专题08 线段垂直平分线-【尖子生培优】2024-2025学年八年级数学上学期重难点压轴题突破专练（浙教版）

专题08 线段垂直平分线 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（22-23八年级上·广西梧州·期末）如图，，则有（　　）    A．垂直平分 B．垂直平分 C．与互相垂直平分 D．平分 2．（2024·广西·模拟预测）如图，在中，，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线，D为的中点，M为直线上任意一点．若面积为40，且长度的最小值为10，则长为（    ） A．5 B．6 C．8 D．10 3．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）如图，已知，用尺规作图在线段上确定一点P，使得，则下列作法正确的是（　　）    A．   B．   C．   D．   4．（22-23八年级上·河南商丘·开学考试）如图，在中，点D是AC的中点，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于F，直线FD交BC于点E，连接，若，的周长为16，则的周长为(　　) A．9 B．10 C．11 D．12 二、填空题 5．（22-23八年级上·重庆渝中·开学考试）如图，在中，于点，且，，于点，若，，则 ． 6．（22-23八年级上·江苏连云港·期中）如图，在中，的垂直平分线与边分别交于点D，E，已知与的周长分别为和，则的长为 ．    7．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图在中，D为中点，，，交于F，，， 则的长为 ． 8．（22-23八年级上·福建厦门·期中）如图，是的角平分线，点B在射线上，是线段的中垂线交于E，．若，，则 ． 三、解答题 9．（23-24八年级上·浙江杭州·阶段练习）在图1中，已知；在图2中，；请你只用无刻度的直尺画出两个图形中的平分线，并对图2加以证明．    10．（22-23八年级上·浙江杭州·阶段练习）已知． (1)用尺规作图作的中垂线交边上一点，（不写作法和过程，要保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，，，求的周长． 11．（22-23八年级上·重庆江北·期中）如图，中，，的平分线交于点D． (1)尺规作图：作的垂直平分线，分别交、、于点 E、F、G，连接、；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）中所作的图形中，求证：． 补全下列证明过程： 证明：垂直平分 ，①　　 平分 ②　　 在和中， ， ④　　 12．（22-23八年级上·广西贵港·期末）如图，在中，，分别垂直平分边和边，交边于、两点，与相交于点． (1)若，求的周长． (2)若，求的度数． 13．（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）如图，是的角平分线，分别是和的高． (1)试说明垂直平分； (2)若，求的长． 14．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）如图，在中， 是边上的高，为的角平分线，且，是的中线，延长到点，使得，连接，交于点，交于点，交于点． (1)试说明：； (2)若，试说明：． 15．（23-24八年级下·广东广州·阶段练习）我们定义：若一条直线既平分一个图形的面积，又平分该图形的周长，我们称这条直线为这个图形的“紫金线”． (1)如图1，已知，，，用尺规作图作出的一条“紫金线”；（保留作图痕迹） (2)如图2，若是矩形的“紫金线”，平分，如图直线与夹角为，可以将用含的代数式表示为__________； (3)如图3，已知四边形中，，，，．用尺规作图作出四边形的“紫金线”（保留作图痕迹），并说明为什么是“紫金线”． 16．（22-23八年级上·甘肃兰州·期末）阅读下面材料： 在数学课上，老师提出如下问题： 尺规作图：作一条线段的垂直平分线． 已知：线段． 小芸的作法如图： 如图：（1）分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点； （2）作直线． 请你回答： (1)作图第一步为什么要大于的长？ (2)小芸的作图是否正确？请说明理由． 17．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在四边形中，，，，，动点E从A点出发，以的速度向B点移动，设移动的时间为. (1)当x为何值时，点E在线段的垂直平分线上？ (2)在(1)的条件下，判断与的位置关系，并说明理由． 18．（21-22八年级上·湖北武汉·期中）如图，中，的平分线与边的垂直平分线交于点D，，垂足为点G，H． (1)求证：； (2)若，求的长． 19．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，在四边形中，，，，点在的延长线上，连接交于点，连接，且垂直平分． (1)求证：； (2)求的长． 20．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点E，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，交于点P． (1)求证：点P在线段的垂直平分线上； (2)已知，求的度数． 21．（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）如图，是的角平分线． (1)尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交、于点E、F；（标明字母，保留作图痕迹，不写作法．） (2)连接、，求证：． 