第10讲 勾股定理的逆定理（2考点4题型）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（苏科版）

第10讲 勾股定理的逆定理 课程标准 学习目标 1 理解勾股定理逆定理的内容； 2 能运用勾股定理逆定理判定一个三角形是否是直角三角形； 3 感受勾股定理逆定理的应用价值。 1. 掌握勾股定理逆定理的概念和应用方法； 2. 能够熟练运用勾股定理逆定理判断三角形的形状； 3. 通过学习，培养学生的逻辑推理能力和空间想象能力。 知识点一、勾股定理的逆定理 1.勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长分别为a、b、c，且，那么这个三角形是直角三角形. （1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形； （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形. 2.如何判定一个三角形是否是直角三角形（不知道角度的情况下） （1）在△ABC中，首先确定最大边（如c）； （2）验证与的关系，若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形，若，则△ABC不是直角三角形. PS：当时，三角形为钝角三角形，当时，三角形为锐角三角形，其中c为三角形的最大边. 3.勾股定理与勾股定理的逆定理的区别与联系 勾股定理 勾股定理的逆定理 条件 在Rt△ANC中，∠C＝90° 在△ABC中， 结论 ∠C＝90° 区别 勾股定理是以“一个三角形是直角三角形”为条件，进而得到数量关系“”，即由“形”得到“数” 勾股定理的逆定理是以“一个三角形的三边满足”为条件，进而得到“这个三角形是直角三角形”，即由“数”得到“形” 联系 两者都与三角形的三边有关系 知识点二、勾股数 1.满足关系的3个正整数a、b、c称为勾股数. 2.勾股数需要满足的两个条件：①这三个数均是正整数；②两个较小数的平方和等于最大数的平方. 3.勾股数组的特点 （1）毕达哥拉斯发现的勾股数组：（是正整数）； （2）柏拉图发现的勾股数组：（，且是正整数）. 4.勾股数有无数组，常见的勾股数组如下： ①3，4，5；②6，8，10；③8，15，17；④7，24，25；⑤5，12，13；⑥9，12，15…… 5.一组勾股数的相同正整数倍是一组新的勾股数，如3，4，5是勾股数，6，8，10和9，12，15也是勾股数，即如果a、b、c是一组勾股数，那么ma、mb、mc（m为正整数）也是一组勾股数. 题型01 判断三边能否构成直角三角形 1．下列各组数是三角形的三边长，其中不能构成直角三角形的是（　　） A．3，4，5 B．4，5，6 C．6，8，10 D．5，12，13 2．△ABC的三边长分别为a，b，c，下列条件：①∠A＝∠B﹣∠C；②∠A：∠B：∠C＝3：4：5；③a2＝（b+c）（b﹣c）；④a：b：c＝5：12：13，其中能判断△ABC是直角三角形的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a、b、c，下列说法中错误的（　　） A．如果∠C﹣∠B＝∠A，则△ABC是直角三角形，且∠C＝90° B．如果c2＝a2﹣b2，则△ABC是直角三角形，且∠C＝90° C．如果（c+a）（c﹣a）＝b2，则△ABC是直角三角形，且∠C＝90° D．如果∠A：∠B：∠C＝3：2：5，则△ABC是直角三角形，且∠C＝90° 题型02 勾股定理逆定理在网格中的应用 1．如图，在四个均由十六个小正方形组成的正方形网格中，各有一个三角形，那么这四个三角形中，不是直角三角形的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，在2×3的网格中，∠1+∠2＝　　°． 3．如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，P是网格线交点，且点P在△ABC的边AC上，则∠PAB+∠PBA＝　　°． 4．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，A，B，C是小正方形的顶点，则∠ABC＝　　°． 题型03 勾股数 1．下面四组数，其中是勾股数组的是（　　） A．3，4，5 B．0.3，0.4，0.5 C．32，42，52 D．6，7，8 2．勾股定理最早出现在《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点如下：勾为奇数，弦与股相差1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…若此类勾股数的勾为2m（m≥3，m为正整数），则其弦是（结果用含m的式子表示）（　　） A．m2﹣1 B．2m+2 C．m2+1 D．2m+3 3．如果正整数a、b、c满足等式a2+b2＝c2，那么正整数a、b、c叫做勾股数，某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知x+y的值为（　　） A．47 B．62 C．79 D．98 题型04 利用勾股定理逆定理求解 1．