第02讲 定义命题与证明5大核心考点【暑假自学课】-2024年新八年级数学暑假提升精品讲义（浙教版）

第02讲 定义 命题与证明 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 教材习题学解题 模块四 核心考点精准练 模块五 小试牛刀过关测 1． 掌握定义的概念； 2． 掌握命题的概念，掌握真假命题的概念，理解命题的结构，会改写命题； 3．掌握证明的概念和证明几何命题的形式； 一、定义、命题、基本事实与定理 1.定义 一般地，能清楚的规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义. 2.命题 一般地，判断某一件事情的句子叫命题．正确的命题叫做真命题；不正确的命题叫做假命题． 命题通常由条件、结论两个部分组成，条件是已知事项，结论是由已知事项得到的事项.通常命题可以写成“如果……那么……”的形式，其中以“如果“开始的部分是条件，”那么“后面的部分是结论. 注意：命题属于判断句或陈述句，是对一件事情作出判断，与判断的正确与否没有关系．当证明一个命题是假命题时只要举出一个反例就可以． 3.基本事实 人们经过长期实践后公认为正确的命题，作为判断其他命题的依据，也可称为公理. 4.定理 用推理的方法判断为正确的命题.定理也可以作为判断其他命题真假的依据. 注意：满足以下两个条件的真命题称为定理： （1）其正确性可通过公理或其它真命题逻辑推理而得到. （2）其又可作为判断其它命题真假的依据. 二、证明 1.证明 从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步一步推得结论成立，这样的推理过程叫做证明． 2.证明表述格式 证明几何命题时，表述格式一般如下： （1）按题意画出图形； （2）分清命题的条件和结论，结合图形，在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论； （3）在“证明”中写出推理过程. 注意：在解决几何问题时，有时需要添加辅助线，添辅助线的过程要写入证明中，辅助线通常要画出虚线. 教材习题01 指出下列命题的条件和结论，并改写成“如果……那么……"的形式 (1)等底等高的两个三角形面积相等. (2)对顶角相等. (3)同位角相等，两直线平行 解题方法 主要考察命题的形式，找到三句命题的条件和结论，后面就可以按照如果那么形式改写了 【答案】 (1)这个命题的条件是"两个三角形有一条边和这条边上的高线对应相等”，结论是“这两个三角形的面积相等”，可以改写成“如果两个三角形有一条边和这条边上的高线对应相等，那么这两个三角形的面积相等 (2)这个命题的条件是"两个角是对顶角"，结论是"这两个角相等"可以改写成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” (3)这个命题的条件是"两条直线被第三条直线所截得的同位角相等”结论是“两直线平行"，可以改写成"如果两条直线被第三条直线所截得的同位角相等，那么这两条直线平行" 教材习题02 已知：如图，DE∥BC，∠1=∠E 求证：BE平分∠ABC 解题方法 主要考察证明的方法，DE和BC平行，可以利用平行线的性质，证明∠E和∠2相等，因为∠E和∠1也相等，根据等式性质，说明∠1，∠2相等，从而说明BE是∠ABC平分线 【答案】 证明 ∵DE∥BC（已知）， ∴ ∠2＝∠E（两直线平行，内错角相等）. ∵ ∠1＝∠E（已知）， ∴ ∠1＝∠2， ∴ BE 平分∠ABC（角平分线的定义）. 考点一：是否是命题的判断 例1．下面的语句中，哪个不是命题（    ） A．任何一个三角形一定有一个角是直角 B．对顶角相等 C．如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 D．过直线m外一点A作m的平行线 变式1-1．下列语句是命题的是（    ） A．两直线被第三条直线所截 B．过直线外一点作这条直线的垂线 C．百家争鸣思想活跃 D．内错角相等 变式1-2．下列句子中，是命题的是（    ） A．对顶角相等 B．a，b两条直线平行吗 C．画一个角等于已知角 D．过一点画已知直线的垂线 考点二：真假命题的判断 例2．下列命题中，是真命题的是（　　） A．同位角相等 B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 C．相等的角是对顶角 D．若，则 变式2-1．下列命题中，是假命题的是（） A．两点确定一条直线 B．若，则 C．相等的角是对顶角 D．同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种 变式2-2．下列命题中，是真命题的是（    ） A．点到直线的垂线段叫做点到直线的距离 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．