微练16 导数的概念、导数的运算(Word练习)-【赢在微点·顶层设计】2025年高中数学高考一轮总复习

微练(十六)　导数的概念、导数的运算 基础应用 一、单项选择题 1.记函数f(x)的导函数为f'(x)。若f(x)=exsin 2x,则f'(0)= (A) A.2 B.1 C.0 D.-1 解析　因为f(x)=exsin 2x,则f'(x)=ex(sin 2x+2cos 2x),所以f'(0)=e0(sin 0+2cos 0)=2。故选A。 2.曲线y=x3+1在点(-1,a)处的切线方程为 (A) A.y=3x+3 B.y=3x+1 C.y=-3x-1 D.y=-3x-3 解析　因为f'(x)=3x2,所以f'(-1)=3,又当x=-1时,a=(-1)3+1=0,所以y=x3+1在点(-1,a)处的切线方程为y=3(x+1),即y=3x+3。故选A。 3.已知函数f(x)=xln x,若直线l过点(0,-e),且与曲线y=f(x)相切,则直线l的斜率为 (B) A.-2 B.2 C.-e D.e 解析　设切点坐标为(t,tln t),因为f(x)=xln x,所以f'(x)=ln x+1,直线l的斜率为f'(t)=ln t+1,所以直线l的方程为y-tln t=(ln t+1)(x-t),将点(0,-e)的坐标代入直线l的方程,得-e-tln t=-t(ln t+1),解得t=e,所以直线l的斜率为f'(e)=2。故选B。 4.随着科学技术的发展,放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域,并取得了显著的经济效益。假设在放射性同位素钍234的衰变过程中,其含量N(单位:贝克)与时间t(单位:天)满足函数关系N(t)=N0,其中N0为t=0时钍234的含量。已知t=24时,钍234含量的瞬时变化率为-8ln 2,则N(96)= (C) A.12 B.12ln 2 C.24 D.24ln 2 解析　由N(t)=N0,得N'(t)=N0。因为N'(24)=N0×=-8ln 2,所以N0=2×8×24=384,所以N(t)=384×,则N(96)=384×=384×2-4=24。故选C。 5.(2023·湖南六校联考)牛顿迭代法亦称切线法,它是求函数零点近似解的另一种方法。若定义xk(k∈N)是函数零点近似解的初始值,在点Pk(xk,f(xk))处的切线方程为y=f'(xk)(x-xk)+f(xk),切线与x轴交点的横坐标为xk+1,即函数零点近似解的下一个初始值,以此类推,满足精度的初始值即函数零点近似解。设函数f(x)=x2-5,满足x0=1。应用上述方法,则x3= (C) A.3 B. C. D. 解析　因为f(x)=x2-5,所以f'(x)=2x,因为x0=1,所以f(x0)=f(1)=-4,f'(x0)=2,则在点(x0,f(x0))处的切线方程为y+4=2(x-1)。令y=0,则x1=3,则f(x1)=4,f'(x1)=6,则在点(x1,f(x1))处的切线方程为y-4=6(x-3)。令y=0,则x2=,则f(x2)=,f'(x2)=,则在点(x2,f(x2))处的切线方程为y-。令y=0,则x3=。故选C。 6.若函数f(x)=3x+-3(x>0)的图象与函数g(x)=txex的图象有公切线l,且直线l与直线y=-x+2互相垂直,则实数t= (D) A. B.e2 C.或2 D.或4 解析　由题意得,直线l的斜率为2,f'(x)=3-,由f'(x)=2,解得x=1或x=-1(舍去),因为f(1)=3+1-3=1,所以直线l的方程为y=2x-1。g'(x)=t(x+1)ex,设函数g(x)=txex与直线l切于点(x0,y0),则,整理得2-x0-1=0,解得x0=1或x0=-,则et=1或--1,得t=或t=4。故选D。 二、多项选择题 7.若直线y=x+b是函数f(x)图象的一条切线,则函数f(x)可以是 (BCD) A.f(x)= B.f(x)=x4 C.f(x)=sin x D.f(x)=ex 解析　直线y=x+b的斜率k=,f(x)=的导数为f'(x)=-,即切线的斜率小于0,故A不正确;f(x)=x4的导数为f'(x)=4x3,令4x3=,解得x=,故B正确;f(x)=sin x的导数为f'(x)=cos x,而cos x=有解,故C正确;f(x)=ex的导数为f'(x)=ex,令ex=,解得x=-ln 2,故D正确。