第24章 圆综合复习-2024-2025学年九年级上册数学同步辅导（人教版）

复习课 典例精析 【例1】如图24一1，AB是半圆O的直径，C 为圆心，r为半径的圆与AB有何位置关系？为 为AO的中点，CD⊥AB交⊙O于点D,以C为 什么？ 圆心，CD长为半径画弧交AB于点E,若AB (1)r=3cm:(2)r=4.8cm:(3)r=6cm. 8cm,则图中阴影部分的面积为 .(不 取近似值) 思路分析：求不规则图形的面积通常要转 化成规则图形的面积的和差关系.本题中阴影 部分的面积转化为S扇形aDB一(S扇形DE一S△xo) 即可 图24-2 连接DO,在Rt△DOC中， 思路分析：过点C作CD⊥AB于点D,求 .DO=4 cm,CO=2 cm, 出CD的长，比较r与CD的大小即可判断⊙C ∴.DC=√/DO-CO=23cm,∠DC=60°， 与直线AB的位置关系. 90×x×(23)2=3元(cm2), 解：过点C作CD⊥AB于点D, 则S扇形E 360 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm, BC=8cm,则AB=10cm, 又：SaAx= AB.CD=AC·BC. 图24-1 ∴.10·CD=6×8,∴.CD=4.8cm. 5am=2×2x2yg=2,(cam) (1)当r=3cm时，CD>r,⊙C与直线AB 相离； S帛形O0B= 120x×41 360 3π(cm2). (2)当r=4.8cm时，CD=r,⊙C与直线 AB相切； ∴.S刷步=S南形aDm一(S扇形CDE一S△o） (3)当r=6cm时，CD<r,⊙C与直线AB 16 x-(3m-23 相交， 点拨：①判定直线与圆的位置关系有两种方 =(5+23cm). 法：一是定义：二是根据圆心到直线的距离与半 径的大小关系.②直角三角形斜边上的高是常用 答案：(+2列cm 的辅助线，要注意用面积相等求线段长的方法. 点拨：求与圆有关的阴影部分面积的问题， 【例3】如图24一3，PA是⊙O的切线，切点 常用的方法有：直接运用公式、和差法、割补法 为A,AC是⊙O的直径，连接OP交⊙O于点 等，主要思路是将不规则图形转化为规则图形 E,过A点作AB⊥PO于点D,交⊙O于点B, 【例2】如图24一2，在Rt△ABC中，∠C= 连接BC,PB.求证： 90°，AC=6cm,BC=8cm,在下列情况下，以C (1)PB是⊙O的切线： (2)点E为△PAB的内心 (2)如图，连接AE 由(1)知∠OAP=90°， ∴.∠PAE+∠OAE=90° ,AD⊥ED,∴.∠EAD+∠AED=90 .OE=OA,∴.∠OAE=∠AED 图24-3 .∠PAE=∠DAE,即AE平分∠PAD 证明：(1)如图24一4，连接OB. 由(1)得△AOP≌△BOP, ∴.∠APO=∠BPO. .PD平分∠APB. PD与AE的交点为E, .点E为△PAB的内心 图24-4 点拨：作辅助线判定圆的切线的常用方法： ,AO=BO,AB⊥PO, (1)有切点，连半径，证垂直.如果已知直线 .∠AOP=∠POB. 经过圆上的一点，那么连接这点和圆心，得到辅 又PO=PO,AO=BO. 助半径，再证明所作半径与这条直线垂直即可， .△AOP≌△BOP(SAS). 简记为：有切点，连半径，证垂直， .∠OBP=∠OAP (2)无切点，作垂直，证半径.如果已知条件 ,PA为⊙O的切线，∴.∠OAP=90 中不知道直线与圆是否有公共点，那么过圆心 .∠OBP=90°，即OB⊥PB. 作直线的垂线段，再证明垂线段的长度等于半 又，OB是⊙O的半径， 径即可，简记为：无切点，作垂直，证半径 .PB是⊙O的切线. 综合复习 1.如图24-5，点B、C在⊙O上，且BO=BC, A.1 cm B.5 cm 则圆周角∠BAC等于() C.1cm或5cm D.0.5cm或2.5cm A.60° B.509 C.40° D.30° 4.已知⊙O的半径为13cm,弦AB∥CD,AB= 2.如图24一6，PA、PB是⊙O的切线，切点分 24cm,CD=10cm,则AB、CD之间的距离为 别是A、B,如果∠P=60°，那么∠AOB等 () 于( A.17 cm B.7 cm A.60° B.90° C.120° D.150° C.12 em D.17cm或7cm 5.