专题突破：常用逻辑用语中的参数问题（2考点+5题型）-2024-2025学年上学期高一数学同步讲与练（人教A版2019必修第一册）

专题突破：常用逻辑用语中的参数问题 内容导图预览 思路方法总结 考点一、已知充分、必要条件求参数 1、解题思路：转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（或不等式组）求解，最后要注意区间端点值的检验。 2、充分、必要条件与集合的关系 若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}， 则由可得，p是q的充分条件， ①若，则p是q的充分不必要条件； ②若，则p是q的必要条件； ③若，则p是q的必要不充分条件； ④若A＝B，则p是q的充要条件； ⑤若且，则p是q的既不充分也不必要条件． 【注意】充分必要条件判断精髓 小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件；若两个集合范围一样，就是充要条件的关系． 考点二、含有量词的命题求参问题 1、利用含量词问题的真假求参数范围的技巧 （1）首先根据全称量词和存在量词的含义透彻地理解题意. （2）其次根据含量词命题的真假把命题的真假问题转化为集合间的关系或函数的最值问题，再转化为关于参数的不等式(组）求参数的取值范围. 具体如下： ①对于全称量词命题“(或)”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数y的最大值（或最小值)，即(或). ②对于存在量词命题“（或）”为真的问题，实质就是不等式能成立问题，通常转化为求函数y的最小值（或最大值），即(或). 2、注意事项 （1）全称量词命题求参数范围的问题，常以一次函数、二次函数等为载体进行考察，一般在题目中会出现“恒成立”等词语，解决此类问题时，可构造函数，利用数形结合求参数范围，也可用分离参数法求参数范围； （2）存在量词命题求参数范围的问题中常出现“存在”等词语，对于此类问题，通常假设存在满足条件的参数，然后利用条件求参数范围，若能求出参数范围，则假设成立；否则，假设不成立。解决有关存在量词命题的参数的取值范围问题时，应尽量分离参数。 典例·举一反三 题型一 已知充分（不必要）条件求参数 例1．若关于的不等式成立的充分条件是，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 跟踪训练1 1．已知，，若p是q的充分不必要条件，则实数a的值为（    ） A．2 B．4 C．2或4 D．-2或-4 2．已知，若是成立的充分不必要条件，则实数的取值范围是 ． 3．已知集合，或，． (1)求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 4．已知集合，集合，集合，且． (1)求实数a的值组成的集合； (2)若，是的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 题型二 已知必要（不充分）条件求参数 例2．已知集合，，若是的必要不充分条件，则实数的所有可能取值构成的集合为（    ） A． B． C． D． 跟踪训练2 1．已知：，：，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．已知命题“方程至少有一个负实根”，若为真命题的一个必要不充分条件为，则实数的取值范围是 ． 3．已知：：或. (1)若是的充分条件，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 4．设全集，集合，非空集合 (1)若是的充分条件，求实数的取值范围； (2)若是的必要条件，求实数的取值范围. 题型三 已知充要条件求参数 例3．方程与有一个公共实数根的充要条件是（    ）． A． B． C． D． 跟踪训练3 1．已知集合，若是的充要条件，则整数（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．设集合，若集合，，则的充要条件是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．已知条件：；条件：；条件：.若是的充要条件，则 .若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是 . 4．设集合，命题，命题 (1)若是的充要条件，求正实数的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求正实数的取值范围. 题型四 已知全称量词命题的真假求参数 例4．“，”为真命题，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 跟踪训练4 1．已知为实数，使“，”为真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 2．若命题是假命题，则实数的取值范围为 . 3．