故选BCD。 8.已知函数f(x)=ex,则下列结论正确的是 (AC) A.曲线y=f(x)的切线斜率可以是1 B.曲线y=f(x)的切线斜率可以是-1 C.过点(0,1)且与曲线y=f(x)相切的直线有且只有1条 D.过点(0,0)且与曲线y=f(x)相切的直线有且只有2条 解析　因为函数f(x)=ex,所以f'(x)=ex。对于A,令f'(x)=ex=1,得x=0,所以曲线y=f(x)的切线斜率可以是1,故A正确;对于B,令f'(x)=ex=-1,无解,所以曲线y=f(x)的切线斜率不可以是-1,故B错误;对于C,因为点(0,1)在曲线y=f(x)上,所以点(0,1)是切点,又f'(0)=1,所以切线方程为y-1=x,即y=x+1,所以过点(0,1)且与曲线y=f(x)相切的直线有且只有1条,故C正确;对于D,设切点坐标为(x0,),则切线方程为y-(x-x0),因为点(0,0)在切线上,所以,解得x0=1,所以过点(0,0)且与曲线y=f(x)相切的直线有且只有1条,故D错误。故选AC。 三、填空题 9.(2024·合肥市教学质量检测)函数f(x)=x3-aln x的图象在点(1,f(1))处的切线与直线2x+y+1=0平行,则实数a= 5 。  解析　f'(x)=3x2-,因为函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线与直线2x+y+1=0平行,所以f'(1)=3-a=-2,即a=5,经检验符合题意。 10.若抛物线y=x2-x+c上的一点P的横坐标是-2,抛物线在点P处的切线恰好过坐标原点,则实数c的值为 4 。  解析　因为y'=2x-1,所以y'|x=-2=-5。又P(-2,6+c),所以=-5,所以c=4。 11.(2024·石家庄市质量检测)若直线y=kx+b是曲线y=的切线,也是曲线y=的切线,则k= - 。  解析　设直线y=kx+b与曲线y=的切点为(x1,y1),与曲线y=的切点为(x2,y2),由y=的导函数为y'=,得曲线y=在x=x1处的切线斜率为,故切线方程为y-(x-x1),即y=。由y=的导函数为y'=-,得曲线y=在x=x2处的切线斜率为-,故切线方程为y-(x-x2),即y=-。因为直线y=kx+b是曲线y=与曲线y=的公切线,所以直线y=与直线y=-是同一条直线,所以,得,解得ln x1=,所以x1=,所以k=。 四、解答题 12.已知函数f(x)=x3-4x2+5x-4。 (1)求曲线f(x)在点(2,f(2))处的切线方程; (2)求经过点A(2,-2)的曲线f(x)的切线方程。 解　(1)因为f'(x)=3x2-8x+5,所以f'(2)=1,又f(2)=-2,所以曲线f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y-(-2)=x-2,即x-y-4=0。 (2)设切点坐标为(x0,+5x0-4),因为f'(x0)=3-8x0+5,所以切线方程为y-(-2)=(3-8x0+5)·(x-2),又切线过点(x0,+5x0-4),所以+5x0-2=(3-8x0+5)·(x0-2),整理得(x0-2)2(x0-1)=0,解得x0=2或x0=1,所以经过点A(2,-2)的曲线f(x)的切线方程为x-y-4=0或y+2=0。 13.已知函数f(x)=x3+(1-a)x2-a(a+2)x+b(a,b∈R)。 (1)若函数f(x)的图象过原点,且在原点处的切线斜率为-3,求a,b的值; (2)若曲线y=f(x)存在两条垂直于y轴的切线,求a的取值范围。 解　f'(x)=3x2+2(1-a)x-a(a+2)。 (1)由题意得解得b=0,a=-3或a=1。 (2)因为曲线y=f(x)存在两条垂直于y轴的切线,所以关于x的方程f'(x)=3x2+2(1-a)x-a(a+2)=0有两个不相等的实数根,所以Δ=4(1-a)2+12a(a+2)>0,即4a2+4a+1>0,所以a≠-。所以a的取值范围为。 综合提能 14.(2024·南京、盐城模拟)若函数f(x)=x3+bx2+cx+d满足f(1-x)+f(1+x)=0对一切实数x恒成立,则不等式f'(2x+3)<f'(x-1)的解集为 (C) A.