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，求四边形ABCD的面积． 2．如图所示，在△ABC中，AC＝13，BC＝20，CD＝12，AD＝5．求： （1）BD的长； （2）△ABC的面积． 3．如图，AD是△ABC的中线，DE⊥AC于点E，DF是△ABD的中线，且CE＝2，DE＝4，AE＝8． （1）求证：∠ADC＝90°； （2）求DF的长． 1．下列条件中，不能判断△ABC为直角三角形的是（　　） A．a＝1.5 b＝2 c＝2.5 B．a：b：c＝5：12：13 C．∠A+∠B＝∠C D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 2．三角形的三边长分别为a2+b2、2ab、a2﹣b2（a、b都是正整数），则这个三角形是（　　） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 3．若一个三角形的三边长分别是15，20，25，则这个三角形最长的边上的高等于（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 4．下列数据不是勾股数的是（　　） A．3，4，5 B．5，12，13 C．8，12，16 D．9，40，41 5．已知等腰直角△ABC，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，平面内有一点D，连接CD、AD，若CD＝2，AD＝6，则∠BCD＝　 　． 6．在△ABC中，AB＝25cm，BC＝48cm，边BC上的中线AD＝7cm，那么∠ADC＝　 　，AC＝　 　cm． 7．一个三角形的三边长之比是5：12：13，且周长是60，则它的面积是 　 　． 8．△ABC的三边分别是a、b、c，且满足|a﹣8|+（b﹣6）2＝0，则当c2＝　 　时，△ABC是直角三角形． 9．如图，在△ABC中，点D为BC边上的中点，AB＝10cm，AD＝8cm，BC＝12cm，则AC边上的高BE的长为 　 　cm． 10．如图，方格中的点A、B、C、D、E称为“格点”（格线的交点），以这5个格点中的3点为顶点画三角形，共可以画 　 　个直角三角形． 11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发，沿射线BC以1cm/s的速度运动，设运动时间为ts，当t＝　 　s时，△ABP是以AB为腰的等腰三角形． 12．已知△ABC的三边长分别是a，b，c，且a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1，试判断三角形的形状． 13．已知：△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c且满足a2+b2+c2+200＝12a+16b+20c，试判断△ABC的形状． 14．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，D为斜边BC中点，DE⊥DF，求证：EF2＝BE2+CF2． 15．如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D．设AC＝b，BC＝a，AB＝c，CD＝h，求证： （1）c+h＞a+b； （2）以a+b，h，c+h为边的三角形是直角三角形． 16．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC交AB于点E，且BE2﹣EA2＝AC2． （1）求证：∠A＝90°； （2）若AC＝6，BD＝5，求AE的长． 17．如图，在△ABC中，AD、AE分别是高和角平分线． （1）若∠BAC＝86°，∠C＝32°，求∠DAE的度数； （2）若AB＝15，AC＝20，AD＝12，求证：∠BAC是直角． 18．如图，AD⊥BC，垂足为D，且AD＝4，BD＝8．点E从B点沿射线BC向右以2个单位/秒的速度匀速运动，F为BE的中点，连接AE、AF，设点E运动的时间为t． （1）当t为何值时，AE＝AF； （2）当t＝5时，判断△ABE的形状，并说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 勾股定理的逆定理 课程标准 学习目标 1 理解勾股定理逆定理的内容； 2 能运用勾股定理逆定理判定一个三角形是否是直角三角形； 3 感受勾股定理逆定理的应用价值。 1. 掌握勾股定理逆定理的概念和应用方法； 2. 能够熟练运用勾股定理逆定理判断三角形的形状； 3. 通过学习，培养学生的逻辑推理能力和空间想象能力。 知识点一、勾股定理的逆定理 1.勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长分别为a、b、c，且，那么这个三角形是直角三角形. （1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形； （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形. 2.