专题03 多边形及其内角和【十大考点+知识串讲】-2024-2025学年八年级数学上册重难考点强化训练（人教版）

专题03 多边形及其内角和 考点类型 知识串讲 （一）多边形的相关概念 （1）定义：在平面内，由一些段线首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形． （2）对角线：从n边形的一个顶点可以引(n－3)条对角线，并且这些对角线把多边形分成了(n－2)个三角形；n边形对角线条数为． （二）多边形的内角和、外角和 （1）内角和：n边形内角和公式为(n－2)·180° （2）外角和：任意多边形的外角和为360°． （三）正多边形的相关概念 （1）定义：各边相等，各角也相等的多边形． （2）正n边形的每个内角为，每一个外角为． 考点训练 考点1：多边形的概念解析 典例1：如图所示的图形中，属于多边形的有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式1】如图4-2，作出正五边形的所有对角线，得到一个五角星，那么，在五角星含有的多边形中（    ） A．只有三角形 B．只有三角形和四边形 C．只有三角形、四边形和五边形 D．只有三角形、四边形、五边形和六边形 【变式2】如图所示的图案是由 、 、 构成的(填基本图形名称)． 【变式3】正三角形、正方形、正六边形都是大家熟悉的特殊多边形，它们有很多共同特征，请写出其中的两点： （1） ；（2） ． 考点2：多边形对角线条数问题 典例2：如图，正方形有2条对角线，正五边形有5条对角线，正六边形有9条对角线，则正十边形的对角线的条数为（   ）    A．27 B．35 C．40 D．44 【变式1】如图，要使一个七边形木架不变形，至少要再钉上木条的根数是（   ） A．1根 B．2根 C．3根 D．4根 【变式2】正八边形的对角线的条数为 条． 【变式3】（1）从四边形的一个顶点出发，可以引 条对角线，将四边形分成 个三角形，四边形共有 条对角线； （2）从五边形的一个顶点出发，可以引 条对角线，将五边形分成 个三角形，五边形共有 条对角线； （3）从六边形的一个顶点出发，可以引 条对角线，将六边形分成 个三角形，六边形共有 条对角线； （4）从n边形的一个顶点出发，可以引 条对角线，将n边形分成 个三角形，n边形共有 条对角线． 考点3：多边形分割的三角形个数问题 典例3：如图，将多边形分割成三角形.图①中可分割出2个三角形，图②中可分割出3个三角形，图③中可分割出4个三角形.由此你能推测出n边形可以分割出三角形（    ） A．个 B．个 C．n个 D．无数个 【变式1】如果从一个多边形的一个顶点出发作它的对角线，最多能将多边形分成2011个三角形，那么这个多边形是    （  ） A．2012边形 B．2013边形 C．2014边形 D．2015边形 【变式2】过某个多边形的一个顶点可以引出8条对角线，这些对角线将这个多边形分成 个三角形． 【变式3】过四边形的一个顶点可以画一条对角线，且把四边形分成两个三角形；过五边形的一个顶点可以画两条对角线，且把五边形分成三个三角形；......猜想：过n边形的一个顶点可以画 条对角线，且把n边形分成 个三角形． 考点4：多边形的内角和问题 典例4：如图所示，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【变式1】若一个多边形的内角和是，则该多边形的边数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式2】如图，是五边形的三个外角，延长交于点O．如果，那么的度数为 ．    【变式3】如图，在六边形中，若与的角平分线交于点，则等于 °． 考点5：多边形截角后的边数、内角和问题 典例5：如图，将五边形沿虚线裁去一个角，得到六边形，则下列说法正确的是（    ） ①周长变大； ②周长变小； ③外角和增加； ④六边形的内角和为． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【变式1】把一张形状是多边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分是一个四边形，则这张纸片原来的形状不可能是（　　） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【变式2】把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个十八边形，则原多边形纸片的边数可能是 ． 【变式3】多边形截去一个角，形成新多边形内角和是，则原多边形的边数是 ． 考点6：正多边形的内角和问题 典例6：把正五边形和正六边形按如图所示方式放置，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图是用边长相等的正三角形和正多边形两种地砖铺设的部分地面示意图，则这种正多边形地砖的边数是（　　）    A．12 B．10 C．18 D．6 【变式2】如图，正八边形的对角线，交于点，则的度数是 °．    【变式3】将等边三角形、正方形、正五边形按如图所示的位置摆放，如果，，那么的度数等于 ． 考点7：正多边形的外角和问题 典例7：如图，用一些全等的正五边形按如图方式可以拼成一个环状，使相邻的两个正五边形有公共顶点，所夹的锐角为，图中所示的是前3个正五边形拼接的情况，拼接一圈后，中间会形成一个正多边形，则该正多边形的边数是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式1】综合实践课上，嘉嘉用八个大小相等的含45°角的直角三角板拼成了一个环状图案，如图1，若淇淇尝试用含60°角的直角三角板拼成类似的环状图案，如图2，除了图上3个还需要含60°角的直角三角板的数量为（    ） A．3个 B．6个 C．9个 D．12个 【变式2】如图，正边形纸片被撕掉一块，若与两边所在的直线相交所成的锐角为，则 ．    【变式3】如图，是某正多边形相邻的三条边，延长交于点，若，则该正多边形的边数为 ． 考点8：多（少）算一个角的问题 典例8：一个多边形除去一个内角后，其余各内角的和为，则这个内角是（     ） A． B． C． D． 【变式1】小红：我计算出一个多边形的内角和为；老师：不对呀，你可能少加了一个角！则小红少加的这个角的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式2】小明在计算多边形内角和时，把其中一个内角多加了一次，得到内角和为，则多加的这个内角的大小为 ． 【变式3】小明同学在计算一个多边形的内角和时，由于粗心少算一个内角，结果得到的结果是，则少算的这个内角的度数为 ． 考点9：多边形内角和的实际应用 典例9：如图，小明沿一个五边形的广场小道按的方向跑步健身，他每跑完一圈时，身体转过的角度之和是（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图所示，分别以六边形的顶点为圆心，以为半径画圆，则图中阴影部分的面积之和为（   ）    A． B． C． D． 【变式2】《红楼梦》是我国四大名著之一，文学社团的同学在搜集相关资料时发现一张如图所示的《红楼梦》纪念币图案（将纪念币的正面图案和背面图案拼到一起），这个图案可以抽象成有公共边的两个正八边形，如图，则的度数是 ． 【变式3】如图，小亮从点出发前进，向右转，再前进，又向右转……这样一直走下去，他第一次回到出发点时，一共走了 ． 考点10：多边形内角和与外角和综合 典例10：淇淇在活动课上将三角形剪掉一个角后得到四边形，则下列判断错误的是（   ） A．变成四边形后内角和增加了 B．变成四边形后内角和增加了 C．外角和没有发生变化 D．若剪掉的角的度数是，则 【变式1】将正三角形、正方形、正五边形按如图所示的方式摆放，其中正方形和正五边形的下底边是水平共线的．如果，那么（    ） A． B． C． D． 【变式2】正五边形和正三角形按如图方式叠放在一起，，，三点在同一直线上，经过点，则的度数为 ． 【变式3】如图，平面上有两个全等的正十边形，其中A点与A′点重合，C点与C′点重合．∠BAJ′为 °． