专题03 定义与命题、证明（五大题型，30题）-【尖子生培优】2024-2025学年八年级数学上学期重难点压轴题突破专练（浙教版）

专题03 定义与命题、证明（五大题型，30题）（原卷版） 目录 题型一：判断是否是命题 1 题型二：判断命题真假 2 题型三：举例说明真假命题 3 题型四：写出命题的题设与结论 3 题型五：证明 3 题型一：判断是否是命题 1．下列语句是命题的是（    ） A．两直线被第三条直线所截 B．过直线外一点作这条直线的垂线 C．百家争鸣思想活跃 D．内错角相等 2．下列语句是命题的是（    ） A．你喜欢数学吗？ B．小明是男生 C．城阳世纪公园 D．加强体育锻炼 3．下列句子中，属于命题的是（　　） A．直线和垂直吗？ B．过线段的中点作的垂线 C．同旁内角互补，两直线平行 D．已知，求a的值 4．下列语句属于命题的是（    ） A．你今天打卡了吗？ B．请戴好口罩！ C．画出两条相等的线段 D．同位角相等 5．给出下列语句：①延长线段到点；②垂线段最短；③过点画直线；④在中，若，则，其中是命题的有（只填序号） ． 题型二：判断命题真假 6．对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的是（   ）． A．， B．， C． D．， 7．能说明命题“”是假命题的一个反例是（    ） A． B． C． D． 8．下列选项中，可以用来证明命题“若，则”是假命题的反例是（    ） A． B． C． D． 9．下列命题是假命题的是（     ） A．垂线段最短 B．两个角的和等于，这两个角是邻补角 C．对顶角相等 D．等角的补角相等 10．下列命题中，属于假命题的是（　　） A．两直线平行，同旁内角互补 B．两直线平行，内错角相等 C．两个锐角的和仍然是锐角 D．同位角相等，两直线平行 11．下列各命题是假命题的是（    ） A．两直线平行，同旁内角互补 B．若两个数，则这两个数为相反数 C．对顶角相等 D．如果，那么 12．下列命题中，假命题是（   ） A．对顶角相等 B．同位角相等 C．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 13．下列命题中真命题是（    ） A．三角形的角平分线、中线、高线均在三角形的内部 B．三角形中至少有一个内角不小于 C．直角三角形仅有一条高 D．三角形的任意一个外角都大于任何一个内角 14．命题“若，则”是 命题．（填“真”或“假”）． 15．下列四个命题中：①对顶角相等；②三角形的一个外角等于它的两个内角的和；③若，则；④如果两条直线被第三条直线所截，那么同位角相等．其中真命题的序号是 ． 题型三：举例说明真假命题 16．下列选项中a的值，可以作为说明命题“，则”是假命题的反例是（    ） A． B． C． D． 17．对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（   ） A． B． C． D． 18．下列选项中，可以用来验证命题“若，则”是假命题的反例是（　　） A． B． C． D． 19．当 ， 时，可以说明“若，则”是假命题（写出一组，的值即可）． 20．用一个的值说明命题“如果，那么”是假命题，这个值可以是 ． 题型四：写出命题的题设与结论 21．关于命题“等角对等边”，下列说法错误的是（    ） A．这个命题是真命题 B．条件是“一个三角形有两个角相等” C．结论是“这两个角所对的边也相等” D．可以用“举反例”的方法证明这个命题是真命题 22．将“对顶角相等”改写成“如果…，那么…”的形式 ， 将“等角的余角相等”改写成“如果…，那么…”的形式 ． 23．“平行于同一条直线的两条直线平行”这个命题的条件是 ． 24．请指出下列命题的条件和结论，并判断它们的真假． (1)如果两个角是直角，那么这两个角相等； (2)绝对值相等的两个数相等； (3)两个钝角的和一定大于． 25．将下列命题改写成“如果…，那么…”的形式，并判断它们是真命题还是假命题，若是假命题，请举出反例． (1)互为相反数的两个数的和为零； (2)同旁内角互补； (3)等角的余角相等． 题型五：证明 26．用反证法证明“已知，．求证：”．第一步应先假设 ． 27．已知：如图，在中，．求证：平分． 28．已知：如图，于点C，于点D，．求证：． 29．证明命题“三角形不共顶点的三个外角的和等于”是真命题． 30．已知：如图，在中，是的平分线，，．求证：． 4 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 定义与命题、证明（五大题型，30题）（解析版） 目录 题型一：判断是否是命题 1 题型二：判断命题真假 3 题型三：举例说明真假命题 7 题型四：写出命题的题设与结论 8 题型五：证明 11 一、题型一：判断是否是命题 1．