精品解析：四川省乐山第一中学校2023-2024学年高二上学期12月月考数学试卷

乐山一中高2025届高二（上）12月月考数学测试卷 命题人：李娇娇 审题人：廖莹 一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线的斜率求得倾斜角. 【详解】直线的斜率为， 所以直线的倾斜角为. 故选：C 2. 若方程表示圆，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据，解不等式即可求解. 【详解】由方程表示圆， 则， 解得. 所以实数m的取值范围为. 故选：D 3. 设椭圆的离心率分别为．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定的椭圆方程，结合离心率的意义列式计算作答. 【详解】由，得，因此，而，所以. 故选：A 4. 已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若是异面直线，，则 D. 平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则. 【答案】C 【解析】 【分析】利用直观想象判断直线与平面的位置关系可判断ABD；利用线面平行的性质定理与面面平行的判定定理可判断C，从而得解. 【详解】因为、是两条不同的直线，、、是三个不同的平面， 对于A，若，，则与可能相交，故A错误； 对于B，若，则与可能相交，故B错误； 对于C，因为，所以，又， 所以由线面平行的性质定理可知在内存在，则，进而可得， 因为是异面直线，，所以与相交， 又，所以由面面平行的判定定理得，故C正确； 对于D，平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则与可能相交，故D错误． 故选：C． 5. 已知直线，圆，点在圆内，则（ ） A. 直线l与圆C相交 B. 直线l与圆C相切 C. 直线l与圆C相离 D. 不确定 【答案】C 【解析】 【分析】由题意结合点到直线的距离公式，判断圆心到直线的距离与半径的大小关系，即得答案. 【详解】由题意知点在圆内，故， 故圆心到直线的距离， 故直线l与圆C相离， 故选：C 6. 如图，在正方体中，为棱的中点．设与平面的交点为，则（ ） A. 三点 共线，且 B. 三点不共线，且 C. 三点共线，且 D. 三点不共线，且 【答案】A 【解析】 【分析】利用平面基本事实证明点O在直线 上，再借助正方体性质说明可得线段比例式，即可求得答案. 【详解】在正方体中，连接 ，如图， ，故共面， 连接 ，平面平面， 因为M为棱 的中点，则平面， 而平面，即平面，又，则平面， 因AM与平面 的交点为O，则平面， 于是得，即三点共线， 由，为棱的中点，可得且，故 于是得，即 ， 所以三点共线，且. 故选：A 7. 某圆拱桥的水面跨度16米，拱高4米，现有一船宽10米，则这条船能从桥下通过的水面以上最大高度约为（ ） A. 2.40米 B. 2.66米 C. 2.80米 D. 3.00米 【答案】B 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，求出圆拱桥所在圆的方程，令，求出相应的y值，即可求得答案. 【详解】如图，以圆拱桥横跨水面上的正投影为x轴，过桥的最高点垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系， 设图中矩形为船刚好能通过桥下时的位置， 则， 设圆拱桥所在圆的方程为， 将坐标代入，得，解得， 即圆的方程为， 令，则， 结合题意可得这条船能从桥下通过的水面以上最大高度为（米）， 故选：B 8. 下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（ ） A. 直径为的球体 B. 所有棱长均为的四面体 C. 底面直径为，高为的圆柱体 D. 底面直径为，高为的圆柱体 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意结合正方体的性质逐项分析判断. 【详解】对于A：因为，即球体的直径大于正方体的棱长， 所以不能够被整体放入正方体内，故A错误； 对于B：因为正方体的面对角线长为，且， 所以不能够被整体放入正方体内，故B错误； 对于C：因为正方体的体对角线长为，且， 所以不能够被整体放入正方体内，故C错误； 对于D：因为，可知底面正方形不能包含圆柱的底面圆， 如图，过的中点作，设， 可知，则， 即，解得， 且，即， 故以为轴可能对称放置底面直径为圆柱， 若底面直径为的圆柱与正方体的上下底面均相切，设圆柱的底面圆心，与正方体的下底面的切点为， 可知：，则， 即，解得， 根据对称性可知圆柱的高为， 所以能够被整体放入正方体内，故D正确； 故选：D. 二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的. 9. 下列结论中正确的有（ ） A. 过点且与直线平行的直线的方程为 B. 过点且与直线垂直的直线的方程为 C. 若直线与直线平行，则的值为3 D. 过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，由互相平行直线的特点直接写出方程，化简对比即可；对于B，由互相垂直直线的特点直接写出方程，化简对比即可；对于C，由直线平行的充要条件列出方程，解方程对比即可,注意检验；对于D，注意到当截距均为0时，也是有可能的，故可以判断D错误. 