专题2.5 一元二次函数、方程和不等式（能力提升卷）-2024-2025学年高一数学必考点分类集训系列（人教A版2019必修第一册）

专题2.5 一元二次函数、方程和不等式（能力提升卷） 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（23-24高二上·江苏常州·期末）如果，，那么（    ） A． B． C． D． 2．（2024高一上·山西朔州·阶段练习）若的解集是，则等于（    ） A．-14 B．-6 C．6 D．14 3．（2024高一·全国·课后作业）若a>0，b>0，且a2＋3b2＝6，则ab的最大值为（    ） A．1 B． C． D．2 4．（23-24高一上·河南开封·期中）若，，则m与n的大小关系是（    ） A． B． C． D． 5．（2024高二下·江苏淮安·阶段练习）命题：，是假命题，则实数的值可能是（    ） A． B． C．2 D． 6．（23-24高二上·内蒙古包头·期中）已知x>1，则的最小值是（    ） A．2＋2 B．2－2 C．2 D．2 7．（2024高一上·江苏南京·阶段练习）关于的不等式任意两个解得差不超过14，则的最大值与最小值的差是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 8．（2024高一·全国·单元测试）已知 且，若恒成立，则实数m的取值范围是（    ） A． B．} C． D． 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（2024高三上·山东济宁·阶段练习）命题“，使”是假命题，则实数m的取值可以为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 10．（2024高一上·江苏·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．， B．，则 C．，则 D．若 R，则+ |2ab| 11．（2024高三上·河北·阶段练习）已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（23-24高一上·贵州黔西·期末）已知，，且，则的最小值为 ． 13．（23-24高一上·山西·期中）若非零实数，满足，则的最大值为 . 14．（2024高一上·重庆渝中·阶段练习）已知不等式的解集为，且，则 ． 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（2024高一·全国·课后作业）已知关于的不等式的解集是，求实数的取值范围． 16．（2024高一上·湖南邵阳·阶段练习）（1）当时，不等式恒成立，求的取值范围； （2）解关于不等式 17．（2024高一上·安徽合肥·阶段练习）已知. （1）若，求的最小值； （2）若，求的最小值. 18．（23-24高二下·陕西·期末）已知不等式的解集为或. （1）求实数，的值； （2）若，，求的最小值. 19．（23-24高二下·江苏·期末）首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题.某单位在国家科研部门的支持下进行技术攻关，采取了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本 (元)与月处理量 (吨)之间的函数关系可近似的表示为 ，且处理每吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元. (1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ (2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使单位不亏损？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.5 一元二次函数、方程和不等式（能力提升卷） 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（23-24高二上·江苏常州·期末）如果，，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的性质，对四个选项进行判断，从而得到答案. 【详解】因为，所以，故A错误； 因为，当时，得，故B错误； 因为，所以，故C错误； 因为，所以，故D正确. 故选：D. 【点睛】本题考查不等式的性质，属于简单题. 2．（2024高一上·山西朔州·阶段练习）若的解集是，则等于（    ） A．-14 B．-6 C．6 D．14 【答案】A 【分析】由一元二次不等式的解集，结合根与系数关系求参数a、b，即可得. 【详解】∵的解集为， ∴-5和2为方程的两根， ∴有，解得， ∴. 故选：A. 3．（2024高一·全国·课后作业）若a>0，b>0，且a2＋3b2＝6，则ab的最大值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】由题得6＝a2＋3b2≥2ab，即得ab的最大值. 【详解】因为6＝a2＋3b2≥2ab， 所以ab≤，当且仅当a2＝3b2，即a＝，b＝1时等号成立， 所以ab的最大值为. 故选：C. 【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平. 4．（23-24高一上·河南开封·期中）若，，则m与n的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用作差法计算即可. 【详解】， 当且仅当时取得等号. 故选：D 5．（2024高二下·江苏淮安·阶段练习）命题：，是假命题，则实数的值可能是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】由题意可知：，，利用判别式小于0即可求解. 【详解】因为命题：，是假命题， 所以命题：，是真命题，也即，恒成立， 则有，解得：，根据选项的值，可判断选项B符合， 故选：B. 6．（23-24高二上·内蒙古包头·期中）已知x>1，则的最小值是（    ） A．2＋2 B．2－2 C．2 D．2 【答案】A 【分析】用换元法变形．然后由基本不等式得最小值． 【详解】因为，设， ，当且仅当，即，时，等号成立． 故选：A 7．（2024高一上·江苏南京·阶段练习）关于的不等式任意两个解得差不超过14，则的最大值与最小值的差是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】先分类求不等式的解集，再根据任意两个解的差不超过14，分类求得的范围，可得的最大值与最小值的差． 【详解】不等式， 时解集为，时解集为， 时解集为， 由题意可得时，时， 解得， 则的最大值与最小值的差为4， 故选：B. 8．（2024高一·全国·单元测试）已知 且，若恒成立，则实数m的取值范围是（    ） A． B．} C． D． 【答案】D 【分析】根据基本不等式可取的最小值，从而可求实数m的取值范围. 【详解】∵，且， ∴， 当且仅当时取等号，∴， 由恒成立可得， 解得：， 故选：D. 