第1章 三角形的初步认识 单元测试（提升卷）-【尖子生培优】2024-2025学年八年级数学上学期重难点压轴题突破专练（浙教版）

第1章 三角形的初步认识 单元测试（提升卷） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．如图，要测量河岸相对的两点A、B之间的距离，已知垂直于河岸，现在上取两点C、D，使，过点D作的垂线，使点A、C、E在一条直线上，若米，则的长是（    ） A．6 B．6 C．6 D．6 2．如图，已知的周长是，点为与的平分线的交点，且于点，若，则的面积是（ ） A． B． C． D． 3．如图， 已知是的平分线，， 若的面积为， 则的面积（      ） A． B． C． D． 4．如图，已知点在上，点在上，，且，若．则等于（   ）    A． B． C． D． 5．如图所示，D，E分别是的边上的点，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 6．下列命题中是真命题的是（    ）． A．两个锐角的和是钝角 B．若，则 C．对顶角相等 D．同位角相等 7．如图，在中，，三角形的外角和的平分线交于点E，则的度数为（　　） A． B． C． D． 8．如图，在公路异侧、同侧有两个村庄，，高速公路管理处要建一处服务区，按照设计要求，服务区到两个村庄，的距离必须相等，到两条公路，的距离也必须相等，符合条件的服务区有（   ） A．处 B．处 C．处 D．处 9．如图，，平分交于点，，，，分别是，延长线上的点，和的平分线交于点．下列选项错误的是（    ） A． B． C．平分 D．为定值 10．如图，在中，和的平分线，相交于点O，交于E，交于F，过点O作于D，下列三个结论：①；②若，，则；③当时，；④若，，则．其中正确的个数是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 11．如图，在中，，，，，平分，点E是上的动点，点F是上的动点，则的最小值为 ． 12．如图，，，、分别是、的中点，若的面积为，则图中阴影部分的面积为 ． 13．如图，，，若，则 °． 14．如图，已知，，，则 ． 15．如图，中，，，分别平分，，则 ． 16．已知a，b，c为的三边长，b，c满足，且a为方程的解，则的周长为 ． 三、解答题 17．如图所示，在中，是高，是角平分线，它们相交于点O，，求的度数． 18．在一个三角形中，如果一个角的度数是另一个角的倍，那么这样的三角形我们称之为“智慧三角形”．例如：三个内角分别为，，的三角形是“智慧三角形”．如图，，在射线上找一点，过点作，交于点，以为端点作射线，交射线于点（点不与点重合）． (1) ， （填“是”或“不是”）“智慧三角形”． (2)若，试说明是“智慧三角形”． (3)若是“智慧三角形”，请直接写出的度数． 19．如图，在中，为高，，点为上的一点，，连接交于点，（和 是对应角）．    (1)求 的度数； (2)有一动点从点出发沿线段以每秒4个单位长度的速度运动，设点的运动时间为秒，是否存在t的值，使得的面积为18？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 20．求证：全等三角形的对应角的平分线相等． (1)请将此命题改写成“如果……，那么……”的形式为_______； (2)结合图形，补全此命题的已知和求证并证明． ①已知：如图，； 平分交于点， ______________________________． 求证：___________________． ②写出证明过程 (3)在中，平分交于点，若于点，，点是边上一个动点，则的最小值为______． 21．如图，是的角平分线，P是上一点．交于D，交于E，F是上的另一点，连接，．求证：． 22．（1）教材呈现：人教版数学教材八年级上册第56页有这样一道习题：“如图1，，垂足分别为D，E，，，求的长．”请直接写出此题的答案：的长为________； （2）类比探究：如图2，点B，C在的边上，点E，F在内部的射线上，分别是、的外角，已知：，．求证：； （3）拓展应用：如图3，在中，．点D在边上，，点E、F在线段上，．若的面积为27，则与的面积之和为？ 23．如图是一个工业开发区局部的设计图，河的同一侧有两个工厂A和B，的长表示两个工厂到河岸的距离，其中E是进水口，D、C为污水净化后的出口．已知，，米，米，求两个排污口之间的水平距离． 24．如图，在中，，于点． (1)尺规作图：作的平分线，交于点，交于点；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若，求的度数． 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 三角形的初步认识 单元测试（提升卷） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．如图，要测量河岸相对的两点A、B之间的距离，已知垂直于河岸，现在上取两点C、D，使，过点D作的垂线，使点A、C、E在一条直线上，若米，则的长是（    ） A．6 B．6 C．6 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，由均垂直于，即可得出，结合、即可证出，由此即可得出，此题得解． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴（米）． 故选：D． 