露露从纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片 (如图24一7)，用它们恰好能围成一个圆锥模 型，若圆的半径为1，扇形的圆心角等于 120°，则此扇形的半径为() 图24-5 图24-6 图24-7 A.3 B.√6 C.3 D.6 3.已知⊙O与⊙O2相切，⊙O的半径为3cm, 6.如图24一8，⊙O的直径AB长为10，弦AC ⊙O,的半径为2cm,则O,O2的长是( 长为6，∠ACB的平分线交⊙O于点D,则 CD的长为() 10.如图24一11，AD是⊙O的弦，AB经过圆心 A.7 B.7√2 C.82 D.9 O,交⊙O于点C,∠DAB=∠B=30°. (1)直线BD是否与⊙O相切？为什么？ (2)连接CD,若CD=5,求AB的长， 图24一8 图24一9 7.如图24一9，点O是△ABC外接圆的圆心，点 I是△ABC的内心，连接OB,IA.若∠CAI= 35°，则∠OBC的度数为() 图24-11 A.15° B.17.5°C.20° D.25 8.在⊙O中，直径为4，弦AB=2√3，点C是圆 上不同于A、B的点，那么∠ACB的度数 为 9.如图24一10，在直径为10cm的圆中，圆心到 弦AB的距离为4cm,求弦AB的长 图24-10 6聚焦中考 1.(广东)如图24-12，AB是⊙O的直径， 于⊙O,连接OC,OD.则∠BAE一∠COD= ∠BAC=50°，则∠D=() () A.20° B.40 C.50° D.80° A.60° B.54° C.48 D.36 3.(吉林)如图24-14，AB,AC 是⊙O的弦，OB,OC是⊙O的 半径，点P为OB上任意一点 (点P不与点B重合)，连接 CP.若∠BAC=70°，则∠BPC 图24-14 图24-12 图24-13 的度数可能是() 2.(安徽)如图24一13，正五边形ABCDE内接 A.70 B.105°C.125 D.155 4.(陕西)如图24一15，△ABC内接于⊙O, 线，AE交OC的延长线于点E.若∠AOC= ∠A=50°.点E是边BC的中点，连接OE并 45°，BC=2,则线段AE的长为 延长，交⊙O于点D,连接BD,则∠D的大小 为() A.55 B.65 C.60 D.75 图24-19 图24-20 10.(陕西)如图24一20，AB是⊙O的一条弦， 点C是⊙O上一动点，且∠ACB=30°，点 图24-15 图24-16 E,F分别是AC,BC的中点，直线EF与 5.(湖北)如图24一16，在Rt△ABC中，∠C ⊙O交于G,H两点.若⊙O的半径为7，则 90°，∠B=30°，AB=8,以点C为圆心，CA的 GE+FH的最大值为 长为半径画弧，交AB于点D,则AD的长为 11.(北京)如图24-21，AB是⊙O的直径，CD 是⊙O的一条弦，AB⊥CD,连接AC,OD (1)求证：∠BOD=2∠A: A.π D.2 (2)连接DB,过点C作CE⊥DB,交DB的 6.(成都)如图24-17，A,B,C是⊙O上的三个 延长线于点E,延长DO,交AC于点F, 点，∠AOB=50°，∠B=55°，则∠A的度数 若F为AC的中点，求证：直线CE为 为 ⊙O的切线。 图24-17 图24-18 图24-21 7.(哈尔滨)一个圆锥的侧面积是36πcm,母线 长是12cm,则这个圆锥的底面直径是 cm. 8.(重庆)如图24一18，在矩形ABCD中，AB 2,BC=4,E为BC的中点，连接AE,DE,以 E为圆心，EB长为半径画弧，分别与AE,DE 交于点M,N,则图中阴影部分的面积为 ·(结果保留π) 9.(北京)如图24一19，OA是⊙O的半径，BC是 ⊙O的弦，OA⊥BC于点D,AE是⊙O的切@.由①@，可得R= 64√2320√2-128 如答图24一2，连接OD, 5+√2 23 ,∠ODA=∠DAB=∠B=30°， 16巨_802-32，故所求圆锥的母线长为 ∴.∠ODB=180°-∠ODA-∠DAB-∠B= 5+√2 23 180°-30°-30°-30°=90°， 320√2-128 23 cm,底面圆的半径为80,2-32 即OD⊥BD,.直线BD与⊙O相切. 23 cm. (2)由(1)知，∠ODA=∠DAB=30°， 复习课 ∴.∠DOB=∠ODA+∠DAB=60° 又，OC=OD,.