微练10 幂函数与二次函数(Word练习)-【赢在微点·顶层设计】2025年高中数学高考一轮总复习

微练(十)　幂函数与二次函数 基础应用 一、单项选择题 1. 已知常数α∈Q,如图为幂函数y=xα的图象,则α的值可以为 (C) A. B. C.- D.- 解析　由幂函数y=xα的图象关于y轴对称知,函数y=xα是偶函数,排除B,D选项;再根据幂函数y=xα的图象在第一象限内从左到右下降,可得α<0,排除A选项。故选C。 2.已知f(x)=x2-2 022x,若f(m)=f(n),m≠n,则f(m+n)= (C) A.2 022 B.-2 022 C.0 D.1 004 解析　由f(x)=x2-2 022x=(x-1 011)2-1 0112可得f(x)的对称轴为直线x=1 011,由f(m)=f(n),m≠n,得=1 011,即m+n=2 022,所以f(m+n)=f(2 022)=2 0222-2 022×2 022=0。故选C。 3.设f(x)=xα,则“函数f(x)的图象经过点(-1,1)”是“函数f(x)在(-∞,0)上单调递减”的 (A) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　函数f(x)的图象经过点(-1,1),则f(-1)=(-1)α=1,因为α∈,所以α=2,所以f(x)=x2,所以f(x)在(-∞,0)上单调递减,而f(x)在(-∞,0)上单调递减,函数f(x)的图象不一定经过点(-1,1),如f(x)=x-1,所以“函数f(x)的图象经过点(-1,1)”是“函数f(x)在(-∞,0)上单调递减”的充分不必要条件。故选A。 4.已知a,b,c∈R,函数f(x)=ax2+bx+c。若f(0)=f(4)>f(1),则 (A) A.a>0,4a+b=0 B.a<0,4a+b=0 C.a>0,2a+b=0 D.a<0,2a+b=0 解析　由f(0)=f(4),得f(x)图象的对称轴为直线x=-=2,所以4a+b=0,又f(0)=f(4)>f(1),所以f(x)的图象开口向上,a>0。故选A。 5.已知函数f(x)=x-3,若a=f(0.60.6),b=f(0.60.4),c=f(0.40.6),则a,b,c的大小关系是 (B) A.a<c<b B.b<a<c C.b<c<a D.c<a<b 解析　因为0.40.6<0.60.6<0.60.4,函数f(x)=x-3在(0,+∞)上单调递减,所以b<a<c。故选B。 6.已知函数y=x2-4x+1的定义域为[1,t],在该定义域内函数的最大值与最小值之和为-5,则实数t的取值范围是 (B) A.(1,3] B.[2,3] C.(1,2] D.(2,3) 解析　易知函数y=x2-4x+1的图象是一条开口向上、对称轴为直线x=2的抛物线,当x=1时,y=-2;当x=2时,y=-3。由y=-2,得x=1或x=3,因为函数在定义域内的最大值与最小值之和为-5,所以2≤t≤3。故选B。 二、多项选择题 7.已知函数f(x)=(m2-m-1)是幂函数,对任意x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,满足>0。若a,b∈R,且f(a)+f(b)的值为负数,则下列结论可能成立的是 (BC) A.a+b>0,ab<0 B.a+b<0,ab>0 C.a+b<0,ab<0 D.a+b>0,ab>0 解析　由函数f(x)为幂函数,得m2-m-1=1,即m2-m-2=0,解得m=-1或m=2。当m=-1时,f(x)=x-3,当m=2时,f(x)=x3。由题意知,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,故f(x)=x3。易得f(-x)=-f(x),故函数f(x)=x3是单调递增的奇函数。由f(a)+f(b)<0,得f(a)<-f(b)=f(-b),得a<-b,所以a+b<0,排除A,D。故选BC。 8.(2024·潍坊模拟)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=x-x2,则下列说法正确的是 (AD) A.f(x)的最大值为 B.f(x)在(-1,0)上单调递增 C.f(x)>0的解集为(-1,1) D.f(x)+2x≥0的解集为[0,3] 解析　由题意,当x≥0时,f(x)=x-x2=-;当x<0时,f(x)=-x2-x=-,f(x)的最大值为,A正确;f(x)在上单调递减,B错误;f(x)>0的解集为(-1,0)∪(0,1),C错误;当x≥0时,f(x)+2x=3x-x2≥0的解集为[0,3],当x<0时,f(x)+2x=x-x2≥0无解,故D正确。故选AD。 三、填空题 9.(2024·江苏南通模拟)已知①f(0)=0;②f(4-x)=f(x);③在区间(2,3)上单调递减,则同时满足条件①②③的一个函数f(x)= -x2+4x(答案不唯一) 。  