如何判定一个三角形是否是直角三角形（不知道角度的情况下） （1）在△ABC中，首先确定最大边（如c）； （2）验证与的关系，若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形，若，则△ABC不是直角三角形. PS：当时，三角形为钝角三角形，当时，三角形为锐角三角形，其中c为三角形的最大边. 3.勾股定理与勾股定理的逆定理的区别与联系 勾股定理 勾股定理的逆定理 条件 在Rt△ANC中，∠C＝90° 在△ABC中， 结论 ∠C＝90° 区别 勾股定理是以“一个三角形是直角三角形”为条件，进而得到数量关系“”，即由“形”得到“数” 勾股定理的逆定理是以“一个三角形的三边满足”为条件，进而得到“这个三角形是直角三角形”，即由“数”得到“形” 联系 两者都与三角形的三边有关系 知识点二、勾股数 1.满足关系的3个正整数a、b、c称为勾股数. 2.勾股数需要满足的两个条件：①这三个数均是正整数；②两个较小数的平方和等于最大数的平方. 3.勾股数组的特点 （1）毕达哥拉斯发现的勾股数组：（是正整数）； （2）柏拉图发现的勾股数组：（，且是正整数）. 4.勾股数有无数组，常见的勾股数组如下： ①3，4，5；②6，8，10；③8，15，17；④7，24，25；⑤5，12，13；⑥9，12，15…… 5.一组勾股数的相同正整数倍是一组新的勾股数，如3，4，5是勾股数，6，8，10和9，12，15也是勾股数，即如果a、b、c是一组勾股数，那么ma、mb、mc（m为正整数）也是一组勾股数. 题型01 判断三边能否构成直角三角形 1．下列各组数是三角形的三边长，其中不能构成直角三角形的是（　　） A．3，4，5 B．4，5，6 C．6，8，10 D．5，12，13 【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形． 【解答】解：A、32+42＝52，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意； B、42+52≠62，不符合勾股定理的逆定理，故本选项符合题意； C、62+82＝102，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意； D、52+122＝132，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断． 2．△ABC的三边长分别为a，b，c，下列条件：①∠A＝∠B﹣∠C；②∠A：∠B：∠C＝3：4：5；③a2＝（b+c）（b﹣c）；④a：b：c＝5：12：13，其中能判断△ABC是直角三角形的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】直角三角形的定义或勾股定理的逆定理是判定直角三角形的方法之一． 【解答】解；①∠A＝∠B﹣∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，解得∠B＝90°，故①是直角三角形； ②∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，解得∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝75°，故②不是直角三角形； ③∵a2＝（b+c）（b﹣c），∴a2+c2＝b2，符合勾股定理的逆定理，故③是直角三角形； ④∵a：b：c＝5：12：13，∴a2+b2＝c2，符合勾股定理的逆定理，故④是直角三角形． 能判断△ABC是直角三角形的个数有3个； 故选：C． 【点评】本题考查了利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理来判定一个三角形是不是直角三角形，是判定直角三角形的常见方法． 3．△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a、b、c，下列说法中错误的（　　） A．如果∠C﹣∠B＝∠A，则△ABC是直角三角形，且∠C＝90° B．如果c2＝a2﹣b2，则△ABC是直角三角形，且∠C＝90° C．如果（c+a）（c﹣a）＝b2，则△ABC是直角三角形，且∠C＝90° D．如果∠A：∠B：∠C＝3：2：5，则△ABC是直角三角形，且∠C＝90° 【分析】根据勾股定理的逆定理以及直角三角形的各种判定方法逐项分析即可． 【解答】解： A、因为∠C﹣∠B＝∠A，∠C+∠B+∠A＝180°，所以2∠C＝180°，即∠C＝90°，故选项正确； B、因为c2＝a2﹣b2，所以如果a2＝b2+c2，则△ABC是直角三角形，且∠A＝90，不是∠C＝90°，故该选项错误； C、因为（c+a）（c﹣a）＝b2，所以C2＝a2+b2，则△ABC是直角三角形，且∠C＝90°，故选项正确； D、因为∠A：∠B：∠C＝3：2：5，所以∠A＝54°，∠B＝36°，∠C＝90°，则△ABC是直角三角形，且∠C＝90°，故选项正确； 故选：B． 【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可，解题的关键是熟记直角三角形的各种判定方法，并能够灵活运用． 题型02 勾股定理逆定理在网格中的应用 1．