相等的角是对顶角 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 考点三：命题的题设和结论 例3．用“如果…那么…”形式将命题“同角的补角相等”可以改写成 ． 变式3-1．命题“对顶角相等”写成“如果……，那么……”的形式，如果 ，那么 ． 变式3-2．把命题“锐角的余角是锐角”改写成“如果……那么……”的形式是 ． 考点四：假命题的反例 例4．对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（   ） A． B． C． D． 变式4-1．能说明命题“对于任何实数a，”，是假命题的一个反例可以是（　　） A． B． C． D． 变式4-2．用一个的值说明命题“如果，那么”是假命题，这个值可以是 ． 考点五：证明 例5．已知：如图，，求证：． 变式5-1．已知：如图，在中，．求证：平分． 变式5-2．已知：如图，在中，是的平分线，，．求证：． 1．下列语句中，不是命题的是（  ） A．钝角大于直角 B．三个角对应相等的两个三角形全等 C．过点A作直线l的垂线，垂足为B D．若一个三角形的三边a，b，c满足，那么该三角形是直角三角形 2．下列四个命题：①同角的补角相等；②互为邻补角的两个角相等；③一个负实数的绝对值是它的相反数；④平行于同一条直线的两直线互相垂直．其中是真命题的有（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．③④ 3．下列推理中，错误的是(  ) A．因为AB⊥EF，EF⊥CD，所以AB⊥CD B．因为∠α＝∠β，∠β＝∠γ，所以∠α＝∠γ C．因为a∥b，b∥c，所以a∥c D．因为AB＝CD，CD＝EF，所以AB＝EF 4．下列句子，是命题的是（ ） A．今天的空气好清新 B．年月日，神舟十二号发射升空 C．作一条长为 的线段 D．同旁内角互补 5．下列命题中是真命题的是（    ） A．相等的角是对顶角 B．同位角相等，两直线平行 C．若，，则 D．同旁内角互补 6．举反例说明“一个角的余角大于这个角”是假命题，错误的是（    ） A．设这个角是，它的余角是，但 B．设这个角是，它的余角是，但 C．设这个角是，它的余角是，但 D．设这个角是，它的余角是，但 7．下列说法中正确的个数是（    ） ①如果题设成立，那么结论一定成立的命题叫做真命题 ②如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条 ③经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 ④同旁内角互补 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．和能作为反例说明“同位角相等”是假命题的是（   ） A． B． C． D． 9．当 ， 时，可以说明“若，则”是假命题（写出一组，的值即可）． 10．命题“同旁内角互补”的题设是 ，结论是 ，这是一个 命题（填“真”或“假”）． 11．（1）命题是由 和 两部分组成. （2）命题的题设是 事项，结论是由 推出的事项. 12．“内错角相等”是 命题．（填“真”、“假”） 13．“如果a是无理数，b是无理数，那么a与b之积仍是无理数”是 （填“真”或“假”）命题． 14．请指出下列命题的条件和结论，并判断它们的真假． (1)如果两个角是直角，那么这两个角相等； (2)绝对值相等的两个数相等； (3)两个钝角的和一定大于． 15．如图，有下列三个条件：①，②，③． (1)从这三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论，组成命题，请写出所有可以组成的命题； (2)从（1）中选择一个真命题，并证明． 16．已知：如图，于点C，于点D，．求证：． 17．已知：如图，在中，．D，E分别是AB，AC上的点，且．求证：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 定义 命题与证明 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 教材习题学解题 模块四 核心考点精准练 模块五 小试牛刀过关测 1． 掌握定义的概念； 2． 掌握命题的概念，掌握真假命题的概念，理解命题的结构，会改写命题； 3．掌握证明的概念和证明几何命题的形式； 一、定义、命题、基本事实与定理 1.定义 一般地，能清楚的规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义. 2.命题 一般地，判断某一件事情的句子叫命题．正确的命题叫做真命题；不正确的命题叫做假命题． 命题通常由条件、结论两个部分组成，条件是已知事项，结论是由已知事项得到的事项.