微练17 导数与函数的单调性(Word练习)-【赢在微点·顶层设计】2025年高中数学高考一轮总复习

微练(十七)　导数与函数的单调性 基础应用 一、单项选择题 1.函数f(x)=xln x+1的单调递减区间是 (C) A. B. C. D.(e,+∞) 解析　f'(x)=1+ln x(x>0),令f'(x)<0,得0<x<,所以f(x)的单调递减区间为。故选C。 2.已知x∈(0,π),则函数f(x)=excos x的单调递增区间为 (C) A. B. C. D. 解析　f'(x)=ex(cos x-sin x),令f'(x)>0,即cos x-sin x>0,因为x∈(0,π),所以0<x<,故函数f(x)的单调递增区间是。故选C。 3.函数f(x)(其定义域为[-m,m])的图象如图所示,若f(x)的导函数为f'(x),则y=f'(x)的图象可能是 (A) 解析　由f(x)的图象知f(x)在(-m,0)上先减后增,故f'(x)在(-m,0)上先负后正,同理f'(x)在(0,m)上先负后正,结合选项,只有选项A符合。故选A。 4.已知函数f(x)=sin x+cos x-2x,a=f(-π),b=f(2e),c=f(ln 2),则a,b,c的大小关系是 (A) A.a>c>b B.a>b>c C.b>a>c D.c>b>a 解析　函数f(x)的定义域为R,f'(x)=cos x-sin x-2=-2<0,因此函数f(x)在R上单调递减,而-π<0<ln 2<1<2e,则f(-π)>f(ln 2)>f(2e),即a>c>b。故选A。 5.若函数f(x)=x2+ax+4的单调递减区间为[-1,4],则实数a的值为 (D) A.-2 B.-1 C.3 D.-4 解析　因为f'(x)=x2-3x+a,且f(x)的单调递减区间为[-1,4],所以f'(x)=x2-3x+a≤0的解集为[-1,4],所以-1,4是方程f'(x)=0的两根,则a=(-1)×4=-4。故选D。 6.(2024·四省适应性测试)设函数f(x),g(x)在R上的导函数存在,且f'(x)<g'(x),则当x∈(a,b)时 (C) A.f(x)<g(x) B.f(x)>g(x) C.f(x)+g(a)<g(x)+f(a) D.f(x)+g(b)<g(x)+f(b) 解析　对于A,B,不妨设f(x)=-2x,g(x)=1,则f'(x)=-2,g'(x)=0,满足f'(x)<g'(x),若x=-1∈(a,b),则f(-1)=2>1=g(-1),故A不正确;若x=0∈(a,b),则f(0)=0<1=g(0),故B不正确。对于C,D,令h(x)=f(x)-g(x),则h'(x)=f'(x)-g'(x)<0,所以h(x)在R上单调递减。因为x∈(a,b),即a<x<b,所以h(b)<h(x)<h(a)。由h(x)<h(a),得f(x)-g(x)<f(a)-g(a),则f(x)+g(a)<g(x)+f(a),故C正确;由h(b)<h(x),得f(b)-g(b)<f(x)-g(x),则f(x)+g(b)>g(x)+f(b),故D不正确。故选C。 二、多项选择题 7.(2024·浙江嘉兴测试)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在R上单调递增,f'(x)为其导函数,则下列结论正确的是 (AC) A.f'(1)≥0 B.f(1)≥0 C.a2-3b≤0 D.a2-3b≥0 解析　因为函数f(x)=x3+ax2+bx+c,所以f'(x)=3x2+2ax+b。因为函数f(x)在R上单调递增,所以f'(x)≥0对于任意的x∈R恒成立,所以f'(1)≥0恒成立,但f(1)大小未知。对于方程3x2+2ax+b=0,Δ=4a2-12b≤0,即a2-3b≤0。故选AC。 8.已知a>b>1,e为自然对数的底数,则下列不等式一定成立的是 (ACD) A.aea>beb B.aln b>bln a C.aln a>bln b D.bea>aeb 解析　设f(x)=xex,x>1,则f'(x)=(x+1)ex>0在(1,+∞)上恒成立,故函数f(x)单调递增,故f(a)>f(b),即aea>beb,故A正确。