如图，在四个均由十六个小正方形组成的正方形网格中，各有一个三角形，那么这四个三角形中，不是直角三角形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一判断即可． 【解答】解：选项A如图： A、∵AC2＝12+32＝10，BC2＝12+22＝5，AB2＝12+42＝17，∴△ABC不是直角三角形，故本选项正确； 选项B如图： B、∵AC2＝22+42＝20，BC2＝12+22＝5，AB2＝32+42＝25，∴△ABC是直角三角形，故本选项错误； 选项C如图： C、∵AB2＝22+22＝8，AC2＝22+22＝8，BC2＝16，∴△ABC是直角三角形，故本选项错误； 选项D如图： D、∵AC2＝12+32＝10，BC2＝12+32＝10，AB2＝22+42＝20，∴△ABC是直角三角形，故本选项错误． 故选：A． 【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键． 2．如图，在2×3的网格中，∠1+∠2＝　　°． 【分析】由△ABD≌△CAE（SAS），得到∠1＝∠ACE，由勾股定理的逆定理可得△ABC是等腰直角三角形，即可解决问题． 【解答】解：如图， ∵AD＝CE，∠ADB＝∠CEA，BD＝AE， ∴△ABD≌△CAE（SAS）， ∴∠1＝∠ACE， ∵AB2＝22+12＝5，AC2＝22+12＝5， BC2＝32+12＝10， ∴AB2+AC2＝BC2，AB＝AC， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴∠ACB＝∠2+∠ACE＝45°， ∴∠1+∠2＝45°． 故答案为：45． 【点评】本题考查了全等图形，勾股定理的逆定理，主要利用了网格结构以及直角三角形的判定与性质，准确识图并确定出全等三角形是解题的关键． 3．如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，P是网格线交点，且点P在△ABC的边AC上，则∠PAB+∠PBA＝　　°． 【分析】根据勾股定理逆定理可得△PBC是等腰直角三角形，且∠PCB＝90°，从而得到∠CPB＝45°，再根据三角形外角的性质，即可求解． 【解答】解：根据题意得：，， ∴PC2+BC2＝PB2， ∴△PBC是等腰直角三角形，且∠PCB＝90°， ∴∠CPB＝45°， ∵∠PAB+∠PBA＝∠CPB， ∴∠PAB+∠PBA＝45°． 故答案为：45． 【点评】本题主要考查了勾股定理逆定理，三角形外角的性质，根据勾股定理逆定理得到△PBC是等腰直角三角形是解题的关键． 4．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，A，B，C是小正方形的顶点，则∠ABC＝　　°． 【分析】连接AC，先根据勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，从而可得∠ACB＝90°，再根据AC＝BC，从而可得△ABC是等腰直角三角形，即可解答． 【解答】解：连接AC， 由题意得：AC2＝12+22＝5， BC2＝12+22＝5， AB2＝12+32＝10， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形， ∴∠ACB＝90°， ∵AC＝BC， ∴∠ABC＝∠CAB＝45°， 故答案为：45． 【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 题型03 勾股数 1．下面四组数，其中是勾股数组的是（　　） A．3，4，5 B．0.3，0.4，0.5 C．32，42，52 D．6，7，8 【分析】根据勾股数的定义：有a、b、c三个正整数，满足a2+b2＝c2 的三个数，称为勾股数．由此判定即可． 【解答】解：A、32+42＝52，能构成勾股数，故正确； B、0.3，0.4，0.5，不是正整数，所以不是勾股数，故错误； C、（32）2+（42）2≠（52）2，不能构成勾股数，故错误； D、62+72≠82，不能构成勾股数，故错误． 故选：A． 【点评】此题考查了勾股数，解答此题要深刻理解勾股数的定义，并能够熟练运用． 2．勾股定理最早出现在《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点如下：勾为奇数，弦与股相差1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…若此类勾股数的勾为2m（m≥3，m为正整数），则其弦是（结果用含m的式子表示）（　　） A．m2﹣1 B．2m+2 C．m2+1 D．2m+3 【分析】根据题意得2m为偶数，设其股是a，则弦为a+2，根据勾股定理列方程即可得到结论． 【解答】解：∵m为正整数， ∴2m为偶数，设其股是a， 则弦为a+2， 根据勾股定理得，（2m）2+a2＝（a+2）2， 解得a＝m2﹣1， ∴弦是a+2＝m2﹣1+2＝m2+1， 故选：C． 【点评】本题考查了勾股数，勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理． 3．如果正整数a、b、c满足等式a2+b2＝c2，那么正整数a、b、c叫做勾股数，某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知x+y的值为（　　） A．