1.6 尺规作图（6大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（浙教版）

八年级数学上册《第1章 三角形的初步认识》 1.6 尺规作图 知识点一 尺规作图的概念 1.定义：在几何作图中，我们把用没有刻度的直尺和圆规作图，简称尺规作图. 2.尺规作图的基本要求：只能使用没有刻度的直尺和圆规. 3.直尺和圆规的用途：没有刻度的直尺的主要用途是画直线；圆规的主要用途是画圆、画弧、截取一条线段等于已知线段. 知识点二 两种基本尺规作图 基本尺规作图包括：①作一条线段等于已知线段； ②作一个角等于已知角； ③作一个角的平分线； ④作一条线段的垂直平分线； ⑤过一点作已知直线的垂线； ⑥过直线外一点作这条直线的平行线 . 1、用尺规作一个角等于已知角 已知：∠AOB（如图）. 求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′=∠AOB . 理论依据是：“三边对应相等的两个三角形全等”和“全等三角形的对应角相等” 作法： （1）以点 O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA ， OB于点C，D（如图(1) ） . （2）作一条射线O′A′，以点 O′ 为圆心，OC长为半径作弧 l ，交 O′A′于点C′ （如图 （2）） . （3）以点C′为圆心， CD长为半径作弧，交弧 l 于点 D′ . （4）过点 O′，D′作射线O′B′，∠A′O′B′就是所求作的角. 2、线段垂直平分线的画法 已知线段AB. 求作：线段AB的垂直平分线. 作法：(1) 分别以点 A，B 为圆心，以大于 AB 的长为半径作弧，两弧交于 C，D 两点； (2) 作直线 CD， CD 即为所求. 特别说明：这个作法实际上就是线段垂直平分线的尺规作图法，我们也可以用这种方法确定线段的中点. 【注意 作线段AB的垂直平分线时分别以点A ， B为圆心，必须以大于 AB 的长为半径作弧，否则所作的弧就不能相交或只交于线段AB的中点. 知识点三 用尺规作三角形 1、已知三角形的三条边，求作这个三角形 已知三角形的三条边，求作这个三角形是利用三角形全等的条件“边边边”来作图的，具体作图的方法、步骤如下： 已知:线段 a,b,c（如图所示）. 求作: △ABC ，使 AB=c, AC=b , BC=a . 2、已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形 已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形是利用三角形全等的条件“边角边”来作图的，具体作图的方法、步骤如下： 已知:线段 a , c，∠α（如图所示）. 求作: △ABC，使 BC=a ,AB=c, ∠ABC=∠α. 3、已知三角形的两角及其夹边，求作这个三角形 已知三角形的两角及其夹边，求作这个三角形是利用三角形全等的条件“角边角”来作图的，具体作图的方法、步骤如下： 已知：∠α,∠β，线段c（如图所示）. 求作：△ABC，使∠A=∠α，∠B=∠β，AB=c. 题型一 尺规作图的定义 解题技巧提炼 在几何作图中，我们把用没有刻度的直尺和圆规作图，简称尺规作图. 1．（2023春•江干区校级月考）尺规作图是指（　　） A．用直尺规范作图 B．用刻度尺和圆规作图 C．用没有刻度的直尺和圆规作图 D．直尺和圆规是作图工具 2．（2024•大荔县一模）下列作图属于尺规作图的是（　　） A．用量角器画出∠AOB，使∠AOB＝60° B．借助没有刻度的直尺和圆规作∠AOB，使∠AOB＝2∠α C．用三角尺画MN＝1.5cm D．用三角尺过点P作AB的垂线 3．（2023秋•青龙县期末）下列关于作图的语句中叙述正确的是（　　） A．画直线AB＝10cm B．画射线OB＝10cm C．已知A，B，C三点，过这三点画一条直线 D．延长线段AB到点C，使BC＝AB 4．（2023秋•中山区期末）下列尺规作图的语句正确的是（　　） A．连接B，C，使BC⊥AB B．以点C为圆心，AB长为半径画弧 C．作直线AB＝3cm D．连接AD，并且平分∠BAC 5．（2023秋•让胡路区校级期末）在下列各题中，属于尺规作图的是（　　） A．用直尺画一工件边缘的垂线 B．用直尺和三角板画平行线 C．利用三角板画45°的角 D．用圆规在已知直线上截取一条线段等于已知线段 6．（2023秋•青龙县期中）下列作图语句正确的是（　　） A．作射线AB，使AB＝a B．作∠AOB＝∠a C．延长直线AB到点C，使AC＝BC D．以点O为圆心作弧 题型二 基本的尺规作图的判段 解题技巧提炼 基本尺规作图包括：①作一条线段等于已知线段；②作一个角等于已知角； ③作一个角的平分线；④作一条线段的垂直平分线；⑤过一点作已知直线的垂线； ⑥过直线外一点作这条直线的平行线 .解题的关键是掌握基本尺规作图的方法，灵活运用所学知识解决问题． 1．（2024春•思明区校级期末）已知△ABC，画AB边上的高，下列画法正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（2024•开福区校级三模）如图，尺规作∠HFG＝∠ABC，作图痕迹中弧MN是（　　） A．以点F为圆心，以BE长为半径的弧 B．以点F为圆心，以DE长为半径的弧 C．以点G为圆心，以BE长为半径的弧 D．以点G为圆心，以DE长为半径的弧 3．