【详解】对于A，过点且与直线平行的直线的方程为，化简得，故A正确； 对于B，过点且与直线垂直的直线的方程为，化简得，故B正确； 对于C，因为直线与直线平行， 所以，解得或， 注意到当时，两直线重合，所以，故C正确； 对于D，注意到点在直线上，且该直线在两坐标轴上的截距均为0，即该直线截距相等，故D错误. 故选：ABC. 10. 已知为坐标原点，椭圆的中心为原点，焦点在坐标轴上，点，均在椭圆上，则（ ） A. 椭圆的离心率为 B. 椭圆的短轴长为 C. 直线 与椭圆相交 D. 若点在椭圆上，中点坐标为，则直线的方程为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据待定系数法求出椭圆方程，再根据椭圆的几何性质可判断A， B是否正确；根据直线，过定点，点在椭圆的内部，即可判断C是否正确；根据点差法即可求出直线的斜率，进而求出直线的方程，即可判断D是否正确. 【详解】设椭圆的方程为：， 将点，代入椭圆的方程，得，解得， 所以椭圆的方程为：， 所以椭圆的离心率为，故A错误； 椭圆的短轴长为，故B正确； 由于直线，过定点，点在椭圆的内部，所以直线 与椭圆相交，故C正确； 设， 所以，所以，即， 又中点坐标为， 所以，即， 所以直线的方程为，即，故D正确. 故选：BCD. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，，分别是棱，的中点，为线段上的动点，则（ ） A. 存在点，使得直线 B. 存在点，使得平面 C. 点到直线距离的最小值为 D. 三棱锥的体积为 【答案】BC 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，计算可判断A项，计算可判断B项，运用空间点到线的距离公式计算可判断C项，证明面，运用等体积法计算可判断D项. 【详解】以A为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 如图所示， 则，，，，，，， 所以，，， 设，则， 所以， 对于A项，， 所以，故A项错误； 对于B项，因为面， 所以面的一个法向量为， 又因为面，， 所以，解得，即， 所以存在点M位于的中点时，使得面，故B项正确； 对于C项，因为，所以， 设，则， 所以点到直线的距离为（）， 所以当时，，故C项正确； 对于D项，因为，面，面，所以面， 所以， 易得，， 所以， 所以，故D项错误． 故选：BC. 12. 蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，这个圆被称为蒙日圆．已知椭圆，其蒙日圆为圆，过直线上一点作的两条切线，切点分别为，则（ ） A. 的方程为 B. 四边形面积的最小值为 C. 的最小值为 D. 当点坐标为时，直线方程为 【答案】ACD 【解析】 【分析】当切线切点分别为椭圆上顶点和右顶点时，可得两切线交点坐标，求出半径，可判断A选项； 结合切线性质和勾股定理，可知最小时，四边形面积最小，再由点到直线距离公式求出，由面积公式即可判断B选项； 设，由切线性质得，，结合和基本不等式即可判断C选项； 当点坐标为时，在以线段为直径的圆上，根据两圆公共弦求法，即可判断D选项. 【详解】A选项：当切线切点分别为椭圆上顶点和右顶点时，可得两切线交点坐标为，所以蒙日圆半径为2，所以蒙日圆的方程为，所以A正确； B选项：，所以只需要求最小值， 因为，所以只需要求的最小值， 最小值为到直线的距离， 所以最小值为，所以四边形面积最小值为，所以B错误； C选项：设，所以，所以， 所以 ，当且仅当时，等号成立， 由选项B知，等号可以取到，所以C正确； D选项：当点坐标为时，在以线段为直径的圆上，所以圆心为，半径为，所以圆的方程为，与圆联立可得直线方程为，所以D正确. 故选：ACD 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上 13. 若一个圆锥的底面直径和高都与一个球的直径相等，那么这个圆锥的体积与球的体积之比为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆锥和球的体积公式求解便可得出答案. 【详解】解析：设球体的半径为 ，，． 故答案为： 14. 在三棱锥中，在线段上，满足是平面内任意一点，，则实数__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据空间向量运算、四点共面等知识求得正确答案. 【详解】依题意，， 则 ， 由于四点共面，所以. 故答案为： 15. 圆关于直线的对称圆的方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】求出圆心关于直线的对称点，从而求出对称圆的方程. 【详解】圆心为，半径为2， 设关于对称点为，则，解得：， 故对称点为，故圆关于直线对称的圆的方程为. 故答案为： 16. 在平面直角坐标系中，已知圆：，过点的动直线与圆交于点，，若的面积最大值为，则的最大值为____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意结合面积关系分析可知圆心到动直线的距离的最大值为2，则点在以为圆心，2为半径的圆M上，结合的几何意义分析求解. 