47 B．62 C．79 D．98 【分析】依据每列数的规律，即可得到a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1，进而得出x+y的值． 【解答】解：由题可得，3＝22﹣1，4＝2×2，5＝22+1，…… ∴a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1， ∴当c＝n2+1＝65时，n＝8， ∴x＝63，y＝16， ∴x+y＝79， 故选：C． 【点评】本题主要考查了勾股数，满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数． 题型04 利用勾股定理逆定理求解 1．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，求四边形ABCD的面积． 【分析】在直角三角形ABC中，由AB及BC的长，利用勾股定理求出AC的长，再由AD及CD的长，利用勾股定理的逆定理得到三角形ACD为直角三角形，根据四边形ABCD的面积＝直角三角形ABC的面积+直角三角形ACD的面积，即可求出四边形的面积． 【解答】解：∵∠B＝90°， ∴△ABC为直角三角形， 又∵AB＝3，BC＝4， ∴根据勾股定理得：， 又∵CD＝12，AD＝13， ∴AD2＝132＝169，CD2+AC2＝122+25＝144+25＝169， ∴CD2+AC2＝AD2， ∴△ACD为直角三角形，∠ACD＝90°， 则S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACDAB•BCAC•CD3×45×12＝36． 故四边形ABCD的面积是36． 【点评】此题考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理及勾股定理的逆定理是解本题的关键． 2．如图所示，在△ABC中，AC＝13，BC＝20，CD＝12，AD＝5．求： （1）BD的长； （2）△ABC的面积． 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理得出∠ADC＝90°，在Rt△BCD中再利用勾股定理计算BD的长； （2）根据计算即可． 【解答】解：（1）在△ABC中， ∵AC2＝132＝169，AD2+CD2＝52+122＝169， ∴AC2＝AD2+CD2， ∴∠ADC＝90°， ∴∠BDC＝90°， 在Rt△BCD中，； （2）△ABC的面积：． 【点评】本题考查勾股定理以及逆运算，熟练掌握勾股定理的含义是解题的关键． 3．如图，AD是△ABC的中线，DE⊥AC于点E，DF是△ABD的中线，且CE＝2，DE＝4，AE＝8． （1）求证：∠ADC＝90°； （2）求DF的长． 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理，证明△ADC是直角三角形，即可得出∠ADC是直角； （2）根据三角形的中线的定义以及直角三角形的性质解答即可． 【解答】证明：（1）∵DE⊥AC于点E， ∴∠AED＝∠CED＝90°， 在Rt△ADE中，∠AED＝90°， ∴AD2＝AE2+DE2＝82+42＝80， 同理：CD2＝20， ∴AD2+CD2＝100， ∵AC＝AE+CE＝8+2＝10， ∴AC2＝100， ∴AD2+CD2＝AC2， ∴△ADC是直角三角形， ∴∠ADC＝90°； （2）∵AD是△ABC的中线，∠ADC＝90°， ∴AD垂直平分BC， ∴AB＝AC＝10， 在Rt△ADB中，∠ADB＝90°， ∵点F是边AB的中点， ∴DF． 【点评】本题主要考查了直角三角形的性质与判定，熟记勾股定理与逆定理是解答本题的关键． 1．下列条件中，不能判断△ABC为直角三角形的是（　　） A．a＝1.5 b＝2 c＝2.5 B．a：b：c＝5：12：13 C．∠A+∠B＝∠C D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 【分析】根据勾股定理的逆定理以及三角形的内角和为180度，即可判断出三角形的形状． 【解答】解：A、因为1.52+22＝2.52符合勾股定理的逆定理，故△ABC为直角三角形； B、因为a：b：c＝5：12：13，所以可设a＝5x，b＝12x，c＝13x，则（5x）2+（12x）2＝（13x）2，故△ABC为直角三角形； C、因为∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，则∠C＝90°，故△ABC为直角三角形； D、因为∠A：∠B：∠C＝3：4：5，所以设∠A＝3x，则∠B＝4x，∠C＝5x，故3x+4x+5x＝180°，解得x＝15°，3x＝15×3＝45°，4x＝15×4＝60°，5x＝15×5＝75°，故此三角形是锐角三角形． 故选：D． 【点评】此题考查了解直角三角形的判定，根据勾股定理的逆定理、三角形的内角和定理结合解方程是解题的关键． 2．三角形的三边长分别为a2+b2、2ab、a2﹣b2（a、b都是正整数），则这个三角形是（　　） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 【分析】勾股定理的逆定理是判定直角三角形的方法之一． 