（2022秋•青秀区校级期末）如图，是尺规作图中“画一个角等于已知角”的示意图，该作法运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，则判定图中两三角形全等的条件是（　　） A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS 题型三 作图---基本的尺规作图 解题技巧提炼 根据基本尺规作图的方法作图解答即可. 1．（2022春•莲湖区期末）如图，在△ABC中，求作BC边上的高AD．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．） 2．（2023秋•江北区期末）如图，P是∠AOB的边OB上一点． （1）过点P画OA的垂线，垂足为点H； （2）PH 　 　PO（填“＞”、“＜”或“＝”），依据是 　 　． 3．（2023春•萧山区月考）如图，已知∠α，∠β，用直尺和圆规作△ABC，使得∠A＝∠α，∠B＝∠β，AB＝c． 4．已知∠1，∠2（如图），求作一个角∠AOB，使它等于∠1+∠2．（不写作法，保留作图痕迹） 5．（2023春•源城区期中）如图（1）利用尺规作∠CED，使得∠CED＝∠A．（不写作法，保留作图痕迹）． （2）判断直线DE与AB的位置关系：　 　． 6．（2023春•神木市期末）已知∠α，线段a，b，求作：△ABC，使∠B＝∠α，AB＝2a，BC＝b．（要求：用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法及证明） 7．（2023秋•甘井子区期中）已知钝角△ABC． 用直尺和圆规作底边BC上的高．（不写作法，保留痕迹） （温馨提示：请先用铅笔再答题卡上作图，再用黑色或兰色笔将痕迹描一下） 题型四 尺规作图---作线段的垂直平分线 解题技巧提炼 本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 1．如图，已知线段AB长为4．现按照以下步骤作图： ①分别以点A，B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧分别相交于点E，F； ②过E，F两点作直线，与线段AB相交于点O． 则AO的长为 　 　． 2．（2024春•荥阳市期末）下列关于过点A作直线l的垂线的尺规作图中，作法不正确的是（　　） A． B． C． D． 3．如图，在三角形ABC中，分别以点A、B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN交AB于点O，连接CO，则下列判断不正确的是（　　） A．AO＝BO B．MN⊥AB C．AN＝BN D．AB＝2CO 4．如图，已知△ABC（AB＜BC），用尺规作图在线段BC上确定一点P，使得PA+PC＝BC，则下列作法正确的是（　　） A． B． C． D． 5．（2023秋•下城区期中）如图，已知∠a，∠β，线段a．用尺规求作（保留作图痕迹）： （1）△ABC，使∠A＝∠a，∠B＝∠B，AB＝a． （2）作△ABC中线段AB的垂直平分线． 6．（2024春•碑林区校级期末）如图，在△ABC中，请用尺规作图法，在AB边上求作一点D，使得△BCD的周长等于AB+BC．（保留作图痕迹，不写作法） 7．下面是小东设计的“作△ABC中BC边上的高线”的尺规作图过程．已知：△ABC． 求作：△ABC中BC边上的高线AD． 作法：如图， ①点B为圆心，BA的长为半径作弧，以点C为圆心，CA的长为半径作弧，两弧在BC下方交于点E： ②接AE交BC于点D．则线段AD是△ABC中BC边上的高线．根据小东设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明． 证明：连接　 　，　 　． ∵　 　＝BA，　 　＝CA， ∴点B，C分别在线段AE的垂直平分线上（　 　）（填推理的依据）． ∴BC垂直平分线段AE． ∴线段AD是△ABC的BC边上的高线． 题型五 尺规作图的计算--线段的垂直平分线 解题技巧提炼 先通过作图的步骤得出是作线段的垂直平分线，然后利用线段的垂直平分线的性质来解决问题． 1．（2024•从江县校级二模）如图，在△ABC中，以A为圆心，AC为半径作弧交BC于点D，再分别以B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于M，N，连结MN交AB于点E，已知△ADE的周长为13，AC＝5，则AB的长为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 2．（2024春•双流区期末）如图，在△ABC中，分别以点A，B为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧相交于点P，Q，连直线PQ与AB交于点E，与AC交于点D，连接BD，若AC＝16，BC＝10，则△BCD的周长为 　 ． 3．（2024春•南海区期末）如图，在△ABC中，分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M、N．作直线MN，交AC于点D，交BC于点E，连接BD．若AB＝12，BC＝7，AC＝16，则△ABD的周长为（　　） A．19 B．23 C．28 D．35 4．