第3章 第2节 第3课时 函数中的同构问题(教用Word)-【赢在微点·顶层设计】2025年高中数学高考一轮总复习

第3课时　函数中的同构问题 　　同构法是将不同的代数式(或不等式、方程)通过变形,转化为形式结构相同或相近的式子,然后通过同构函数利用函数单调性解题,此方法常用于求解具有对数、指数等混合式子结构的等式或不等式问题。主要考查幂、指数、对数函数的性质、导数运算及应用等,试题形式灵活多样,思维量大,对观察能力、代数式的变形能力要求比较高。 函数中的同构问题主要包括两大类: 　　1.结构一致性同构 依据题设中目标特征适当变形,将其化为结构相同的式子,然后同构函数,利用函数单调性求解。 　　2.指、对同构 (1)积型:对于不等式aea≤bln b有三种同构方式。 (2)商型:对于不等式有三种同构方式。 (3)和差型:对于不等式ea±a>b±ln b有两种同构方式。 有时要对式子进行变形,甚至放缩才能进行同构。例如:aeax>ln x,两边同乘以x,得axeax>xln x,再进行同构:ln eax·eax>xln x或axeax>ln x·eln x,构造函数f(x)=xln x或f(x)=xex。 关键能力突破 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 类型一　结构一致性同构 【例1】　若对任意的x1,x2∈[-2,0),x1<x2,<a恒成立,则a的最小值为(A) A.- B.- C.- D.- 解析　因为x1<x2,所以x1-x2<0,则<a可化为x2>a(x1-x2),整理得x2+ax1,因为x1x2>0,所以,令f(x)=,则函数f(x)在[-2,0)上单调递减,则f'(x)=≤0在[-2,0)上恒成立,所以ex(x-1)≤a在[-2,0)上恒成立,令g(x)=ex(x-1),则g'(x)=ex(x-1)+ex=xex<0在[-2,0)上恒成立,则g(x)=ex(x-1)在[-2,0)上单调递减,所以g(x)≤g(-2)=-,故只需满足a≥-。故选A。 　　这类题型的特点就是结构一致,多以双变量形式出现,且当把下标相同的双变量移到一起后每个变量的结构作用相同,目前多以构造函数比较大小的形式出现。 【变式训练】　若0<x1<x2<1,则(C) A.>ln x2-ln x1 B.<ln x2-ln x1 C.x2 D.x2 解析　构造函数f(x)=ex-ln x,则其定义域为(0,+∞),f'(x)=ex-,易知f'(x)在定义域上是增函数,且f'-e<0,f'(1)=e-1>0,所以f'(x)=ex-在(0,1)上有零点,所以f(x)在(0,1)上有一个极值点,所以f(x)在(0,1)上不单调,无法判断f(x1)与f(x2)的大小,故A,B错误;令g(x)=,则在区间(0,1)上g'(x)=<0,所以g(x)在(0,1)上单调递减,又因为x2>x1,所以。故选C。 类型二　指数与对数混合同构 微专题 角度❶:积型同构 【例2】　设a,b都为正数,e为自然对数的底数,若aea+1+b<bln b,则(B) A.ab>e B.b>ea+1 C.ab<e D.b<ea+1 解析　由已知,aea+1<b(ln b-1)=bln,则ealn ea<。设f(x)=xln x,则f(ea)<f。因为a>0,则ea>1。又b(ln b-1)>0,b>0,则ln b>1,即b>e,从而>1。当x>1时,f'(x)=ln x+1>0,则f(x)在(1,+∞)内单调递增,所以ea<,即b>ea+1。故选B。 　　本题要进行变形,不能直接同构。不同的变形可以有不同的同构方式,可以按aea<的左边同构,也可以按右边同构。 【变式训练】　设m>0,对任意实数x≥e,不等式x2ln x-m≥0恒成立,则m的最大值是 e 。  解析　由x2ln x-m≥0,得xln x≥,即ln x·eln x≥(x≥e),设f(t)=tet(t≥0),则f(t)在[0,+∞)上是增函数,又f(ln x)≥f,所以ln x≥,即m≤xln x,又当x≥e时,xln x≥eln e=e,所以m≤e,即m的最大值是e。 