【解答】解：根据勾股定理的逆定理可知，当三角形中三边的关系为：a2+b2＝c2时，则三角形为直角三角形， ∵（a2﹣b2）2+（2ab）2＝（a2+b2）2， ∴三角形为直角三角形． 故选：A． 【点评】本题考查了直角三角形的判定，可用勾股定理的逆定理判定． 3．若一个三角形的三边长分别是15，20，25，则这个三角形最长的边上的高等于（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 【分析】根据计算可知该三角形为直角三角形，判断比较可知最长的边为25，通过三角形的面积公式列出方程，化简计算即可得出答案． 【解答】解：∵152+202＝252， ∴三角形是直角三角形，且15，20是两条直角边的长，25为斜边的长， 设斜边上的高为h，则三角形面积15×20h， ∴h＝12， 故选：C． 【点评】本题利用了勾股定理的逆定理，利用直角三角形的面积公式求解． 4．下列数据不是勾股数的是（　　） A．3，4，5 B．5，12，13 C．8，12，16 D．9，40，41 【分析】根据勾股数的定义：满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数判定则可． 【解答】解：A、32+42＝52，能构成直角三角形，是正整数，是勾股数，不符合题意； B、52+122＝132，能构成直角三角形，是正整数，是勾股数，不符合题意； C、82+122≠162，不能构成直角三角形，故不是勾股数，不符合题意； D、92+402＝412，能构成直角三角形，是正整数，是勾股数，不符合题意． 故选：C． 【点评】此题考查了勾股数，解答此题要用到勾股定理的逆定理和勾股数的定义，满足a2+b2＝c2． 5．已知等腰直角△ABC，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，平面内有一点D，连接CD、AD，若CD＝2，AD＝6，则∠BCD＝　135°或45°　． 【分析】根据勾股定理的逆定理证明△ACD为直角三角形，求出∠ACD＝90°，再求出∠ACB＝45°问题即可解决． 【解答】解：∵∠ABC＝90°，AB＝BC＝4， ∴AC2＝42+42＝32，而CD2＝4，AD2＝62＝36， ∴AD2＝AC2+CD2， ∴△ACD为直角三角形，∠ACD＝90°； ∵△ABC为等腰直角三角形， ∴∠ACB＝45°， ∴①∠BCD＝90°+45°＝135°； ②∠BCD＝90°﹣45°＝45°． 故∠BCD＝135°或45°． 故答案为：135°或45°． 【点评】该题主要考查了勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的性质及其应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答． 6．在△ABC中，AB＝25cm，BC＝48cm，边BC上的中线AD＝7cm，那么∠ADC＝　90°　，AC＝　25　cm． 【分析】通过勾股定理逆定理可证明△ABD为直角三角形，然后证明△ADB≌△ADC（SAS），得AB＝AC＝25cm即可． 【解答】解：如图， ∵AD是边BC的中线， ∴BD＝CDBC＝24cm， ∵AB＝25cm，AD＝7cm， ∴72+242＝252， ∴AD2+BD2＝AB2， ∴△ABD是直角三角形， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， 在△ADB和△ADC中， ， ∴△ADB≌△ADC（SAS）， ∴AB＝AC＝25cm． 故答案为：90°，25． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理以及逆定理等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 7．一个三角形的三边长之比是5：12：13，且周长是60，则它的面积是 　120　． 【分析】先求得三角形的三边长，然后依据勾股定理的逆定理证明三角形为直角三角形，最后，再利用三角形的面积公式求解即可． 【解答】解：三角形的三边长分别为6010，6024，6026． ∵102+242＝262， ∴三角形为直角三角形． ∴三角形的面积10×24＝120． 故答案为：120． 【点评】本题主要考查的是勾股定理的逆定理，证得三角形为直角三角形是解题的关键． 8．△ABC的三边分别是a、b、c，且满足|a﹣8|+（b﹣6）2＝0，则当c2＝　100或28　时，△ABC是直角三角形． 【分析】根据非负性得出a＝8，b＝6，再根据勾股定理解答即可． 【解答】解：根据题意可得：a﹣8＝0，b﹣6＝0， 解得：a＝8，b＝6， 所以当△ABC是直角三角形时，c2＝a2+b2＝62+82＝100或c2＝a2﹣b2＝82﹣62＝28， 故答案为：100或28． 【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形． 9．如图，在△ABC中，点D为BC边上的中点，AB＝10cm，AD＝8cm，BC＝12cm，则AC边上的高BE的长为 　　cm． 