通常命题可以写成“如果……那么……”的形式，其中以“如果“开始的部分是条件，”那么“后面的部分是结论. 注意：命题属于判断句或陈述句，是对一件事情作出判断，与判断的正确与否没有关系．当证明一个命题是假命题时只要举出一个反例就可以． 3.基本事实 人们经过长期实践后公认为正确的命题，作为判断其他命题的依据，也可称为公理. 4.定理 用推理的方法判断为正确的命题.定理也可以作为判断其他命题真假的依据. 注意：满足以下两个条件的真命题称为定理： （1）其正确性可通过公理或其它真命题逻辑推理而得到. （2）其又可作为判断其它命题真假的依据. 二、证明 1.证明 从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步一步推得结论成立，这样的推理过程叫做证明． 2.证明表述格式 证明几何命题时，表述格式一般如下： （1）按题意画出图形； （2）分清命题的条件和结论，结合图形，在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论； （3）在“证明”中写出推理过程. 注意：在解决几何问题时，有时需要添加辅助线，添辅助线的过程要写入证明中，辅助线通常要画出虚线. 教材习题01 指出下列命题的条件和结论，并改写成“如果……那么……"的形式 (1)等底等高的两个三角形面积相等. (2)对顶角相等. (3)同位角相等，两直线平行 解题方法 主要考察命题的形式，找到三句命题的条件和结论，后面就可以按照如果那么形式改写了 【答案】 (1)这个命题的条件是"两个三角形有一条边和这条边上的高线对应相等”，结论是“这两个三角形的面积相等”，可以改写成“如果两个三角形有一条边和这条边上的高线对应相等，那么这两个三角形的面积相等 (2)这个命题的条件是"两个角是对顶角"，结论是"这两个角相等"可以改写成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” (3)这个命题的条件是"两条直线被第三条直线所截得的同位角相等”结论是“两直线平行"，可以改写成"如果两条直线被第三条直线所截得的同位角相等，那么这两条直线平行" 教材习题02 已知：如图，DE∥BC，∠1=∠E 求证：BE平分∠ABC 解题方法 主要考察证明的方法，DE和BC平行，可以利用平行线的性质，证明∠E和∠2相等，因为∠E和∠1也相等，根据等式性质，说明∠1，∠2相等，从而说明BE是∠ABC平分线 【答案】 证明 ∵DE∥BC（已知）， ∴ ∠2＝∠E（两直线平行，内错角相等）. ∵ ∠1＝∠E（已知）， ∴ ∠1＝∠2， ∴ BE 平分∠ABC（角平分线的定义）. 考点一：是否是命题的判断 例1．下面的语句中，哪个不是命题（    ） A．任何一个三角形一定有一个角是直角 B．对顶角相等 C．如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 D．过直线m外一点A作m的平行线 【答案】D 【分析】本题考查了命题的定义，根据判断一件事情的语句，叫做命题，命题由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由题设事项推出的事项，逐一判断即可． 【详解】解：A、如果一个图形是三角形，那么一定有一个角是直角，是一个假命题，故不符合题意； B、如果两个角是对顶角，那么这两个角相等，是一个真命题，故不符合题意； C、如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，是一个真命题，故不符合题意； D、过直线m外一点A作m的平行线，这不是命题，故符合题意； 故选：D． 变式1-1．下列语句是命题的是（    ） A．两直线被第三条直线所截 B．过直线外一点作这条直线的垂线 C．百家争鸣思想活跃 D．内错角相等 【答案】D 【分析】本题考查了命题的概念，根据命题是能具有判定的语句，由题设和结论组成进行判定即可，掌握命题的概念是解题的关键． 【详解】解：A、两直线被第三条直线所截是陈述句，不是命题，不符合题意； B、过直线外一点作这条直线的垂线是陈述句，不是命题，不符合题意； C、百家争鸣思想活跃是陈述句，不是命题，不符合题意； D、内错角相等，题设是内错角，结论是相等，是命题，符合题意； 故选： D． 变式1-2．下列句子中，是命题的是（    ） A．对顶角相等 B．a，b两条直线平行吗 C．画一个角等于已知角 D．过一点画已知直线的垂线 【答案】A 【分析】本题考查了命题的定义：一般的，在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．分析是否是命题，需要分别分析各选项是否是用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句即可． 