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（2024高三上·山东济宁·阶段练习）命题“，使”是假命题，则实数m的取值可以为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】CD 【分析】由题可得，使是真命题，然后分类讨论结合二次不等式的解法即得. 【详解】若，使是假命题， 则，使是真命题， 当时，转化，不合题意； 当时，则， 解得， 综上，. 故选：CD. 10．（2024高一上·江苏·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．， B．，则 C．，则 D．若 R，则+ |2ab| 【答案】ACD 【分析】根据不等式的性质判断各选项． 【详解】选项A，，又， ∴，∴，A正确； 选项B，，又，∴，B错； 时，， ∴ 所以，C正确； ，当且仅当时等号成立，D正确． 故选：ACD． 11．（2024高三上·河北·阶段练习）已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】结合不等式的基本性质，根据基本不等式逐一验证各选项即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴，∴，故A正确； ，∴，故B错误； ，故C正确； ，故D正确． 故选：ACD． 【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，考查计算能力，属于中档题． 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（23-24高一上·贵州黔西·期末）已知，，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】由已知变形可得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为，，且，则， 所以，， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为. 故答案为：. 13．（23-24高一上·山西·期中）若非零实数，满足，则的最大值为 . 【答案】 【分析】设出，，则，故，由基本不等式求出，得到. 【详解】令，，则， 所以， 因为，所以, 所以，所以， 从而，当且仅当时，等号成立， 故取得最大值. 故答案为：. 14．（2024高一上·重庆渝中·阶段练习）已知不等式的解集为，且，则 ． 【答案】 【分析】根据一元二次不等式解集的性质，结合一元二次方程根的判别式、根与系数的关系进行求解即可. 【详解】因为不等式的解集为， 所以方程有两个不相等的实根， 即或，则有， 即，或，而或，所以， 故答案为： 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（2024高一·全国·课后作业）已知关于的不等式的解集是，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】先判断分母恒为正，将不等式进行转化，结合一元二次不等式的性质进行求解即可． 【详解】∵恒成立， ∴不等式等价为恒成立， 若，则不等式等价为，满足条件． 若，则要使不等式恒成立，则满足， 即，即，解得， 综上． 【点睛】本题主要考查不等式的求解，将不等式转化为一元二次不等式是解决本题的关键，属于中档题. 16．（2024高一上·湖南邵阳·阶段练习）（1）当时，不等式恒成立，求的取值范围； （2）解关于不等式 【答案】（1）；（2）答案见解析. 【分析】（1）分离参数得恒成立，只需求的最小值即可； （2）分，，，，五种情况讨论. 【详解】（1）不等式化为， 当时，，， 所以原不等式可化为恒成立， 设，易知y的最小值为，即. （2）不等式可化为， 即， ①当时，不等式的解集为； ②当时，方程的两根为和， 当时，不等式的解集为或， 当时， （i）若，即，原不等式的解集为； （ii）若，即，原不等式的解集为； （iii）若，即，原不等式的解集为， 综上所得： 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 17．（2024高一上·安徽合肥·阶段练习）已知. （1）若，求的最小值； （2）若，求的最小值. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）由已知得，根据基本不等式可求得的最小值； （2）由已知得，根据基本不等式可求得的最小值. 【详解】（1）因为，由， 得，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. （2）因为，，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 【点睛】本题考查基本不等式的应用之求最值，关键在于构造出基本不等式所需的形式，运用还需注意基本不等式所满足的条件，属于中档题. 18．（23-24高二下·陕西·期末）已知不等式的解集为或. （1）求实数，的值； （2）若，，求的最小值. 【答案】（1），；（2）9. 【解析】（1）根据一元二次不等式的解法，得到对应二次方程的两根，利用韦达定理建立方程组，求解即得； （2）由于,利用“×1”法，将所求式子时当整理变形，利用基本不等式求最值即可. 【详解】（1）根据题意，不等式的解集为或， 则方程的两个根是1和4，则有，，即，. （2）由（1）知，因为，所以，所以， 所以， 当且令当，即时，等号成立，所以的最小值为9. 【点睛】本题考查已知二次不等式的解集求参数的值和利用基本不等式求最值，属基础题. 19．（23-24高二下·江苏·期末）首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题.某单位在国家科研部门的支持下进行技术攻关，采取了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本 (元)与月处理量 (吨)之间的函数关系可近似的表示为 ，且处理每吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元. (1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ (2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使单位不亏损？ 【答案】(1)400吨； (2)不获利，需要国家每个月至少补贴40000元才能不亏损. 【分析】（1）由题设平均每吨二氧化碳的处理成本为，应用基本不等式求其最小值，注意等号成立条件. （2）根据获利，结合二次函数的性质判断是否获利，由其值域确定最少的补贴额度. 【详解】（1）由题意知，平均每吨二氧化碳的处理成本为； 当且仅当 ，即 时等号成立， 故该当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低为200元. （2）不获利，设该单位每个月获利为S元，则 ， 因为，则， 故该当单位每月不获利，需要国家每个月至少补贴40000元才能不亏损. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$