（2024春•成华区期末）如图，在△ABC中，分别以A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别相交于M，N两点，作直线MN，分别交线段BC，AC于点D，E，若AE＝6cm，△ABD的周长为20cm，则△ABC的周长为 　 　cm． 题型六 尺规作图与证明计算 解题技巧提炼 先根据题意要求尺规作图，然后通过作图，然后利用线段的垂直平分线的性质来解决问题． 1．（2023春•黄浦区期末）如图，点P在线段AB上． （1）利用直尺和圆规求作线段AP的中点M（不写作法，但保留作图痕迹，写出结论）； （2）已知点M是线段AP中点，MP＝6cm，APBP，求线段AB的长． 2．（2023秋•余杭区月考）如图所示，在△ABC中， （1）作出△ABC的高线AD． （2）若∠ACB＝130°，求∠CAD的度数． 3．（2023秋•临平区校级月考）如图，已知△ABC中，AB＝5cm，BC＝7cm． （1）作图：作AC边的垂直平分线，分别交AC、BC边于点D、E（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）在（1）的条件下，连接AE，求△ABE的周长． 4．（2024春•顺德区校级期末）如图，已知DE∥AB． （1）尺规作图：在线段ED的下方，以点D为顶点，作∠EDF＝∠B，交线段AE于点F（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，判断直线DF与BC的位置关系，并说明理由． 5．（2024春•和平区校级月考）如图，在△ABC中，∠B＝45° （1）用尺规作图法作BC边上的高AD，垂足为D（保留作图痕迹不写作法）； （2）在（1）的条件下，若AC平分∠BAD，求证：AB＝CD+AD． 6．（2022秋•嘉兴期末）如图，在△ABC中，AB＞AC． （1）用直尺和圆规作BC的中垂线，交AB于点D（要求保留作图痕迹）； （2）连接CD，若AB＝8，AC＝4，求△ACD的周长． 7．（2024春•三明期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°． （1）尺规作图：在边BC上求作点D，使AD＝BD；（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）在（1）的条件下，连接AD，若AD是∠BAC的平分线，试判断线段AB与AC的数量关系，并说明理由． 8．（2023春•兰溪市期末）如图，分别以线段AB的两个端点为圆心，大于的长为半径画弧，交于G、H两点，作直线GH．已知点C、D在直线GH上，DE⊥AC与点E，DF⊥BC与点F． （1）根据作图可知，直线GH是线段AB的 　 　． （2）图中有 　 对全等三角形（能用字母表示的）． （3）求证：DE＝DF． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级数学上册《第1章 三角形的初步认识》 1.6 尺规作图 知识点一 尺规作图的概念 1.定义：在几何作图中，我们把用没有刻度的直尺和圆规作图，简称尺规作图. 2.尺规作图的基本要求：只能使用没有刻度的直尺和圆规. 3.直尺和圆规的用途：没有刻度的直尺的主要用途是画直线；圆规的主要用途是画圆、画弧、截取一条线段等于已知线段. 知识点二 两种基本尺规作图 基本尺规作图包括：①作一条线段等于已知线段； ②作一个角等于已知角； ③作一个角的平分线； ④作一条线段的垂直平分线； ⑤过一点作已知直线的垂线； ⑥过直线外一点作这条直线的平行线 . 1、用尺规作一个角等于已知角 已知：∠AOB（如图）. 求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′=∠AOB . 理论依据是：“三边对应相等的两个三角形全等”和“全等三角形的对应角相等” 作法： （1）以点 O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA ， OB于点C，D（如图(1) ） . （2）作一条射线O′A′，以点 O′ 为圆心，OC长为半径作弧 l ，交 O′A′于点C′ （如图 （2）） . （3）以点C′为圆心， CD长为半径作弧，交弧 l 于点 D′ . （4）过点 O′，D′作射线O′B′，∠A′O′B′就是所求作的角. 2、线段垂直平分线的画法 已知线段AB. 求作：线段AB的垂直平分线. 作法：(1) 分别以点 A，B 为圆心，以大于 AB 的长为半径作弧，两弧交于 C，D 两点； (2) 作直线 CD， CD 即为所求. 特别说明：这个作法实际上就是线段垂直平分线的尺规作图法，我们也可以用这种方法确定线段的中点. 【注意 作线段AB的垂直平分线时分别以点A ， B为圆心，必须以大于 AB 的长为半径作弧，否则所作的弧就不能相交或只交于线段AB的中点. 知识点三 用尺规作三角形 1、已知三角形的三条边，求作这个三角形 已知三角形的三条边，求作这个三角形是利用三角形全等的条件“边边边”来作图的，具体作图的方法、步骤如下： 已知:线段 a,b,c（如图所示）. 求作: △ABC ，使 AB=c, AC=b , BC=a . 2、已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形 已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形是利用三角形全等的条件“边角边”来作图的，具体作图的方法、步骤如下： 已知:线段 a , c，∠α（如图所示）. 