22．（22-23八年级上·广东广州·期中）如图，在中， (1)作的垂直平分线，交于E，交于点D，连接AD（保留作图痕迹，不用写作法）； (2)若，的周长为15，求的周长． 23．（22-23八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，已知． (1)用直尺和圆规作的垂直平分线m、n，m、n相交于点O； (2)图中点O在的垂直平分线上吗？证明你的结论． 24．（22-23八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，是的角平分线，、分别是和的高． (1)与有什么样的位置关系？并证明． (2)若，，，求的长． 25．（23-24八年级上·重庆渝北·期中）（1）如图1，在中，，边上的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，将分成两个角，且，求的度数． （2）如图2，中，、的三等分线交于点E、D，若，，求的度数． 8 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 线段垂直平分线 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（22-23八年级上·广西梧州·期末）如图，，则有（　　）    A．垂直平分 B．垂直平分 C．与互相垂直平分 D．平分 【答案】A 【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，根据证明，根据全等三角形的判定和性质解答即可． 【详解】解：∵，    ∴， 在与中， ， ， ， ∴垂直平分，故A正确， 无法得出，故不能垂直平分，故B和C错误， 也无法得出，故不能平分，故D错误， 故选：A． 2．（2024·广西·模拟预测）如图，在中，，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线，D为的中点，M为直线上任意一点．若面积为40，且长度的最小值为10，则长为（    ） A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题考查线段的垂直平分线的作图，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的三线合一的性质，垂线段最短等知识．如图，连接，过点作于点．根据等腰三角形的三线合一的性质得出点与点重合，再根据垂线段最短，线段的垂直平分线的性质判断出最后利用三角形的面积公式求出即可． 【详解】解：如图，连接，过点作于点． ∵为中点，， ∴点与点重合， 垂直平分线段， ， ， ， ， 故选：C． 3．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）如图，已知，用尺规作图在线段上确定一点P，使得，则下列作法正确的是（　　）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】此题考查了垂直平分线的判定和作图，由题意可得，，，则，即点P在线段的垂直平分线上，据此判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴点P在线段的垂直平分线上， 故选：D． 4．（22-23八年级上·河南商丘·开学考试）如图，在中，点D是AC的中点，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于F，直线FD交BC于点E，连接，若，的周长为16，则的周长为(　　) A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形三线合一性质，垂直平分线判定和性质，掌握相关知识是解题的关键．先证明垂直平分得到，由求出，从而得到的周长为：，继而得解． 【详解】连接、， 依题意可知：， 又∵点D是AC的中点， ∴垂直，， ∴垂直平分， ∴， ∵的周长为16， ∴， ∴， ∴的周长为：， 二、填空题 5．（22-23八年级上·重庆渝中·开学考试）如图，在中，于点，且，，于点，若，，则 ． 【答案】9 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，关键是通过辅助线构造全等三角形． 由线段垂直平分线的性质得到，由补角的性质推出，由证明，得到，，又，推出，得到，求出，即可得到． 【详解】解：过作交延长线于，连接， 于点，且， ， ，， ， 于点， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：9． 6．（22-23八年级上·江苏连云港·期中）如图，在中，的垂直平分线与边分别交于点D，E，已知与的周长分别为和，则的长为 ．    【答案】4 【分析】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．根据线段的垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算即可得到结论． 【详解】解：是的垂直平分线， ，， 的周长是， ，即， 的周长是， ， ， ． 故答案为：4 7．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图在中，D为中点，，，交于F，，， 则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质定理，全等三角形的判定及性质，角平分线的性质定理等；连接，过点E作交的延长线于点G，由线段垂直平分线的性质得 ，由角平分线的性质得，由得由全等三角形的性质得，同理可得，即可求解；掌握相关的判定方法及性质，能根据题意作出恰当的辅助线，构建全等三角形是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，过点E作交的延长线于点G， 为中点，， ， ， ， ， ，， ， 在和中， ， （）， ， 同理可得：， ， ， ， 解得：， ， 故答案：． 