微练12 对数与对数函数(Word练习)-【赢在微点·顶层设计】2025年高中数学高考一轮总复习

微练(十二)　对数与对数函数 基础应用 一、单项选择题 1.函数y=的定义域为 (A) A.(1,2] B.(-∞,2] C.(1,+∞) D.[2,+∞) 解析　因为y=,所以解得1<x≤2。故选A。 2.若函数y=f(x)是函数y=ax(a>0,且a≠1)的反函数,且f(2)=1,则f(x)= (A) A.log2x B. C.lox D.2x-2 解析　由题意,得f(x)=logax(a>0,且a≠1),因为f(2)=1,所以loga2=1,所以a=2,所以f(x)=log2x。故选A。 3.(2024·青岛调研)已知a=sin 4,b=ln 2,c=20.3,则 (C) A.b<a<c B.c<b<a C.a<b<c D.a<c<b 解析　因为π<4<,所以a=sin 4<0。因为ln 1<ln 2<ln e,所以0<b<1。又c=20.3>20=1,所以a<b<c。故选C。 4.如果loy<0,那么 (D) A.y<x<1 B.x<y<1 C.1<x<y D.1<y<x 解析　因为lo1,所以x>y>1。故选D。 5. (2024·山东枣庄模拟)对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象如图所示,则y=ax2+x的图象顶点横坐标的取值范围是 (A) A. B. C. D. 解析　由题图可知,a∈(0,1)。y=ax2+x=a(a∈(0,1)),其图象顶点横坐标为x=-,所以-。故选A。 6.(2024·湖北华中师大附中模拟)已知a=3log83,b=-16,c=log43,则a,b,c的大小关系为 (A) A.a>b>c B.c>a>b C.b>c>a D.b>a>c 解析　a=3log83=3×=log23>1,b=-=log34>1,0<c=log43<1,log23-log34=,lg 2>0,lg 4>0,lg 2≠lg 4,所以lg 2lg 4<=(lg)2<(lg 3)2,故log23-log34>0,所以a>b,所以a>b>c。故选A。 7.若函数f(x)=的值域为R,则实数a的取值范围是 (D) A.[-2,2] B.(-∞,2] C.[0,1] D.[0,+∞) 解析　当-1<x≤1时,f(x)=log2(x+1)∈(-∞,1],又函数f(x)的值域为R,①当a≤1时,x2-2ax>1-2a,所以1-2a≤1,解得a≥0,所以0≤a≤1;②当a>1时,(x2-2ax)min=-a2,所以只需-a2≤1,显然成立,所以a>1。综上,a的取值范围是[0,+∞)。故选D。 二、多项选择题 8.关于函数f(x)=lg,下列说法正确的有 (ACD) A.f(x)的定义域为(-1,1) B.f(x)的图象关于y轴对称 C.f(x)的图象关于原点对称 D.f(x)在(0,1)上单调递增 解析　因为f(x)=lg,所以>0,解得-1<x<1,所以f(x)的定义域为(-1,1),故A正确;因为f(-x)=lg=-f(x),所以f(x)的图象关于原点对称,故B错误,C正确;对于D,因为y=-1在(0,1)上单调递增,y=lg x在(0,+∞)上单调递增,所以y=lg在(0,1)上单调递增,故D正确。故选ACD。 9.(2023·新高考Ⅰ卷)噪声污染问题越来越受到重视。用声压级来度量声音的强弱,定义声压级Lp=20×lg,其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值,p是实际声压。下表为不同声源的声压级: 声源 与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车 10 60~90 混合动力汽车 10 50~60 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1,p2,p3,则 (ACD) A.p1≥p2 B.p2>10p3 C.p3=100p0 D.p1≤100p2 解析　因为Lp=20×lg随着p增大而增大,且∈[60,90],∈[50,60],所以,所以p1≥p2,故A正确;由Lp=20×lg,得p=p01,因为=40,所以p3=p01=100p0,故C正确;假设p2>10p3,则p01,所以1>10,所以>20,不可能成立,故B不正确;因为≥1,所以p1≤100p2,故D正确。