求作: △ABC，使 BC=a ,AB=c, ∠ABC=∠α. 3、已知三角形的两角及其夹边，求作这个三角形 已知三角形的两角及其夹边，求作这个三角形是利用三角形全等的条件“角边角”来作图的，具体作图的方法、步骤如下： 已知：∠α,∠β，线段c（如图所示）. 求作：△ABC，使∠A=∠α，∠B=∠β，AB=c. 题型一 尺规作图的定义 解题技巧提炼 在几何作图中，我们把用没有刻度的直尺和圆规作图，简称尺规作图. 1．（2023春•江干区校级月考）尺规作图是指（　　） A．用直尺规范作图 B．用刻度尺和圆规作图 C．用没有刻度的直尺和圆规作图 D．直尺和圆规是作图工具 【分析】根据尺规作图的定义作答． 【解答】解：根据尺规作图的定义可知：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图． 故选：C． 【点评】尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图． 2．（2024•大荔县一模）下列作图属于尺规作图的是（　　） A．用量角器画出∠AOB，使∠AOB＝60° B．借助没有刻度的直尺和圆规作∠AOB，使∠AOB＝2∠α C．用三角尺画MN＝1.5cm D．用三角尺过点P作AB的垂线 【分析】根据尺规作图的定义求解． 【解答】解：尺规作图是指：只利用没有刻度的直尺和圆规进行作图， 故选：B． 【点评】本题考查了尺规作图的意义，理解尺规作图的意义是作题的关键． 3．（2023秋•青龙县期末）下列关于作图的语句中叙述正确的是（　　） A．画直线AB＝10cm B．画射线OB＝10cm C．已知A，B，C三点，过这三点画一条直线 D．延长线段AB到点C，使BC＝AB 【分析】根据基本作图的方法，逐项分析，从而得出正确的结论． 【解答】解：A．直线没有长度，故此选项不合题意； B．射线没有长度，故此选项不合题意； C．三点有可能在一条直线上，可画出一条直线，也可能不在一条直线上，此时可画出三条直线，故此选项不合题意； D．延长线段AB到点C，使BC＝AB，故此选项符合题意． 故选：D． 【点评】此题主要考查了尺规作图的定义，正确掌握相关基本图形定义是解题关键． 4．（2023秋•中山区期末）下列尺规作图的语句正确的是（　　） A．连接B，C，使BC⊥AB B．以点C为圆心，AB长为半径画弧 C．作直线AB＝3cm D．连接AD，并且平分∠BAC 【分析】根据作图语言求解． 【解答】解：A：连接BC，但是BC不一定能垂直AB，故A是错误的； B：以点C为圆心，AB为半径画弧是符合作图语句的，故B是正确的； C：直线AB没有长度，不可度量，故C是错误的； D：连接AD，但是AD不一定平分∠BAC，故D是错误的； 故选：B． 【点评】本题考查了作图﹣尺柜作图的定义，理解作图语言是解题的关键． 5．（2023秋•让胡路区校级期末）在下列各题中，属于尺规作图的是（　　） A．用直尺画一工件边缘的垂线 B．用直尺和三角板画平行线 C．利用三角板画45°的角 D．用圆规在已知直线上截取一条线段等于已知线段 【分析】根据尺规作图的定义判断． 【解答】解：A、用直尺画一工件边缘的垂线，不属于尺规作图； B、用直尺和三角板画平行线，不属于尺规作图； C、利用三角板画45°的角，不属于尺规作图； D、用圆规在已知直线上截取一条线段等于已知线段，属于尺规作图． 故选：D． 【点评】本题考查尺规作图，解题的关键是理解尺规作图的定义，属于中考常考题型． 6．（2023秋•青龙县期中）下列作图语句正确的是（　　） A．作射线AB，使AB＝a B．作∠AOB＝∠a C．延长直线AB到点C，使AC＝BC D．以点O为圆心作弧 【分析】根据射线、直线的延伸性以及确定弧的条件即可作出判断． 【解答】解：A、射线是不可度量的，故选项错误； B、正确； C、直线是向两方无线延伸的，故选项错误； D、需要说明半径的长，故选项错误． 故选：B． 【点评】本题考查尺规作图的定义：只能用没有刻度的直尺和圆规． 题型二 基本的尺规作图的判段 解题技巧提炼 基本尺规作图包括：①作一条线段等于已知线段；②作一个角等于已知角； ③作一个角的平分线；④作一条线段的垂直平分线；⑤过一点作已知直线的垂线； ⑥过直线外一点作这条直线的平行线 .解题的关键是掌握基本尺规作图的方法，灵活运用所学知识解决问题． 1．（2024春•思明区校级期末）已知△ABC，画AB边上的高，下列画法正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】过C点作CD⊥AB于D点得到AB边上的高． 【解答】解：画AB边上的高，下列画法正确的是 ． 故选：C． 【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图和理解三角形的角平分线、高线和中线是解决问题的关键． 2．（2024•开福区校级三模）如图，尺规作∠HFG＝∠ABC，作图痕迹中弧MN是（　　） A．以点F为圆心，以BE长为半径的弧 B．以点F为圆心，以DE长为半径的弧 C．以点G为圆心，以BE长为半径的弧 D．以点G为圆心，以DE长为半径的弧 【分析】根据作一个角等于已知角的作图方法判断即可． 【解答】解：由作图可知，弧MN是以点G为圆心，以DE长为半径的弧． 故选：D． 【点评】本题考查作图﹣基本作图，尺规作图，熟知作一个角等于已知角的基本作图步骤是解答本题的关键． 3．