(0,+∞) B.(-∞,-4) C.(-4,0) D.(-∞,-4)∪(0,+∞) 解析　由f(1-x)+f(1+x)=0可知,函数f(x)的图象关于点(1,0)中心对称,所以f'(x)=3x2+2bx+c的图象的对称轴为直线x=1,所以函数f'(x)在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,则由f'(2x+3)<f'(x-1),得|2x+3-1|<|x-1-1|,解得-4<x<0。故选C。 15.(2024·广州市调研)若过点(0,b)(b>0)只可以作曲线y=的一条切线,则b的取值范围是  。  解析　设切点为,对y=求导得y'=,则切线方程为y-(x-x0),因为切线过点(0,b),所以b=,由题意知关于x0的方程b=只有一解。构造函数f(x)=,原问题等价于直线y=b与函数y=f(x)的图象只有一个交点,求导得f'(x)=,令f'(x)=0,得x=0或x=2,当x∈(-∞,0)时f'(x)<0;当x∈(0,2)时f'(x)>0;当x∈(2,+∞)时f'(x)<0,所以f(x)的极大值为f(2)=,x>0时f(x)>0,且x→+∞时,f(x)→0,x→-∞时f(x)→+∞,作出f(x)的图象如图所示,所以b>。 素养创新 16.(2022·全国甲卷)已知函数f(x)=x3-x,g(x)=x2+a,曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))处的切线也是曲线y=g(x)的切线。 (1)若x1=-1,求a; (2)求a的取值范围。 解　(1)当x1=-1时,f(x1)=0。由题意,得f'(x)=3x2-1,所以f'(-1)=2,则曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))处的切线方程为y=2(x+1)。由题意,知直线y=2(x+1)与曲线g(x)=x2+a相切,所以2x+2=x2+a,即方程x2-2x+a-2=0有两个相等的实数解,则Δ=4-4(a-2)=0,解得a=3。 (2)解法一:因为f(x1)=-x1,f'(x1)=3-1,所以曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))处的切线方程为y-(-x1)=(3-1)(x-x1),即y=(3-1)x-2。因为该切线也是曲线g(x)=x2+a的切线,所以方程x2+a=(3-1)x-2,即方程x2-(3-1)x+a+2=0有两个相等的实数解,所以Δ=(3-1)2-4(2+a)=0,即a=。令h(x)=x4-2x3-x2+,则h'(x)=9x3-6x2-3x=9x(x-1)。令h'(x)=0,解得x=-,或x=0,或x=1。当x变化时,h'(x),h(x)的变化情况如下表: x - 0 (0,1) 1 (1,+∞) h'(x) - 0 + 0 - 0 + h(x) 单调 递减 单调 递增 单调 递减 -1 单调 递增 因为-1<,所以h(x)min=-1。又因为当x→+∞或x→-∞时,h(x)→+∞,所以h(x)≥-1,即a的取值范围为[-1,+∞)。 解法二:因为f'(x)=3x2-1,所以曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))处的切线方程为y-(-x1)=(3-1)(x-x1),即y=(3-1)x-2。由g(x)=x2+a,得g'(x)=2x。所以曲线y=g(x)在点(x2,g(x2))处的切线方程为y-(+a)=2x2(x-x2),即y=2x2x-+a。令则a=(9+1)。令m(x)=9x4-8x3-6x2+1,则m'(x)=36x3-24x2-12x=12x(x-1)(3x+1)。当x<-或0<x<1时,m'(x)<0,此时函数y=m(x)单调递减;当-<x<0或x>1时,m'(x)>0,此时函数y=m(x)单调递增。因为m,m(1)=-4,所以m(x)min=m(1)=-4,又因为当x→+∞或x→-∞时,m(x)→+∞,所以a=m(x)≥=-1,即a的取值范围为[-1,+∞)。 学科网（北京）股份有限公司 $$