第21章 一元二次方程综合复习-2024-2025学年九年级上册数学同步辅导（人教版）

复习课 典例精析 【例1】(1)已知关于x的一元二次方程 .所求的代数式的值为3或19.故选D. (a一1)x2+x十a2-1=0的一个根是0，则a的 答案：(1)B(2)D 值为() 点拔：(1)代解、求解是解决与方程的根有 A.1 B.-1 关的问题的两种基本方法：(2)要注意关于x的 C.1或-1 D号 方程与关于x的一元二次方程的区别，后者必 须满足二次项系数不能为0. (2)关于x的方程(m+2)2x2+3mx+ 【例2】当m为何值时，关于x的一元二次 m2一4=0有一个根为0，则2m2一4m十3的值 方程(m+1).x2一(2m-3)x十m十1=0： 为() (1)有两个不相等的实数根？ A.3 B.19 (2)有两个相等的实数根？ C.±2 D.3或19 (3)没有实数根？ 思路分析：根据方程的根的定义可知0都 解：此方程是关于x的一元二次方程， 满足方程，但不同的是第(1)题给出的是关于x .m十1≠0，.m≠-1. 的一元二次方程，而第(2)题是关于x的方程， 即后者有可能是关于x的一元二次方程，也有 ,a=m十1，b=-(2m-3),c=m十1， 可能是关于x的一元一次方程，即(m十2)2有 ∴.b-4ac=[-(2m-3)]-4×(m+1) 可能为0，也有可能不为0，前者的二次项系数 ×(m+1) (a-1)一定不为0. =-20m+5. (1)将x=0代入方程(a一1)x2+x十a2 ()当-20m十5>0时，解得m<是 1=0得 a2-1=0, 即当m<子且m≠一1时，原方程有两个不 ∴.a=1或a=-1. 相等的实数根。 又关于x的方程(a一1)x2十x十a2一1 0是关于x的一元二次方程， (2)当-20m+5=0时，解得m=子 .a-1≠0，即a≠1， 即当m= 时，原方程有两个相等的实 ∴.a=一1.故选B. 数根。 (2)将x=0代入原方程得m2一4=0，.m= ±2. (3)当-20m十5<0时，解得m>是 当m=2时，2m2一4m+3=3. 当m=一2时，此时方程为一元一次方程， 即当m>时，原方程没有实数根。 符合题意，且此时2m2一4m十3=19. 点拨：此类题目需要根据一元二次方程的 解的多少来确定方程中的字母系数的取值范 所以月销售利润为(x一40)[500一10× 围，但一定要注意b一4ac(即根的判别式)的使 (x-50)]元， 用前提：方程必须是一元二次方程。 即(-10x2+1400.x-40000)元， 【例3】某商店经销一种销售成本为每千克 ∴.月销售利润y-一10x2+1400.x一 40元的水产品.据市场分析，若按每千克50元 40000. 销售，一个月能售出500千克：销售单价每涨 (3)要使月销售利润达到8000元，即y= 1元，月销售量就减少10千克，针对这种水产品 8000, 的销售情况，请解答以下问题： ..-10x2+1400x-40000=8000, (1)当销售单价定为每千克55元时，计算 即z2一140.x十4800=0，解得1=60，.2=80. 月销售量和月销售利润： 当销售单价定为每千克60元时， (2)设销售单价为每千克x元，试求出月销 月销售量为500-(60一50)×10=400（千克）， 售利润y(元)：（用含x的代数式表示，不必写出 月销售成本为40×400=16000（元）： x的取值范围) 月销售单价定为每千克80元时， (3)商店想在月销售成本不超过10000元 月销售量为500一(80一50)×10=200（千克）， 的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售 月销售成本为40×200=8000（元）： 单价应定为多少？ 由于8000<10000<16000，而月销售成本 解：(1)当销售单价定为每千克55元时， 不能超过10000元， 月销售量为500-10×(55-50)=450（千克）， ∴.销售单价应定为每千克80元. 