已知命题p：，使得．若是真命题，则实数a的取值范围为 ． 4．已知命题“”为真命题，记实数m的取值为集合A． (1)求集合A； (2)设集合，若是的必要不充分条件，求实数a的取值范围． 题型五 已知存在量词命题的真假求参数 例5．已知集合，，若命题“”为假命题，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 跟踪训练5 1．若命题“，使得”是真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．若命题“，使得”是假命题，则实数的取值范围是　　． 3．已知命题：“，”为假命题，设实数的所有取值构成的集合为. (1)求集合； (2)设集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 4．已知命题，；命题，. (1)若命题q为真命题，求实数m的取值范围； (2)若命题p，q中恰有一个为真命题，求实数m的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题突破：常用逻辑用语中的参数问题 内容导图预览 思路方法总结 考点一、已知充分、必要条件求参数 1、解题思路：转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（或不等式组）求解，最后要注意区间端点值的检验。 2、充分、必要条件与集合的关系 若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}， 则由可得，p是q的充分条件， ①若，则p是q的充分不必要条件； ②若，则p是q的必要条件； ③若，则p是q的必要不充分条件； ④若A＝B，则p是q的充要条件； ⑤若且，则p是q的既不充分也不必要条件． 【注意】充分必要条件判断精髓 小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件；若两个集合范围一样，就是充要条件的关系． 考点二、含有量词的命题求参问题 1、利用含量词问题的真假求参数范围的技巧 （1）首先根据全称量词和存在量词的含义透彻地理解题意. （2）其次根据含量词命题的真假把命题的真假问题转化为集合间的关系或函数的最值问题，再转化为关于参数的不等式(组）求参数的取值范围. 具体如下： ①对于全称量词命题“(或)”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数y的最大值（或最小值)，即(或). ②对于存在量词命题“（或）”为真的问题，实质就是不等式能成立问题，通常转化为求函数y的最小值（或最大值），即(或). 2、注意事项 （1）全称量词命题求参数范围的问题，常以一次函数、二次函数等为载体进行考察，一般在题目中会出现“恒成立”等词语，解决此类问题时，可构造函数，利用数形结合求参数范围，也可用分离参数法求参数范围； （2）存在量词命题求参数范围的问题中常出现“存在”等词语，对于此类问题，通常假设存在满足条件的参数，然后利用条件求参数范围，若能求出参数范围，则假设成立；否则，假设不成立。解决有关存在量词命题的参数的取值范围问题时，应尽量分离参数。 典例·举一反三 题型一 已知充分（不必要）条件求参数 例1．若关于的不等式成立的充分条件是，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用充分条件的定义求解. 【详解】解：由得：， 因为成立的充分条件是， 所以，即， 解得， 故选：D 跟踪训练1 1．已知，，若p是q的充分不必要条件，则实数a的值为（    ） A．2 B．4 C．2或4 D．-2或-4 【答案】C 【解析】求出对应的集合分别为，由求解. 【详解】令， ， 由已知，且，∴. ∴或，解得或. 故选：C. 【点睛】本题考查充分必要条件的判断，解题关键是掌握充分必要条件与集合包含之间的关系． 命题对应集合，命题对应集合是，则是的充分条件，是的必要条件，是的充要条件，是的充分不必要条件，是的必要不充分条件． ． 2．已知，若是成立的充分不必要条件，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】设，，根据是成立的充分不必要条件求出集合与的关系，列不等式组求解. 【详解】设，， 是成立的充分不必要条件， 真包含，则或， 解得，的取值范围是． 故答案为：. 3．已知集合，或，． (1)求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出集合，再求出，最后由交集的运算求出； （2）先求出，再求出，再由充分不必要条件构造关于的方程组，解出即可. 【详解】（1）因为，又， 所以. （2）或，所以， 因为“”是“”的充分不必要条件， 则，又， 所以. 4．已知集合，集合，集合，且． (1)求实数a的值组成的集合； (2)若，是的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出集合，然后根据得到，由此分析集合并求解出的值，则结果可知； （2）先求解出，然后将问题转化为“是C的真子集”，由此列出关于的不等式，则结果可求. 