下列语句是命题的是（    ） A．两直线被第三条直线所截 B．过直线外一点作这条直线的垂线 C．百家争鸣思想活跃 D．内错角相等 【答案】D 【分析】本题考查了命题的概念，根据命题是能具有判定的语句，由题设和结论组成进行判定即可，掌握命题的概念是解题的关键． 【详解】解：A、两直线被第三条直线所截是陈述句，不是命题，不符合题意； B、过直线外一点作这条直线的垂线是陈述句，不是命题，不符合题意； C、百家争鸣思想活跃是陈述句，不是命题，不符合题意； D、内错角相等，题设是内错角，结论是相等，是命题，符合题意； 故选： D． 2．下列语句是命题的是（    ） A．你喜欢数学吗？ B．小明是男生 C．城阳世纪公园 D．加强体育锻炼 【答案】B 【分析】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解命题的定义：对事情做出正确或不正确的判断的句子叫做命题．根据命题的概念作答． 【详解】解：A、你喜欢数学吗？是疑问句，没有对事情做出判断，不是命题，不符合题意； B、小明是男生是命题，符合题意； C、城阳世纪公园是陈述性的句子，没有做出判断，不是命题，不符合题意； D、加强体育锻炼是陈述性的句子，没有做出判断，不是命题，不符合题意． 故选：B． 3．下列句子中，属于命题的是（　　） A．直线和垂直吗？ B．过线段的中点作的垂线 C．同旁内角互补，两直线平行 D．已知，求a的值 【答案】C 【分析】此题考查了命题的定义，熟记定义是解题的关键．对一件事情作出判断的语句叫做命题，注意，假命题也是命题．根据命题的定义判断即可． 【详解】解：A．是问句，不是命题，故该选项不符合题意， B．是作图，没有对一件事情作出判断，不是命题，故该选项不符合题意， C．对一件事情作出判断，是命题，故该选项符合题意， D．没有对一件事情作出判断，不是命题，故该选项不符合题意． 故选：C． 4．下列语句属于命题的是（    ） A．你今天打卡了吗？ B．请戴好口罩！ C．画出两条相等的线段 D．同位角相等 【答案】D 【分析】根据命题的定义（判断一件事情的语句，叫做命题），逐项判断即可求解． 【详解】解：A． 你今天打卡了吗？没有作出判断，故该选项不是命题，不符合题意； B． 请戴好口罩！没有作出判断，故该选项不是命题，不符合题意； C． 画出两条相等的线段，没有作出判断，故该选项不是命题，不符合题意；     D． 同位角相等，作出判断，故该选项是命题，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果那么”形式． 有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 5．给出下列语句：①延长线段到点；②垂线段最短；③过点画直线；④在中，若，则，其中是命题的有（只填序号） ． 【答案】②④ 【分析】本题考查了命题与定理得知识，利用命题的定义逐项判断即可得出答案，解题的关键是掌握命题的定义． 【详解】解：①延长线段到点，没有对问题作出判断，不是命题，不符合题意； ②垂线段最短，是命题，符合题意； ③过点画直线，没有对问题作出判断，不是命题，不符合题意； ④在中，若，则，是命题，符合题意； 综上所述，是命题的有②④， 故答案为：②④． 二、题型二：判断命题真假 6．对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的是（   ）． A．， B．， C． D．， 【答案】C 【分析】本题考查了命题与定理：命题的“真”与“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 根据假命题举例满足条件，不满足结论可对各选项进行判断． 【详解】解：A．，，则，故不符合题意； B．，则，故不符合题意；     C．，有，但，可说明原命题是假命题． D．，则，故不符合题意；     故选：C． 7．能说明命题“”是假命题的一个反例是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了命题与定理的知识．根据题意，只要举例说明0的平方等于0即可． 【详解】解：A、当时，，不能说明是假命题，不符合题意； B、当时，，能说明是假命题，符合题意； C、当时，，不能说明是假命题，不符合题意； D、当时，，不能说明是假命题，不符合题意； 故选：B． 8．下列选项中，可以用来证明命题“若，则”是假命题的反例是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了举反例判断命题，不等式的性质，平方数的运算等知识．