月销售利润为(55-40)×450=6750（元）. 点拨：用一元二次方程解决以生活、决策、 (2)当销售单价定为每千克x元时， 销售等为背景的实际问题是反映时代特色的热 月销售量为[500一10×(.x-50)]千克， 点数学问题，解决此类问题，读懂问题、建立方 每千克的销售利润是(.x一40)元， 程模型是关键， 综合复习 1.下列方程中，无论a取何值时，总是关于x的 B.若(x一1)2=9，则x一1=3，x=4 一元二次方程的是( C.若x2+4.x+3=0,则(x+2)2=7 A.(2a-1)(x2+3)=2.x2-2 D.若3x2-6x-45=0,则(x-1)2=16 B.a.x2-2x-9=0 3.已知关于x的方程x2十bx+a=0有一个根 C.a.x2+x=x2-1 是一a(a≠0)，则a一b的值为( D.(a2+1)x2=1 A.-1 B.0 C.1 D.2 2.下列解题过程正确的是( 4.将方程(x+2)(1一3x)=2x化成一般形式为 A.若4.x2=9,则4x=士3，x=± 4 5.若方程x2十k.x十9=0有两个相等的实数根，10.已知关于x的一元二次方程x2一6.x一=0 则k= (k为常数). 6.若x=1是一元二次方程(m十1)x2一m2x (1)求证：方程有两个不相等的实数根： 2m一1=0的一个根，则m= (2)设x1,x2为方程的两个实数根，且x1+ 7.已知一元二次方程x2一6.x一5=0的两根为 2.x2=14,试求出方程的两个实数根和k a6,则+云的值是 的值. 8.一个小区用篱笆围成一宏喷 个直角三角形花坛，花 坛的斜边利用足够长的墙，两条直角边所用 的篱笆长之和恰好为21米，围成的花坛如图 所示，其中∠ACB=90°.若所修的直角三角 形花坛面积是54平方米，则直角三角形的斜 边AB的长为 米。 9.解下列方程： 11.某班家委会为每位学生准备了便携式免洗 (1)2x2十3.x-1=0: 抑菌洗手液.去市场购买时发现：当购买量 不超过100瓶时，免洗抑菌洗手液的单价为 8元：超过100瓶时，每增加10瓶，单价就降 低0.2元，但最低价格不能低于每瓶5元. 设家委会共买了x瓶免洗抑菌洗手液， (1)当x=80时，每瓶洗手液的价格是 元：当x=150时，每瓶洗手液的价格是 (2)7x(2-x)=3(x-2): 元： (2)若家委会购买洗手液共花费1200元，则 一共购买了多少瓶洗手液？ (3)9x2-6x-2=0. 6聚焦中考 1.(山东)方程x2一2.x-24=0的解是() 9.(黄冈、孝感、咸宁)已知一元二次方程x一 A.x1=6,x2=4 B.x1=6,x2=-4 3x十k=0的两个实数根为x1·x2,若x1x2十 C.x1=-6,x2=4D.x1=-6,x2=-4 2x1十2x2=1,则实数k= 2.(北京)若关于x的一元二次方程x2一3x十 10.(青海)为丰富学生课余生活，提高学生运算 n=0有两个相等的实数根，则实数m的值 能力，数学小组设计了如下的解题接力 为() 游戏： A.-9 B-9 c D.9 2.x-1<7,① (1)解不等式组： x+1>2:② 3.(呼和浩特)已知a、3是关于x的一元二次方 (2)当m取(1)的一个整数解时，解方程x 程x2十(2十3)x十m2=0的两个不相等的 -2x-m=0. 实数根，且满足】+。=一1，则m的值 是() A.3 B.1 C.3或-1 D.-3或1 4.(武汉)若x1,x2是一元二次方程x2一3x十 2=0的两根，则x1十x2的值是() A.-2 B.2 C.3 D.1 5.(河南)定义运算m☆n=mn2一mn一1.例如： 4☆2=4×22-4×2一1=7.则方程1☆x=0 的根的情况为() 11.(四川南充)已知关于x的一元二次方程x2 A.有两个不相等的实数根 (2m-1)x-3n2+m=0. B.有两个相等的实数根 (1)求证：无论m为何值，方程总有实数根： C.无实数根 (2)若，是方程的两个实数根，且+ D.只有一个实数根 6.