微练14 函数的零点与方程的解(Word练习)-【赢在微点·顶层设计】2025年高中数学高考一轮总复习

微练(十四)　函数的零点与方程的解 基础应用 一、单项选择题 1.下列函数中,在(-1,1)内有零点且单调递增的是 (B) A.y=lox B.y=2x-1 C.y=x2- D.y=-x3 解析　函数y=lox在定义域上单调递减,y=x2-在(-1,1)内不是单调函数,y=-x3在定义域上单调递减,均不符合要求。对于y=2x-1,当x=0∈(-1,1)时,y=0且y=2x-1在R上单调递增。故选B。 2.函数f(x)=ln x-的零点所在的区间为 (B) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 解析　由题意知函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,因为f(1)<0,f(2)=ln 2->0,所以函数f(x)的零点所在的区间是(1,2)。故选B。 3.关于函数f(x)=(ln x)2-2ln x,下列说法正确的是 (A) A.函数f(x)有2个零点 B.函数f(x)有4个零点 C.e是函数f(x)的一个零点 D.2e是函数f(x)的一个零点 解析　令f(x)=(ln x)2-2ln x=(ln x-2)ln x=0,得ln x=0或ln x=2,即x=1或x=e2,所以函数f(x)有2个零点,分别为1,e2。故选A。 4.方程|x2-2x|=a2+1(a>0)的解的个数是 (B) A.1 B.2 C.3 D.4 解析　因为a>0,所以a2+1>1。作出y=|x2-2x|的图象如图,由图知y=|x2-2x|的图象与y=a2+1的图象总有两个交点,即方程有2个解。故选B。 5.已知函数f(x)=log2x+3x+b的零点在区间(0,1]上,则b的取值范围为 (D) A.[-3,0] B.(-∞,3] C.[0,3] D.[-3,+∞) 解析　函数f(x)=log2x+3x+b在区间(0,+∞)上单调递增,当x→0时,f(x)→-∞,因为函数f(x)=log2x+3x+b的零点在区间(0,1]上,所以f(1)=log21+3×1+b≥0,解得b≥-3。故选D。 6.已知函数f(x)=函数g(x)=mx,若函数y=f(x)-2g(x)恰有三个零点,则实数m的取值范围是 (A) A. B. C. D. 解析　根据题意,画出函数f(x)= 的图象,如图所示。 因为函数y=f(x)-2g(x)恰有三个零点,所以f(x)=2g(x)有三个不等实根,即f(x)的图象与y=2g(x)=2mx的图象有三个不同的交点,由图象可知,当直线y=2mx的斜率在kOA,kOB之间时,有三个交点,即kOA<2m<kOB,因为kOA=-,kOB=1,所以-<2m<1,解得-。故选A。 二、多项选择题 7.(2024·百师联盟联考)设函数f(x)=则以下结论正确的为 (BC) A.f(x)为R上的增函数 B.f(x)有唯一零点x0,且1<x0<2 C.若f(m)=5,则m=33 D.f(x)的值域为R 解析　作出f(x)的图象如图所示。由图可知A错误;对于B,由图象可知,f(x)有唯一零点x0,f(x)在(-∞,2]上单调递增,且f(1)<0,f(2)>0,B正确;对于C,当x≤2时,2x-3≤1,故log2(m-1)=5,解得m=33,C正确;对于D,f(x)的值域为(0,+∞)∪(-3,1],即(-3,+∞),D错误。故选BC。 8.设函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-b有三个零点,则实数b可取的值可能是 (BCD) A.0 B. C. D.1 解析　函数g(x)=f(x)-b有三个零点等价于函数y=f(x)的图象与直线y=b有三个不同的交点,当x≤0时,f(x)=(x+1)·ex,则f'(x)=ex+(x+1)ex=(x+2)ex,所以f(x)在(-∞,-2)上单调递减,在(-2,0]上单调递增,且f(-2)=-,f(0)=1,x→-∞时,f(x)→0,从而可得f(x)的图象如图所示,通过图象可知,若函数y=f(x)的图象与直线y=b有三个不同的交点,则b∈(0,1]。故选BCD。 三、填空题 9.已知指数函数为f(x)=4x,则函数y=f(x)-2x+1的零点为 1 。  解析　由f(x)-2x+1=4x-2x+1=0,得2x(2x-2)=0,解得x=1。 10.