理解题意，掌握举反例的运用，不等式的性质是解题的关键． 根据要证明一个命题结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题，对各选项进行判断，然后作答即可． 【详解】解：时，，，与矛盾， ∴A是假命题的反例，故符合要求； 故选：A． 9．下列命题是假命题的是（     ） A．垂线段最短 B．两个角的和等于，这两个角是邻补角 C．对顶角相等 D．等角的补角相等 【答案】B 【分析】根据垂线性质，两个角互补的定义，补角性质，对顶角性质等逐项判断． 【详解】解：A．垂线段最短，是真命题，故A不符合题意； B．若两个角的和为，则这两个角互补，不一定是邻补角，是假命题，故B符合题意； C．对顶角相等是真命题，故C不符合题意； D．等角的补角相等是真命题，故D不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握教材扇相关的概念和定理． 10．下列命题中，属于假命题的是（　　） A．两直线平行，同旁内角互补 B．两直线平行，内错角相等 C．两个锐角的和仍然是锐角 D．同位角相等，两直线平行 【答案】C 【分析】根据平行线的性质与判定，锐角的概念逐项判定． 【详解】解：两直线平行，同旁内角互补，是真命题，故不符合题意； 两直线平行，内错角相等，真命题，故不符合题意； 两个锐角的和可能是锐角或直角或钝角，假命题，符合题意； 同位角相等，两直线平行，真命题，故不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握平行线的性质与判定． 11．下列各命题是假命题的是（    ） A．两直线平行，同旁内角互补 B．若两个数，则这两个数为相反数 C．对顶角相等 D．如果，那么 【答案】D 【分析】逐一判断命题，即可得到答案． 【详解】解：A、两直线平行，同旁内角互补，原命题是真命题，不符合题意，选项错误； B、若两个数，则这两个数为相反数，原命题是真命题，不符合题意，选项错误； C、对顶角相等，原命题是真命题，不符合题意，选项错误； D、如果，那么或，原命题是假命题，符合题意，选项正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了真假命题，平行线的性质，相反数，对顶角，乘方，熟练掌握相关知识点是解题关键． 12．下列命题中，假命题是（   ） A．对顶角相等 B．同位角相等 C．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】B 【分析】根据对顶角的性质可判断A，根据平行线的性质可判断B，根据垂线段的含义可判断C，根据垂线的性质可判断D，从而可得答案． 【详解】解：对顶角相等，真命题，故A不符合题意； 同位角相等，假命题，故B符合题意； 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，真命题，故C不符合题意； 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，真命题，故D不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了真假命题的判断，解题的关键是了解平行线的性质、垂线的性质等知识，难度不大． 13．下列命题中真命题是（    ） A．三角形的角平分线、中线、高线均在三角形的内部 B．三角形中至少有一个内角不小于 C．直角三角形仅有一条高 D．三角形的任意一个外角都大于任何一个内角 【答案】B 【分析】根据三角形的中线、高、角平分线的概念，三角形的内角和是180°，三角形外角的性质逐项判断即可解答． 【详解】解：A．锐角三角形的角平分线、中线、高线均在三角形的内部，故A选项错误，不符合题意； B．根据内角和定理，可知三角形中至少有一个内角不小于60°．故B选项正确，符合题意； C．直角三角形有3条高，其中2条在它的直角边上．故C选项错误，不符合题意； D．钝角三角形的的一个外角都小于其中一个内角，故D选项错误，不符合题意． 故选：B． 【点睛】主要考查命题的真假判断、三角形的角平分线、中线、高的定义及性质、三角形外角的性质等知识点，熟记定理与性质是解题的关键． 14．命题“若，则”是 命题．（填“真”或“假”）． 【答案】假 【分析】本题考查了判断命题的真假，举出反例，由此即可得出答案． 【详解】解：命题“若，则”不一定成立，例如：，， 命题“若，则”是假命题， 故答案为：假． 15．下列四个命题中：①对顶角相等；②三角形的一个外角等于它的两个内角的和；③若，则；④如果两条直线被第三条直线所截，那么同位角相等．其中真命题的序号是 ． 【答案】① 【分析】根据对顶角相等判定①，根据三角形的外角性质判定②，根据平方根判定③，根据平行线的性质判定④． 