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 多边形及其内角和 考点类型 知识串讲 （一）多边形的相关概念 （1）定义：在平面内，由一些段线首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形． （2）对角线：从n边形的一个顶点可以引(n－3)条对角线，并且这些对角线把多边形分成了(n－2)个三角形；n边形对角线条数为． （二）多边形的内角和、外角和 （1）内角和：n边形内角和公式为(n－2)·180° （2）外角和：任意多边形的外角和为360°． （三）正多边形的相关概念 （1）定义：各边相等，各角也相等的多边形． （2）正n边形的每个内角为，每一个外角为． 考点训练 考点1：多边形的概念解析 典例1：如图所示的图形中，属于多边形的有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】A 【分析】根据多边形定义，逐个验证即可得到答案． 【详解】解：所示的图形中，第一个是三角形、第二个是四边形、第三个是圆、第四个是正六边形、第五个是正方体， 属于多边形的有第一个、第二个、第四个，共有3个， 故选：A． 【点睛】本题考查多边形定义，熟记多边形定义是解决问题的关键． 【变式1】如图4-2，作出正五边形的所有对角线，得到一个五角星，那么，在五角星含有的多边形中（    ） A．只有三角形 B．只有三角形和四边形 C．只有三角形、四边形和五边形 D．只有三角形、四边形、五边形和六边形 【答案】C 【分析】由正五边形的性质和五角星的特点得出五角星含有的多边形中，有三角形、四边形和五边形. 【详解】解：根据题意得：在五角星含有的多边形中,有三角形、四边形和五边形,故选C． 【点睛】本题考查了正五边形的性质、五角星的特点,熟练掌握正五边形的性质是解决问题的关键． 【变式2】如图所示的图案是由 、 、 构成的(填基本图形名称)． 【答案】 （1）三角形； （2）四边形； （3）十边形. 【详解】分析： 观察所给图案，找出构成图案的基本图形即可. 详解： 观察所给图案可知：组成该图案的基本图形有：（1）三角形；（2）四边形；（3）十边形. 故答案为：（1）三角形；（2）四边形；（3）十边形. 点睛：认真观察所给图案，熟悉常见的几何图形是解答本题的关键. 【变式3】正三角形、正方形、正六边形都是大家熟悉的特殊多边形，它们有很多共同特征，请写出其中的两点： （1） ；（2） ． 【答案】 每条边都相等 每个内角都相等 【详解】解：正三角形、正方形、正六边形都属于正多边形，正多边形的特征是每条边都相等，每个内角都相等. 故答案为：(1)每条边都相等；(2)每个内角都相等. 考点2：多边形对角线条数问题 典例2：如图，正方形有2条对角线，正五边形有5条对角线，正六边形有9条对角线，则正十边形的对角线的条数为（   ）    A．27 B．35 C．40 D．44 【答案】B 【分析】由多边形的对角线的数量为，从而可得答案. 【详解】解：∵正方形有2条对角线，正五边形有5条对角线，正六边形有9条对角线， ∴正边形有条对角线， 当时，对角线有（条）对角线， 故选B 【点睛】本题考查的是正多边形的对角线的数量问题，熟记多边形的对角线的数量公式是解本题的关键. 【变式1】如图，要使一个七边形木架不变形，至少要再钉上木条的根数是（   ） A．1根 B．2根 C．3根 D．4根 【答案】D 【分析】三角形具有稳定性，所以要使七边形木架不变形需把它分成三角形，即过七边形的一个顶点作对角线，有几条对角线，就至少要钉上几根木条． 【详解】解：过七边形的一个顶点作对角线，有条对角线， 所以至少要钉上4根木条． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了三角形的稳定性以及多边形，正确利用图形的性质得出答案是解题关键．解题时注意：过n边形的一个顶点作对角线，可以做条． 【变式2】正八边形的对角线的条数为 条． 【答案】 【分析】本题主要考查了多边形对角线条数问题，根据n边形对角线条数为进行求解即可． 【详解】解：正八边形的对角线的条数为条， 故答案为：20． 