【详解】因为圆：，即，可知圆心，半径， 设圆心到动直线的距离为d，设其最大值为，可知， 则， 可得的面积， 令，可知在上的最大值为， 令，解得或， 结合二次函数对称性可知，即，即圆心到动直线的距离的最大值为2， 此时点在以为圆心，2为半径的圆M上， 又因为即为点与点连线的斜率， 显然当直线与圆M相切于第一象限时，斜率最大， 此时，可知， 即的最大值为为. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：利用垂径定理结合面积的最大值分析可得圆心到动直线的距离的最大值为2，并转化为图形，数形结合处理问题. 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 如图，在三棱柱中，底面ABC，，点是的中点． （1）求证：； （2）求证：平面． 【答案】（1） 由底面，且底面，所以， 又因为，，且平面， 所以平面， 因为，所以． （2） 设与的交点为，连结， 因为是的中点，是的中点，所以， 因为平面，且平面，所以平面． 【解析】 【分析】（1）通过证得，且，证得平面，进而证得； （2）设与的交点为，连结，由三角形的中位线定理得，结合线面平行的判定定理，即可证得平面. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 已知的三个顶点分别是，，. （1）求的外接圆方程和外心坐标； （2）求的内切圆方程和内心坐标. 【答案】（1），； （2），. 【解析】 【分析】（1）由图知，为直角三角形，故的外接圆是以、的中点为外接圆圆心，一半为外接圆半径，求出圆心和半径即可得到的外接圆方程； （2）结合图形可设内切圆的圆心，半径为，利用等面积求出，即可得到的内切圆的方程和圆心坐标. 【小问1详解】 由图知，由，，构成的三角形为直角三角形， 故的外接圆是以、的中点为外接圆圆心，一半为外接圆半径. 又、中点坐标为，即圆心， 又，， 的外接圆方程是，圆心为. 【小问2详解】 由的内切圆的圆心为三个内角平分线的交点，且， 结合图形可设内切圆的圆心，半径为. 又，即 ， 的内切圆是以为圆心，半径为1的圆， 的内切圆的方程为，圆心. 19. 三棱柱中，，．设，，． （1）试用表示向量； （2）若，，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量的数乘与加法运算，结合题意，可得答案； （2）根据向量的数量积运算，可得答案. 【小问1详解】 由，则，由，则， 由图形知 ． 【小问2详解】 由题设条件：，同理可得， 则 ， ∴. 20. 如图，分别是椭圆：的左、右焦点，是椭圆的顶点，是直线与椭圆的另一个交点，. （1）求椭圆的离心率； （2）已知的面积为，求椭圆的标准方程. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）依题意可得，即可求出离心率； （2）设，则，在中利用余弦定理求出，再由面积公式求出，即可求出椭圆方程. 【小问1详解】 依题意可得，， 又，所以为等边三角形， ∴，∴； 【小问2详解】 设，则， 在中， ∴， ∴， 所以， ∴， ∴（负值舍去），所以， 故椭圆的标准方程为. 21. 已知三棱锥（如图①）的平面展开图（如图②）中，四边形ABCD为边长为的正方形，和均为正三角形. （1）证明：平面⊥平面； （2）棱PA上是否存在一点M，使平面PBC与平面BCM所成角的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 设AC的中点为O，连接BO，PO． 由题意得，，PO＝AO＝BO＝CO＝2． ∵在△PAC中，PA＝PC，O为AC的中点， ∴PO⊥AC， ∵在△POB中，PO＝2，OB＝2，，PO2+OB2＝PB2， ∴PO⊥OB ∵AC∩OB＝O，AC，OB⊂平面ABC， ∴PO⊥平面ABC， ∵PO⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面ABC （2）存在，，理由如下： 由PO⊥平面ABC，平面ABC，OB⊥AC， ∴PO⊥OB，PO⊥OC， ∴以为原点，所在的直线分别为建立空间直角坐标系，如图所示， 则O（0,0,0），C（2,0,0），B（0,2,0），A（2,0,0），P（0,0,2）， 设，则， ∴, , 设平面BCM的法向量为，则 ，令，则， 设PBC的法向量为， 因为， 所以，令，则 设平面PBC与平面BCM所成角为，由图可知为锐角， 则， 化简得， 解得或（舍去） ∴存在点M使平面PBC与平面BCM所成角的余弦值为，且. 【解析】 【分析】（1）设AC的中点为O，连接BO，PO，则PO⊥AC，在△POB中利用勾股定理逆定理可得PO⊥OB，然后由线面垂直的判定定理可证得PO⊥平面ABC，再利用面面垂直的判定定理可得结论， （2）由题意可得两两垂直，所以以为原点，所在的直线分别为建立空间直角坐标系，设，表示出点，再由平面PBC与平面BCM所成角的余弦值为可求出的值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 已知椭圆的离心率是，点在上． （1）求的方程； （2）过点的直线交于两点，直线与轴的交点分别为，证明：线段的中点为定点． 