角度❷:商型同构 【例3】　已知函数f(x)=(ex-1)ln(x+1)(x>0),求证:f(x)>x2。 证明　由题意,证明f(x)>x2,只需证明(ex-1)ln(x+1)>x2,即证明,令F(x)=(x>0),则F'(x)=,令g(x)=(x-1)ex+1,则x∈(0,+∞)时,g'(x)=xex>0,所以g(x)单调递增,所以x∈(0,+∞)时g(x)>g(0)=0,所以F'(x)>0,F(x)在(0,+∞)上单调递增,故原不等式成立只需F(x)>F(ln(x+1)),即只需x>ln(x+1)成立,又ln x≤x-1,所以ln(x+1)≤x,又x>0,所以ln(x+1)<x成立,所以原不等式f(x)>x2成立。 　　本题的难点是把原不等式f(x)>x2变形为,同构法解决不等式要熟记同构的变形方式,必要时进行变形,比如加减项、乘除项,凑变形的标准形式。 【变式训练】　已知函数f(x)=aexln x,g(x)=x2+xln a,若g(x)>f(x),x∈(0,1)恒成立,求a的取值范围。 解　由x2+xln a>aexln x,得x(x+ln a)>aexln x,即,即。设h(x)=,则h(x+ln a)>h(ln x),h'(x)=,若x∈(-∞,1),则h'(x)>0,h(x)单调递增;若x∈(1,+∞),则h'(x)<0,h(x)单调递减。当x+ln a>0时,h(x+ln a)>0,又h(ln x)<0(0<x<1),所以h(x+ln a)>h(ln x)恒成立。当x+ln a≤0时,由h(x)在(-∞,1)上单调递增,且h(x+ln a)>h(ln x),得x+ln a>ln x,ln a>ln x-x,又ln x<x-1,ln x-x<-1,所以ln a≥-1,即a≥,所以a的取值范围为。 角度❸:和差型同构 【例4】　若实数λ∈R,不等式>ln x在(1,+∞)上恒成立,则λ的取值范围是  。  解析　若λ≤0,则≤0,ln x>0,不等式显然不成立。若λ>0,由题意,得λx+λxeλx>(x+1)·ln x=(eln x+1)ln x=ln x·eln x+ln x。设f(x)=xex+x,当x>0时,f'(x)=(x+1)ex+1>0,所以f(x)=xex+x在(0,+∞)上单调递增,由f(λx)>f(ln x),且λx>0,ln x>0,得λx>ln x,即λ>,设g(x)=,则g'(x)=,当1<x<e时,g'(x)>0,g(x)单调递增;当x>e时,g'(x)<0,g(x)单调递减。所以在(1,+∞)上g(x)max=g(e)=,所以λ>。λ的取值范围是。 　　本题通过变形构造函数f(x)=xex+x,注意λ≤0与λ>0的讨论,并且一定注意λ>0时,不等式f(λx)>f(ln x)中λx>0,ln x>0,才能应用f(x)在(0,+∞)上单调递增的性质。 【变式训练】　(2024·陕西宝鸡模拟)已知a>1,b>1,则下列关系式不可能成立的是(D) A.ebln a≤ab B.ebln a≥ab C.aeb≥bln a D.aeb≤bln a 解析　对于ebln a≤ab,两边取对数得ln(ebln a)≤ln(ab),即b-ln b≤ln a-ln(ln a),构造函数f(x)=x-ln x(x>0),所以f'(x)=1-,当x>1时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当0<x<1时,f'(x)<0,f(x)单调递减,若1<b≤ln a,则b-ln b≤ln a-ln(ln a),即ebln a≤ab,故A正确;若1<ln a≤b,则b-ln b≥ln a-ln(ln a),ebln a≥ab,故B正确;构造函数g(x)=,则g'(x)=,当x>1时,g'(x)>0,g(x)单调递增,所以g(x)>g(1)=e,构造函数h(x)=,则h'(x)=,当x>e时,h'(x)<0,h(x)单调递减,当0<x<e时,h'(x)>0,h(x)单调递增,所以h(x)≤h(e)=,所以x>1时g(x)>h(x),即,所以aeb≥bln a成立,aeb≤bln a不可能成立,故C正确,D错误。故选D。 学科网（北京）股份有限公司 $$