【变式3】（1）从四边形的一个顶点出发，可以引 条对角线，将四边形分成 个三角形，四边形共有 条对角线； （2）从五边形的一个顶点出发，可以引 条对角线，将五边形分成 个三角形，五边形共有 条对角线； （3）从六边形的一个顶点出发，可以引 条对角线，将六边形分成 个三角形，六边形共有 条对角线； （4）从n边形的一个顶点出发，可以引 条对角线，将n边形分成 个三角形，n边形共有 条对角线． 【答案】 1 2 2 2 3 5 3 4 9 【分析】画出图形得到各图形从一个顶点出发引的对角线的条数、三角形的个数及对角线的总条数，进而结合规律，得到n边形的结果． 【详解】解：画出图形观察图形可得：    （1）从四边形的一个顶点出发，可以引1条对角线，将四边形分成2个三角形，四边形共有2条对角线； 故答案为：1，2，2； （2）从五边形的一个顶点出发，可以引2条对角线，将五边形分成3个三角形，五边形共有5条对角线； 故答案为：2，3，5； （3）从六边形的一个顶点出发，可以引3条对角线，将六边形分成4个三角形，六边形共有9条对角线； 故答案为：3，4，9； （4）从n边形的一个顶点出发，可以引条对角线，将n边形分成个三角形，n边形共有条对角线． 故答案为：，，． 【点睛】此题考查规律型：图形的变化，解题关键在于找到其规律． 考点3：多边形分割的三角形个数问题 典例3：如图，将多边形分割成三角形.图①中可分割出2个三角形，图②中可分割出3个三角形，图③中可分割出4个三角形.由此你能推测出n边形可以分割出三角形（    ） A．个 B．个 C．n个 D．无数个 【答案】B 【分析】（1）三角形分割成了两个三角形； （2）四边形分割成了三个三角形； （3）以此类推，n边形分割成了（n-1）个三角形． 【详解】根据图形分析规律 （1）三角形分割成了两个三角形； （2）四边形分割成了三个三角形； （3）以此类推，n边形分割成了（n-1）个三角形． 即n边形可以分割出(n−1)个三角形 故选B. 【点睛】本题考查多边形的问题，根据具体数值进行分析找出规律是解题关键. 【变式1】如果从一个多边形的一个顶点出发作它的对角线，最多能将多边形分成2011个三角形，那么这个多边形是    （  ） A．2012边形 B．2013边形 C．2014边形 D．2015边形 【答案】B 【分析】经过n边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成（n-2）个三角形，根据此关系式求边数． 【详解】设多边形有n条边， 则n−2=2011， 解得：n=2013. 所以这个多边形的边数是2013. 故选B. 【点睛】本题考查了多边形的知识点，解题的关键是熟练的掌握多边形对角线的性质与运用. 【变式2】过某个多边形的一个顶点可以引出8条对角线，这些对角线将这个多边形分成 个三角形． 【答案】9 【分析】根据过n边形的一个顶点，可以引出（n-3）条对角线，这些对角线把该多边形分成（n-2）个三角形，即可求解． 【详解】解：∵某个多边形的一个顶点可以引出8条对角线， ∴该多边形的边数为8+3=11， ∴这些对角线将这个多边形分成11-2=9个三角形． 故答案为：9 【点睛】本题主要考查了多边形的对角线问题，熟练掌握过n边形的一个顶点，可以引出（n-3）条对角线，这些对角线把该多边形分成（n-2）个三角形是解题的关键． 【变式3】过四边形的一个顶点可以画一条对角线，且把四边形分成两个三角形；过五边形的一个顶点可以画两条对角线，且把五边形分成三个三角形；......猜想：过n边形的一个顶点可以画 条对角线，且把n边形分成 个三角形． 【答案】 【分析】根据四边形可以条对角线，被分成了4-2=2个三角形，五边形可以引条对角线，被分成了5-2=3个三角形，依此类推，n边形可以引条对角线，被分成个三角形． 【详解】从四边形的一个顶点出发，可以引1条对角线，将四边形分成2个三角形；从五边形的一个顶点出发，可以引2条对角线，将五边形分成3个三角形；从六边形的一个顶点出发，可以引3条对角线，将六边形分成4个三角形；从n边形的一个顶点出发，可以引条对角线，将n边形分成个三角形 故答案为：，． 【点睛】本题考查了多边形的规律问题，掌握对角线和三角形的性质、多边形的规律是解题的关键． 