微练15 函数模型的应用(Word练习)-【赢在微点·顶层设计】2025年高中数学高考一轮总复习

微练(十五)　函数模型的应用 基础应用 一、单项选择题 1.某电视新产品投放市场后第一个月销售100台,第二个月销售200台,第三个月销售400台,第四个月销售790台,则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x之间关系的是 (C) A.y=100x B.y=50x2-50x+100 C.y=50×2x D.y=100log2x+100 解析　根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知,应为指数型函数模型,代入数据验证即可得。故选C。 2.某家具的标价为132元,若降价以九折出售(即优惠10%),仍可获利10%(相对进货价),则该家具的进货价是 (D) A.118元 B.105元 C.106元 D.108元 解析　设进货价为a元,由题意知132×(1-10%)-a=10%·a,解得a=108。故选D。 3.某辆汽车每次加油都把油箱加满,表中记录了该车相邻两次加油时的情况。 加油时间 加油量/升 加油时累计里程/千米 2023年3月1日 12 35 000 2023年3月15日 60 35 600 (注:“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程)在这段时间内,该车每100千米平均耗油量为 (C) A.6升 B.8升 C.10升 D.12升 解析　因为第二次加满油箱时加油量为60升,所以从第一次加油到第二次加油共用油60升,行驶了600千米,所以在这段时间内,该车每100千米平均耗油量为=10(升)。故选C。 4.(2024·江苏镇江高三模拟)2023年10月31日,神舟十六号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆。已知火箭的最大速度v(单位:km/s)与燃料质量M(单位:kg)、火箭(除燃料外)质量m(单位:kg)的函数关系为v=2ln。已知某火箭的火箭(除燃料外)质量为3 000 kg,最大速度为9 km/s,若保持火箭(除燃料外)质量不变,为使最大速度达到10 km/s,则需要再加注的燃料质量约为(参考数据:ln 90≈4.5,e5≈148) (B) A.267 000 kg B.174 000 kg C.147 000 kg D.441 000 kg 解析　由题意知当m=3 000时,v=9,设此时燃料质量为M1,将m=3 000,v=9代入v=2ln,得9=2ln,所以ln=4.5≈ln 90,即+1≈90,得M1≈267 000(kg),当v=10时,设燃料质量为M2,则10=2ln,即1+=e5≈148,解得M2≈441 000(kg),所以需要再加注的燃料质量约为M2-M1=441 000-267 000=174 000(kg)。故选B。 5.在流行病学中,基本传染数是指每名感染者平均可传染的人数。当基本传染数高于1时,每个感染者平均会感染一个以上的人,从而导致感染这种疾病的人数呈指数级增长。当基本传染数持续低于1时,传染病才可能逐渐消失。广泛接种疫苗可以减少疾病的基本传染数。假设某种传染病的基本传染数为R0,1个感染者在每个传染期会接触到N个新人,这N个人中有V个人接种过疫苗,那么1个感染者新的传染人数为(N-V)。已知某疾病在某地的基本传染数R0=2.5,为了使1个感染者传染人数不超过1,该地疫苗的接种率至少为 (C) A.40% B.50% C.60% D.70% 解析　由题意可知1个感染者新的传染人数为(N-V)=R0,因为R0=2.5,所以为使1个感染者传染人数不超过1,则2.5≤1,解得≥0.6,即该地疫苗接种率至少为60%。故选C。 6.(2023·辽宁锦州二模)如图,冷轧机的工作辊由若干对轧辊组成,厚度为α(单位:mm)的带肋钢筋从一端输入,经过各对轧辊逐步减薄后输出,厚度变为β(单位:mm)。若α=10,β=5,每对轧辊的减薄率r不超过4%,则冷轧机至少需要安装轧辊的对数为 (D) A.14 B.15 C.16 D.17 解析　由题意,厚度为α=10的带肋钢筋从一端输入经过减薄率为4%的n对轧辊减薄后厚度为10(1-4%)n,要使厚度变为β=5,则10(1-4%)n≤5,即(1-4%)n≤,因为(1-4%)n>0,>0,所以lg(1-4%)n≤lg,即nlg(1-4%)≤-lg 2,因为lg(1-4%)<0,所以n≥,即n≥≈16.815 6。故选D。 