(长春)若关于x的方程x2一2x十c=0有两 =一，求m的值 工 个不相等的实数根，则实数c的取值范围是 7.(衡阳)已知关于x的方程x2+m.x-20=0的 一个根是一4，则它的另一个根是 8.(重庆)为了加快数字化城市建设，某市计划 新建一批智能充电桩，第一个月新建了301 个充电桩，第三个月新建了500个充电桩，设 该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为 x,根据题意，请列出方程7.解:(1)设!s时,Spao=2 cm{,则(3-)· #l 2t-2. 解得x=40或x三-200(舍去). 即r$-3t+2-0,解得t-1,t-2 45 .100-40=60(个),40× 100-40 (2)设xs时,Spao=3cm^{,则 30(元). 2x-3. 答:第一个村民有40个鸡蛋,第二个村 即r^*一3x十3-0,此时方程无实数根 民有60个鸡蛋,都卖了30元. 所以Sro不能达到3cm^{②}. 复习课 8.解:(1)设矩形广场四角的小正方形的边长 为文米,根据题意,得 【综合复习】 $*+(100-2x)(80-2x)-5200 1.D 2.D 整理,得x2-45x十350-0 3.A 点拨:将x=一a代入方程得a{-ba十 解得x-35,x。=10. a=0,即a(a-b+l)=0.'a去0,.a-b$ 1-0,则a-6--1. 经检验,x-35,x。-10均符合题意 4.3.r*+7x-2-0 5.士6$ 答:要使铺自色地砖的面积为5200平方 6.0 点拨:将x-1代入方程得m十1-m^}- 来,那么矩形广场四角的小正方形的边长 $m-1-0,即m(m+1)-0.又.m+10 为35米或10米. '.m-0. (2)设铺矩形广场地面的总费用为y元,广 场四角的小正方形的边长为x米,则 6 =30[4*+(100-2x)(80-2x)]+ 8.15 点拨:设直角三角形的直角边AC的 20[2x(100-2x)+2x(80-2x)] 长为x来,则直角边BC的长为(21一x) 即y-80x2-3600x+240000. 米.依题意,得x·(21-x)-54,整理得 配方,得y-80(x-22.5)②+199500 当x三22.5时,y的值最小,最小值为 x-21x+108=0,解得x=9,x-12.当 199500. r=9时,21-x-12;当x=12时,21- 答:当矩形广场四角的小正方形的边长为 9.在Rt\ABC中,ACB=90{}..AB= 22.5米时,铺广场地面的总费用最少,最少 VAC+BC^}-9+12^-15(米). 费用是199500元. -3士3+4×2-3士17 9.解:(1)x二二 2X2 ___ 精彩一题 4 解:设第一个村民有x个鸡蛋,则第二个 -3+/17 .一 7-3-17 A 村民有(100一x)个鸡蛋,第一个村民卖出的 (2)7x(2-x)+3(2-x)-0.(2-x)(7x+3)- 单价为 100-2 2-x-0或7x+3-0. 2 --(100一x)· ..x-2,x=- 100-x 7 (3)(3-1)-3,3-1-+ 3 9 0,得m= #,.故选C. 1+③ '.= 3.A 点拨:由a、8是方程的两个不相等的实 3 10.解:(1)·:-4ac=(-6)-41$ 数根,得a+③=-(2m+3),a③-m{},所以 1+1-g- -(2m+3) (- )-36+4 0, 一一1,解得 # { 72 .方程有两个不相等的实数根 m.=3,m=-1.因为原方程有两个不相 等的实数根,所以6-4ac=(2m十3)^}- a 4m^{}-12m+9>0,所以m=-1不符合题 又x+2x-14. 意,舍去.故选A. x1十x-6. .可列方程组 4.C点拨:由x,x是x2-3x十2=0的两 x.+2x-14. 根,得x十x。-3. {x=-2. 解得 5.A r。-8. 6.c<1 点拨:.方程x②-2x十c-0有两个 不相等的实数根,.·.△一(-2)一4c>0,解 解得-士4. 得c<1,即实数c的取值范围是c1. 