考点4：多边形的内角和问题 典例4：如图所示，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理，多边形的内角和定理，对顶角相等的性质，连接，根据四边形的内角和等于，可得，根据“8字形”的关系可得：，然后即可得解． 【详解】解：如图，连接，    则， 根据“8字形”数量关系，， 所以． 故选：C． 【变式1】若一个多边形的内角和是，则该多边形的边数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题考查多边形的内角和公式， 利用n边形的内角和可以表示成，结合方程即可求出答案，掌握多边形的内角和公式是解题的关键． 【详解】解：根据多边形的内角和可得： ， 解得：， ∴该多边形的边数为5， 故选：B． 【变式2】如图，是五边形的三个外角，延长交于点O．如果，那么的度数为 ．    【答案】/55度 【分析】本题考查了多边形的内角和，邻补角等知识．熟练掌握多边形的内角和，邻补角是解题的关键． 由题意知，四边形的内角和为，则，即，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，四边形的内角和为， ∴，即， 解得，， 故答案为：． 【变式3】如图，在六边形中，若与的角平分线交于点，则等于 °． 【答案】60 【分析】本题主要考查了多边形的内角和，角平分线的定义，三角形内角和，解题的关键是根据六边形的内角和为，，求出，再根据角平分线的定义求出，最后根据三角形内角和求出结果即可． 【详解】解：六边形的内角和是：， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴． 故答案为：． 考点5：多边形截角后的边数、内角和问题 典例5：如图，将五边形沿虚线裁去一个角，得到六边形，则下列说法正确的是（    ） ①周长变大； ②周长变小； ③外角和增加； ④六边形的内角和为． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了多边形的有关知识，解题关键是熟练掌握多边形的内角和定理和外角的性质． 根据三角形两边之和大于第三边，判断周长的大小，从而判断①②，再根据多边形外角性质：多边形的外角和都为，与边数无关判断③，最后根据多边形的内角和定理判断④即可． 【详解】解：∵将五边形沿虚线裁去一个角，得到六边形， ∴该六边形的周长比原五边形的周长小， ∴①的说法错误，②的说法正确； ∵多边形的外角和与边数无关，都是， ∴③的说法错误； ∵五边形的边数增加了1， ∴根据多边形内角和定理可知六边形的内角和为． ∴④的说法正确； 综上可知：说法正确的是②④， 故选：D． 【变式1】把一张形状是多边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分是一个四边形，则这张纸片原来的形状不可能是（　　） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】D 【分析】一个n边形剪去一个角后，剩下的形状可能是n边形或（n+1）边形或（n-1）边形，由此即可解答. 【详解】当剪去一个角后，剩下的部分是一个四边形， 则这张纸片原来的形状可能是四边形或三角形或五边形，不可能是六边形． 故选D． 【点睛】剪去一个角的方法可能有三种：经过两个相邻顶点，则少了一条边；经过一个顶点和一边，边数不变；经过两条邻边，边数增加一条． 【变式2】把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个十八边形，则原多边形纸片的边数可能是 ． 【答案】十七边形，或十八边形，或十九边形 【分析】结合题意，根据多边形截角后边数的性质，分三种截下的方式分析，即可得到答案． 【详解】把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个十八边形，有三种截下的方式： 下图为多边形局部图，如按下图所示沿虚线截下三角形： ∴原多边形纸片的边数是：十七边形 如按下图所示沿虚线截下三角形： ∴原多边形纸片的边数是：十八边形 如按下图所示沿虚线截下三角形： ∴原多边形纸片的边数是：十九边形 ∴原多边形纸片的边数可能是：十七边形，或十八边形，或十九边形 故答案为：十七边形，或十八边形，或十九边形． 