【详解】（1）因为， 由，知，则或或， 当时，所以， 当时，所以， 当时，所以， 所以的取值集合为． （2）由题意得，，故， 又是的充分不必要条件， 所以是的真子集，于是， 解得：，经检验符合条件， 综上，实数m的取值范围是． 题型二 已知必要（不充分）条件求参数 例2．已知集合，，若是的必要不充分条件，则实数的所有可能取值构成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意，对集合分等于空集和不等于空集两种情况讨论，分别求出符合题意的的值即可． 【详解】由题，，， 当时，有，符合题意； 当时，有，此时，所以或，所以. 综上，实数的所有可能的取值组成的集合为. 故选：A. 跟踪训练2 1．已知：，：，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将是的必要不充分条件转化为，然后根据集合间的包含关系列不等式求解即可. 【详解】设，， 因为是的必要不充分条件，所以， 所以，解得， 当时，，成立， 所以. 故选：A. 2．已知命题“方程至少有一个负实根”，若为真命题的一个必要不充分条件为，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先求得为真命题时的取值范围，再根据必要不充分条件求得的取值范围. 【详解】若命题“方程至少有一个负实根”为真命题， 时，，符合题意； 当时，，且， 则此时方程有一个正根和一个负根，符合题意； 当时，由，解得， 此时方程为符合题意； 由解得，此时， 则此时方程有两个负根，符合题意. 综上所述，为真命题时，的取值范围是. 若为真命题的一个必要不充分条件为， 则. 故答案为： 【点睛】含参数的一元二次方程根的分布问题，可采用直接讨论法来进行研究，也可以采用分离参数法来进行研究，如果采用直接讨论法，在分类讨论的过程中，要注意做到不重不漏.求命题的必要不充分条件，可转化为找一个比本身“大”的范围来进行求解. 3．已知：：或. (1)若是的充分条件，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)或； (2)． 【分析】（1）先求出范围，依题意是的充分条件，由集合之间的包含关系，列出不等式求解即可； （2）先写出的范围，由p是的必要不充分条件，则表示的集合是所表示集合的真子集，列出不等式求解即可. 【详解】（1）因为p：，所以p：，即， 因为p是q的充分条件，所以或， 解得或，即实数的取值范围是或； （2）依题意，：，由（1）知p：， 又p是的必要不充分条件，所以，其中等号不能同时取到， 解得，即实数m的取值范围是． 4．设全集，集合，非空集合 (1)若是的充分条件，求实数的取值范围； (2)若是的必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据是的充分条件，由求解； （2）根据是的必要条件，由求解. 【详解】（1）已知全集，集合，非空集合， 因为是的充分条件， 所以，即，解得， 所以实数的取值范围是； （2）因为是的必要条件， 所以，即，解得， 所以实数的取值范围是. 题型三 已知充要条件求参数 例3．方程与有一个公共实数根的充要条件是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用判别式求得的取值范围，然后结合充要条件的知识求得的值. 【详解】方程有实根，故， 解得或. 方程有实根，故， 解得. 综上所述，，只有D选项符合. 若方程与有一个公共实数根，设公共实根为， 则，两式相减得， 由于，所以， 所以. 当时，两个方程分别为、， 方程的两个根为； 方程的两个根为； 即方程与有一个公共实数根. 综上所述，方程与有一个公共实数根的充要条件是. 故选：D 跟踪训练3 1．已知集合，若是的充要条件，则整数（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】解绝对值不等式，根据是的充要条件，得到不等式，解得，得到答案. 【详解】， 由于是的充要条件，， 所以，解得， 故整数. 故选：D 2．设集合，若集合，，则的充要条件是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】先根据集合的运算，求得，结合，列出不等式组，即可求解. 【详解】由题意，可得， 因为，所以，解得，反之亦成立， 所以的充要条件是． 故选：A． 3．已知条件：；条件：；条件：.若是的充要条件，则 .若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是 . 【答案】 2 【解析】由是的充要条件，建立方程组，解之求得.由 是的必要不充分条件，建立不等式组，解之求得实数的取值范围. 【详解】由条件可得，因为是的充要条件，所以，解得. 因为是的必要不充分条件，所以，解得. 故答案为：2；． 4．