微练20 导数与不等式证明(Word练习)-【赢在微点·顶层设计】2025年高中数学高考一轮总复习

微练(二十)　导数与不等式证明 1.已知函数f(x)=ex-ax(e为自然对数的底数,a为常数)的图象在点(0,1)处的切线斜率为-1。 (1)求a的值及函数f(x)的极值; (2)证明:当x>0时,x2<ex。 解　(1)由f(x)=ex-ax,得f'(x)=ex-a。因为f'(0)=1-a=-1,所以a=2,所以f(x)=ex-2x,f'(x)=ex-2。令f'(x)=0,得x=ln 2,当x<ln 2时,f'(x)<0,f(x)在(-∞,ln 2)上单调递减;当x>ln 2时,f'(x)>0,f(x)在(ln 2,+∞)上单调递增。所以当x=ln 2时,f(x)取得极小值,且极小值为f(ln 2)=eln 2-2ln 2=2-2ln 2,f(x)无极大值。 (2)证明:令g(x)=ex-x2,则g'(x)=ex-2x。由(1)得g'(x)=f(x)≥f(ln 2)>0,故g(x)在(-∞,+∞)上单调递增。所以当x>0时,g(x)>g(0)=1>0,即x2<ex。 2.设函数f(x)=2xln x+1。 (1)求f(x)的最小值; (2)证明:f(x)≤x2-x++2ln x。 解　(1)f'(x)=2(ln x+1),当x∈时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x∈时,f'(x)>0,f(x)单调递增。所以当x=时,f(x)取得最小值为f。 (2)证明:x2-x++2ln x-f(x)=x(x-1)--2(x-1)ln x=(x-1),令g(x)=x--2ln x,则g'(x)=1+≥0,所以g(x)在(0,+∞)上单调递增,又g(1)=0,所以当0<x<1时,g(x)<0,当x>1时,g(x)>0,所以(x-1)·≥0,即f(x)≤x2-x++2ln x。 3.(2021·全国乙卷)已知函数f(x)=ln(a-x),已知x=0是函数y=xf(x)的极值点。 (1)求a; (2)设函数g(x)=,证明:g(x)<1。 解　(1)由题意,得y=xf(x)=xln(a-x)(x<a),则y'=ln(a-x)+x[ln(a-x)]'。因为x=0是函数y=xf(x)的极值点,所以y'|x=0=ln a=0,解得a=1。经检验,a=1满足题意。所以a=1。 (2)证明:由(1)可知,f(x)=ln(1-x),其定义域为{x|x<1},当0<x<1时,ln(1-x)<0,此时xf(x)<0,当x<0时,ln(1-x)>0,此时xf(x)<0。易知g(x)的定义域为{x|x<1,且x≠0},故要证g(x)=<1,只需证x+f(x)>xf(x),即证x+ln(1-x)-xln(1-x)>0。令1-x=t,则t>0且t≠1,则只需证1-t+ln t-(1-t)ln t>0,即证1-t+tln t>0。令h(t)=1-t+tln t,则h'(t)=-1+ln t+1=ln t,当t>1时,h'(t)>0;当0<t<1时,h'(t)<0。所以h(t)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以当t>0且t≠1时,h(t)>h(1)=0,即g(x)<1成立。 4.已知函数f(x)=ex2-xln x。求证:当x>0时,f(x)<xex+。 证明　要证f(x)<xex+,只需证ex-ln x<ex+,即证ex-ex<ln x+。令h(x)=ln x+(x>0),则h'(x)=,易知h(x)在上单调递减,在上单调递增,则h(x)min=h=0,所以ln x+≥0。再令φ(x)=ex-ex(x>0),则φ'(x)=e-ex,易知φ(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,则φ(x)max=φ(1)=0,所以当x>0时,ex-ex≤0。因为h(x)与φ(x)不同时为0,所以ex-ex<ln x+,故原不等式成立。 5.已知函数f(x)=aln x-(a∈R)。 (1)若f(x)≤0,求实数a的取值范围; (2)证明:-1(n∈N*)。 解　(1)因为f'(x)=。当a=0时,f(x)=-<0,符合题意。当a<0时,f'(x)<0,f(x)在(0,+∞)上单调递减,而f()=1->0,不合题意。当a>0时,令f'(x)>0,得0<x<4a2;令f'(x)<0,得x>4a2,即f(x)在(0,4a2)上单调递增,在(4a2,+∞)上单调递减,所以f(x)max=f(4a2)=aln(4a2)-≤0,解得0<a≤。综上,实数a的取值范围为。 (2)证明:由(1)知,当a=1时,ln x-<0,即ln x<,所以0<ln(n2+n)=ln(n+1)+ln n<,得,所以>(-1)+()+…+()=-1,故原不等式成立。 6.(2024·江苏南通模拟)已知函数f(x)=。 (1)求曲线y=f(x)在点(-e,f(-e))处的切线方程; (2)若xi=2,xi>0,n≥2且n∈N,证明:f(xi)≤2。 解　(1)由f(x)=可得f'(x)=,故f'(-e)==ee(1+e),而f(-e)==-ee+1,所以曲线y=f(x)在点(-e,f(-e))处的切线方程为y+ee+1=ee(1+e)(x+e),即y=ee(1+e)x+ee+2。 (2)证明:设曲线y=f(x)=在点(a,f(a))处的切线斜率为k,0<a<2,由(1),得k=f'(a)=,且f(a)=,故曲线y=f(x)在点(a,f(a))处的切线方程为y=。设g(x)=(0<x≤2),则g'(x)=,g'(a)=0。设h(x)=(0<x≤2),则h'(x)=,因为0<x≤2,所以h'(x)≥0,仅在x=2时取等号,故h(x)在(0,2]上单调递增,且h(a)=0。故当0<x<a时,g'(x)=h(x)<0;当a<x≤2时,g'(x)=h(x)>0。故g(x)≥g(a)=0,即(0<x≤2),易得x1,x2,…,xn∈(0,2),则f(xi)=+…+(x1+x2+…+xn)+。不妨令a=,则,即f(xi)≤2。 学科网（北京）股份有限公司 $$