【点睛】本题考查了多边形的知识；解题的关键是熟练掌握多边形的性质，从而完成求解． 【变式3】多边形截去一个角，形成新多边形内角和是，则原多边形的边数是 ． 【答案】4或5或6 【分析】本题主要考查多边形的内角和问题，结合题意进行分类讨论是解题的关键． 设新多边形的边数为n，利用多边形内角和公式求得n的值，然后分三种情况分类讨论后即可解答． 【详解】解：设新多边形的边数为n 则，解得：， ①若截去的角的两边均为原多边形的两边的一部分时， 此时原多边形的边数为； ②若截去的角的两边为原多边形的一条边和另一条边的一部分时， 此时原多边形的边数为5； ③若截去的角的两边均为原多边形的两条边时， 此时原多边形的边数为； 综上，原多边形边数为4或5或6． 故答案为：4或5或6． 考点6：正多边形的内角和问题 典例6：把正五边形和正六边形按如图所示方式放置，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查多边形的内角和，正多边形的性质及三角形内角和，结合已知条件求得. 的度数是解题的关键． 利用多边形的内角和及正多边形的性质可求得 的度数，继而求得 的度数，然后利用三角形内角和即可求得答案． 【详解】如图，结合图形标出相应的顶点， 由题意可得， ， 则 ， 故选: A． 【变式1】如图是用边长相等的正三角形和正多边形两种地砖铺设的部分地面示意图，则这种正多边形地砖的边数是（　　）    A．12 B．10 C．18 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了平面镶嵌，多边形内角和公式，掌握多边形的内角和公式是解题的关键．根据平面镶嵌的条件，先求出正多边形的一个内角的度数，再根据内角和公式求出边数即可． 【详解】解：设正多边形的边数为， 根据题意可知，该正边形的一个内角为 则有： 解得： 故选：A． 【变式2】如图，正八边形的对角线，交于点，则的度数是 °．    【答案】67.5 【分析】本题主要考查多边形内角和外角，先求出，再根据正八边形的性质求出和，最后根据三角形的内角和即可求得． 【详解】解：八边形为正八边形， ， 正八边形的对角线、， ， 又由题意得， ， ． 故答案为：． 【变式3】将等边三角形、正方形、正五边形按如图所示的位置摆放，如果，，那么的度数等于 ． 【答案】12 【分析】本题考查了多边形的内角和定理．利用平角的性质求得和，再利用三角形内角和定理求得，减去等边三角形的一个内角的度数，据此即可求得． 【详解】解：等边三角形的内角的度数是，正方形的内角度数是， 正五边形的内角的度数是：， ，， ， 则． 故答案为：12． 考点7：正多边形的外角和问题 典例7：如图，用一些全等的正五边形按如图方式可以拼成一个环状，使相邻的两个正五边形有公共顶点，所夹的锐角为，图中所示的是前3个正五边形拼接的情况，拼接一圈后，中间会形成一个正多边形，则该正多边形的边数是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形、多边形的内角与外角等知识；由完全拼成一个圆环需要的正五边形为个，则围成的多边形为正边形，利用正五边形的内角与夹角计算出正边的每个内角的度数，然后根据内角和定理得到解方程求解即可． 【详解】∵正五边形的每个内角为， ∴组成的正多边形的每个内角为， ∵n个全等的正五边形拼接可以拼成一个环状，中间会形成一个正多边形， ∴形成的正多边形为正n边形，则， 解得：． 故选C． 【变式1】综合实践课上，嘉嘉用八个大小相等的含45°角的直角三角板拼成了一个环状图案，如图1，若淇淇尝试用含60°角的直角三角板拼成类似的环状图案，如图2，除了图上3个还需要含60°角的直角三角板的数量为（    ） A．3个 B．6个 C．9个 D．12个 【答案】C 【分析】本题主要考查了正多边形的外角和．多边形由拼图方法可知：环状图案的外围是正多边形，根据正多边形外角和等于即可求出正多边形的边数． 