【详解】解：①对顶角相等，故此选项为真命题，符合题意； ②三角形的一个外角等于不相邻两个内角的和，故此选项假命题，不符合题意； ③若，则，故此选项假命题，不符合题意； ④如果两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故此选项假命题，不符合题意； ∴其中真命题的序号是①． 故答案为：①． 【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 三、题型三：举例说明真假命题 16．下列选项中a的值，可以作为说明命题“，则”是假命题的反例是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了利用举反例法证明一个命题是假命题，要说明数学命题的错误，只需举出一个反例即可，这是数学中常用的一种方法． 根据举反例时需满足命题的题设，而不满足命题的结论即可作答． 【详解】解：用来证明命题“，则”是假命题的反例可以是：， ，但是， 选项A符合题意； 故选：A． 17．对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了举反例，能说明是假命题的反例就是能满足已知条件，但不满足结论的例子，据此可得答案． 【详解】对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是，此时满足，也满足， 故选；C． 18．下列选项中，可以用来验证命题“若，则”是假命题的反例是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了命题真假判断、绝对值的性质、实数的大小比较等知识，正确判断命题真假的方法是解题关键．根据真假命题判定方法、绝对值的性质以及实数比较大小法则逐项分析判断即可． 【详解】解：A. 当时，，而，故无法说明“若，则”是假命题，不符合题意； B. 当时，，故无法说明“若，则”是假命题，不符合题意； C.当时，，而，可以说明“若，则”是假命题，符合题意； D. 当时，，而，故无法说明“若，则”是假命题，不符合题意． 故选：C． 19．当 ， 时，可以说明“若，则”是假命题（写出一组，的值即可）． 【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一） 【分析】本题考查了举例说明命题的真假，由当，时，得出，但，，即，即可得解． 【详解】解：当，时，，但，，即， 故当，时，可以说明“若，则”是假命题， 故答案为：，（答案不唯一）． 20．用一个的值说明命题“如果，那么”是假命题，这个值可以是 ． 【答案】1（答案不唯一） 【分析】本题考查的是命题的证明和判断，有理数乘方计算，根据有理数的乘方法则计算，判断即可得出结果． 【详解】解：当时，，， “如果，那么”是假命题， 故答案为：1（答案不唯一）． 四、题型四：写出命题的题设与结论 21．关于命题“等角对等边”，下列说法错误的是（    ） A．这个命题是真命题 B．条件是“一个三角形有两个角相等” C．结论是“这两个角所对的边也相等” D．可以用“举反例”的方法证明这个命题是真命题 【答案】D 【分析】分析原命题，找出其条件与结论，然后写成“如果…那么…”形式即可． 【详解】解：在三角形中，如果有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，简称：“等角对等边”， 则选项A、B、C正确，不符合题意， 不可以用“举反例”的方法证明这个命题是真命题． 故选：D． 【点睛】本题考查了命题与定理的知识，正确理解定义是关键． 22．将“对顶角相等”改写成“如果…，那么…”的形式 ， 将“等角的余角相等”改写成“如果…，那么…”的形式 ． 【答案】 如图两个角是对顶角，那么这两个角相等 如果两个角相等，那么它们的余角也相等 【分析】根据命题的定义，把命题改写为题设和结论的形式即可． 【详解】根据命题的定义， 将“对顶角相等”改写成：如图两个角是对顶角，那么这两个角相等 将“等角的余角相等”改写为：如果两个角相等，那么这两个角的余角也相等． 故答案为：如图两个角是对顶角，那么这两个角相等；如果两个角相等，那么它们的余角也相等． 【点睛】本题考查了命题的条件和结论的叙述，命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面接的部分是结论． 23．“平行于同一条直线的两条直线平行”这个命题的条件是 ． 【答案】两条直线平行于同一条直线 【分析】本题考查了对命题的题设和结论的理解，把命题改写成“如果⋯那么⋯”的形式，即可求解，把命题改写成“如果那么”的形式是解题的关键． 