二、多项选择题 7.(2024·湖北七市联考)科学家研究发现,地震时释放的能量E(单位:焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为lg E=4.8+1.5M,则下列说法正确的是 (ACD) A.地震释放的能量为1015.3焦耳时,地震里氏震级约为七级 B.八级地震释放的能量约为七级地震释放的能量的6.3倍 C.八级地震释放的能量约为六级地震释放的能量的1 000倍 D.记地震里氏震级为n(n=1,2,…,9,10),地震释放能量为an,则数列{an}是等比数列 解析　对于A,当E=1015.3时,由题意得lg 1015.3=4.8+1.5M,解得M=7,即地震里氏震级约为七级,故A正确;对于B,八级地震即M=8时,lg E1=4.8+1.5×8=16.8,解得E1=1016.8,所以=101.5>10>6.3,所以八级地震释放的能量约为七级地震释放的能量的101.5倍,故B错误;对于C,六级地震即M=6,lg E2=4.8+1.5×6=13.8,解得E2=1013.8,所以=103=1 000,即八级地震释放的能量约为六级地震释放的能量的1 000倍,故C正确;对于D,由题意得lg an=4.8+1.5n(n=1,2,…,9,10),所以an=104.8+1.5n,所以an+1=104.8+1.5(n+1)=106.3+1.5n,所以=101.5,即数列{an}是等比数列,故D正确。故选ACD。 三、填空题 8.(2024·河南省适应性测试)拟定甲、乙两地通话m分钟的电话费(单位:元)由f(m)=1.06×(0.5[m]+1)给出,其中m>0,[m]是不超过m的最大整数(如[3]=3,[3.7]=3,[3.1]=3),则甲、乙两地通话6.5分钟的电话费为 4.24 元。  解析　因为m=6.5,所以[m]=6,则f(6.5)=1.06×(0.5×6+1)=4.24。 9.某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元,并且每生产一单位产品,成本增加10万元。又知总收入K是单位产品数Q的函数,K(Q)=40Q-Q2,则总利润L(Q)的最大值是 2 500 万元。  解析　L(Q)=40Q-(Q-300)2+2 500。则当Q=300时,L(Q)取得最大值为2 500万元。 10. 某人根据经验绘制了从12月21日至1月8日自己种植的西红柿的销售量y(千克)随时间x(天)变化的函数图象,如图所示,则此人在12月26日大约卖出了西红柿  千克。  解析　前10天满足一次函数关系,设为y=kx+b,将点(1,10)和点(10,30)代入函数解析式,得解得k=,b=,所以y=,则当x=6时,y=。 11.为开展“不忘初心,牢记使命”主题教育活动,增强企业的凝聚力和竞争力,某重装企业的装配分厂举行装配工人技术比赛。根据以往技术资料统计,某工人装配第n件工件所用的时间(单位:分)f(n)大致服从的关系为f(n)=(k,M为常数)。已知该工人装配第9件工件用时20分钟,装配第M件工件用时12分钟,那么可大致推出该工人装配第4件工件所用时间是 30 分钟。  解析　n=M时,=12,n=9时,=20,解得k=60,M=25。所以f(n)=因为n=4<25,所以f(4)==30,即可大致推出该工人装配第4件工件所用时间是30分钟。 四、解答题 12.某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态,经抢修排气扇恢复正常。排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为64 ppm,继续排气4分钟后又测得浓度为32 ppm。由检验知该地下车库一氧化碳浓度y(ppm)与排气时间t(分钟)之间存在函数关系y=c(c,m为常数)。 (1)求c,m的值; (2)若空气中一氧化碳浓度不高于0.5 ppm为正常,问至少排气多少分钟,这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态? 解　(1)由题意,可得方程组 (2)由(1)知y=128×。由题意,可得128×≤0.5,即,即t≥8,解得t≥32。所以至少排气32分钟,这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态。 综合提能 13.(2024·湖南部分学校联考)甲醛是一种无色、有着刺激性气味的气体,对人体健康有着极大的危害。新房入住时,空气中甲醛浓度不能超过0.08 mg/m3,否则,该新房达不到安全入住的标准。