【详解】解：A、对顶角相等，符合命题的概念，故本选项符合题意； B、a，b两条直线平行吗，是问句，未做判断，故本选项不符合题意； C、画一个角等于已知角，不符合命题的概念，故本选项不符合题意， D、过一点画已知直线的垂线，不符合命题的概念，故本选项不符合题意； 故选A． 考点二：真假命题的判断 例2．下列命题中，是真命题的是（　　） A．同位角相等 B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 C．相等的角是对顶角 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查判断命题的真假，根据平行线的性质和判定，对顶角，等式的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、同位角不一定相等，原命题是假命题； B、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，原命题是真命题； C、对顶角相等，相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题； D、若，则，原命题是假命题； 故选：B． 变式2-1．下列命题中，是假命题的是（） A．两点确定一条直线 B．若，则 C．相等的角是对顶角 D．同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种 【答案】C 【分析】本题主要考查命题的真假判断，根据命题与定理进行一一判断可得答案． 【详解】解：A．两点确定一条直线，是真命题，不符合题意； B．若，则，是真命题，不符合题意； C．相等的角不一定是对顶角，是假命题，符合题意； D．同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种，是真命题，不符合题意； 故选C． 变式2-2．下列命题中，是真命题的是（    ） A．点到直线的垂线段叫做点到直线的距离 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．相等的角是对顶角 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】D 【分析】本题考查了命题与定理的知识，根据点到直线的距离、垂直的判定、对顶角和平行线的判定进行判断即可． 【详解】解：A. 点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，原命题是假命题，不合题意； B. 在同一平面上，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原命题是假命题，不合题意； C. 相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题，不合题意； D. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，是真命题，符合题意． 故选：D． 考点三：命题的题设和结论 例3．用“如果…那么…”形式将命题“同角的补角相等”可以改写成 ． 【答案】如果两个角是同角的补角，那么这两个角相等 【分析】本题考查了命题；先找到命题的题设和结论，再写成“如果…那么…”的形式即可． 【详解】解：用“如果…那么…”形式将命题“同角的补角相等”可以改写成“如果两个角是同角的补角，那么这两个角相等”； 故答案为：如果两个角是同角的补角，那么这两个角相等． 变式3-1．命题“对顶角相等”写成“如果……，那么……”的形式，如果 ，那么 ． 【答案】 两个角是对顶角 这两个角相等 【分析】命题中的条件是两个角是等角的补角，放在“如果”的后面，结论是它们相等，放在“那么”的后面，即可得到答案． 本题考查了将原命题写成“如果…那么…”即题设(条件)与结论的形式，解决问题的关键是找出相应的题设和结论． 【详解】解：解：题设为：两个角是对顶角，结论为：它们相等， 故写成“如果…那么…”的形式是：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等， 故答案为：两个角是对顶角，这两个角相等． 变式3-2．把命题“锐角的余角是锐角”改写成“如果……那么……”的形式是 ． 【答案】如果一个角是锐角，那么这个角的余角是锐角 【分析】本题主要考查的知识点是如何将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是条件的结论，解题关键是找到命题中相应的条件和结论．命题中的条件是一个角是锐角，放在“如果”的后面，结论是这个角的余角是锐角，应放在“那么”的后面． 【详解】解：条件为：一个角是锐角，结论为：这个角的余角是锐角， 故写成“如果…那么…”的形式是：如果一个角是锐角的，那么这个角的余角是锐角． 故答案为：如果一个角是锐角，那么这个角的余角是锐角． 