（2022秋•青秀区校级期末）如图，是尺规作图中“画一个角等于已知角”的示意图，该作法运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，则判定图中两三角形全等的条件是（　　） A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS 【分析】利用作图的基本原理，得到线段的关系证明即可． 【解答】解：如图，由作图可知，BA＝CF． 在△AOB和△CEF中，， ∴△AOB≌△CEF（SSS）， 故选：D． 【点评】本题考查了画一个角等于已知角的基本作图，正确理解作图的基本原理是解题的关键． 题型三 作图---基本的尺规作图 解题技巧提炼 根据基本尺规作图的方法作图解答即可. 1．（2022春•莲湖区期末）如图，在△ABC中，求作BC边上的高AD．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．） 【分析】过A点作BC的垂线即可． 【解答】解：如图，AD为所作． 【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的定义． 2．（2023秋•江北区期末）如图，P是∠AOB的边OB上一点． （1）过点P画OA的垂线，垂足为点H； （2）PH 　 　PO（填“＞”、“＜”或“＝”），依据是 　 　． 【分析】（1）根据垂线的作图方法作图即可． （2）依据垂线段最短可得答案． 【解答】解：（1）如图，PH即为所求． （2）PH＜PO． 依据是垂线段最短． 故答案为：＜；垂线段最短． 【点评】本题考查作图—基本作图、垂线、垂线段最短，熟练掌握垂线的定义、垂线段最短是解答本题的关键． 3．（2023春•萧山区月考）如图，已知∠α，∠β，用直尺和圆规作△ABC，使得∠A＝∠α，∠B＝∠β，AB＝c． 【分析】先作∠MAD＝∠α，再在AM上截取AB＝c，接着作∠NBA＝β，BN与AD相交于C，则△ABC满足条件． 【解答】解：如图，△ABC为所作． 【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了平行四边形的性质． 4．已知∠1，∠2（如图），求作一个角∠AOB，使它等于∠1+∠2．（不写作法，保留作图痕迹） 【分析】利用基本作图，先作∠AOC＝∠1，再作∠BOC＝∠2，从而得到∠AOB． 【解答】解：如图，∠AOB为所作． 【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键． 5．（2023春•源城区期中）如图（1）利用尺规作∠CED，使得∠CED＝∠A．（不写作法，保留作图痕迹）． （2）判断直线DE与AB的位置关系：　 　． 【分析】（1）利用基本作图画出∠DEC； （2）根据平行线的判定方法进行判断． 【解答】解：（1）如图1，如图2； （2）如图1，∵∠CED＝∠A， ∴DE∥AB，； 如图2，DE与AB相交． 故答案为平行或相交． 【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）． 6．（2023春•神木市期末）已知∠α，线段a，b，求作：△ABC，使∠B＝∠α，AB＝2a，BC＝b．（要求：用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法及证明） 【分析】作∠MBN＝∠α，然后在BM、BN上分别截取BA＝2a，BC＝b，从而得到△ABC． 【解答】解：如图，△ABC为所作． 【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）． 7．（2023秋•甘井子区期中）已知钝角△ABC． 用直尺和圆规作底边BC上的高．（不写作法，保留痕迹） （温馨提示：请先用铅笔再答题卡上作图，再用黑色或兰色笔将痕迹描一下） 【分析】过A点作BC的垂线即可． 【解答】解：如图，AD为所作． 【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了三角形的高． 题型四 尺规作图---作线段的垂直平分线 解题技巧提炼 本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 1．如图，已知线段AB长为4．现按照以下步骤作图： ①分别以点A，B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧分别相交于点E，F； ②过E，F两点作直线，与线段AB相交于点O． 则AO的长为 　 　． 【分析】直接利用基本作图方法得出EF垂直平分AB,即可得出答案． 【解答】解：由基本作图方法可得：EF垂直平分AB, ∵AB＝4, ∴AOAB＝2． 故答案为：2． 【点评】此题主要考查了基本作图，正确掌握基本作图方法是解题关键． 2．（2024春•荥阳市期末）下列关于过点A作直线l的垂线的尺规作图中，作法不正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据作图痕迹一一判断即可． 【解答】解：过点A作直线l的垂线的尺规作图中，选项A，C，D正确． 故选：B． 【点评】本题考查作图﹣复杂作图，垂线等知识，解题的关键是读懂图象信息． 3．如图，在三角形ABC中，分别以点A、B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN交AB于点O，连接CO，则下列判断不正确的是（　　） A．AO＝BO B．MN⊥AB C．AN＝BN D．AB＝2CO 【分析】利用基本作图得到MN垂直平分AB，根据线段垂直平分线的性质得到OA＝OB，MN⊥AB，AN＝BN，可对A、B、C进行判断；由于当∠ACB＝90°时，OCAB，则可对D进行判断． 【解答】解：由作法得MN垂直平分AB， ∴OA＝OB，MN⊥AB，AN＝BN， 当∠ACB＝90°时，OCAB． 故选：D． 【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了线段垂直平分线的性质． 4．如图，已知△ABC（AB＜BC），用尺规作图在线段BC上确定一点P，使得PA+PC＝BC，则下列作法正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】由PA+PC＝BC，PB+PC＝BC，推出PA＝PB，可得点P在线段AB的垂直平分线上，由此可得结论． 【解答】解：由PA+PC＝BC，PB+PC＝BC，推出PA＝PB，可得点P在线段AB的垂直平分线上， 故选：D． 【点评】本题考查作图﹣复杂作图，线段的垂直平分线等知识，解题的关键是推出点P在线段AB的垂直平分线上． 5．（2023秋•下城区期中）如图，已知∠a，∠β，线段a．用尺规求作（保留作图痕迹）： （1）△ABC，使∠A＝∠a，∠B＝∠B，AB＝a． （2）作△ABC中线段AB的垂直平分线． 【分析】（1）先作线段AB＝a，再以点A为顶点作一个角等于∠α，以点B为顶点作一个角等于∠β，两角的交于点C，从而得出答案； （2）根据线段中垂线的尺规作图求解即可． 【解答】解：（1）如图所示，△ABC即为所求． （2）如图所示，直线m即为所求． 【点评】本题主要考查作图—基本作图，解题的关键是掌握作一个角等于已知角、作一条线段等于已知线段及线段的中垂线的尺规作图． 6．（2024春•碑林区校级期末）如图，在△ABC中，请用尺规作图法，在AB边上求作一点D，使得△BCD的周长等于AB+BC．（保留作图痕迹，不写作法） 【分析】作线段AC的垂直平分线，交AB于点D，连接CD，则AD＝CD，进而可得△BCD的周长为AB+BC，则点D即为所求． 【解答】解：如图，作线段AC的垂直平分线，交AB于点D，连接CD， 则AD＝CD， ∴△BCD的周长为BC+BD+CD＝BC+BD+AD＝AB+BC， 则点D即为所求． 【点评】本题考查作图—复杂作图、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键． 7．下面是小东设计的“作△ABC中BC边上的高线”的尺规作图过程．已知：△ABC． 求作：△ABC中BC边上的高线AD． 作法：如图， ①点B为圆心，BA的长为半径作弧，以点C为圆心，CA的长为半径作弧，两弧在BC下方交于点E： ②接AE交BC于点D．则线段AD是△ABC中BC边上的高线．根据小东设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明． 证明：连接　 　，　 　． ∵　 　＝BA，　 　＝CA， ∴点B，C分别在线段AE的垂直平分线上（　 　）（填推理的依据）． ∴BC垂直平分线段AE． ∴线段AD是△ABC的BC边上的高线． 【分析】（1）根据要求作出图形即可． （2）利用线段的垂直平分线的判定解决问题即可． 【解答】解：（1）图形如图所示： （2）证明：连接BE，CE． ∵BE＝BA，CEA， ∴点B，C分别在线段AE的垂直平分线上（到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上．） ∴BC垂直平分线段AE． ∴线段AD是△ABC的BC边上的高线． 故答案为BE，CE．BE，CE，到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上． 【点评】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 题型五 尺规作图的计算--线段的垂直平分线 解题技巧提炼 先通过作图的步骤得出是作线段的垂直平分线，然后利用线段的垂直平分线的性质来解决问题． 1．（2024•从江县校级二模）如图，在△ABC中，以A为圆心，AC为半径作弧交BC于点D，再分别以B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于M，N，连结MN交AB于点E，已知△ADE的周长为13，AC＝5，则AB的长为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【分析】根据线段垂直平分线的性质和三角形的周长公式即可得到结论． 【解答】解：由作图知AD＝AC＝5，直线MN垂直平分BD， ∴BE＝DE， ∵△ADE的周长为13， ∴AD+DE+AE＝AE+BE+AD＝AB+AD＝13， ∴AB＝13﹣5＝8， 故选：B． 【点评】本题考查了作图﹣基本作图，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，正确地识别图形是解题的关键． 2．（2024春•双流区期末）如图，在△ABC中，分别以点A，B为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧相交于点P，Q，连直线PQ与AB交于点E，与AC交于点D，连接BD，若AC＝16，BC＝10，则△BCD的周长为 　 ． 【分析】由作图过程可知，直线PQ为线段AB的垂直平分线，则AD＝BD，则△BCD的周长可转化为BC+CD+AD＝BC+AC，即可得出答案． 【解答】解：由作图过程可知，直线PQ为线段AB的垂直平分线， ∴AD＝BD． ∴△BCD的周长为BC+CD+BD＝BC+CD+AD＝BC+AC＝10+16＝26． 故答案为：26． 【点评】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键． 3．（2024春•南海区期末）如图，在△ABC中，分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M、N．作直线MN，交AC于点D，交BC于点E，连接BD．若AB＝12，BC＝7，AC＝16，则△ABD的周长为（　　） A．19 B．23 C．28 D．35 【分析】根据题意可知MN垂直平分BC，即可得到DB＝DC，然后即可得到AB+BD+AD＝AB+DC+AD＝AB+AC，从而可以求得△ABD的周长． 【解答】解：由题意可得，MN垂直平分BC， ∴DB＝DC， ∵△ABD的周长＝AB+BD+AD， ∴AB+BD+AD＝AB+DC+AD＝AB+AC， ∵AB＝12，AC＝16， ∴AB+AC＝28， ∴△ABD的周长是28， 故选：C． 【点评】本题考查了作图﹣基本作图，线段垂直平分线的性质，三角形的周长，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 4．（2024春•成华区期末）如图，在△ABC中，分别以A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别相交于M，N两点，作直线MN，分别交线段BC，AC于点D，E，若AE＝6cm，△ABD的周长为20cm，则△ABC的周长为 　 　cm． 【分析】先利用基本作图可得到MN垂直平分AC，则AE＝CE＝2cm，DA＝DC，再利用等线段代换得到AB+BC＝10cm，然后计算△ABC的周长． 【解答】解：由作法得MN垂直平分AC， ∴AE＝CE＝6cm，DA＝DC， ∴AC＝2AE＝12cm， ∵△ABD的周长为20cm， ∴AB+BD+AD＝20cm， ∴AB+BD+CD＝20cm， 即AB+BC＝20cm， ∴AB+BC+AC＝32cm， 即△ABC的周长为32cm． 故答案为：32． 【点评】本题考查了作图﹣基本作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质． 题型六 尺规作图与证明计算 解题技巧提炼 先根据题意要求尺规作图，然后通过作图，然后利用线段的垂直平分线的性质来解决问题． 1．（2023春•黄浦区期末）如图，点P在线段AB上． （1）利用直尺和圆规求作线段AP的中点M（不写作法，但保留作图痕迹，写出结论）； （2）已知点M是线段AP中点，MP＝6cm，APBP，求线段AB的长． 【分析】（1）利用基本作图，作AP的垂直平分线得到AP的中点； （2）先利用线段中点的定义得到AP＝12，再利用APBP计算出PB，然后计算AP+PB即可． 【解答】解：（1）如图，点M为所作； （2）∵点M是线段AP中点， ∴AP＝2MP＝2×6＝12， ∵APBP， ∴PB12＝8， ∴AB＝AP+PB＝12+8＝20（cm）， 答：线段AB的长为20cm． 【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）． 2．（2023秋•余杭区月考）如图所示，在△ABC中， （1）作出△ABC的高线AD． （2）若∠ACB＝130°，求∠CAD的度数． 【分析】（1）利用三角形高线以及中线的定义分别得出即可； （2）利用邻补角的定义以及三角形内角和定理进而得出答案． 【解答】解：（1）如图所示： （2）∵∠ACB＝130°， ∴∠ACD＝50°， ∴∠CAD的度数为：90°﹣50°＝40°． 【点评】此题主要考查了复杂作图以及邻补角定义，根据题意得出∠ACD的度数是解题关键． 3．（2023秋•临平区校级月考）如图，已知△ABC中，AB＝5cm，BC＝7cm． （1）作图：作AC边的垂直平分线，分别交AC、BC边于点D、E（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）在（1）的条件下，连接AE，求△ABE的周长． 【分析】（1）利用尺规作出线段AC的垂直平分线即可； （2）先求出AD＝CD，得出∠DAC＝∠C＝30°，求出AD＝CD＝2DE＝10，再证∠BAD＝90°，得出BD＝2AD＝20，即可求出BC的长． 【解答】解：（1）线段AC的垂直平分线如图所示： （2）∵DE是AC的垂直平分线， ∴AE＝CE， ∴BE+AE＝BE+CE＝BC＝7（cm）， ∴△ABE的周长＝BE+AE+AB＝7+5＝12（cm）． 【点评】本题考查了作图﹣基本作图，线段垂直平分线的性质，利用线段垂直平分线得出线段相等是解题的关键． 4．（2024春•顺德区校级期末）如图，已知DE∥AB． （1）尺规作图：在线段ED的下方，以点D为顶点，作∠EDF＝∠B，交线段AE于点F（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，判断直线DF与BC的位置关系，并说明理由． 【分析】（1）根据作一个角等于已知角的方法作图即可． （2）结合平行线的判定与性质可得结论． 