函数f(x)满足以下条件:①f(x)的定义域为R,其图象是一条连续不断的曲线;②∀x∈R,f(x)=f(-x);③当x1,x2∈(0,+∞)且x1≠x2时,>0;④f(x)恰有两个零点,请写出函数f(x)的一个解析式 f(x)=x2-1(答案不唯一) 。  解析　因为∀x∈R,f(x)=f(-x),所以f(x)是偶函数,因为当x1,x2∈(0,+∞)且x1≠x2时,>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,因为f(x)恰有两个零点,所以f(x)图象与x轴只有2个交点,所以函数f(x)的一个解析式可以为f(x)=x2-1(答案不唯一)。 11.已知函数f(x)=logax+x-b(a>0,且a≠1)。当2<a<3<b<4时,函数f(x)的零点x0∈(n,n+1),n∈N*,则n= 2 。  解析　对于函数y=logax,当x=2时,可得y<1,当x=3时,可得y>1,如图,在同一坐标系中画出函数y=logax,y=-x+b的图象,判断两个函数图象的交点的横坐标在(2,3)内,所以函数f(x)的零点x0∈(2,3),即n=2。 12.已知函数f(x)=-sin x-1,x∈[-4π,0)∪(0,4π],则函数f(x)的所有零点之和为 0 。  解析　因为函数f(x)=-sin x,所以f(x)的对称中心是(0,0),令f(x)=0,得=sin x,在同一平面直角坐标系中作出函数y=,y=sin x的图象,如图所示, 由图象知,两个函数图象有8个交点,即函数f(x)有8个零点,由对称性可知,零点之和为0。 综合提能 13.已知函数f(x)=其中e为自然对数的底数,则函数g(x)=3[f(x)]2-10f(x)+3的零点个数为 (A) A.4 B.5 C.6 D.3 解析　当x≥0时,f(x)=4x3-6x2+1的导数为f'(x)=12x2-12x,当0<x<1时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x>1时,f'(x)>0,f(x)单调递增,可得f(x)在x=1处取得最小值,最小值为-1,且f(0)=1,如图,作出函数f(x)的图象。g(x)=3[f(x)]2-10f(x)+3,可令g(t)=0,t=f(x),可得3t2-10t+3=0,解得t=3或t=,当t=,即f(x)=时,g(x)有三个零点;当t=3时,可得f(x)=3有一个实根,即g(x)有一个零点。综上,g(x)共有四个零点。故选A。 14.已知函数f(x)=ax2+bx+c,且f(1)=-,3a>2c>2b。求证: (1)a>0且-3<; (2)函数f(x)在(0,2)内至少有一个零点。 证明　(1)因为f(1)=a+b+c=-,所以c=-a-b。因为3a>2c=-3a-2b,所以3a>-b。因为2c>2b,所以-3a>4b。若a>0,则-3<;若a=0,则0>-b,0>b,不成立;若a<0,则<-3,,不成立。综上,a>0且-3<。 (2)f(0)=c,f(2)=4a+2b+c,f(1)=-。当c>0时,f(0)>0,f(1)<0,所以f(x)在(0,1)内至少有一个零点;当c=0时,f(0)=0,f(1)<0,f(2)=4a+2b=a>0,所以f(x)在(0,2)内至少有一个零点;当c<0时,f(0)<0,f(1)<0,b=-a-c,f(2)=4a-3a-2c+c=a-c>0,所以f(x)在(0,2)内至少有一个零点。综上,函数f(x)在(0,2)内至少有一个零点。 素养创新 15.已知函数f(x)=ex+e2-x+asin有且只有一个零点,则实数a的值为 -2e 。  解析　因为f(x+1)=ex+1+e1-x+asin=e(ex+e-x)+acosx为偶函数,所以f(x)的图象关于直线x=1对称,又f(x)有且只有一个零点,所以由对称性可得,该零点就是x=1,所以f(1)=2e+a=0,故a=-2e。 16.(2024·兰州模拟)函数f(x)=有三个零点x1,x2,x3,且x1<x2<x3,则x1+x2+x3的取值范围是 [-4,-2) 。  解析　函数f(x)=有三个零点x1,x2,x3,且x1<x2<x3,设g(x)=则函数g(x)的图象与直线y=t的三个交点的横坐标分别为x1,x2,x3,且x1<x2<x3,作出函数g(x)的图象,如图所示。 由图可知1≤t<4,且x1,x2是关于x的方程-x2-4x-t=0的两个不等实根,所以x1+x2=-=-4,x3满足-t=0,即x3=log2t,因为1≤t<4,所以log21≤log2t<log24,即0≤x3<2。所以-4≤x1+x2+x3<-2,即x1+x2+x3的取值范围是[-4,-2)。 学科网（北京）股份有限公司 $$