11.(1)8 7 点拨:·.80 100,..每瓶洗手 7.5 点拨:设一元二次方程x十mx-20-0 液的价格是8元.当x一150时,每瓶洗手 的两个根为x,x,则xx。=-20.又x= 液的价格是8-(150-100)-10× -4,则-4x--20,解得x-5. 8.301(1+x)②-500 0.2-8-1-7(元). 9.-5 点拨:由题知,△-9-40,解得 解:(2)①0<x<100时,8×100-800 .'+x=3.=h.又:x+2x+ 1200(舍去). $x=1,.xx+2(x+x)=1,+2x 250. .当100<x<250时,x(8-x-100) 十 10 2x-1<7,① 10.解:(1) x十1>2,② 0.2)-1200. 解不等式①,得x<4; 解得x-200,x=300(舍去). 解不等式②,得x>1, ③当x250时,1200-5=240(舍去) ..不等式组的解集为1<x4. 答:一共购买了200瓶洗手液. (2);n是(1)的一个整数解; 【聚焦中考】 .'.m-2或m-3. 1.B 点拨:本题考查解一元二次方程,由 当m=2时,x-2x-m-0可化为- -2x-24-0,得(x-6)(x+4)-0,解得 2x-2-0. .-6,x=-4,故选B. '-2x+1-2+1. 2.C 点拨:△=(-3)*-4$1xm=9-4m= .(x-1)?-3. .x-1+③,x-1-③ ·当 =-2时,函数y=(k-1)++1 当m-3时,x^{}-2x-m-0可化为x^{}- 为二次函数. 2x-3-0. 点拨:此题中x的次数应为2,且二次项系 .-2x+1-3+1, 数不为0. .(x-1)②-4. 9.解:(1)原来的面积是3×4=12(cm); .x-3,x--1. 现在的面积是(4十x)(3十x)cm}, 11.(1)证明;·.△=(2m-1)-4(-3n+m) '.y=(4+x)(3+x)-12-x*+7 -16n}-8n+1 (2)由题意,得8=x^2+7x,..x-1,x= -(4m-1)②0. -8(舍去). .无论n为何值,方程总有实数根 即当边长增加1cm时,面积增加8cm②}. (2)解:由根与系数的关系得1x十x。= 点拨:表示简单变量之间的函数关系,要找 2m-1. 到问题的切入点,即存在怎样的等量关系。 rx。=-3m十n. 【能力提升】 五+}(+)} 1.D 点拨:选项A中y=kx十b(≠0),是一 -2 x1 x2 .r:X2 11.2 (2n-1)* 5 -3m{+n 2. 次函数:选项C中C一3a,是正比例函数 整理得5m-7m+2-0. 选项D中S一x^*},是二次函数,故选D 2 解得n-1或m- 2.B 点拨:函数y=(m-5)x^*}十x是二次函 5 数的条件是n为常数,且m关5.故选B. 3.S-4x*+12πx+9π 4π^*} 12 第二十二章 二次函数 4.y-30R+R 22.1 二次函数的图象和性质 5.解:由题意得a+2≠0,a≠-2;m^{}-2-2. m-士2. 第1课时 二次函数 ..a的取值范围是a关一2,的值是士2. 点拨:解答本题的关键是二次函数的最高 【基础巩固】 1.C 2.B 次项的次数为2,且二次项系数不能为0. 6.解:(1)y=1000-20(x-25)=1500- 3.C 点拨:只有y=-3x^*}是形如y=ax^{}十$ 20x(25x75). bx十c(a字0)的函数,是二次函数,故选C. (2)S-(x-20)(1500-20x)--20*+ 4.A 点拨;二次函数y-2x^*一3的二次项系 1900x-30000. 数是2,一次项系数是0,常数项是一3.故 选A. (3)由题意知-20x*+1900x-30000= 9000. 5.-21 1-2 6.y= 7.①④ 整理得20x2-1900x+39000-0,即-- [?十b-2, 95x+1950-0. 8.解:由题意知 解得一-2. -1-0, '.(x-30)(x-65)=0,解得x=30.