考点四：假命题的反例 例4．对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了举反例，能说明是假命题的反例就是能满足已知条件，但不满足结论的例子，据此可得答案． 【详解】对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是，此时满足，也满足， 故选；C． 变式4-1．能说明命题“对于任何实数a，”，是假命题的一个反例可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了命题与定理有关知识，反例就是符合已知条件但不满足结论的例子，可据此判断出正确的选项．根据“对于任何实数a，”成立的条件是即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴能说明命题“对于任何实数a，”是假命题的一个反例可以是， 故选：D． 变式4-2．用一个的值说明命题“如果，那么”是假命题，这个值可以是 ． 【答案】1（答案不唯一） 【分析】本题考查的是命题的证明和判断，有理数乘方计算，根据有理数的乘方法则计算，判断即可得出结果． 【详解】解：当时，，， “如果，那么”是假命题， 故答案为：1（答案不唯一）． 考点五：证明 例5．已知：如图，，求证：． 【答案】见解析 【分析】根据平行线的性质定理，进而得出，则，即可得出． 【详解】证明：过点C作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题主要考查了平行线的判定与性质，熟练掌握相关的定理是解题关键，解题时注意：同旁内角互补，两直线平行． 变式5-1．已知：如图，在中，．求证：平分． 【答案】见详解 【分析】根据三角形内角和定理以及外角的性质，求出，，进而即可得到结论． 【详解】证明：∵在中，， ∴，， ∴， ∴平分． 【点睛】本题主要考查角平分线的定义，三角形内角和定理以及外角的性质，熟练掌握三角形内角和定理以及外角的性质，是关键． 变式5-2．已知：如图，在中，是的平分线，，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】先根据三角形外角的性质求出，再根据角平分线的定义求出的度数，最后根据三角形内角和定理求出的度数即可证明结论． 【详解】证明：∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，利用三角形外角的性质求出是解题的关键． 1．下列语句中，不是命题的是（  ） A．钝角大于直角 B．三个角对应相等的两个三角形全等 C．过点A作直线l的垂线，垂足为B D．若一个三角形的三边a，b，c满足，那么该三角形是直角三角形 【答案】C 【分析】本题主要考查了命题的定义，根据命题的定义进行判断即可． 【详解】解：A．钝角大于直角是命题，故A不符合题意； B．三个角对应相等的两个三角形全等，是命题，故B不符合题意； C．过点A作直线l的垂线，垂足为B，不是命题，故C符合题意； D．若一个三角形的三边a，b，c满足，那么该三角形是直角三角形，是命题，故C不符合题意． 故选：C． 2．下列四个命题：①同角的补角相等；②互为邻补角的两个角相等；③一个负实数的绝对值是它的相反数；④平行于同一条直线的两直线互相垂直．其中是真命题的有（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．③④ 【答案】A 【分析】本题主要考查了补角的性质，邻补角的定义，绝对值意义，平行线公理，解题的关键是熟练掌握相关的定义，根据相关的定义和性质，逐项进行判断即可． 【详解】解：①同角的补角相等，正确，是真命题； ②互为邻补角的两个角不一定相等，错误，是假命题； ③一个负实数的绝对值是它的相反数，正确，是真命题； ④平行于同一条直线的两条直线互相平行，错误，是假命题． 综上分析可知：真命题是①③． 故选：A． 3．下列推理中，错误的是(  ) A．因为AB⊥EF，EF⊥CD，所以AB⊥CD B．因为∠α＝∠β，∠β＝∠γ，所以∠α＝∠γ C．因为a∥b，b∥c，所以a∥c D．因为AB＝CD，CD＝EF，所以AB＝EF 【答案】A 【分析】根据相关的定义或定理判断． 【详解】解：A、AB⊥EF，EF⊥CD，答案不确定，有多个答案，AB可能与CD平行，也可能垂直，在空间中也可能异面等，故A选项错误； B、由∠α=∠β，∠β=∠γ，根据角的等量代换可知，∠α=∠γ，故B选项正确； C、由a∥b，b∥c，根据平行线的平行的传递性可知a∥c，故C选项正确； D、根据线段长度的等量代换可知AB=EF，易知D选项正确； 综上所述，答案选A． 【点睛】主要考查学生对平行公理及推论的运用，注意等量代换的应用． 4．下列句子，是命题的是（ ） A．今天的空气好清新 B．年月日，神舟十二号发射升空 C．作一条长为 的线段 D．