【详解】解：依题意可知：用含60°角的直角三角板按图示拼成类似的环状图案是正多边形，正多边形的外角， 故正多边形的边数为（条） ∴除了图上3个还需要含60°角的直角三角板的数量为（个） 故选C． 【变式2】如图，正边形纸片被撕掉一块，若与两边所在的直线相交所成的锐角为，则 ．    【答案】 【分析】本题考查了正多边形的性质，先求出正多边形的外角度数，再用除以它即可求解，掌握正多边形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，延长与两边所在的直线，两直线的夹角为，    由题意可得， ∵正多边形的每个外角相等， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】如图，是某正多边形相邻的三条边，延长交于点，若，则该正多边形的边数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查正多边形和圆，正确记忆相关知识点是解题的关键．由该多边形内角都相等可知该多边形的外角也都相等，先算出外角再计算边数即可． 【详解】解：由该多边形内角都相等可知该多边形的外角也都相等， ， ， ， 则该正多边形的边数为， 故答案为：． 考点8：多（少）算一个角的问题 典例8：一个多边形除去一个内角后，其余各内角的和为，则这个内角是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查多边形内角和公式的灵活运用，解题的关键是根据多边形内角和公式建立边数与内角度数的等式．设这个内角度数为，边数为，根据多边形内角和的公式建立等式，再根据多边形的一个内角一定大于，并且小于计算出边数，最后再根据边数和内角和计算出所求内角的值． 【详解】解：设这个内角度数为，边数为， 则， ， ∵为正整数，， ∴， ∴这个内角度数为． 故选：C． 【变式1】小红：我计算出一个多边形的内角和为；老师：不对呀，你可能少加了一个角！则小红少加的这个角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】边形的内角和是，少计算了一个内角，结果得．则内角和是与的差一定小于180度，并且大于0度． 【详解】解：设多边形的边数为，小红少加的这个角的度数是， 则有， 则， 因为， 所以， 故选：C． 【点睛】本题考查了多边形的内角和公式．解答此题的关键是把所求的角正确的分解为与一个正整数的积再减去一个小于的角的形式，再根据多边形的内角和公式即可求解． 【变式2】小明在计算多边形内角和时，把其中一个内角多加了一次，得到内角和为，则多加的这个内角的大小为 ． 【答案】 【分析】本题考查了多边形内角和公式，理解题意，把一个内角多加一次即为整除之后的余数是解答本题的关键．根据多边形内角和公式，内角和应是的倍数，且每个内角应大于而小于，根据这些条件进行分析求解． 【详解】解：由多边形内角和公式知， 多边形的内角和是的倍数， 多加的一个内角是的余数 即为 故答案为 【变式3】小明同学在计算一个多边形的内角和时，由于粗心少算一个内角，结果得到的结果是，则少算的这个内角的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理，解不等式，设多边形的边数是n（，且n为整数），根据多边形内角和定理列出不等式，进而求出，再计算出该多边形内角和即可得到答案． 【详解】解：设多边形的边数是n（，且n为整数）， 依题意得， 解得． ∵少算一个内角，且该内角小于， ∴． ∴多边形的内角和是， ∴少算的这个内角的度数为， 故答案为：． 考点9：多边形内角和的实际应用 典例9：如图，小明沿一个五边形的广场小道按的方向跑步健身，他每跑完一圈时，身体转过的角度之和是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查多边形外角和的知识，根据身体每次转过的角度为五边形的一个外角，再求外角和即可． 【详解】解：∵身体每次转过的角度为五边形的一个外角， ∴他每跑完一圈时，身体转过的角度之和为五边形的外角和． 故答案为：D． 