8．（22-23八年级上·福建厦门·期中）如图，是的角平分线，点B在射线上，是线段的中垂线交于E，．若，，则 ． 【答案】 【分析】连接，过E作于R，交于Q，交于O，根据角平分线性质和线段垂直平分线的性质得出，，根据全等求出，求出，求出，求出的度数，再求出，求出，根据三角形的外角性质求出，再求出答案即可． 【详解】解：连接，过E作于R，交C于Q，交于O， ∵是线段的中垂线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分，，， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键，注意： ① 线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等， ② 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等． 三、解答题 9．（23-24八年级上·浙江杭州·阶段练习）在图1中，已知；在图2中，；请你只用无刻度的直尺画出两个图形中的平分线，并对图2加以证明．    【答案】见解析 【分析】本题主要考查了作图-基本作图、等腰三角形的性质、全等三角形的判定、垂直平分线的判定与性质等知识点，掌握等腰三角形的性质成为解题的关键． 图1中，射线即为的平分线，图2中连接交于点K，射线即为的平分线，然后证明可得，再证明可得，即，则是线段的垂直平分线，最后根据等腰三角形的性质即可证明． 【详解】解：如图1：射线即为的平分线； 图2中连接交于点K，射线即为的平分线； 证明如下： ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是线段的垂直平分线，即， ∵， ∴，为的平分线． 10．（22-23八年级上·浙江杭州·阶段练习）已知． (1)用尺规作图作的中垂线交边上一点，（不写作法和过程，要保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)16 【分析】本题考查了作图—基本作图，线段垂直平分线的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用基本作图作的垂直平分线即可； （2）根据线段垂直平分线的性质得出，再根据的周长，代入计算即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，点即为所作， （2）解：∵点为的中垂线与的交点， ∴， ∴的周长． 11．（22-23八年级上·重庆江北·期中）如图，中，，的平分线交于点D． (1)尺规作图：作的垂直平分线，分别交、、于点 E、F、G，连接、；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）中所作的图形中，求证：． 补全下列证明过程： 证明：垂直平分 ，①　　 平分 ②　　 在和中， ， ④　　 【答案】(1)见解析； (2)，，，． 【分析】本题考查基本作图—作已知线段的垂直平分线，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据基本作图—作已知线段的垂直平分线作出图形即可； （2）根据证明，推出，可得结论． 【详解】（1）解：图形如图所示：直线即为所求， （2）解：证明：垂直平分， ，， 平分， ， 在和中， ， ， ， ． 故答案为：，，，． 12．（22-23八年级上·广西贵港·期末）如图，在中，，分别垂直平分边和边，交边于、两点，与相交于点． (1)若，求的周长． (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理的应用，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质得到，，根据三角形的周长公式计算，得到答案； （2）根据三角形内角和定理求出，进而求出，结合图形计算即可． 【详解】（1）解：、分别垂直平分和， ，， 的周长， 故的周长为； （2）， ， ，， ， ， ，， ，， ， 故的度数为． 13．（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）如图，是的角平分线，分别是和的高． (1)试说明垂直平分； (2)若，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2)4 【分析】此题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定和性质、垂直平分线的判定等知识，证明是解题的关键． （1）利用角平分线的性质证明，证明，则，即可证明结论； （2）根据列式计算即可． 【详解】（1）证明：∵是的角平分线，分别是和的高． ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴． 14．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）如图，在中， 是边上的高，为的角平分线，且，是的中线，延长到点，使得，连接，交于点，交于点，交于点． (1)试说明：； (2)若，试说明：． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析． 