【详解】解：命题“平行于同一条直线的两条直线平行”可改写为：“如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行”， ∴命题的条件是“两条直线平行于同一条直线”， 故答案为：两条直线平行于同一条直线． 24．请指出下列命题的条件和结论，并判断它们的真假． (1)如果两个角是直角，那么这两个角相等； (2)绝对值相等的两个数相等； (3)两个钝角的和一定大于． 【答案】(1)条件：两个角是直角；结论：这两个角相等；真命题 (2)条件：两个数绝对值相等；结论：这两个数相等；假命题 (3)条件：两个角是钝角；结论：这两个角的和一定大于；真命题 【分析】本题考查命题的真假性，熟知相关概念是解题的关键． （1）根据题意，写出条件和结论，再进行判断真假即可； （2）根据题意，写出条件和结论，再进行判断真假即可； （3）根据题意，写出条件和结论，再进行判断真假即可． 【详解】（1）解：条件：两个角是直角；结论：这两个角相等； 直角为，故原命题是真命题； （2）解：条件：两个数绝对值相等；结论：这两个数相等； 绝对值相等的两个数，还可以互为相反数，不一定相等，故原命题是假命题； （3）解：条件：两个角是钝角；结论：这两个角的和一定大于； 钝角大于，故两个钝角的和一定大于，故原命题是真命题． 25．将下列命题改写成“如果…，那么…”的形式，并判断它们是真命题还是假命题，若是假命题，请举出反例． (1)互为相反数的两个数的和为零； (2)同旁内角互补； (3)等角的余角相等． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】分析题意，先找出各个命题的条件和结论，再根据如果+条件，那么+结论，即可进行改写，再判断真假． 【详解】（1）解：如果两个数互为相反数，那么它们的和为零；是真命题； （2）如果两个角是同旁内角，那么它们互补；是假命题， 反例：如图，和是同旁内角， 但两直线不平行，故和不互补； （3）如果两个角相等，那么它们的余角也相等；是真命题． 【点睛】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 五、题型五：证明 26．用反证法证明“已知，．求证：”．第一步应先假设 ． 【答案】 【分析】用反证法证明问题的关键是清楚结论的反面是什么，写出与条件相反的假设即可 【详解】解： “已知，．求证：”．第一步应先假设． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是反证法的应用，解题的关键是要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时，要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 27．已知：如图，在中，．求证：平分． 【答案】见详解 【分析】根据三角形内角和定理以及外角的性质，求出，，进而即可得到结论． 【详解】证明：∵在中，， ∴，， ∴， ∴平分． 【点睛】本题主要考查角平分线的定义，三角形内角和定理以及外角的性质，熟练掌握三角形内角和定理以及外角的性质，是关键． 28．已知：如图，于点C，于点D，．求证：． 【答案】见详解 【分析】根据垂直的定义得到，等量代换可得，再根据平行线的判定定理即可得到结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的判定，余角的性质，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键． 29．证明命题“三角形不共顶点的三个外角的和等于”是真命题． 【答案】见解析 【分析】利用三角形外角的性质得到，再由三角形内角和定理得到，即可证明． 【详解】已知：如图，是的三个外角； 求证：． 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴命题“三角形不共顶点的三个外角的和等于”是真命题． 【点睛】本题主要考查了证明命题，三角形内角和定理和三角形外角的性质，熟知三角形外角的性质是解题的关键． 30．已知：如图，在中，是的平分线，，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】先根据三角形外角的性质求出，再根据角平分线的定义求出的度数，最后根据三角形内角和定理求出的度数即可证明结论． 【详解】证明：∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，利用三角形外角的性质求出是解题的关键． 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$