同旁内角互补 【答案】D 【分析】本题考查命题的判断，熟知命题的定义：判断一件事情的句子叫做命题，数学中的命题常可以写成：如果…，那么…，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、今天的空气好清新，没有作出判断，不是命题，不符合题意； B、年月日，神舟十二号发射升空，没有作出判断，不是命题，不符合题意； C、作一条长为 的线段，没有作出判断，不是命题，不符合题意； D、同旁内角互补，作出判断，是命题，符合题意； 故选：D． 5．下列命题中是真命题的是（    ） A．相等的角是对顶角 B．同位角相等，两直线平行 C．若，，则 D．同旁内角互补 【答案】B 【分析】本题考查了平行线、对顶角、垂线及内错角等知识．利用平行线的性质、对顶角的定义、垂线的性质及平行的判定分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、相等的角不一定是对顶角，故原说法错误，是假命题，不符合题意； B、同位角相等，两直线平行，故原说法正确，是真命题，符合题意； C、在同一平面内的3条直线，，，若，，则，故原说法错误，是假命题，不符合题意； D、两直线平行，同旁内角互补，故原说法错误，是假命题，不符合题意； 故选：B． 6．举反例说明“一个角的余角大于这个角”是假命题，错误的是（    ） A．设这个角是，它的余角是，但 B．设这个角是，它的余角是，但 C．设这个角是，它的余角是，但 D．设这个角是，它的余角是，但 【答案】B 【分析】本题主要考查了反例的含义．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．反例是指符合某个命题的条件，而又不符合该命题结论的例子；由此可判断出正确的选项． 【详解】解：A、所设的角与它的余角相等，和原结论相符合，故A选项正确； B、所设的角小于它的余角，和原结论相反，故B选项错误； C、所设的角大于它的余角，和原结论相符合，故C选项正确； D、所设的角大于它的余角，和原结论相符合，故D选项正确． 故选：B． 7．下列说法中正确的个数是（    ） ①如果题设成立，那么结论一定成立的命题叫做真命题 ②如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条 ③经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 ④同旁内角互补 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据真假命题的定义，平行公理，平行线的性质对各小题分析判断即可得解． 【详解】解：①如果题设成立，那么结论一定成立的命题叫做真命题，正确； ②如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条，正确； ③经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，正确； ④两直线平行，同旁内角互补，原说法不正确； 综上所述：正确的有①②③，共3个． 故选：C． 【点睛】本题考查了真假命题的定义，平行公理，平行线的性质，是基础题，熟记性质与概念是解题的关键． 8．和能作为反例说明“同位角相等”是假命题的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了命题与定理，掌握举反例时，需要满足命题的条件，但不满足命题的结论是解题的关键． 举出反例说明，满足命题的条件，不满足命题的结论即可得出答案． 【详解】A.两直线不平行，同位角不相等，可以作为反例说明“同位角相等”是假命题，符合题意； B.和不是同位角，不符合题意； C.和不是同位角，不符合题意； D.两直线平行，同位角相等，是真命题，不符合题意； 故选A． 9．当 ， 时，可以说明“若，则”是假命题（写出一组，的值即可）． 【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一） 【分析】本题考查了举例说明命题的真假，由当，时，得出，但，，即，即可得解． 【详解】解：当，时，，但，，即， 故当，时，可以说明“若，则”是假命题， 故答案为：，（答案不唯一）． 10．命题“同旁内角互补”的题设是 ，结论是 ，这是一个 命题（填“真”或“假”）． 【答案】 两个角是同旁内角 这两个角互补 假 【分析】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题，许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果那么”形式，有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 【详解】解：命题中，已知的事项是“两个角是同旁内角”， 由已知事项推出的事项是“这两个角互补”，所以“两个角是同旁内角”是命题的题设部分，“这两个角互补”是命题的结论部分，这是一个假命题， 故答案为：两个角是同旁内角，这两个角互补，假． 