【分析】（）证明得到，进而由即可求证； （）证明得到，进而由平行线的性质得到，即可由三角形内角和定理得到，即可求证； 本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，垂直的定义，从图形中找到全等三角形是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵是的中线， ∴， ∵ ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴ （2）证明：∵ 是边上的高， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 15．（23-24八年级下·广东广州·阶段练习）我们定义：若一条直线既平分一个图形的面积，又平分该图形的周长，我们称这条直线为这个图形的“紫金线”． (1)如图1，已知，，，用尺规作图作出的一条“紫金线”；（保留作图痕迹） (2)如图2，若是矩形的“紫金线”，平分，如图直线与夹角为，可以将用含的代数式表示为__________； (3)如图3，已知四边形中，，，，．用尺规作图作出四边形的“紫金线”（保留作图痕迹），并说明为什么是“紫金线”． 【答案】(1)见详解 (2) (3)见详解 【分析】（1）作线段的垂直平分线即可； （2）由题意得是的垂直平分线才符合题意，由直角三角形两锐角互余以及角平分线的定义即可求解； （3）作出的垂直平分线即可． 【详解】（1）解：如图，直线l即为所求： ∵直线l是的垂直平分线，则记与直线l与交于点E，点E为的中点， ∴与等底同高，则面积一样， ∵，， ∴l平分周长， 故直线l是的一条“紫金线”； （2）解：作如图所示标记， 当是矩形的“紫金线”，则是的垂直平分线， ∵是的垂直平分线 ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴即平分周长也平分面积， ∴是矩形的“紫金线”， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． （3）解：如图，直线即为所求： 记直线与分别交于点F、E，连接， ∵直线是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴由勾股定理得：， 则， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴直线平分该图形周长， ， ∴， ∴直线平分该图形面积， ∴直线四边形的“紫金线”． 【点睛】本题考查了尺规作图---线段的垂直平分线，垂直平分线的性质，直角三角形的性质，勾股定理，中线平分三角形面积，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 16．（22-23八年级上·甘肃兰州·期末）阅读下面材料： 在数学课上，老师提出如下问题： 尺规作图：作一条线段的垂直平分线． 已知：线段． 小芸的作法如图： 如图：（1）分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点； （2）作直线． 请你回答： (1)作图第一步为什么要大于的长？ (2)小芸的作图是否正确？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)正确；理由见解析 【分析】本题考查了尺规作图—作垂线，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据如果等于，那么只相交一点；如果小于，那么没有相交，即可得出答案； （2）依据证明，即可得出是的对称轴，从而得解． 【详解】（1）解：如果等于，那么只相交一点；如果小于，那么没有相交， 所以作图第一步要大于的长； （2）解：小芸的作图是正确的． 理由：由作图知：，，而是两个三角形的公共边． ∵在和中， ∴． ∴是的对称轴 ∴是的垂直平分线． 17．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在四边形中，，，，，动点E从A点出发，以的速度向B点移动，设移动的时间为. (1)当x为何值时，点E在线段的垂直平分线上？ (2)在(1)的条件下，判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)当时，点E在线段的垂直平分线上 (2)与的位置关系是理由见解析 【分析】（1）根据题意，，，结合，当，时，继而得到，可证点E在线段的垂直平分线上，此时，． （2）根据，得，根据，得，继而得到，得到可证． 本题考查了三角形全等的判定和性质，线段垂直平分线的定义，垂直的定义，熟练掌握三角形全等的判定和性质，垂直的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，，， ∵， ∴，时， ∵， ∴， ∴， ∴点E在线段的垂直平分线上， ∴． 故当时，点E在线段的垂直平分线上． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 18．（21-22八年级上·湖北武汉·期中）如图，中，的平分线与边的垂直平分线交于点D，，垂足为点G，H． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)1 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的性质定理，全等三角形的判定和判定，熟练掌握各定理是解题的关键： （1）根据题意连接，利用线段垂直平分线的性质可得，依据角平分线的性质得，依据证明，根据全等三角形的性质可得出结论； （2）由题意可得，得出，进而得出答案． 【详解】（1）证明：连接， ∵D是垂直平分线上的点， ∴， ∵平分，， ∴，， 在和中 ∴ ∴； （2）在和中 ∴ ∴， ∴， ∴， ∴． 19．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，在四边形中，，，，点在的延长线上，连接交于点，连接，且垂直平分． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由线段垂直平分线的性质可得，由平行线的性质可得，最后利用“”即可证明； （2）由全等三角形的性质得出，推出，再由线段垂直平分线的性质即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：由（1）可得， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴． 20．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点E，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，交于点P． (1)求证：点P在线段的垂直平分线上； (2)已知，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】此题考查了线段垂直平分线的判定和性质，三角形内角和定理和四边形内角和，熟练掌握各个知识点是解题的关键． （1）连接、，根据线段垂直平分线的性质和判定即可； （2）由线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理和四边形内角和定理进行求解． 【详解】（1）证明：连接、， 垂直平分，垂直平分， ，， 点P在线段的垂直平分线上； （2）解：垂直平分，垂直平分， ，，， ，， 在中，，， ， 即，， 在四边形中，， 21．（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）如图，是的角平分线． (1)尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交、于点E、F；（标明字母，保留作图痕迹，不写作法．） (2)连接、，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了尺规作线段垂直平分线，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质； （1）根据尺规作线段垂直平分线的方法作图即可； （2）连接，与交于点O，证明，可得，根据线段垂直平分线的性质可得，等量代换可得结论． 【详解】（1）解：如图所示： （2）证明：如图，连接，与交于点O， ∵平分， ∴， ∵垂直平分线段， ∴ ∴在和中， ∴， ∴， ∵垂直平分线段， ∴， ∴． 22．（22-23八年级上·广东广州·期中）如图，在中， (1)作的垂直平分线，交于E，交于点D，连接AD（保留作图痕迹，不用写作法）； (2)若，的周长为15，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了尺规作图—作垂直平分线，垂直平分线的性质． （1）根据尺规作图—垂直平分线的作法和步骤，即可作出； （2）根据垂直平分线的性质得出，则的周长． 【详解】（1）解：如图为所求； （2）解：连接． 点D在的垂直平分线上， ，， 周长= ． 23．（22-23八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，已知． (1)用直尺和圆规作的垂直平分线m、n，m、n相交于点O； (2)图中点O在的垂直平分线上吗？证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)点O在的垂直平分线上，见解析 【分析】此题主要考查了基本作图以及线段垂直平分线的性质，正确掌握线段垂直平分线的作法是解题关键． （1）直接利用线段垂直平分线的作法得出答案； （2）直接利用线段垂直平分线的性质得出点O在的垂直平分线上． 【详解】（1）如图所示：点O即为所求； （2）点O在的垂直平分线上 理由：如图，连接， ∵直线m，n垂直分别平分， ∴， ∴， ∴点O在的垂直平分线上 24．（22-23八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，是的角平分线，、分别是和的高． (1)与有什么样的位置关系？并证明． (2)若，，，求的长． 【答案】(1)垂直平分，证明见解析 (2)3 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定等知识，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． （1）由角平分线的性质得，再由，得，从而根据垂直平分线的判定即可解答； （2）由，代入计算即可． 【详解】（1）解：垂直平分，证明如下： 是的角平分线，分别是和的高， ， 在与中， ， ， ， 垂直平分； （2）解：， ， ， ． 25．（23-24八年级上·重庆渝北·期中）（1）如图1，在中，，边上的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，将分成两个角，且，求的度数． （2）如图2，中，、的三等分线交于点E、D，若，，求的度数． 【答案】（1）（2） 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理的应用、与角平分线有关的三角形内角和问题： （1）先根据比例设出来角度，根据线段垂直平分线的性质得到两个角度相等，再结合三角形内角和定理可得到结果； （2）根据三等分点设出角度，根据三角形内角和定理列得二元一次方程，再根据代数式可得到结果； 准确找到角度之间的关系是解题的关键． 【详解】解：（1）设，则， ∵是边的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， 则； （2）设， 在中，， 在中，， ①+②得：， ∴． 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$