△DOC是等边三角形， 【综合复习】 ..OA=OD=CD=5. 1.D2.C3.C4.D5.C 又，∠B=30°，∠ODB=90°， 6.B点拨：作DF⊥CA,交CA的延长线于 ∴.OB=2OD=10. 点F,作DG⊥CB于点G,连接DA,DB.由 .∴.AB=OA+OB=5+10=15. CD平分∠ACB,根据角平分线的性质得出 DF=DG,证明△AFD≌△BGD,△CDF ≌△CDG,得出CF=7,又△CDF是等腰直 角三角形，从而求出CD=7√2 7.C点拨：连接OC,,点I是△ABC的内 答图24一2 心，.AI平分∠BAC.∠CAI=35°， 【聚焦中考】 ∴.∠BAC=2∠CAI=70°..点O是△ABC 1.B2.D3.D4.B 外接圆的圆心，∴.∠BOC=2∠BAC= 5.B点拨：本题考查弧长公式、等边三角形 140.0B=0C.∠0BC=号×180°- 的判定与性质.如答图24一3，连接CD.因 为∠ACB=90°，∠B=30°，AB=8,所以 ∠BOC)=20°.故选C. 8.60°或120°点拨：分两种情况：①当点C ∠BAC=90°-30=60，AC=2AB=4.又 在优弧AB上时，∠ACB=60°：②当点C AC=CD,所以△ACD为等边三角形，所以 在劣弧AB上时，∠ACB=120°. ∠ACD=60,所以D的长为0XX4- 9.解：如答图24-1，连接AO. 在Rt△AOE中，AE=√AO-OE= ,故选B √52-42=3(cm), 则弦AB的长为6cm. 答图24一3 6.30°点拨：，OB=OC,∴∠OCB=∠OBC= 答图24一1 55°，则∠BOC=180°-2∠OBC=70°， 10.解：(1)直线BD与⊙O相切.理由如下： ∴.∠AOC=∠AOB+∠BOC=120°.又 .OA=OC,∴.∠A=∠OCA= 2(180° 因为OA=OD, 所以∠OAD=∠ODA. ∠A0C)=30°. 同理可得∠OAC=∠OCA, 7.6点拨：设圆锥的底面半径为r,母线长为 ∠OCD=∠ODC L.:S网锥创=元rl,∴.r= S丽雅侧=36π πl 12元 因为M是CD的中点，F 答图24一5 3(cm),故底面直径为2×3=6(cm). 是AC的中点， 8.4-π点拨：由题知，BE=CE=CD=AB 所以∠OAD=∠ODA=∠OAC=∠OCA= 2,∠ABE=∠DCE=90°，'.∠BAE ∠OCD=∠ODC. ∠AEB=∠CDE=∠DEC=45°，∴.阴影部 因为∠OAD+∠ODA+∠OAC+∠OCA+ 分的面积为2×（号×2×2）-2×（品× ∠OCD+∠ODC=180°， 所以∠OAD=∠ODA=∠OAC=∠OCA= πX22）=4-元. ∠OCD=∠ODC=30°， 9.√2点拨：OA⊥BC,BC=2,∴.∠ODC 所以∠COB=2∠CAO=60° 90°，BD=DC=1..∠AOC=45°， 因为AB为⊙O的直径， .△OCD是等腰直角三角形，∴.OC=√2DC 所以∠ADB=90°， 所以∠ABD=90°-∠DAO=60°， √2.又，AE是⊙O的切线，.OA⊥AE,即 ∠OAE=90°.又.∠AOC=45°，∴.△AOE 所以∠ABD=∠COB=60°， 所以OC∥DE. 是等腰直角三角形，∴.AE=OA=OC=√2. 又CE⊥DB, 10.10.5点拨：由于E,F分别是AC,BC的 所以CE⊥OC, 中点，由三角形中位线定理得EF∥AB,且 又OC为⊙O的半径， EF=2AB,所以EF为定值.由于∠ACB 所以直线CE为⊙O的切线. 30°，则AB=7,EF=3.5,当GH过圆心O 时，GE+FH取得最大值2×7一3.5=10.5. 第二十五章 概率和步 11.证明：(1)如答图24一4，连接O℃， 设AB与CD的交点为M 25.1随机事件与概率 因为OC=OD,∠OMC=∠OMD=90°， 第1课时 随机事件 OM-OM, 所以Rt△COM≌Rt△DOM(HL.), 【基础巩固】 所以∠COM=∠DOM, 1.A2.C3.D4.D5.B 即∠COB=∠BOD. 6.随机 又∠COB=2∠A, 7.(1)可能性极小：(2)可能性极小；(3)可能； 所以∠BOD=2∠A. 答图24一4 (4)很可能：(5)一定；(6)不可能. (2)如答图24一5，连接AD, 【能力提升】