11．（1）命题是由 和 两部分组成. （2）命题的题设是 事项，结论是由 推出的事项. 【答案】 题设 结论 已知 已知事项 【分析】根据命题的定义可得：命题有两部分组成，即题设（或条件）和结论，其中题设是已知事项，结论是由已知事项推导出的事项. 【详解】根据命题的定义可得： （1）命题是由题设和结论两部分组成. （2）命题的题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项. 故答案是：题设，结论， 已知，已知事项. 【点睛】考查了命题的定义的理解：命题有两部分组成，即题设（或条件）和结论，其中题设是已知事项，结论是由已知事项推导出的事项. 12．“内错角相等”是 命题．（填“真”、“假”） 【答案】假 【分析】本题考查了判定命题的真假，两直线平行，内错角相等．熟练掌握两直线平行，内错角相等，错误的命题是假命题是解题的关键． 根据两直线平行，内错角相等进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知，两直线平行，内错角相等， ∴“内错角相等”是假命题， 故答案为：假． 13．“如果a是无理数，b是无理数，那么a与b之积仍是无理数”是 （填“真”或“假”）命题． 【答案】假 【分析】根据无理数的乘法法则计算，判断即可．本题考查的是命题与定理，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 【详解】解：当，时，，而是有理数， 所以如果是无理数，是无理数，那么与b之积仍是无理数是假命题． 故答案为：假． 14．请指出下列命题的条件和结论，并判断它们的真假． (1)如果两个角是直角，那么这两个角相等； (2)绝对值相等的两个数相等； (3)两个钝角的和一定大于． 【答案】(1)条件：两个角是直角；结论：这两个角相等；真命题 (2)条件：两个数绝对值相等；结论：这两个数相等；假命题 (3)条件：两个角是钝角；结论：这两个角的和一定大于；真命题 【分析】本题考查命题的真假性，熟知相关概念是解题的关键． （1）根据题意，写出条件和结论，再进行判断真假即可； （2）根据题意，写出条件和结论，再进行判断真假即可； （3）根据题意，写出条件和结论，再进行判断真假即可． 【详解】（1）解：条件：两个角是直角；结论：这两个角相等； 直角为，故原命题是真命题； （2）解：条件：两个数绝对值相等；结论：这两个数相等； 绝对值相等的两个数，还可以互为相反数，不一定相等，故原命题是假命题； （3）解：条件：两个角是钝角；结论：这两个角的和一定大于； 钝角大于，故两个钝角的和一定大于，故原命题是真命题． 15．如图，有下列三个条件：①，②，③． (1)从这三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论，组成命题，请写出所有可以组成的命题； (2)从（1）中选择一个真命题，并证明． 【答案】(1)可以组成三个命题，①如果，，那么；②如果，，那么；③如果，，那么． (2)见解析 【分析】（1）依据题意，一共能组成3个命题； （2）选择命题①如果，，那么；可根据“同旁内角互补，两直线平行”，“内错角相等，两直线平行”来写出证明过程即可． 【详解】（1）解：可以组成三个命题， ①如果，，那么； ②如果，，那么； ③如果，，那么； （2）选择命题①如果，，那么； 证明如下：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质．应用平行线的判定和性质定理时，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系；故要求一定要弄清题设和结论，切莫混淆． 16．已知：如图，于点C，于点D，．求证：． 【答案】见详解 【分析】根据垂直的定义得到，等量代换可得，再根据平行线的判定定理即可得到结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的判定，余角的性质，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键． 17．已知：如图，在中，．D，E分别是AB，AC上的点，且．求证：． 【答案】见详解 【分析】根据三角形内角和定理可得==，进而即可得到结论． 【详解】证明：∵在中，，， ∴==， ∴． 【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，平行线的判定，掌握三角形内角和定理是关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 $$