微练11 指数与指数函数(Word练习)-【赢在微点·顶层设计】2025年高中数学高考一轮总复习

微练(十一)　指数与指数函数 基础应用 一、单项选择题 1.化简(a>0,c<0)的结果为 (B) A.± B.- C.- D. 解析　原式=·。故选B。 2.下列函数中值域为正实数集的是 (B) A.y=-5x B.y= C.y= D.y=3|x| 解析　A项中y<0,B项中y>0,C项中y≥0,D项中y≥1,只有B项正确。故选B。 3.(2024·成都诊断)不论a为何值,函数y=(a-1)2x-恒过定点,则这个定点的坐标为 (C) A. B. C. D. 解析　将y=(a-1)2x-a-(2x+y)=0,依题意,对a∈R,a-(2x+y)=0恒成立,则2x-=0且2x+y=0,所以x=-1且y=-,即这个定点的坐标为。故选C。 4.已知函数f(x)=1+2x-|1-2x|,则f(x)的值域是 (B) A.(-∞,2] B.(0,2] C.(0,3] D.[1,2] 解析　①当x≤0时,0<2x≤1,所以f(x)=1+2x-1+2x=2·2x,又因为0<2x≤1,所以0<2·2x≤2,所以0<f(x)≤2;②当x>0时,2x>1,所以f(x)=1+2x+1-2x=2。综上,f(x)的值域为(0,2]。故选B。 5.(2023·江西六校联考)若存在x∈(0,+∞),使不等式ax+3a-1<e-x成立,则实数a的取值范围为 (C) A. B. C. D. 解析　令f(x)=ax+3a-1(x>0),g(x)=e-x(x>0),当a≤0时,ax+3a-1<0,此时结论显然成立。当a>0时,g(x)在(0,+∞)上单调递减,f(x)在(0,+∞)上单调递增,若存在x∈(0,+∞),使f(x)<g(x)成立,则所以0<a<。综上所述,实数a的取值范围是。故选C。 6.(2024·安徽模拟)已知函数f(x)=|3x-1|,a<b<c,且f(a)>f(b)>f(c),则下列结论中一定成立的是 (D) A.a<0,b<0,c<0 B.a<0,b≥0,c>0 C.3-a<3c D.3a+3c<2 解析　作出f(x)的图象,如图所示。因为a<b<c,且f(a)>f(b)>f(c),所以a<b<0,且一定存在b'>0,使f(b)=f(b'),则b<c<b',故排除A,B;取a=-1,c=0,可排除C;当c>0时,f(a)=1-3a>f(c)=3c-1,所以3a+3c<2,当c≤0时,3a<1,3c≤1,则3a+3c<2,故D一定成立。故选D。 二、多项选择题 7.已知10a=2,102b=5,则下列结论正确的是 (ABC) A.a+2b=1 B.ab< C.10a+b>4 D.a>b 解析　因为10a·102b=10a+2b=10,所以a+2b=1,A正确;易知a>0,b>0,由基本不等式得a+2b≥2,所以ab≤,当且仅当a=2b=时取等号,又10a≠102b,即a≠2b,所以ab<,B正确;10a+b=2>4,C正确;由(10a)2=102a=4<5=102b,得a<b,D错误。故选ABC。 8.若4x-4y<5-x-5-y,则下列关系中正确的有 (AD) A.x<y B.y-3>x-3 C. D.<3-x 解析　由4x-4y<5-x-5-y,得4x-5-x<4y-5-y,令f(x)=4x-5-x,则f(x)<f(y)。因为y=4x,y=-5-x,在R上都是增函数,所以f(x)在R上是增函数,所以x<y,故A正确;因为G(x)=x-3在(0,+∞)和(-∞,0)上单调递减,所以当x<y<0时,x-3>y-3,故B错误;当x<0,y<0时,,无意义,故C错误;因为y=在R上是减函数,且x<y,所以,即<3-x,故D正确。故选AD。 三、填空题 9.设2x=8y+1,9y=3x-9,则x+y的值为 27 。  解析　因为2x=8y+1=23(y+1),所以x=3y+3　①。因为9y=3x-9=32y,所以x-9=2y　②。由①②解得x=21,y=6,所以x+y=27。 10.若函数f(x)=在区间(1,2)上单调递增,则a的取值范围为  。  解析　因为函数y=在R上单调递减,所以由复合函数的单调性可知,函数y=-x2+4ax在区间(1,2)上单调递减。函数y=-x2+4ax的图象的对称轴为直线x=2a,且开口向下,所以2a≤1,解得a≤,所以a的取值范围为。 