3.2.2 基本不等式的应用-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册教用课件（苏教版）

该高中数学课件围绕基本不等式的应用展开，通过养殖场围矩形牧场的生活实例导入，衔接基本不等式公式与最值求解、参数范围及实际问题的应用，搭建从公式到实践的学习支架。 其亮点在于融合数学眼光、思维与语言，如例1用消元法和配凑法培养变形能力，例3结合矩形场地围墙费用问题强化应用意识。采用母题探究与跟踪训练的分层设计，学生能提升解题技巧与建模能力，教师可借助清晰小结优化教学流程。

第3章 不等式 1 3.2 基本不等式 3.2.2 基本不等式的应用 2 一养殖场想用栅栏围成一个长、宽分别为， 的矩 形牧场，现有材料能做出 长的栅栏，那么如何设计 才能使围成的矩形牧场面积最大？让我们本节课一起探 讨吧！ 返回导航 新课导入 3 1.熟练掌握基本不等式及其变形的应用. 2.会用基本不等式解决简单的最值问题. 3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题. 返回导航 学习目标 4 1 新知学习 探究 2 课堂巩固 自测 5 PART 01 新知学习 探究 6 一 利用基本不等式变形求最值 ［例1］ 若正数，满足，则 的最小值是( ) A. B. C. D. 解析：方法一（消元法）因为正数，满足 ,所以 . 由即解得 . 所以 ， 当且仅当，即， 时，等号成立. √ 返回导航 7 故的最小值为 .故选A. 方法二（配凑法）因为正数，满足 , 所以 ， 所以，因为， 均为正数，所以 ， 当且仅当，即，时，等号成立.故 的 最小值为 .故选A. 返回导航 母题探究 本例改为:已知，，若，则 的最小 值为( ) A.2 B.4 C. D.9 解析：选D.由可得 ， ， 当且仅当 时，等号成立. √ 返回导航 9 基本不等式求最值的策略 （1）常见的变形技巧有：①配凑系数；②变符号；③拆补项;④将所求表 达式乘以或除以一个常数. （2）多元最值问题，可以通过消元，转化为一元最值问题来处理，注意 消元后的变量的范围. 返回导航 10 ［跟踪训练1］ （1）若,则 的最大值为__. 解析：因为,所以 , 当且仅当,即时等号成立，所以 的最大值 为 . 返回导航 11 （2）已知,,且,则 的最小值是____. 25 解析：由题意得 , 当且仅当，即,时,等号成立，所以 的最小值是25. 返回导航 12 二 利用基本不等式求参数取值范围 ［例2］ （1）已知函数，，若 的取值范围为 ，则实数 的值是( ) A. B. C.1 D.2 √ 返回导航 13 解析：①当时， ， 当且仅当 时，等号成立； ②当时， ， 当且仅当 时，等号成立， 所以解得 .故选C. 返回导航 （2）已知函数，若对于任意的， 恒成立， 则实数 的取值范围是_ _________. 返回导航 15 解析：对任意， ， 即 恒成立， 即 . 设， ， 则，当且仅当时，等号成立，所以 ，又 当时，又当时 . 所以，故实数的取值范围是 . 返回导航 求解含参数不等式的策略 （1）观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立的条件，从而得参数 的值或取值范围. （2）在处理含参数的不等式恒成立问题时，往往将已知不等式看作关于 参数的不等式，体现了主元与次元的转化. 返回导航 17 ［跟踪训练2］ 已知不等式对任意的正实数， 恒成立， 则正实数 的最小值为( ) A.2 B.4 C.6 D.8 解析：选B.对任意的正实数， ， ， 当且仅当时，等号成立，所以 的最小值为 ，于是恒成立.所以 .故选B. √ 返回导航 18 三 基本不等式的实际应用 ［例3］ （对接教材例4）某地要修建一个面积为 的矩形场地，要 求矩形场地的一面利用旧墙（利用的旧墙需维修），其他三面围墙要新建， 在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为 的进出口，如图.已知旧墙的维修 费用为45元/，新墙的造价为180元/.设利用的旧墙长度为 （单位：），修建此矩形场地的围墙的总费用为 （单位：元）.试确定 的值，使修建此矩形场地的围墙的总费用 最少，并求出最少总费用. 返回导航 19 【解】 设矩形场地与旧墙相邻的围墙的边长为 ,则 . 