2．如图，已知的周长是，点为与的平分线的交点，且于点，若，则的面积是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．作于E，于F，连接，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：作于E，于F，连接， ∵O为与的平分线的交点，， ∴， ∴的面积的面积的面积的面积 ， 故选：B． 3．如图， 已知是的平分线，， 若的面积为， 则的面积（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、三角形的中线性质，证得点P为的中点是解答的关键．延长交于Q，证明得到,然后利用三角形的中线性质得到，，进而可求解． 【详解】解：延长交于Q， ∵是的平分线，， ∴，，又， ∴， ∴, ∴，， ∴， ∴ ∵的面积为， ∴． 故选：B． 4．如图，已知点在上，点在上，，且，若．则等于（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的性质和三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．根据全等三角形的性质，，，又，，在中根据内角和定理求解． 【详解】解：， ，， ， ， 又， ，，， ， 故选：C． 5．如图所示，D，E分别是的边上的点，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了全等三角形对应角相等的性质，直角三角形两锐角互余的性质，解题的关键是求出． 根据全等三角形对应角相等，得到，根据，求出，在利用直角三角形两锐角互余求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 故选D． 6．下列命题中是真命题的是（    ）． A．两个锐角的和是钝角 B．若，则 C．对顶角相等 D．同位角相等 【答案】C 【分析】本题考查了命题与定理；熟练掌握命题的定义是解题的关键；要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 【详解】解：A、和均是锐角，和不是钝角，不符合题意，选项错误； B、，则或，不符合题意，选项错误； C、对顶角相等，选项正确； D、同位角不一定相等，当两直线平行时，同位角相等，不符合题意，选项错误； 故选：C． 7．如图，在中，，三角形的外角和的平分线交于点E，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形内角和定理以及角平分线定理，熟练掌握角平分线定理是解题的关键．根据题意求出，根据角平分线的定理求出，即可得到答案． 【详解】解：， ， 和分别平分和， ， ， ． 故选C． 8．如图，在公路异侧、同侧有两个村庄，，高速公路管理处要建一处服务区，按照设计要求，服务区到两个村庄，的距离必须相等，到两条公路，的距离也必须相等，符合条件的服务区有（   ） A．处 B．处 C．处 D．处 【答案】C 【分析】此题考查了作图-应用与设计作图，本题的关键是：①对角平分线、线段垂直平分线作法的运用，②对题意的正确理解． 作两条公路夹角的平分线，作线段的垂直平分线，则其交点就是所求的位置 ． 【详解】解：作两条公路夹角的平分线，作线段的垂直平分线，则其交点就是所求的位置，如图所示，点C位置即为所求， 故选：C． 9．如图，，平分交于点，，，，分别是，延长线上的点，和的平分线交于点．下列选项错误的是（    ） A． B． C．平分 D．为定值 【答案】B 【分析】证明，得，故正确；证，得平分，故正确，利用三角形的外角性质及角平分线定义得，进而得，故正确；，若，则，与事实不相符，故错误． 【详解】解：如图，    ∵，， ∴，，，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故正确； ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴平分，故正确， ∵平分，平分， ∴， ∵，， ∴， ∴，故正确． ∵， 若， ∴，与事实不相符，故错误； 故选∶． 【点睛】本题考查了平行线的性质与判定、三角形内角和定理、三角形的外角性质、直角三角形的性质及角平分线的性质，熟知三角形的内角和等于是解题的关键． 10．如图，在中，和的平分线，相交于点O，交于E，交于F，过点O作于D，下列三个结论：①；②若，，则；③当时，；④若，，则．其中正确的个数是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由角平分线的定义结合三角形的内角和的可求解与的关系，进而判定①；过O点作于P，由角平分线的性质可求解，再根据三角形的面积公式计算可判定②；在上取一点H，使，证得，得到，再证得，得到，进而判定③正确；作于N，于M，根据三角形的面积可证得④正确． 【详解】解：∵和的平分线相交于点O， ∴，， ∴，故①错误； 过O点作于P，    ∵平分，， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵，分别是与的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，在上取一点H，使，    ∵是的角平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，故③正确； 作于N，于M，    ∵和的平分线相交于点O， ∴点O在的平分线上， ∴， ∵， ∴，故④正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的性质定理，三角形全等的性质和判定，正确作出辅助线证得，得到，是解决问题的关键． 