【详解】（1）因为，所以． 设直线的方程为（，且）． 在直线上取点，设点关于直线的对称点为， 则，解得， 即点的坐标为． 把点的坐标代入直线的方程，得，解得， 所以直线的方程为． （2）由，得， 所以与的交点坐标为． 另取上不同于A的一点， 设关于的对称点为， 则，得， 即点的坐标为． 所以过与的直线的方程为， 即． 5.已知直线，试求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于直线对称的直线方程； (3)直线关于点对称的直线方程． 【答案】【小题1】 【小题2】 【小题3】 【详解】（1）设点关于直线 的对称点的坐标为， 则有题意可得，解得， 故点关于直线的对称点的坐标为． （2）由可得， 直线与直线的交点为， 再在直线上取一点， 设点关于直线的对称点为， 则由解得， 即． 由题意可得、两点是所求直线上的两个点，则直线斜率为， 则直线方程为， 化简为． （3）在直线上任意取出两个点， 求出这两个点关于点对称点分别为 由题意可得，是所求直线上的两个点， 则直线斜率为3， 则所求直线方程为， 即． 1.已知直线：，则下列结论正确的是（    ） A．直线的倾斜角是 B．若直线：，则 C．点到直线的距离是 D．过与直线平行的直线方程是 【答案】D 【详解】对于，直线的斜率为，倾斜角为，A错误； 对于，直线的倾斜角为的倾斜角为，两直线不垂直，B错误； 对于，点到直线的距离为，C错误； 对于，设与直线平行的直线方程为，因为它过， 所以 过与直线平行的直线方程是，D正确， 故选：D． 2.已知点与直线，下列说法正确的是（ ） A．过点且截距相等的直线与直线一定垂直 B．过点且与坐标轴围成三角形的面积为2的直线有4条 C．点关于直线的对称点坐标为 D．直线关于点对称直线方程为 【答案】A 【详解】对于A中，当截距为0时，直线与直线垂直； 当截距相等且不为0时，可设直线方程为，把代入，无解. 所以过点且截距相等的直线与直线垂直，所以A正确； 对于B中，过点的直线与坐标轴围成三角形存在，所以斜率必存在， 可设其为k，则直线为，所以三角形的面积为， 解得或，所以符合题意的直线有3条，所以B不正确； 对于C中，设点关于直线的对称点坐标，则有， 解得，即点关于直线的对称点坐标，所以C错误； 对于D中，设直线关于点对称直线方程为， 则有，解得， 即设直线关于点对称直线方程为.所以D错误. 故选：A. 3.点，点在轴上，则的最小值为（    ） A． B．5 C．4 D． 【答案】B 【详解】如图所示， 关于轴的对称点为, 则, 当三点共线时等号成立， 又, 故的最小值为5, 故选：B. 4.（多选）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”隐藏着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即某将军观望完烽火台之后从山脚的某处出发，先去河边饮马，再返回军营，怎样走能使总路程最短?在平面直角坐标系中有两条河流m，n，其方程分别为，，将军的出发点是点，军营所在位置为，则下列说法错误的是（    ） A．若将军先去河流m饮马，再返回军营，则将军在河边饮马的地点的坐标为 B．将军先去河流n饮马，再返回军营的最短路程是 C．将军先去河流m饮马，再去河流n饮马，最后返回军营的最短路程是 D．将军先去河流n饮马，再去河流m饮马，最后返回军营的最短路程是 【答案】ABD 【详解】对于A，如图①所示，设点关于直线的对称点为， 由解得， 所以将军在河边饮马的地点的坐标为，故A错误； 对于B，如图②所示，因为点关于直线的对称点为， 将军先去河流饮马，再返回军营的最短路程是，故B错误； 对于C，如图③所示，因为点关于直线的对称点分别为，； 点关于直线的对称点为， 所以将军先去河流饮马，再去河流饮马，最后返回军营的最短路程，故C正确； 对于D，如图④所示，设点关于直线的对称点分别为， 由解得；点关于直线的对称点为， 将军先去河流饮马，再去河流饮马，最后返回军营的最短路程是，故D错误. 故选：ABD.             5.（多选）已知直线l：，则下列结论正确的是（   ） A．直线l的一个法向量为 B．若直线m：，则 C．点到直线l的距离是2 D．过与直线l平行的直线方程是 【答案】CD 【详解】对于A，因为直线l：的斜率， 但，可知不为直线l的一个法向量，故A错误； 对于B，因为直线m：的斜率，且， 所以直线l与直线m不垂直，故B错误； 对于C，点到直线l的距离，故C正确； 对于D，过与直线l平行的直线方程是，即，故D正确． 故选：CD. 6.（多选）已知直线：，则下列结论正确的是（    ） A．直线的倾斜角是 B．过点与直线平行的直线是 C．直线到直线的距离为 D．若直线：，则 【答案】BC 【详解】 对于A：直线的斜率为， 由于，所以，故A错误； 对于B：设过点且与直线平行的直线为， 由于点满足该直线，代入得：； 所以所求的直线方程为，故B正确； 对于C：由于直线：与直线平行， 故两直线的距离，故C正确； 对于D：直线的斜率为， 直线的斜率为：， 因为，所以直线和直线不垂直，故D错误． 故选：BC． 7．（多选）已知直线：，下列说法正确的是（    ） A．直线过定点 B．当时，关于轴的对称直线为 C．点到直线的最大距离为 D．直线一定经过第四象限 【答案】ABC 【详解】对于A，由直线，可得， 联立方程组，解得，所以直线过定点，所以A正确； 对于B，当时，直线， 在直线上取两点，则点关于轴对称的点， 点关于轴对称的点， 所以关于轴对称直线为，即，所以B正确； 对于C，由A项知直线过定点， 则当直线时，点到直线的距离最大， 最大距离为，所以C正确； 对于D， 直线不一定经过第四象限，比如：当时，直线：不经过第四象限，所以D错误.   故选：ABC. 8.已知直线l经过点，且平行于向量. (1)求直线l的方程； (2)若直线m与l平行且点P到直线m的距离为，求直线m的方程. 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）由题意知直线l的斜率为1，所求直线方程为，即. （2）由直线m与直线l平行，可设直线m的方程为， 由点到直线的距离公式得，即， 解得或. 所以所求直线m的方程为或. 9.如图，已知，，，直线：． (1)求直线经过的定点坐标； (2)若，李老师站在点用激光笔照出一束光线，依次由（反射点为）、（反射点为）反射后，光斑落在点，求入射光线的直线方程． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由直线：，即， 令，解得， 故直线恒过定点； （2）设关于的对称点，则， 关于的对称点， 由直线的方程为，即， 所以，解得， 所以， 由题意得、、、四点共线，， 由对称性得， 所以入射光线的直线方程为， 即． 10．已知两条直线，求分别满足下列条件的的值： (1)直线过点，并且直线与直线垂直； (2)直线与直线平行，并且坐标原点到的距离相等． 【答案】(1)或 (2)或 【详解】（1）因为过点，所以， 又因为，所以， 所以， 所以或； （2）因为且的斜率为， 所以的斜率也存在，，即， 故和的方程可分别表示为， 因为原点到与的距离相等， 所以，解得或， 因此或 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$