若某套住房自装修完成后,通风x(x=1,2,3,…,50)周与室内甲醛浓度y(单位:mg/m3)之间近似满足函数关系式y=0.48-0.1f(x)(x∈N*),其中f(x)=loga[k(x2+2x+1)](k>0,x=1,2,3,…,50),且f(2)=2,f(8)=3,则该住房装修完成后要达到安全入住的标准,至少需要通风 (D) A.17周 B.24周 C.28周 D.26周 解析　由题意,f(x)=loga[k(x+1)2]=logak+2loga(x+1),由f(2)=2,f(8)=3,得logak+2loga(2+1)=2,logak+2loga(8+1)=3,解得a=9,k=9。该住房装修完成后要达到安全入住的标准,则需0.48-0.1f(x)≤0.08,即f(x)≥4,即1+2log9(x+1)≥4,解得x≥26,故至少需要通风26周。故选D。 14.某学校数学建模小组为了研究双层玻璃窗户中每层玻璃厚度d(每层玻璃的厚度相同)及两层玻璃间夹空气层厚度l对保温效果的影响,利用热传导定律得到热传导量q满足关系式q=,其中玻璃的热传导系数λ1=4×10-3焦耳/(厘米·度),不流通、干燥空气的热传导系数λ2=2.5×10-4焦耳/(厘米·度),|ΔT|为室内外温度差,q值越小,保温效果越好,现有4种型号的双层玻璃窗户,具体数据如下表: 型号 每层玻璃厚 度d/厘米 玻璃间夹空气层 厚度l/厘米 A 0.4 3 B 0.3 4 C 0.5 3 D 0.4 4 则保温效果最好的双层玻璃的型号是 (D) A.A B.B C.C D.D 解析　依题意可知q=,当室内外温度差|ΔT|保持不变时,则8l+d越大,q越小,玻璃的保温效果越好。对于A型双层玻璃,8l+d=8×3+0.4=24.4,对于B型双层玻璃,8l+d=8×4+0.3=32.3,对于C型双层玻璃,8l+d=8×3+0.5=24.5,对于D型双层玻璃,8l+d=8×4+0.4=32.4。经比较可知,D型双层玻璃的保温效果最好。故选D。 素养创新 15.环保生活,低碳出行,新能源电动汽车正成为人们购车的热门选择。现对某型号的电动汽车在一段平坦的国道上进行测试,国道限速80 km/h(不含80 km/h),经多次测试得到该汽车每小时耗电量M(单位:Wh)与速度v(单位:km/h)的下列数据: v/(km·h-1) 0 20 40 60 M/Wh 0 3 000 5 600 9 000 为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系,现给出以下三种函数模型供选择:M(v)=v3+bv2+cv,M(v)=800+a,M(v)=500logav+b。 (1)当0≤v<80时,请选出符合表格所列数据的函数模型,并求出相应的函数解析式; (2)现有一辆同型号汽车从A地驶到B地,前一段是200 km的国道,后一段是100 km的高速路。若已知高速路上该汽车每小时耗电量N(单位:Wh)与速度v的关系是N(v)=2v2-10v+200(80≤v≤120),则如何行驶才能使得总耗电量最少?最少为多少?(假设该汽车在两段路上分别匀速行驶) 解　(1)对于M(v)=500logav+b,当v=0时,该解析式无意义,所以不合题意;对于M(v)=800+a,易得它是个减函数,这与M(40)<M(60)矛盾。故选择M(v)=v3+bv2+cv。根据提供的数据得所以当0≤v<80时,M(v)=v3-2v2+180v。 (2)设该汽车在国道上的行驶速度为v1,0≤v1<80。由国道路段长为200 km得行驶所用时间为 h,则国道路段行驶所耗电量(单位:Wh)为f(v1)=×M(v1)==5×(-80v1+7 200)=5×(v1-40)2+28 000,因为0≤v1<80,所以当v1=40时,f(v1)取最小值,f(v1)min=28 000。设该汽车在高速路段的行驶速度为v2,80≤v2≤120。由高速路段长为100 km,得行驶所用时间为 h,则高速路段行驶所耗电量(单位:Wh)为g(v2)=×N(v2)=×(2-10v2+200)=200×-1 000,因为g'(v2)=200×,当v2>10时,g'(v2)>0,所以g(v2)在[80,120]上单调递增,所以g(v2)min=g(80)=200×-1 000=15 250。故当这辆车在国道上的行驶速度为40 km/h,在高速路上的行驶速度为80 km/h时,该车从A地到B地的总耗电量最少,最少为28 000+15 250=43 250(Wh)。 学科网（北京）股份有限公司 $$