11.当x∈(-∞,-1]时,不等式1+2x+4xa≥0恒成立,则a的取值范围是 [-6,+∞) 。 解析　当x∈(-∞,-1]时,不等式1+2x+4xa≥0恒成立可转化为-a≤恒成立。易知函数y=是R上的减函数,因此当x∈(-∞,-1]时,ymin==6,所以-a≤6,即a≥-6。 四、解答题 12.已知函数f(x)=。 (1)求f(x)的单调区间; (2)若f(x)的最大值等于,求实数a的值。 解　(1)不论a取何值,y=|x|-a在(-∞,0]上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,又y=是减函数,因此f(x)的单调递增区间是(-∞,0],单调递减区间是(0,+∞)。 (2)由于f(x)的最大值是,且,所以g(x)=|x|-a应该有最小值-2,即g(0)=-2,从而a=2。 13.已知函数f(x)=a·2x+b·3x,其中常数a,b满足a·b≠0。 (1)若a·b>0,判断函数f(x)的单调性; (2)若a·b<0,求满足f(x+1)>f(x)的x的取值范围。 解　(1)①若a>0,b>0,则y=a·2x与y=b·3x均为增函数,所以f(x)=a·2x+b·3x为增函数;②若a<0,b<0,则y=a·2x与y=b·3x均为减函数,所以f(x)=a·2x+b·3x为减函数。 (2)①若a>0,b<0,由f(x+1)>f(x),得a·2x+1+b·3x+1>a·2x+b·3x,化简得a·2x>-2b·3x,即,解得x<lo。②若a<0,b>0,由f(x+1)>f(x),可得,解得x>lo。 综合提能 14.(2024·杭州联考)“北溪”管道泄漏事件使得欧洲能源供应危机成为举世瞩目的国际公共事件。随着管道泄漏,大量天然气泄漏使得超过8万吨的甲烷气体扩散到海洋和大气中,将对全球气候产生灾难性影响。假设海水中某种环境污染物含量P(单位:mg/L)与时间t(单位:天)间的关系为P=P0·e-kt,其中P0表示初始含量,k为正常数。令μ=为[t1,t2]上的海水稀释效率,其中P1,P2分别表示当时间为t1和t2时的环境污染物含量。某研究团队连续20天不间断监测海水中该种环境污染物含量,按照5天一期进行记录,分为四期,即(0,5],(5,10],(10,15],(15,20],分别记为Ⅰ期、Ⅱ期、Ⅲ期、Ⅳ期,则四期中海水稀释效率最高的是 (A) A.Ⅰ期 B.Ⅱ期 C.Ⅲ期 D.Ⅳ期 解析　记Ⅰ期、Ⅱ期、Ⅲ期、Ⅳ期的海水稀释效率分别为μ1,μ2,μ3,μ4,因为海水稀释效率μ=,k为正常数,所以μ1=,μ2=·e-5k=μ1e-5k<μ1,同理得μ3<μ2,μ4<μ3,所以μ4<μ3<μ2<μ1,所以海水稀释效率最高的是Ⅰ期。故选A。 15.已知奇函数f(x)=的定义域为[-a-2,b]。 (1)求a,b的值; (2)当x∈[1,2]时,2+mf(x)+2x>0恒成立,求实数m的取值范围。 解　(1)因为函数f(x)=是奇函数,所以f(-x)=-f(x),即,即,即a-2x=-a·2x+1,所以a=1,因为f(x)的定义域为[-a-2,b],所以b=3。 (2)因为x∈[1,2],所以f(x)=>0,因为当x∈[1,2]时,2+mf(x)+2x>0恒成立,所以-m<对x∈[1,2]恒成立,令t=2x-1(1≤x≤2),则1≤t≤3,则-m<+5对t∈[1,3]恒成立。因为t++5,当且仅当t=,即t=时等号成立,所以-m<2+5,即m>-2-5,故实数m的取值范围是(-2-5,+∞)。 素养创新 16.对于函数f(x),若在定义域内存在实数x0满足f(-x0)=-f(x0),则称函数f(x)为“倒戈函数”。设f(x)=3x+m-1(m∈R,m≠0)是定义在[-1,1]上的“倒戈函数”,则实数m的取值范围是  。  解析　因为f(x)=3x+m-1是定义在[-1,1]上的“倒戈函数”,所以存在x0∈[-1,1]满足f(-x0)=-f(x0),所以-m+1,所以2m=-+2,构造函数y=-+2,x0∈[-1,1],令t=,t∈,则y=-上单调递增,在(1,3]上单调递减,所以y在t=1处取得最大值0,在t=或t=3处取得最小值-,所以y∈,所以-≤2m≤0且m≠0,所以-≤m<0。 学科网（北京）股份有限公司 $$