【变式1】如图所示，分别以六边形的顶点为圆心，以为半径画圆，则图中阴影部分的面积之和为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据多边形的外角和是及圆的面积即可解答． 【详解】解：∵多边形的外角和为， ∴， ∵圆的半径为， ∴， 故选． 【点睛】本题考查了多边形的外角和，圆的面积，掌握多边形的外角和为是解题的关键． 【变式2】《红楼梦》是我国四大名著之一，文学社团的同学在搜集相关资料时发现一张如图所示的《红楼梦》纪念币图案（将纪念币的正面图案和背面图案拼到一起），这个图案可以抽象成有公共边的两个正八边形，如图，则的度数是 ． 【答案】/90度 【分析】此题考查了正多边形的外角性质，利用正多边形的外角性质以及外角和是即可求出答案，解题的关键是熟练掌握正多边形的外角性质以及外角和是． 【详解】∵正八边形的外角和是，共八个外角且每个外角都相等， ∴每个外角都是， ∴正八边形的两个外角的和， 故答案为：． 【变式3】如图，小亮从点出发前进，向右转，再前进，又向右转……这样一直走下去，他第一次回到出发点时，一共走了 ． 【答案】240 【分析】任何一个多边形的外角和都是，用外角和求正多边形的边数可直接让除以一个外角度数即可求出答案． 【详解】解：小亮从点出发最后回到出发点时正好走了一个正多边形， 根据外角和定理可知正多边形的边数为， 则一共走了米． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了多边形的外角和定理，掌握多边形的外角和为是解题的关键． 考点10：多边形内角和与外角和综合 典例10：淇淇在活动课上将三角形剪掉一个角后得到四边形，则下列判断错误的是（   ） A．变成四边形后内角和增加了 B．变成四边形后内角和增加了 C．外角和没有发生变化 D．若剪掉的角的度数是，则 【答案】A 【分析】本题考查了多边形的对角线，内角和与外角和，三角形内角和定理，解题的关键是掌握三角形的内角和为180度，四边形的内角和为360度，多边形的外角和为360度． 【详解】解：∵三角形内角和为，四边形内角和为， ∴变成四边形后内角和增加了，故A不正确，符合题意；B正确，不符合题意； ∵三角形外角和为，四边形外角和为， ∴外角和没有发生变化，故C正确，不符合题意； ∵剪掉的角的度数是， ∴， ∴，故D正确，不符合题意； 故选：A． 【变式1】将正三角形、正方形、正五边形按如图所示的方式摆放，其中正方形和正五边形的下底边是水平共线的．如果，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形的内角和和外角和定理，平角的定义，正确运用正多边形的外角和定理是解题的关键． 【详解】如图，， ∴，，，． 故选B． 【变式2】正五边形和正三角形按如图方式叠放在一起，，，三点在同一直线上，经过点，则的度数为 ． 【答案】24 【分析】本题考查多边形的内角和外角问题．根据正五边形的内角、外角的计算方法分别求出其度数，再根据三角形内角和定理以及平角的定义进行计算即可． 【详解】解：五边形是正五边形， ，， 是正三角形， ， ， ． 故答案为：24． 【变式3】如图，平面上有两个全等的正十边形，其中A点与A′点重合，C点与C′点重合．∠BAJ′为 °． 【答案】108° 【分析】由平面上有两个全等的正十边形,其中A点与A’点重合,C点与C’点重合,即可求得AB'=AB=BC=B'C以及∠B、∠B’与∠B’AJ`的度数,继而证得四边形ABCB'是菱形,则可求得∠B’AB的度数,继而求得答案 【详解】∵平面上有两个全等的正十边形,其中A点与A’点重合,C点与C'点重合 ∴AB’=AB=BC=B’C，∠B=∠B’=∠B’AJ`= ∵四边形ABCB’是菱形, ∴AB∥B'C, ∴∠B'AB=180°-∠B’=36° ∴∠BAJ’=∠B’AJ’∠B'AB=144°-36°=108° 故答案为108° 【点睛】此题考查多边形内角和与外角和，利用多边形内角和与外角和的定义进行计算是解题关键 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$