设集合，命题，命题 (1)若是的充要条件，求正实数的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求正实数的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据是的充要条件转化为求解即可； （2）根据是的充分不必要条件，得真包含于，列出不等式求解即可. 【详解】（1）由条件， 是的充要条件， 得，即，解得， 所以实数的取值范围是. （2）由是的充分不必要条件，得真包含于， 所以，或，解得， 综上实数的取值范围是. 题型四 已知全称量词命题的真假求参数 例4．“，”为真命题，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】将分离，可得，令，只需 ，再求即可求解. 【详解】由，可得：， 令 ，只需 ， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以， 所以， 故选：A 【点睛】思路点睛：不等式恒成立问题一般采用分离参数法求参数范围 若不等式（是实参数）恒成立，将转化为或恒成立，进而转化为或，求的最值即可. 跟踪训练4 1．已知为实数，使“，”为真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据全称量词命题的真假性求得的取值范围，然后确定其充分不必要条件. 【详解】解：依题意，全称量词命题：为真命题， 所以，在区间上恒成立，所以， 所以使“”为真命题的一个充分不必要条件是“”. 故选：B 2．若命题是假命题，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据全称量词命题为假命题，则其否定为真命题，即为真命题，则，计算可得； 【详解】解：因为命题为假命题， 所以即为真命题， 所以，解得，即 故答案为： 【点睛】本题考查全称量词命题的真假求参数的取值范围，属于基础题. 3．已知命题p：，使得．若是真命题，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由得出，然后分和讨论即可得结果. 【详解】解：由于，则， 当时，，显然满足题意； 当时，，解得， 综上可知：实数a的取值范围是. 4．已知命题“”为真命题，记实数m的取值为集合A． (1)求集合A； (2)设集合，若是的必要不充分条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2)实数a的取值范围为. 【分析】(1)把给定命题转化为不等式恒成立，再利用判别式求解. (2)由列出不等关系，求解即可. 【详解】（1）依题意，关于x的不等式恒成立， 于是得，解得， 所以实数的取值的集合. （2）∵是的必要不充分条件，∴. ∴或， 得，所以实数a的取值范围为. 题型五 已知存在量词命题的真假求参数 例5．已知集合，，若命题“”为假命题，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用命题的否定是真命题，来求解参数范围. 【详解】命题“”为假命题，则命题的否定“”是真命题， 因为，， 所以，又因为，所以， 故选：C. 跟踪训练5 1．若命题“，使得”是真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用特称命题的真假计算参数即可. 【详解】由题意可知=“，使得”成立，即方程有实数解， 所以. 故选：D 2．若命题“，使得”是假命题，则实数的取值范围是　　． 【答案】 【分析】由命题的否定为真命题，结合一元二次不等式恒成立有，即可求得. 【详解】命题“，使得”是假命题， 则“，使得”是真命题， 则，解得，所以的取值范围是. 故答案为：. 3．已知命题：“，”为假命题，设实数的所有取值构成的集合为. (1)求集合； (2)设集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）为假命题时，既可转化为关于的一元二次方程无解，然后利用判别式即可； （2）由是的必要不充分条件可得，然后分为空集和非空集两种情况讨论即可. 【详解】（1）因为命题为假命题，故关于的一元二次方程无解， 即，解得，故集合； （2）由是的必要不充分条件，可知， 当时，既，解得，此时满足， 当时，如图所示，    故且等号不同时成立， 解得， 综上所述，的取值范围是. 4．已知命题，；命题，. (1)若命题q为真命题，求实数m的取值范围； (2)若命题p，q中恰有一个为真命题，求实数m的取值范围. 【答案】(1)或 (2)或或 【分析】（1）根据判别式即可求解, （2）分别求解为真命题时的范围，即可分两种情况求解. 【详解】（1）由题意可知，得或 （2）命题p为真命题时， 若时，显然满足， 当时，则，解得， 综上可得p为真命题时，； 当命题p真q假时，，解得； 当命题p假q真时，得或 所以当命题p，q中恰有一个为真命题时，实数m的取值范围为或或. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$