故选ACD。 三、填空题 10.计算:lg 25+lg 50+lg 2×lg 500+(lg 2)2= 4 。  解析　原式=2lg 5+lg(5×10)+lg 2×lg(5×102)+(lg 2)2=2lg 5+lg 5+1+lg 2×(lg 5+2)+(lg 2)2=3lg 5+1+lg 2×lg 5+2lg 2+(lg 2)2=3lg 5+2lg 2+1+lg 2×(lg 5+lg 2)=3lg 5+2lg 2+1+lg 2=3×(lg 5+lg 2)+1=4。 11.(2024·济南检测)已知函数y=loga(2x-3)+2(a>0,且a≠1)的图象恒过定点A,若点A也在函数f(x)=3x+b的图象上,则b= -7 。  解析　令2x-3=1,得x=2,所以定点为A(2,2),将定点A的坐标代入函数f(x)中,得2=32+b,解得b=-7。 12.函数f(x)=log2(2x)的最小值为 - 。  解析　依题意,得f(x)=log2x·(2+2log2x)=(log2x)2+log2x=,当log2x=-,即x=时等号成立,所以函数f(x)的最小值为-。 四、解答题 13.设f(x)=loga(1+x)+loga(3-x)(a>0,且a≠1),且f(1)=2。 (1)求a的值及f(x)的定义域; (2)求f(x)在区间上的最大值。 解　(1)因为f(1)=2,所以loga4=2(a>0,且a≠1),所以a=2。由得-1<x<3,所以函数f(x)的定义域为(-1,3)。 (2)因为f(x)=log2(1+x)+log2(3-x)=log2[(1+x)(3-x)]=log2[-(x-1)2+4],所以当x∈(-1,1]时,f(x)单调递增;当x∈(1,3)时,f(x)单调递减,故函数f(x)在上的最大值是f(1)=2。 综合提能 14.(多选题)(2024·山西忻州模拟)已知x>0,y>0,且x-y>ln,则 (ABD) A.x>y B.x+ C.ln(x-y)<0 D.<2-y 解析　因为x-y>ln,所以x-y>ln y-ln x,所以ln x+x>ln y+y。设f(x)=ln x+x,x>0,则f(x)在(0,+∞)上单调递增。因为ln x+x>ln y+y,所以x>y,则A正确。因为x>0,y>0,且x>y,所以,所以x+,则B正确。因为x>y,取x=2,y=1,则ln(x-y)=0,所以C不正确。因为x>y,所以-x<-y,所以2-x<2-y,即<2-y,则D正确。故选ABD。 15.已知函数f(x)=log2(a为常数)是奇函数。 (1)求a的值与函数f(x)的定义域; (2)若当x∈(1,+∞)时,f(x)+log2(x-1)>m恒成立,求实数m的取值范围。 解　(1)因为函数f(x)=log2是奇函数,所以f(-x)=-f(x),所以log2,即log2,所以a=1,f(x)=log2,令>0,解得x<-1或x>1,所以函数的定义域为{x|x<-1,或x>1}。 (2)f(x)+log2(x-1)=log2(1+x),当x>1时,x+1>2,所以log2(1+x)>log22=1。因为x∈(1,+∞)时,f(x)+log2(x-1)>m恒成立,所以m≤1,所以m的取值范围是(-∞,1]。 素养创新 16.(新定义题)苏格兰数学家科林·麦克劳林研究出了著名的麦克劳林级数展开式,受到了世界上顶尖数学家的广泛认可,下面是麦克劳林建立的其中一个公式:ln(1+x)=x-+…+(-1)n-1·+…,试根据此公式估计下面代数式2+…+(-1)n-1·+…(n≥5)的近似值为(可能用到数值≈1.732 1,ln 2.732 1≈1.005,ln 3.732 1≈1.317) (C) A.2.322 B.4.785 C.4.755 D.1.005 解析　将x=代入ln(1+x)=x-+…+(-1)n-1·+…,得ln(1+)=+…+(-1)n-1·+…=+…+(-1)n-1·+…=-+…+(-1)n-1·+…≈ln 2.732 1≈1.005,所以2+…+(-1)n-1·+…≈4.755。故选C。 学科网（北京）股份有限公司 $$