【答案】（1） （2）证明如下： 由题意可知：直线的斜率存在，设， 联立方程，消去y得：， 则，解得， 可得， 因为，则直线， 令，解得，即, 同理可得， 则 ， 所以线段的中点是定点. 【解析】 【分析】（1）根据题意列式求解，进而可得结果； （2）设直线的方程，进而可求点的坐标，结合韦达定理验证为定值即可. 【小问1详解】 由题意可得，解得， 所以椭圆方程为. 【小问2详解】 略 【点睛】方法点睛：求解定值问题的三个步骤 （1）由特例得出一个值，此值一般就是定值； （2）证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数(某些变量)无关；也可令系数等于零，得出定值； （3）得出结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 乐山一中高2025届高二（上）12月月考数学测试卷 命题人：李娇娇 审题人：廖莹 一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 2. 若方程表示圆，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 3. 设椭圆的离心率分别为．若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若是异面直线，，则 D. 平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则. 5. 已知直线，圆，点在圆内，则（ ） A. 直线l与圆C相交 B. 直线l与圆C相切 C. 直线l与圆C相离 D. 不确定 6. 如图，在正方体中，为棱的中点．设与平面的交点为，则（ ） A. 三点 共线，且 B. 三点不共线，且 C. 三点共线，且 D. 三点不共线，且 7. 某圆拱桥的水面跨度16米，拱高4米，现有一船宽10米，则这条船能从桥下通过的水面以上最大高度约为（ ） A. 2.40米 B. 2.66米 C. 2.80米 D. 3.00米 8. 下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（ ） A. 直径为的球体 B. 所有棱长均为的四面体 C. 底面直径为，高为的圆柱体 D. 底面直径为，高为的圆柱体 二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的. 9. 下列结论中正确的有（ ） A. 过点且与直线平行的直线的方程为 B. 过点且与直线垂直的直线的方程为 C. 若直线与直线平行，则的值为3 D. 过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为 10. 已知为坐标原点，椭圆的中心为原点，焦点在坐标轴上，点，均在椭圆上，则（ ） A. 椭圆的离心率为 B. 椭圆的短轴长为 C. 直线 与椭圆相交 D. 若点在椭圆上，中点坐标为，则直线的方程为 11. 如图，在棱长为2的正方体中，，分别是棱，的中点，为线段上的动点，则（ ） A. 存在点，使得直线 B. 存在点，使得平面 C. 点到直线距离的最小值为 D. 三棱锥的体积为 12. 蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，这个圆被称为蒙日圆．已知椭圆，其蒙日圆为圆，过直线上一点作的两条切线，切点分别为，则（ ） A. 的方程为 B. 四边形面积的最小值为 C. 的最小值为 D. 当点坐标为时，直线方程为 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上 13. 若一个圆锥的底面直径和高都与一个球的直径相等，那么这个圆锥的体积与球的体积之比为________． 14. 在三棱锥中，在线段上，满足是平面内任意一点，，则实数__________. 15. 圆关于直线的对称圆的方程为__________. 16. 在平面直角坐标系中，已知圆：，过点的动直线与圆交于点，，若的面积最大值为，则的最大值为____________. 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 如图，在三棱柱中，底面ABC，，点是的中点． （1）求证：； （2）求证：平面． 18. 已知的三个顶点分别是，，. （1）求的外接圆方程和外心坐标； （2）求的内切圆方程和内心坐标. 19. 三棱柱中，，．设，，． （1）试用表示向量； （2）若，，求的长． 20. 如图，分别是椭圆：的左、右焦点，是椭圆的顶点，是直线与椭圆的另一个交点，. （1）求椭圆的离心率； （2）已知的面积为，求椭圆的标准方程. 21. 已知三棱锥（如图①）的平面展开图（如图②）中，四边形ABCD为边长为的正方形，和均为正三角形. （1）证明：平面⊥平面； （2）棱PA上是否存在一点M，使平面PBC与平面BCM所成角的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 22. 已知椭圆的离心率是，点在上． （1）求的方程； （2）过点的直线交于两点，直线与轴的交点分别为，证明：线段的中点为定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $