专题07 角平分线的性质与判定（三大题型，25题）-【尖子生培优】2024-2025学年八年级数学上学期重难点压轴题突破专练（浙教版）

专题07 角平分线的性质与判定（三大题型，25题） 目录 题型一：角平分线的性质定理 1 题型二：角平分线的判定定理 4 题型三：角平分线性质的实际应用 6 一、题型一：角平分线的性质定理 1．如图，，M是的中点，平分，且，则的度数是（　　）    A． B． C． D． 2．如图，中，，，是上一点，且于点，连接，若，则（    ）    A． B． C． D． 3．如图，在中，，，点在的延长线上，的平分线与的平分线相交于点，连接，则度数为    4．如图，在中，，平分，于E，周长为8，，则的周长是 ．    5．如图，是的角平分线，分别是和的高． (1)试说明垂直平分； (2)若，求的长． 6．如图，已知平分，，．求证：． 7．如图，于，于，若、． (1)求证： (2)求证：平分； 8．如图，中，，，平分，，垂足在的延长线上． (1)求证：； (2)当时，求的面积用含的代数式表示． 9．如图，在中，平分，，于E，． (1)求证：． (2)若，求的度数． 10．如图，在锐角三角形中，，是角平分线，分别是，的高，点E在上，且，动点F在边上（不包括两端点），连接． 【问题感知】 (1)填空： （填“”，“”或“”）； 【探究发现】 (2)若，小杰经过探究，得到结论：．请你帮小杰证明此结论； 【类比探究】 (3)若，请判断上述结论是否成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； 【拓展提升】 (4)已知，，，若点E关于DF的对称点落在边AC上，连接，请直接写出的面积． 二、题型二：角平分线的判定定理 11．如图，△ABC中，∠ABC、∠FCA的角平分线BP、CP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE于M，PN⊥BF于N，则下列结论：①AP平分∠EAC；②；③；④．其中正确结论的个数是（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12．如图，在和中，，，，，连接，交于点，连接．下列结论： ①；②；③平分．其中正确的个数为（    ）    A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 13．从一个角的顶点出发的两条射线， 如果把这个角分成三个相等的角， 则这两条射线就叫这个角的三等分线．如图， 在中， 点是与三等分线的交点， 若，则的度数是 ． 14．如图， (1)在边上求作一点，使点到和的距离相等； (2)画的高．（不写作法，保留作图痕迹） 15．在平面直角坐标系中，，．点为轴正半轴上一动点，过点作交轴于点． (1)如图①，若，求点的坐标； (2)如图②，若点在轴正半轴上运动，且．其它条件不变，连接，求证：平分． 16．如图，在中，D，E分别为，边上一点，连接，，，过点E向作垂线，交的延长线于点F．已知平分．平分，．    (1)求证：平分； (2)若，，，求． 17．如图，四边形中，，E是的中点，平分．    (1)求证： 平分； (2)判断、、之间的数量关系，并证明； (3)若，，求． 18．如图，中，点在边上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且，连接．    (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，，，且，求的面积． 三、题型三：角平分线性质的实际应用 19．如图，三条公路把A，B，C三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（    ） A．三个角的角平分线的交点 B．三条边的垂直平分线的交点 C．三角形三条高的交点 D．三角形三条中线的交点 20．如图，两两相交的三条公路中央有一深水湖泊，要在陆地建一个加油站P到三条公路距离相等，这样的位置有 处．    21．如图，已知的周长是分别平分和于，且，则的面积是 ．    22．如图，，平分，平分，若，则 ．    23．如图，已知的周长是21，，分别平分，，于点，且，求的面积． 24．已知：如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，点，且满足；    (1)求、两点坐标； (2)如图2，点在边上，点纵坐标为，点E纵坐标为，且，求与的关系式； (3)如图3，在（2）的条件下，作的平分线，交x轴于点，当、、时，求点的坐标． 25．已知：如图，中，．      (1)【实践操作】 尺规作图：①作的平分线，交于点D； ②过点D作的垂线，交于点E； ③在线段上求作一点F，使． （要求：保留作图痕迹，不写作法） (2)【灵活运用】 在（1）条件下，若，，则的长为_________． 8 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 角平分线的性质与判定（三大题型，25题） 目录 题型一：角平分线的性质定理 1 题型二：角平分线的判定定理 12 题型三：角平分线性质的实际应用 24 一、题型一：角平分线的性质定理 1．如图，，M是的中点，平分，且，则的度数是（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质和判定，解题的关键是掌握角平分线上的点到两边距离相等．作于N，根据角平分线的性质得出，进而得出． 【详解】解：作于N， ∵， ∴， ∴， ∵平分，，， ∴， ∵M是的中点， ∴， ∴， 又，， ∴， 故选：B．    2．如图，中，，，是上一点，且于点，连接，若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形中求角度，涉及直角三角形性质、角平分线的判断与性质等知识，熟记“到角两边的距离相等的点在角的平分线上”是解决问题的关键． 【详解】解：中，，， ， ，，且， 平分， ， 故选：A． 3．如图，在中，，，点在的延长线上，的平分线与的平分线相交于点，连接，则度数为    【答案】/55度 【分析】本题考查了角平线的性质和判定，三角形的外角性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．过点分别作，，，可证到，得到平分，再利用三角形外角性质即可求解． 【详解】解：过点分别作，，，垂足分别是点、、，    平分，，， ， 同理可得，， ， ，， 平分， ，， ， ， 故答案为：． 4．如图，在中，，平分，于E，周长为8，，则的周长是 ．    【答案】28 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质解决线段相等．根据角平分线的性质可得，根据周长为8，得出，证明，得出，即可求出结果． 【详解】解：是的平分线，，， ∴， ∵周长为8， ∴， ∵在和中， ∴， ∴， ∴的周长为： ． 故答案为：． 5．如图，是的角平分线，分别是和的高． (1)试说明垂直平分； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解 (2)3 【分析】本题考查角平分线的性质定理，三角形全等的判定和性质，线段垂直平分线的判定，与三角形高有关的计算等知识．解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用面积法解决问题． （1）由角平分线的性质定理可推出，从而可证，即得出，结合，即证明垂直平分； （2）由图可知，结合和三角形面积公式可得出，即，解出的值即可． 【详解】（1）证明：∵是的角平分线，分别是和的高． ∴． 在与中，， ∴， ∴． ∵， ∴垂直平分； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 6．如图，已知平分，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．过点作于点，交的延长线于点，运用角平分线的性质可得；再运用全等三角形的判定可得，再运用全等三角形的性质可得；再运用邻补角的定义与等量代换即可求解． 【详解】证明：如图，过点作于点，交的延长线于点， ∵平分，，， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 7．如图，于，于，若、． (1)求证： (2)求证：平分； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】(1)由“”可证 (2)根据全等三角形的性质得到，又由于，于，即可得出结论． 【详解】（1） .， 在和中， ， ． （2） 于，于 平分． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 8．如图，中，，，平分，，垂足在的延长线上． (1)求证：； (2)当时，求的面积用含的代数式表示． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）由，得，再根据，利用三角形内角和定理可证明结论； （2）延长，交于点，利用证明，得，再根据证明，得，则，从而解决问题． 【详解】（1）证明：，， ， 又， ； （2）解：如图，延长，交于点， 在与中， ， ， ， 平分， ， 在与中， ， ， ， ， ． 9．如图，在中，平分，，于E，． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法， （1）根据角平分线的性质得出，证明，得出即可； （2）根据角平分线的定义得出，根据锐角三角形两锐角互余得出，根据，得出的度数即可． 【详解】（1）证明：∵平分，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵平分，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）知：， ∴． 10．如图，在锐角三角形中，，是角平分线，分别是，的高，点E在上，且，动点F在边上（不包括两端点），连接． 【问题感知】 (1)填空： （填“”，“”或“”）； 【探究发现】 (2)若，小杰经过探究，得到结论：．请你帮小杰证明此结论； 【类比探究】 (3)若，请判断上述结论是否成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； 【拓展提升】 (4)已知，，，若点E关于DF的对称点落在边AC上，连接，请直接写出的面积． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 (4)或 【分析】（1）由角平分线的性质定理可得； （2）作于点可证明，再证明得到； （3）延长交的延长线于点，证明，得，从而得，再由角平分线的判定可得． （4）分两种情况讨论：和时，分别画出图形，求出和，得的面积． 【详解】（1）∵平分，，分别是，的高 ∴． 故答案为：． （2）证明：如图1，作于点， 在和中 ， ∴（）， ∴． 又由（1）知， ∴， 在和中 ， ∴（）， ∴． （3）成立， 证明：如图2， ∵， ∴， 延长交的延长线于点， ∴， ∴， 在和中 ， ∴（） ∴，． ∵， ∴， 又∵，， ∴平分， ∴． （4）当时，如图3，在线段上取点，使得． ∵， ∴点是点关于的对称点， ∴， ∴， 可得， ∴，， ∴， ∴． 当时，如图4， 在线段上取点，使得， 同理可得，， ∴． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质和判定以及三角形全等的判定，关键是解决拓展提升时，要分和两种情况讨论． 二、题型二：角平分线的判定定理 11．如图，△ABC中，∠ABC、∠FCA的角平分线BP、CP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE于M，PN⊥BF于N，则下列结论：①AP平分∠EAC；②；③；④．其中正确结论的个数是（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】过点P作PD⊥AC于D，根据角平分线的判定定理和性质定理判断①；证明Rt△PAM≌Rt△PAD，根据全等三角形的性质得出∠APM＝∠APD，同理得出∠CPD＝∠CPN，可判断②；根据三角形的外角性质判断③；根据全等三角形的性质判断④． 【详解】解：①过点P作PD⊥AC于D， ∵PB平分∠ABC，PC平分∠FCA，PM⊥BE，PN⊥BF，PD⊥AC， ∴PM＝PN，PN＝PD， ∴PM＝PN＝PD， ∴AP平分∠EAC，故①正确； ②∵PM⊥AB，PN⊥BC， ∴∠ABC+90°+∠MPN+90°＝360°， ∴∠ABC+∠MPN＝180°， 在Rt△PAM和Rt△PAD中， ， ∴Rt△PAM≌Rt△PAD（HL）， ∴∠APM＝∠APD， 同理：Rt△PCD≌Rt△PCN（HL）， ∴∠CPD＝∠CPN， ∴∠MPN＝2∠APC， ∴∠ABC+2∠APC＝180°，②正确； ③∵PC平分∠FCA，BP平分∠ABC， ∴∠ACF＝∠ABC+∠BAC＝2∠PCN，∠PCN＝∠ABC+∠BPC， ∴ ∴∠BAC＝2∠BPC，③正确； ④由②可知Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），Rt△PCD≌Rt△PCN（HL） ∴S△APD＝S△APM，S△CPD＝S△CPN， ∴S△APM+S△CPN＝S△APC，故④正确， 故选：D 【点睛】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 12．如图，在和中，，，，，连接，交于点，连接．下列结论： ①；②；③平分．其中正确的个数为（    ）    A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】由证明得出，即可判断①；由全等三角形的性质得出，由三角形的外角性质得：，得出，②正确；作于，于，则，由证明，得出，由角平分线的判定方法得出平分，③正确；即可得出结论． 【详解】解：， ， 即， 在和中， ， ， ， 故①正确； ， ， 由三角形的外角性质得：， ， 故②正确； 作于，于，如图2所示：    则， 在和中， ， ， ， 平分， 故③正确； 综上所述，正确的是①②③； 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，角平分线的判定等知识，熟悉相关性质是解题的关键． 13．从一个角的顶点出发的两条射线， 如果把这个角分成三个相等的角， 则这两条射线就叫这个角的三等分线．如图， 在中， 点是与三等分线的交点， 若，则的度数是 ． 【答案】50 【分析】本题考查了角的等分线计算，正确理解定义是解题的关键．设，，根据三等分线的性质，角的平分线的判定，三角形内角和定理计算即可． 【详解】设，， ∵点是与三等分线的交点， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 如图，过点N作于G，于E， 于F， ∵点是与三等分线的交点， ∴平分，平分， ∴， ∴， ∴平分， ∴， 故答案为：50． 14．如图， (1)在边上求作一点，使点到和的距离相等； (2)画的高．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据角平分线的尺规作图方法作角平分线即可； （2）根据垂线的作图方法作图即可． 【详解】（1）解：如图所示，点即为所求； （2）解：如图所示，即为所求． 【点睛】本题主要考查了角平分线和垂线的尺规作图，熟知相关作图方法是解题的关键． 15．在平面直角坐标系中，，．点为轴正半轴上一动点，过点作交轴于点． (1)如图①，若，求点的坐标； (2)如图②，若点在轴正半轴上运动，且．其它条件不变，连接，求证：平分． 【答案】(1)点的坐标为； (2)见解析 【分析】（1）可证明，从而得出，进而求得； （2）过作于，于，根据，得，从而得出，进而得证． 【详解】（1）解：如图， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∴点坐标为， ∴， ∴； （2）证明：如图， 过作于，于， 由（1）知，， ∴，， ∴， ∴， 又，， ∴平分． 【点睛】本题考查了坐标与图形，等腰三角形性质，全等三角形的判定和性质，角平分线判定及三角形外角的性质等知识，解决问题的关键是作常见辅助线，构造全等或基本定理的条件． 16．如图，在中，D，E分别为，边上一点，连接，，，过点E向作垂线，交的延长线于点F．已知平分．平分，．    (1)求证：平分； (2)若，，，求． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）过E点分别作于M，于N，根据角平分线的性质得出，进而得出，根据角平分线的判定即可得出结论； （2）先求出，进而得出，根据，，，，得出，求出，，即可得出答案． 【详解】（1）证明：过E点分别作于M，于N，    ∵平分，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， ∵， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查角平分线的判定与性质，三角形的面积，掌握角平分线的性质是解题的关键． 17．如图，四边形中，，E是的中点，平分．    (1)求证： 平分； (2)判断、、之间的数量关系，并证明； (3)若，，求． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3)20 【分析】（1）过点E作于点F，根据角平分线的性质得出，进而得出，再根据角平分线的判定即可得出结论； （2）证明，根据全等三角形的性质得出，同理，再根据线段的和即可得出结论； （3）先求出 ，根据三角形的面积公式即可得出答案． 【详解】（1）证明：过点E作于点F， ∵，平分， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， 又∵，， ∴平分． （2）证明：， ∵， ∴在和中， ， ∴， ∴， 同理， ∵， ∴； （3）解：∵，E是的中点， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴．    【点睛】本题考查角平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积，正确理解角平分的性质是解题的关键． 18．如图，中，点在边上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且，连接．    (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，，，且，求的面积． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)． 【分析】（1）根据垂直得到，利用三角形外角的性质得到，再根据，即可求出的度数； （2）过点E作，，根据角平分线的性质得到，，进而得到，再根据角平分线的判定定理即可证明结论； （3）根据三角形的面积公式求出，再根据三角形的面积公式计算，即可求出的面积． 【详解】（1）解：， ， ， ， ，， ， （2）证明：过点E作交于点G，交于点H， 由（1）可知，， 平分， ，， ， 平分，，， ， ， ，， 平分；    （3）解：， ，，， ， ． 【点睛】本题考查了角平分线的判定和性质，三角形外角的性质，三角形面积公式，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题关键． 