由已知得,则 , 所以 . 因为 , 所以 , 所以 , 返回导航 20 当且仅当,即 时,等号成立. 故当时，修建此矩形场地的围墙的总费用 最少，最少总费用是 10 440元. 返回导航 利用基本不等式解决实际问题的步骤 （1）先理解题意，设变量.设变量时,一般把要求最大值或最小值的变量定 为函数； （2）建立相应的函数关系式,把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题； （3）在定义域内求出函数的最大值或最小值； （4）写出正确答案. 返回导航 22 ［跟踪训练3］ 某货轮匀速行驶在相距300海里的甲、乙两地间运输货物， 运输成本由燃料费用和其他费用组成.已知该货轮每小时的燃料费用与其航 行速度的平方成正比（比例系数为 ），其他费用为每小时800元，且该 货轮的最大航行速度为50海里/时. 返回导航 23 （1）请将该货轮从甲地到乙地的运输成本（单位：元）用航行速度 （单位：海里/时）表示； 解：由题意，每小时的燃料费用为 元， 从甲地到乙地所用的时间为 小时， 则 . 返回导航 （2）要使从甲地到乙地的运输成本最少，该货轮应以多大的航行速度行驶？ 解：由（1）得 , 当且仅当,即 时等号成立. 故要使该货轮从甲地到乙地的运输成本最少，该货轮应以40海里/时的速度 行驶. 返回导航 25 培优点 基本不等式链 基本不等式链: 若，，则 . （ 其中和 分别叫做， 的调和平均数和平方平均数）. 证明：因为，所以，即 .又因为 ， 所以.又由基本不等式得 ， 故，当且仅当 时，等号成立. 返回导航 26 ［典例］ （多选）若，满足 ，则( ) A. B. C. D. 解析：由基本不等式链: , 可得 . 对于A，B， 可变形为 √ √ 返回导航 27 ，即，即 ，从而 ，当且仅当时， ，当且仅当 时， ，所以A错误，B正确； 对于C，由可变形为 ，解得 ，当且仅当 时取等号，所以C正确； 对于D，当,时，满足， ，所以 D错误. 返回导航 基本不等式链丰富了基本不等式的内涵，实现了正实数， 的倒数和、 乘积、和、平方和之间的转化，对于一些不等式的证明和最值问题提供了 更多思路，注意各不等式中等号成立的条件仍然是当且仅当 . 返回导航 29 ［练习1］ 若正实数,满足，则 的最大值为( ) A. B. C. D. 解析：选A.因为，，,所以 ，即 ，当且仅当 时，等号成立，所 以的最大值为 . √ 返回导航 30 ［练习2］ 已知,,,都是正实数，且，,则与 的大小关系是_________. 解析：因为，所以，当且仅当 时，等号成 立.而，所以，当且仅当 时，等号成立. 所以 . 返回导航 31 PART 02 课堂巩固 自测 32 1.已知正数,满足，则 的最大值是( ) A. B. C. D. 解析：选A.因为正数,满足，所以 ， 当且仅当 时，等号成立. √ 返回导航 33 2.已知,,且,则 的最小值为____. 16 解析：因为,所以.因为 , ,所以,当且仅当，即, 时，等 号成立.所以 的最小值为16. 返回导航 34 3.某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获 得的总利润（单位：万元）与机器运转时间 （单位：年）的关系为 ,则当每台机器运转___年时，年平均利润最 大，最大值为___万元. 5 8 解析：每台机器运转年的年平均利润为,且 ,故 .当且仅当,即 时,等号成 立，此时年平均利润最大，最大值为8万元. 返回导航 35 4.已知正数,满足, . （1）求 的最大值； 解：由 ， 得，当且仅当 时，等号成立， 则，得，即 的最大值为1. 返回导航 36 （2）求 的最小值. 解：由，得 ， 得 ， 当且仅当，即时，等号成立.故的最小值为 . 返回导航 37 1.已学习：（1）灵活利用基本不等式求最值；（2）基本不等式的实际应用. 2.须贯通：（1）利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，要采用 “拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用基本不等式的条件；（2）求 解应用题的方法与步骤:①审题；②建模（列式）；③求解；④作答. 3.应注意:基本不等式成立的条件. 返回导航 38 $