【分析】先根据勾股定理的逆定理判断出△ABD的形状，再根据点D为BC边上的中点即可得出△ABC是等腰三角形，故可得出AC的长；再根据三角形的面积公式即可得出结论． 【解答】解：∵点D为BC边上的中点，BC＝12cm， ∴BDBC＝6cm， ∵△ABD中，AB＝10cm，AD＝8cm，62+82＝102， ∴△ABD是直角三角形，即AD⊥BC， ∴AC＝AB＝10cm， ∵BE⊥AC， ∴AD•BCAC•BE， ∴BE（cm）， 故答案为：． 【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键． 10．如图，方格中的点A、B、C、D、E称为“格点”（格线的交点），以这5个格点中的3点为顶点画三角形，共可以画 　3　个直角三角形． 【分析】根据题意画出图形，再找到其中的直角三角形即可得到结论． 【解答】解：如图，一共可以画9个三角形，其中△ABE，△BCE，△CDE是直角三角形，共可以画3个直角三角形． 故答案为：3． 【点评】此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是正确作出图形，不要漏掉任何一种情况． 11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发，沿射线BC以1cm/s的速度运动，设运动时间为ts，当t＝　5或8　s时，△ABP是以AB为腰的等腰三角形． 【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理可求出BC的长，分BA＝BP和AB＝AP两种情况考虑，当BA＝BP时，有BA的长度可得出BP的长度，再结合点P的运动速度，即可得出t值；当AB＝AP时，利用等腰三角形的性质可得出BC＝PC，进而可得出BC的长度，再结合点P的运动速度，即可得出t值． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm， ∴（cm）． 当BA＝BP时，BP＝5cm， ∴t＝5； 当AB＝AP时，BC＝PC， ∴BP＝2BC＝8（cm）， ∴t＝8． 故答案为：5或8． 【点评】本题考查了勾股定理以及等腰三角形的性质，分BA＝BP和AB＝AP两种情况，求出BP的长是解题的关键． 12．已知△ABC的三边长分别是a，b，c，且a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1，试判断三角形的形状． 【分析】先求出a2+b2及c2的值，再根据勾股定理的逆定理进行解答即可． 【解答】解：△ABC是直角三角形，理由如下： ∵△ABC的三条边长分别是a、b、c，且a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1， ∴a2+b2＝（n2﹣1）2+（2n）2＝n4﹣2n2+1+4n2＝（n2+1）2，c2＝（n2+1）2， ∴a2+b2＝c2， ∴△ABC是直角三角形． 【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键． 13．已知：△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c且满足a2+b2+c2+200＝12a+16b+20c，试判断△ABC的形状． 【分析】根据完全平方公式，可得非负数的和为零，可得每个非负数为零，可得a、b、c的值，根据勾股定理逆定理，可得答案． 【解答】解：∵a2+b2+c2+200＝12a+16b+20c， ∴（a﹣6）2+（b﹣8）2+（c﹣10）2＝0， ∴（a﹣6）＝0，（b﹣8）＝0，（c﹣10）＝0， ∴a＝6，b＝8，c＝10， ∵62+82＝102， ∴a2+b2＝c2， ∴△ABC是直角三角形． 【点评】本题考查了因式分解的应用，勾股定理的逆定理．根据勾股定理的逆定理知a2+b2＝c2，△ABC是直角三角形． 14．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，D为斜边BC中点，DE⊥DF，求证：EF2＝BE2+CF2． 【分析】延长ED到G，使DG＝DE，连接EF、FG、CG，由于DF＝DF，∠EDF＝∠FDG＝90°，DG＝DE，可得出△EDF≌△GDF，所以EF＝FG，同理证出BE＝CG，所以要证明EF2＝BE2+CF2，只需证明FG2＝FC2+CG2即可． 【解答】证明：延长ED到G，使DG＝DE，连接EF、FG、CG，如图所示： 在△EDF和△GDF中 ， ∴△EDF≌△GDF（SAS）， ∴EF＝FG 又∵D为斜边BC中点 ∴BD＝DC 在△BDE和△CDG中， ， ∴△BDE≌△CDG（SAS） ∴BE＝CG，∠B＝∠BCG ∴AB∥CG ∴∠GCA＝180°﹣∠A＝180°﹣90°＝90° 在Rt△FCG中，由勾股定理得： FG2＝CF2+CG2＝CF2+BE2 ∴EF2＝FG2＝BE2+CF2． 【点评】本题考查勾股定理的应用，关键在于找出相应的直角三角形，两直角边的平方和等于斜边的平方，证明过程中运用到全等三角形的判定和等价替换的方法． 15．如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D．