设g(x)=,x>1,则g'(x)=,易知函数g(x)在(1,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减,故当1<b<a<e时,g(a)>g(b),即,故aln b<bln a,故B错误。设h(x)=xln x,x>1,则h'(x)=ln x+1>0在(1,+∞)上恒成立,故函数h(x)单调递增,故h(a)>h(b),即aln a>bln b,故C正确。设k(x)=,x>1,则k'(x)=>0在(1,+∞)上恒成立,故函数k(x)单调递增,故k(a)>k(b),即,故bea>aeb,故D正确。故选ACD。 三、填空题 9.函数f(x)=(x-1)ex-x2的单调递增区间为 (-∞,0),(ln 2,+∞) ,单调递减区间为 (0,ln 2) 。  解析　f'(x)=xex-2x=x(ex-2),令f'(x)=0,得x=0或x=ln 2,当x∈(-∞,0)∪(ln 2,+∞)时,f'(x)>0,当x∈(0,ln 2)时,f'(x)<0。所以f(x)的单调递增区间为(-∞,0),(ln 2,+∞),单调递减区间为(0,ln 2)。 10.若函数f(x)=ax3+3x2-x+1恰好有三个单调区间,则实数a的取值范围为 (-3,0)∪(0,+∞) 。  解析　依题意知,f'(x)=3ax2+6x-1有两个不相等的零点,故解得a>-3且a≠0。 11.(2024·河南信阳模拟)已知函数g(x)=x2+2x+1,若g(x)在(-2,-1)上不单调,则实数a的取值范围是 (-3,-2) 。  解析　g'(x)=x2-ax+2,当g(x)在(-2,-1)上单调递减时,则g'(x)≤0在(-2,-1)上恒成立,即a≤x+在(-2,-1)上恒成立;当g(x)在(-2,-1)上单调递增时,则g'(x)≥0在(-2,-1)上恒成立,即a≥x+在(-2,-1)上恒成立。令y=x+,因为y=x+在(-2,-)上单调递增,在(-,-1)上单调递减,所以y=x+在(-2,-1)上的值域为(-3,-2],所以a≤-3或a≥-2。故g(x)在(-2,-1)上不单调时,实数a的取值范围是(-3,-2)。 四、解答题 12.已知函数f(x)=(k为常数),曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行。 (1)求实数k的值; (2)求函数f(x)的单调区间。 解　(1)f'(x)=(x>0)。又由题意知f'(1)==0,所以k=1。 (2)由(1),知f'(x)=(x>0)。设h(x)=-ln x-1(x>0),则h'(x)=-<0,所以h(x)在(0,+∞)上单调递减。由h(1)=0知,当0<x<1时,h(x)>0,所以f'(x)>0;当x>1时,h(x)<0,所以f'(x)<0。综上,f(x)的单调递增区间是(0,1),单调递减区间为(1,+∞)。 13.已知函数f(x)=x++b(x≠0),其中a,b∈R。 (1)讨论函数f(x)的单调性; (2)若函数f(x)在(1,2)上为单调函数,求实数a的取值范围。 解　(1)f'(x)=1-。当a≤0时,显然f'(x)>0(x≠0),这时f(x)在(-∞,0),(0,+∞)上是增函数;当a>0时,f'(x)=,令f'(x)=0,解得x=±,当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表: x (-∞, -) - (-, 0) (0, ) (, +∞) f'(x) + 0 - - 0 + f(x) 单调 递增 b-2 单调 递减 单调 递减 2+b 单调 递增 所以f(x)在(-∞,-)和(,+∞)上单调递增,在(-,0)和(0,)上单调递减。 (2)因为函数f(x)在(1,2)上为单调函数,故若f(x)在(1,2)上单调递增,则f'(x)≥0在x∈(1,2)时恒成立,所以x2-a≥0,即a≤x2在x∈(1,2)时恒成立,所以a≤1。若f(x)在(1,2)上单调递减,则f'(x)≤0在x∈(1,2)时恒成立,所以x2-a≤0,即a≥x2在x∈(1,2)时恒成立,所以a≥4。综上所述,实数a的取值范围为(-∞,1]∪[4,+∞)。 综合提能 14.