二、填空题 11．如图，在中，，，，，平分，点E是上的动点，点F是上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查轴对称最短问题，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质等知识．在射线上取一点，使得．过点作于．利用等积法求得，证明，推出，推出，根据垂线段最短即可解决问题． 【详解】解：在射线上取一点，使得．过点作于． ∵， ∴， 平分， ， ，， ， ， ， 根据垂线段最短可知，当，，共线且与重合时，的值最小，最小值， 故答案为：． 12．如图，，，、分别是、的中点，若的面积为，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】5 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，由三角形中线求面积，连接，利用证明，根据全等三角形的性质及三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如图，连接， 在和中， ， ， ， 分别是的中点， ，， ∴阴影部分的面积， 故答案为：5． 13．如图，，，若，则 °． 【答案】25 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，直角三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的性质．由可得，推出，最后根据直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：， ， ， 即， ， ， ， 故答案为：． 14．如图，已知，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形外角性质，由可得，进而由三角形性质外角性质即可求解，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 15．如图，中，，，分别平分，，则 ． 【答案】35 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形外角的性质，利用角平分线的定义得出，，利用三角形外角的性质得出，，进而得出，即可求解． 【详解】解∶∵，分别平分，， ∴，， ∴， 又， ∴， 又， ∴， 故答案为∶35． 16．已知a，b，c为的三边长，b，c满足，且a为方程的解，则的周长为 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了三角形三边关系以、绝对值的性质和偶次方的性质等知识点，正确求得a的值是解题关键． 利用绝对值的性质以及偶次方的性质可得的值，再解绝对值方程可得或，进而利用三角形三边关系得出a的值，最后求出的周长即可． 【详解】解：∵， ∴且， ∴， ∵a为方程的解， ∴或， 又∵，不能构成三角形， ∴， ∴的周长为． 故答案为：9． 三、解答题 17．如图所示，在中，是高，是角平分线，它们相交于点O，，求的度数． 【答案】． 【分析】本题主要考查了三角形的高、角平分线、三角形内角和定理等知识点，灵活运用三角形内角和定理成为解题的关键． 由高的定义可得，再结合运用三角形内角和定理可求得；再根据三角形内角和定理可得，依据角平分线的定义可得、，最后根据三角形内角和定理即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵ ∴； ∵， ∴， ∵是角平分线， ∴，， ∴． 18．在一个三角形中，如果一个角的度数是另一个角的倍，那么这样的三角形我们称之为“智慧三角形”．例如：三个内角分别为，，的三角形是“智慧三角形”．如图，，在射线上找一点，过点作，交于点，以为端点作射线，交射线于点（点不与点重合）． (1) ， （填“是”或“不是”）“智慧三角形”． (2)若，试说明是“智慧三角形”． (3)若是“智慧三角形”，请直接写出的度数． 【答案】(1)，是 (2)见解析 (3)，，或 【分析】本题考查的是三角形内角和定理、“智慧三角形”的概念，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． （1）根据垂直的定义，三角形内角和定理求出的度数，根据“智慧三角形”的概念求解即可； （2）根据“智慧三角形”的概念概念证明即可； （3）根据“智慧三角形”的概念分类讨论，分五种情况依次进行讨论即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， 是“智慧三角形”； （2）证明： 是“智慧三角形”； （3）解：， ， 是“智慧三角形”， ①当或为的倍时，，此情况不成立； ②当为的倍时，即， ， 此时是“智慧三角形”； ③当为的倍时，即， ， ， 此时是“智慧三角形”； ④当为的倍时，即， ， ， 此时是“智慧三角形”； ⑤当为的倍时，即， ， ， 此时是“智慧三角形”； 综上所述，的度数为，，或． 19．如图，在中，为高，，点为上的一点，，连接交于点，（和 是对应角）．    (1)求 的度数； (2)有一动点从点出发沿线段以每秒4个单位长度的速度运动，设点的运动时间为秒，是否存在t的值，使得的面积为18？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，的值为或 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，一元一次方程的应用，用表示出三角形的高是解题的关键． （1）根据题意可知，再由，推出，结合即可得到； （2）由，，可推出，，，由（1）可知，，即以为底时高为，从而推出当时，在线段上，此时，则，解之得到；当 时，在线段上，此时，则，解之得到． 【详解】（1）解：在中，为高 ， 又 ， （2）解：，， ， 由（1）可知，，且点从点出发，在上以4个单位的速度运动，那么 ，即以为底时高为，如图所示    当时，在线段上，则 解得： 当 时，在线段上，则 解得： 综上所述，存在的值为或 ． 20．求证：全等三角形的对应角的平分线相等． (1)请将此命题改写成“如果……，那么……”的形式为_______； (2)结合图形，补全此命题的已知和求证并证明． ①已知：如图，； 平分交于点， ______________________________． 求证：___________________． ②写出证明过程 (3)在中，平分交于点，若于点，，点是边上一个动点，则的最小值为______． 【答案】(1)如果两个三角形全等，那么这两个三角形对应角的平分线相等 (2)①平分交于点，；②见解析 (3)3 【分析】（1）根据命题的结构，结合问题中，已知，结论，在结论前面加上那么即可． （2）①根据已知，结论，具体化写出来即可． ②根据全等三角形的判定和性质证明即可． （3）根据角的平分线的性质定理和垂线段最短原理解答即可． 【详解】（1）解：∵全等三角形的对应角的平分线相等． ∴改写为：如果两个三角形全等，那么这两个三角形对应角的平分线相等． （2）解：①已知：如图，； 　　　平分交于点，平分交于点． 求证：． 故答案为：平分交于点，． ②证明：∵， ∴，，， ∵平分交于点，平分交于点． ∴ ∵ ∴， ∴． （3）解：过点D作于点F， 根据垂线段最短，此时，最小， ∵平分交于点，，且， ． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角的平分线的性质定理，垂线段最短原理，命题的改写，熟练掌握三角形全等的判定和性质，垂线段最短原理是解题的关键． 21．如图，是的角平分线，P是上一点．交于D，交于E，F是上的另一点，连接，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线的性质的运用，全等三角形的判定与性质的运用，解答时证明三角形全等是关键． 先根据证明，就可以得出，，就可以得出，就可以得出结论． 【详解】证明：是的角平分线，，， ，． ， ，． 在和中， ， ， ． 22．（1）教材呈现：人教版数学教材八年级上册第56页有这样一道习题：“如图1，，垂足分别为D，E，，，求的长．”请直接写出此题的答案：的长为________； （2）类比探究：如图2，点B，C在的边上，点E，F在内部的射线上，分别是、的外角，已知：，．求证：； （3）拓展应用：如图3，在中，．点D在边上，，点E、F在线段上，．若的面积为27，则与的面积之和为？ 【答案】（1）0.8；（2）见解析；（3）18 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形面积等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问 （1）利用同角的余角相等证明，再利用证明，根据全等三角形的性质、结合图形解答； （2）证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论； （3）由（2）可知，由全等三角形的性质可得出答案． 【详解】解：（1）， ， ． ， ． 在和中， ， ， ； 故答案为：0.8； （2）证明：， ， ， 在和中， ， ， ． （3）的面积为27，， 的面积是：， 由（2）中可知， 与的面积之和等于与的面积之和，即等于的面积，是18， 故答案为：18． 23．如图是一个工业开发区局部的设计图，河的同一侧有两个工厂A和B，的长表示两个工厂到河岸的距离，其中E是进水口，D、C为污水净化后的出口．已知，，米，米，求两个排污口之间的水平距离． 【答案】500米 【分析】本题考查全等三角形的应用，根据证明与全等，再利用全等三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴米． 所以，两个排污口之间的水平距离为500米 24．如图，在中，，于点． (1)尺规作图：作的平分线，交于点，交于点；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了作图—基本作图，角平分线的定义、三角形内角和定理等知识点，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识点． （1）根据要求作出图形即可； （2）由角平分线的定义得出，再求出的度数从而得出的度数，即可得解． 【详解】（1）解：如图， 射线即为所求， （2）解：， ， 平分， ， ， ， ， ， ． 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$