解析　由题意可知,f(x)的图象关于直线x=2对称,且在(2,3)上单调递减,且f(0)=0,可取f(x)=-x2+4x满足条件。 10.已知函数f(x)=xα+2x(α≠0),且f(4)=10,则α=  ;若f(m)>f(-m+1),则实数m的取值范围是  。  解析　f(4)=4α+2×4=10,即4α=2,所以α=,所以f(x)=+2x,其定义域为[0,+∞),且f(x)在[0,+∞)上是增函数。由f(m)>f(-m+1),可得<m≤1,故实数m的取值范围为。 11.若函数φ(x)=x2+m|x-1|在[0,+∞)上单调递增,则实数m的取值范围是 [-2,0] 。  解析　当0≤x<1时,φ(x)=x2-mx+m,此时φ(x)单调递增,则≤0,即m≤0;当x≥1时,φ(x)=x2+mx-m,此时φ(x)单调递增,则-≤1,即m≥-2。综上,实数m的取值范围是[-2,0]。 四、解答题 12.已知二次函数f(x)的最小值为1,函数y=f(x+1)是偶函数,且f(0)=3。 (1)求f(x)的解析式; (2)若函数f(x)在区间[2a,a+1]上单调,求实数a的取值范围。 解　(1)因为函数y=f(x+1)是偶函数,所以f(x)的图象关于直线x=1对称,又因为f(x)的最小值为1,所以可设f(x)=a(x-1)2+1,又f(0)=3,所以a=2,所以f(x)=2(x-1)2+1=2x2-4x+3。 (2)要使f(x)在区间[2a,a+1]上单调,则≤a<1或a≤0,所以实数a的取值范围为(-∞,0]∪。 13.已知函数f(x)=x2-4x+a+3。 (1)若函数f(x)在[-1,1]上存在零点,求实数a的取值范围; (2)设函数g(x)=x+b,当a=3时,若对任意x1∈[1,4],存在x2∈[5,8],使得g(x1)=f(x2),求实数b的取值范围。 解　(1)f(x)的图象的对称轴方程为x=2,开口向上,所以f(x)在[-1,1]上单调递减,Δ=16-4(a+3)=-4a+4。若函数f(x)在[-1,1]上存在零点,则f(-1)f(1)≤0,即(8+a)a≤0,解得-8≤a≤0,即实数a的取值范围为[-8,0]。 (2)当a=3时,f(x)=x2-4x+6,所以f(x)在[5,8]上单调递增,所以当x=5时,f(x)取得最小值11,当x=8时,f(x)取得最大值38,所以f(x)在[5,8]上的取值范围为[11,38]。又g(x)=x+b在[1,4]上单调递增,所以g(x)在[1,4]上的取值范围为[1+b,4+b]。因为对任意x1∈[1,4],存在x2∈[5,8],使得g(x1)=f(x2),所以[1+b,4+b]⊆[11,38],所以解得10≤b≤34,即实数b的取值范围为[10,34]。 综合提能 14.(多选题)已知实数a,b满足等式,则下列关系式可能成立的是 (ACD) A.0<b<a<1 B.-1<a<b<0 C.1<a<b D.a=b 解析　画出y=与y=的图象(如图)。设=m,作直线y=m。由图象知,若m=0或m=1,则a=b;若0<m<1,则0<b<a<1;若m>1,则1<a<b。故选ACD。 15.已知函数f(x)=|ax-2|x+3(a∈R)。 (1)当a=1时,画出函数y=f(x)的图象; (2)当x>0时,f(x)>x恒成立,求a的取值范围。 解　(1)当a=1时,f(x)=|x-2|x+3=作出f(x)的图象如图所示。 (2)①当a=0时,f(x)=2x+3,当x>0时,f(x)>x显然成立;②当a<0时,由于x>0,故ax-2<0,故f(x)=-ax2+2x+3,f(x)>x可化为ax2-x-3<0,当x>0时该不等式恒成立;③当a>0且0<x≤时,f(x)=-ax2+2x+3,所以f(x)在上单调递增,在上单调递减;当a>0且x>时,f(x)=ax2-2x+3,故f(x)在上单调递增,因此,当x>0时,f(x)≥f=f(0)=3,令g(x)=x,若要f(x)>x恒成立,只需g<3,所以a>。综上可得,a的取值范围是(-∞,0]∪。 素养创新 16.(2024·大连市双基测试)约翰尼斯·开普勒,德国数学家、天文学家,他发现的行星运动三大定律之三:如图,所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆形的,且所有行星轨道的半长轴的三次方与它的公转周期的二次方的比都相等。已知金星与地球的公转周期之比约为2∶3,地球运行轨道的半长轴为a,则金星运行轨道的半长轴约为(参考数据:≈1.442) (C) A.0.66a B.0.70a C.0.76a D.0.96a 解析　设金星运行轨道的半长轴为a1,金星和地球的公转周期分别为t1,t2,由题意可知,所以a3,即a1=a。因为函数y=x3在R上单调递增,且,即2.13<12<2.53,所以2.1<<2.5,因此0.7a<a1=a<0.9a。故选C。 学科网（北京）股份有限公司 $$