三、题型三：角平分线性质的实际应用 19．如图，三条公路把A，B，C三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（    ） A．三个角的角平分线的交点 B．三条边的垂直平分线的交点 C．三角形三条高的交点 D．三角形三条中线的交点 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可． 【详解】解：根据角平分线的性质，集贸市场应建在三个角的角平分线的交点处． 故选：A． 20．如图，两两相交的三条公路中央有一深水湖泊，要在陆地建一个加油站P到三条公路距离相等，这样的位置有 处．    【答案】三 【分析】此题考查了三角形角平分线的性质，分别作外角的角平分线，交点分别为，即为所求的点，解题的关键是熟练掌握三角形角平分线的性质及其应用． 【详解】解：如图所示，，即为所求的点，    故答案为：三． 21．如图，已知的周长是分别平分和于，且，则的面积是 ．    【答案】 【分析】过点作，根据角平分线的性质，得到，连接，根据的面积等于的面积之和，进行求解即可． 【详解】解：过点作，    ∵分别平分和于， ∴， 连接， 则： ∵的周长是，， ∴ ． 故答案为： 【点睛】本题考查角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，是解题的关键． 22．如图，，平分，平分，若，则 ．    【答案】 【分析】过点作于，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，然后证明，根据全等三角形的面积相等可得，同理可得：，设，，表示出，然后求解即可． 【详解】如图，过点作于，      ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理：， 设，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键． 23．如图，已知的周长是21，，分别平分，，于点，且，求的面积． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，求三角形的面积，熟练掌握角平分线的性质定理及三角形面积的求解是解题的关键．过点O分别作于点E，于点F，根据角平分线性质定理，可证明，根据，可列出算式，并结合的周长求出面积． 【详解】如图，过点O分别作于点E，于点F， 分别平分，， ， 同理， 的周长是21， ， ． 24．已知：如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，点，且满足；    (1)求、两点坐标； (2)如图2，点在边上，点纵坐标为，点E纵坐标为，且，求与的关系式； (3)如图3，在（2）的条件下，作的平分线，交x轴于点，当、、时，求点的坐标． 【答案】(1)(，)，(，) (2) (3)(，) 【分析】（1）解二元一次方程组即可求出、两点坐标； （2）已知，可知，进而得出和的面积比为，从而得出与的数量关系式； （3）延长、交于点，延长、交于点，作交于，在上取点，使，连接．由平分可得，化简得到转化得：，由，得出，因为，所以得出，从而得到，即可求点的坐标． 【详解】（1）， 解得：， (，)，(，)； （2）， ， ， 即；    （3）延长、交于点，延长、交于点，作交于，在上取点，使，连接． 平分， ∴ ∴ ，   是的外角， ， ， ，即， 又， ∴， ∴ ∵ ∴ ，， ∴ ， ∵， ∴ ∴ ， ∴ ， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形，全等三角形，角平分线，三角形的内角和，直角坐标系等知识，把握各个知识点在题目中的内在联系是解题的关键． 25．已知：如图，中，．      (1)【实践操作】 尺规作图：①作的平分线，交于点D； ②过点D作的垂线，交于点E； ③在线段上求作一点F，使． （要求：保留作图痕迹，不写作法） (2)【灵活运用】 在（1）条件下，若，，则的长为_________． 【答案】(1)见解析 (2)12 【分析】（1）根据作法利用尺规作图即可． （2）由（1）得：是的角平分线，，， 利用角平分线的性质可得，，再利用三角形全等的判定及性质即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求．    （2）由（1）得：是的角平分线，，， ，， 在和中， ， ， ， 设，则， ， 在中，， 在和中， ， ， ， ， ， ， 故答案为：12． 【点睛】本题考查了作图——尺规作图、全等三角形的判定及性质、角平分线的性质，熟练掌握尺规作图及全等三角形的判定及性质是解题的关键． 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$