【解答】解：（1）如图，∠EDF即为所求． （2）DF∥BC． 理由：设射线DF交AB于点G， ∵DE∥AB， ∴∠EDG＝∠AGD， ∵∠EDF＝∠B， ∴∠AGD＝∠B， ∴DF∥BC． 【点评】本题考查作图—复杂作图、平行线的判定与性质，熟练掌握作一个角等于已知角的方法、平行线的判定与性质是解答本题的关键． 5．（2024春•和平区校级月考）如图，在△ABC中，∠B＝45° （1）用尺规作图法作BC边上的高AD，垂足为D（保留作图痕迹不写作法）； （2）在（1）的条件下，若AC平分∠BAD，求证：AB＝CD+AD． 【分析】（1）根据尺规作图的方法作出图形即可； （2）先根据角平分线的性质，得出CH＝CD，证明△ACH≌△ACD（AAS），得出AH＝AD，结合等角对等边得出BH＝CH，据此即可作答． 【解答】（1）解：BC边上的高AD，如图所示： ∴线段AD即为所求； （2）证明：过点C作CH⊥AB， ∴∠AHC＝∠BHC＝90°， ∵AD为△ABC的高， ∴CH⊥AB， ∴∠ADC＝90°， ∴∠AHC＝∠ADC， ∵AC平分∠BAD， ∴CH＝CD，∠HAC＝∠DAC， ∵AC＝AC， ∴△ACH≌△ACD（AAS）， ∴AH＝AD， ∵∠B＝45°， ∴∠BCH＝180°﹣90°﹣45°＝45°， ∴∠B＝∠BCH， ∴BH＝CH， ∴BH＝CD， ∴AB＝AH+BH＝AD+CD． 【点评】本题考查了作图﹣基本作图，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型． 6．（2022秋•嘉兴期末）如图，在△ABC中，AB＞AC． （1）用直尺和圆规作BC的中垂线，交AB于点D（要求保留作图痕迹）； （2）连接CD，若AB＝8，AC＝4，求△ACD的周长． 【分析】（1）直接利用线段垂直平分线的作法得出直线MN； （2）利用线段垂直平分线的性质得出△ADC的周长为＝AC+CD+AD＝AC+AD+BD＝AC+AB，进而得出答案． 【解答】解：（1）如图所示： 直线MN即为所求； （2）由（1）可知，直线MN是线段BC的垂直平分线， ∴DC＝DB， ∴△ACD的周长为＝AC+CD+AD＝AC+AD+BD＝AC+AB， ∵AB＝8，AC＝4， ∴△ACD的周长为8+4＝12． 【点评】本题考查基本作图以及线段垂直平分线的性质与作法，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 7．（2024春•三明期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°． （1）尺规作图：在边BC上求作点D，使AD＝BD；（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）在（1）的条件下，连接AD，若AD是∠BAC的平分线，试判断线段AB与AC的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）根据线段的垂直平分线的性质作图； （2）根据全等三角形的性质证明． 【解答】解：（1）作AB的垂直平分线交BC于点D，点D即为所求； （2）AB＝2AC， 理由：由（1）得：AB＝2AE，∠AED＝90°＝∠C， ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠CAD＝∠BAD， ∵AD＝AD， ∴△ACD≌△AED（AAS）， ∴AC＝AE， ∴AB＝2AE＝2AC． 【点评】本题考查了复杂作图，掌握线段的垂直平分线的性质和全等三角形的性质是解题的关键． 8．（2023春•兰溪市期末）如图，分别以线段AB的两个端点为圆心，大于的长为半径画弧，交于G、H两点，作直线GH．已知点C、D在直线GH上，DE⊥AC与点E，DF⊥BC与点F． （1）根据作图可知，直线GH是线段AB的 　 　． （2）图中有 　 对全等三角形（能用字母表示的）． （3）求证：DE＝DF． 【分析】（1）由作图过程可知，直线GH是线段AB的垂直平分线； （2）根据SSS可证明△ADC≌△BDC，根据AAS可分别证明△CED≌△CFD，△AED≌△BFD，即可得到答案； （3）先根据SSS可证明△ADC≌△BDC，再用AAS证明△CED≌△CFD，即可得到结论． 【解答】（1）解：根据作图可知，直线GH是线段AB的垂直平分线， 故答案为：垂直平分线； （2）∵直线GH是线段AB的垂直平分线， ∴AC＝BC，AD＝BD， ∵CD＝CD， ∴△ADC≌△BDC（SSS）， ∴∠ACD＝∠BCD，∠CAD＝∠CBD， ∵DE⊥AC与点E，DF⊥BC与点F． ∴∠CED＝∠CFD＝90°，∠AED＝∠BFD＝90°， 在△CED和△CFD中， ， ∴△CED≌△CFD（AAS）， 在△AED和△BFD中， ， ∴△AED≌△BFD（AAS）， 综上，共3对全等三角形满足题意， 故答案为：3； （3）证明：∵直线GH是线段AB的垂直平分线， ∴AC＝BC，AD＝BD， ∵CD＝CD， ∴△ADC≌△BDC（SSS）， ∴∠DCE＝∠DCF， ∵DE⊥AC与点E，DF⊥BC与点F． ∴∠CED＝∠CFD＝90°， ∵CD＝CD， ∴△CED≌△CFD（AAS）， ∴DE＝DF． 【点评】此题主要考查了垂直平分线的作图和性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！29 学科网（北京）股份有限公司 $$