设AC＝b，BC＝a，AB＝c，CD＝h，求证： （1）c+h＞a+b； （2）以a+b，h，c+h为边的三角形是直角三角形． 【分析】（1）将不等式两边的部分分别平方，然后结合勾股定理和三角形的面积公式进行证明； （2）利用勾股定理的逆定理进行证明即可． 【解答】解：（1）（a+b）2＝a2+2ab+b2，（c+h）2＝c2+2ch+h2， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：a2+b2＝c2， 由三角形的面积公式可知：． ∴2ab＝2ch． ∴（c+h）2﹣（a+b）2＝h2＞0． ∵c+h＞0，a+b＞0， ∴c+h＞a+b． （2）由（1）得：（c+h）2﹣（a+b）2＝h2， ∴（a+b）2+h2＝（c+h）2． ∴a+b，h，c+h为边的三角形是直角三角形． 【点评】本题主要考查的是勾股定理、勾股定理的逆定理、完全平方公式和面积法的应用，掌握此类问题的解题思路和方法是解题的关键． 16．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC交AB于点E，且BE2﹣EA2＝AC2． （1）求证：∠A＝90°； （2）若AC＝6，BD＝5，求AE的长． 【分析】（1）连接CE，由线段垂直平分线的性质可求得BE＝CE，再结合BE2﹣EA2＝AC2可求得EA2+AC2＝CE2，可证得结论； （2）由D是BC的中点可求得BC＝10，在Rt△AEC中，利用勾股定理结合已知条件可得到关于AE的方程，可求得AE． 【解答】（1）证明：连接CE，如图， ∵D是BC的中点，DE⊥BC， ∴CE＝BE， ∵BE2﹣EA2＝AC2， ∴CE2﹣EA2＝AC2， ∴EA2+AC2＝CE2， ∴△ACE是直角三角形，即∠A＝90°； （2）解：∵D是BC的中点，BD＝5， ∴BC＝2BD＝10， ∵∠A＝90°，AC＝6， ∴， 在Rt△AEC中，EA2+AC2＝CE2， ∵CE＝BE， ∴62+AE2＝（8﹣AE）2， 解得：AE， ∴AE的长为． 【点评】本题主要考查勾股定理及其逆定理的应用，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键，注意方程思想在这类问题中的应用． 17．如图，在△ABC中，AD、AE分别是高和角平分线． （1）若∠BAC＝86°，∠C＝32°，求∠DAE的度数； （2）若AB＝15，AC＝20，AD＝12，求证：∠BAC是直角． 【分析】（1）求出∠DAC，∠EAC，可得结论； （2）利用勾股定理的逆定理证明即可． 【解答】（1）解：∵AE平分∠ABC， ∴∠EAC∠BAC＝43°， ∵AD⊥BC， ∴∠DAC＝90°﹣∠C＝58°， ∴∠DAE＝∠DAC﹣∠EAC＝58°﹣43°＝15°． （2）证明：∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， ∴， ， ∴BC＝BD+DC＝9+16＝25， ∵AB2+AC2＝152+202＝625，BC2＝625， ∴AB2+AC2＝BC2， ∴∠BAC＝90°． 【点评】本题考查勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用面积法解决问题． 18．如图，AD⊥BC，垂足为D，且AD＝4，BD＝8．点E从B点沿射线BC向右以2个单位/秒的速度匀速运动，F为BE的中点，连接AE、AF，设点E运动的时间为t． （1）当t为何值时，AE＝AF； （2）当t＝5时，判断△ABE的形状，并说明理由． 【分析】（1）根据题意可得：BE＝2t，再根据线段中点的定义可得BF＝EF＝t，从而可得DF＝8﹣t，DE＝2t﹣8，然后根据垂直定义可得∠ADB＝∠ADE＝90°，再分别在Rt△ADF和Rt△ADE中，利用勾股定理可得AF2＝16+（8﹣t）2，AE2＝16+（2t﹣8）2，最后令AE＝AF，从而可得16+（8﹣t）2＝16+（2t﹣8）2，进行计算即可解答； （2）当t＝5时，BE＝2t＝10，DE＝2，然后分别在Rt△ADB和Rt△ADE中，利用勾股定理求出AB2和AE2，最后利用勾股定理的逆定理证明△ABE是直角三角形，即可解答． 【解答】解：（1）由题意得： BE＝2t， ∵F为BE的中点， ∴BF＝EFBE＝t， ∵AD＝4，BD＝8， ∴DF＝BD﹣BF＝8﹣t，DE＝BE﹣BD＝2t﹣8， ∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝∠ADE＝90°， 在Rt△ADF中，AF2＝AD2+DF2＝16+（8﹣t）2， 在Rt△ADE中，AE2＝AD2+DE2＝16+（2t﹣8）2， 令AE＝AF， ∴16+（8﹣t）2＝16+（2t﹣8）2， 解得：t或t＝0（舍去）， ∴当t时，AE＝AF； （2）△ABE是直角三角形， 理由：当t＝5时，BE＝2t＝10， ∴DE＝BE﹣BD＝10﹣8＝2， 在Rt△ADB中，AB2＝AD2+BD2＝42+82＝80， 在Rt△ADE中，AE2＝AD2+DE2＝42+22＝20， ∵AB2+AE2＝100，BE2＝102＝100， ∴AB2+AE2＝BE2， ∴△ABE是直角三角形． 【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$