(多选题)函数y=(kx2+1)ex的图象可能是 (ABC) 解析　令f(x)=(kx2+1)ex,则其定义域为R,f'(x)=ex(kx2+2kx+1)。当k=0时,f(x)=ex,此时f(x)的图象大致为选项A。当k≠0时,对于方程kx2+2kx+1=0,Δ=4k2-4k。当Δ=4k2-4k≤0,即0<k≤1时,f'(x)≥0在R上恒成立,所以当0<k≤1时,函数f(x)在R上单调递增,又f(x)>0恒成立,当x→+∞时,f(x)→+∞,当x→-∞时,f(x)→0,所以此时函数f(x)的图象大致为选项A。由Δ=4k2-4k>0,得k<0或k>1。当k>1时,f'(x)=0有两个不相等实根,记为x1,x2,且x1<x2,则x1x2=>0,x1+x2=-2<0,所以x1<x2<0,且当x<x1或x>x2时,f'(x)>0,当x1<x<x2时,f'(x)<0,所以函数f(x)的单调递增区间为(-∞,x1),(x2,+∞),单调递减区间为(x1,x2)。又f(x)>0,且当x→+∞时,f(x)→+∞,当x→-∞时,f(x)→0,所以此时函数f(x)的图象大致为选项C。当k<0时,f'(x)=0有两个不相等实根,记为x'1,x'2,且x'1<x'2,则x'1x'2=<0,x'1+x'2=-2<0,所以x'1<0,x'2>0,且|x'1|>|x'2|,当x<x'1或x>x'2时,f'(x)<0,当x'1<x<x'2时,f'(x)>0,所以函数f(x)的单调递减区间为(-∞,x'1),(x'2,+∞),单调递增区间为(x'1,x'2)。又f(0)=1>0,所以f(x'1)<1,f(x'2)>1,且当x→+∞时,f(x)→-∞,当x→-∞时,f(x)→0,所以此时函数f(x)的图象大致为选项B。故选ABC。 15.(2023·全国乙卷)设a∈(0,1),若函数f(x)=ax+(1+a)x在(0,+∞)上单调递增,则a的取值范围是  。  解析　由题意可得f'(x)=axln a+(1+a)xln(1+a)≥0在区间(0,+∞)上恒成立,则(1+a)xln(1+a)≥-axln a,即在区间(0,+∞)上恒成立,故,而a+1∈(1,2),故ln(1+a)>0,故≤a<1,结合题意可得实数a的取值范围是。 素养创新 16.(2024·济南市学情检测)已知a=6ln 5,b=7ln 4,c=8ln 3,则 (A) A.a>b>c B.a>c>b C.b>c>a D.c>b>a 解析　因为a=6ln 5,b=7ln 4,c=8ln 3,所以ln a=ln 5ln 6,ln b=ln 4ln 7,ln c=ln 3ln 8,比较a,b,c的大小即比较ln a,ln b,ln c的大小。令f(x)=ln xln (11-x),3≤x≤5,则ln a=f(5),ln b=f(4),ln c=f(3),f'(x)=。令g(x)=xln x,3≤x≤8,则g'(x)=ln x+1>0在3≤x≤8时恒成立,所以函数g(x)在[3,8]上单调递增,当3≤x≤5时,8≥11-x>x≥3,所以g(11-x)>g(x),即(11-x)ln(11-x)>xln x,即(11-x)·ln(11-x)-xln x>0,所以f'(x)=>0在3≤x≤5时恒成立,所以函数f(x)在[3,5]上单调递增。所以f(5)>f(4)>f(3),即ln a>ln b>ln c,所以a>b>c。故选A。 17.(2024·潍坊市统考)写出一个同时满足下列三个性质的函数f(x)= x3-x(答案不唯一) 。  ①f(x)是奇函数;②f(x)在(2,+∞)上单调递增;③f(x)有且只有3个零点。 解析　取函数f(x)=x(x+1)(x-1)=x3-x,则其定义域为R关于原点对称,且f(-x)=(-x)3-(-x)=-x3+x=-(x3-x)=-f(x),所以函数f(x)为奇函数,满足条件①。由f(x)=0,得x=0或x=±1,满足条件③。又f'(x)=3x2-1,则当x在区间上时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减,当x在区间上时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增,满足条件②。 学科网（北京）股份有限公司 $$